Расчет радиаторов

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИИ АРХАНГЕЛЬСКИЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ К а ф е д р а т е п л о т е х н и к и РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНСЕРВАТИВНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ А Р Х А Н Г Е Л Ь С К 1 9 9 3 … О Г Л А В Л Е Н И Е Введение … 1.Основные положения методики построения консервативно- разностной схемы при решении неодномерных задач стационарной теплопроводности … 2. Методика подготовки и решения задачи на ЭВМ ………… 1. Постановка задачи, разработка математической модели … 2. Выбор метода численного решения … 3. Разработка алгоритма и структуры … 2.4. Написание программы и подготовка ее к вводу в ЭВМ … 5. Тестирование, отладка программы и решение на ЭВМ Литература … В В Е Д Е Н И Е Базовый уровень подготовки инженера-энергетика в области информатики и вычислительной техники определяется необходимым набором знаний, умений и навыков в применении ЭВМ для решения различных технических задач.

Специалисты этой категории, помимо умения использовать прикладное программное обеспечение, должны быть программирующими пользователями, т.к. их профессиональная деятельность связана с выполнением большого количества теплотехнических расчетов.

Для соблюдения принципа фундаментальности высшего образования работа построена на базе рассмотрения вопросов применения ЭВМ для решения основных задач теории теплообмена.

К одной из таких задач относится задача, связанная с определением температурного поля не одномерных тел численными методами. Рассмотрим методику подготовки и решения указанной задачи на персональном компьютере. 1. О С Н О В Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я М Е Т О Д И К И П О С Т Р О Е Н И Я К О Н С Е Р В А Т И В Н О-Р А З Н О С Т Н О Й С Х Е М Ы ПРИ Р Е Ш Е Н И И Н Е О Д Н О М Е Р Н Ы Х З А Д А Ч С Т А Ц И О Н А Р Н О Й Т Е П Л О П Р О В О Д Н О С Т И Определение температурного поля в любой момент времени является основной задачей теории теплопроводности.

Для изотропного тела {с постоянным по различным направлениям коэффициентом теплопроводности } она может быть описана дифференциальным уравнением теплопроводности ▼ T + Qv/ = 1/a*( dT/d()), (1) где Т - температура; а - коэффициент температуропроводности, а=/(*c);  - плотность материала, с - удельная теплоемкость при постоянном давлении, ▼ -обозначение оператора Лапласа {▼= d /dx + d /dy + d /dz - в декартовых координатах x, y, z };  - время, Qv - объемная плотность теплового потока.

Уравнение теплопроводности является математическим выражением закона сохранения энергии в твердом теле. При решении задачи к дифференциальному уравнению теплопроводности необходимо добавить краевые условия. В описание краевых условий входят: поле температур для какого-нибудь предшествующего момента времени {начальные условия}, геометрия тела {геометрические условия}, теплофизические характеристики тела {физические условия} и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой {граничные условия}. Если процесс теплопроводности не только стационарный {dT/d(tay)=0}, но и происходит без тепловыделения внутри материала (Qv = 0), то уравнение принимает вид ▼(Т) = 0 . (2) Ввиду сложности и трудоемкости решения неодномерных задач теплопроводности аналитическими методами в инженерной практике наиболее часто используют приближенные.

Один из них – метод конечных разностей, непосредственно базирующийся на дифференциальном уравнении теплопроводности и граничных условиях, представляет наибольший интерес.

В настоящее время значительное распространение получили конечно-разностные методы, построенные с использованием известных законов сохранения. В этом случае разностные схемы получили название консервативные. Такой подход к построению схемы, сохраняющий физическую сущность задачи, предпочтительнее чисто аналитического подхода, заключающегося в непосредственной записи дифференциальных уравнений конечно-разностными аналогами.

Следует заметить, что теория конечно-разностных численных методов является самостоятельным разделом вычислительной математики и широко представлена в специальной литературе[1,2,]. С основными методами построения конечно-разностных схем, алгоритмами расчета, программным обеспечением применительно к задачам теплообмена можно ознакомиться в учебной литературе [3,4,5]. При изложении указанного метода особое внимание уделено физическому смыслу построения консервативной разностной схемы и ее реализации на ПЭВМ в задачах теплопроводности.

При использовании численного метода с консервативной разностной схемой твердое тело разбивают на элементарные объемы. Предполагается, что масса такого элементарного объема сосредотачивается в его центре, называемом узлом. Для каждого узла на основе закона сохранения энергии составляется уравнение теплового баланса, которое включает значения всех тепловых потоков на границах объемов (ячеек). Если ячейка прилегает к поверхности тела, то выражения для определения тепловых потоков должны описывать теплообмен между телом и окружающей средой, то есть учитывать граничные условия.

После выполнения преобразований с уравнениями теплового баланса получают алгебраические уравнения для температуры в каждом узле. Поскольку число узлов и число ячеек совпадают, то образованная система алгебраических уравнений является конечно-разностным аналогом дифференциального уравнения теплопроводности и заменяет его с соответствующими граничными условиями.

Такой подход к составлению конечно-разностного аналога, увязанного с тепловым балансом, позволяет получать правдоподобные решения даже при грубом выборе расстояния между узлами (размера ячейки сетки). Рассмотрим некоторые конкретные примеры составления конечно-разностных схем для узлов двумерной задачи теплопроводности.

В этом случае уравнение (2) принимает вид dT/dx + dT/dy = 0 . (3) Внутренняя область типичного двумерного тела показана на рис.1. Рис.1. Расположение узла внутри двумерного тела толщиной б. Каждый элементарный прямоугольник (ячейка сетки) имеет длину х и высоту у в направлениях осей х и у. Внутренний узел, обозначенный символом 0, окружен четырьмя соседними узлами: 1,2,3,4. Кондуктивный перенос теплоты, который в действительности происходит в твердом теле через поверхности y*б и x*б (б -толщина тела) будем считать как перенос теплоты от соответствующих узлов к центральному.

В установившихся условиях уравнение баланса тепловых потоков для узла 0 при отсутствии внутреннего тепловыделения будет иметь вид Q(1-0) + Q(2-0) + Q(3-0) + Q(4-0) = 0 , (4) где Q(I-0) - тепловой поток; индекс (I-0) указывает направление переноса в узлах. Для определения кондуктивного теплового потока может быть применен закон Фурье Q = - lamda * F * dT/dn, (5) где Т - температура, n - направление переноса теплового потока, F - поверхность, через которую переносится тепловой поток.

Для построения расчетной схемы градиент температуры в выражении (5) заменим разностью температур в соседних узлах. В этом случае первый член выражения (4) примет вид Q(1-0) = y*б*(T[1] - T[0])/x. (6) Здесь градиент температуры определяется на границе двух узлов 1 и 0, имеющих температуры соответственно Т[1] и Т[0]. Аналогичные уравнения могут быть получены и для остальных трех членов уравнения (1): Q(2-0) = x*б*(T[2] - T[0])/y, (7) Q(3-0) = y*б*(T[3] - T[0])/x, (8) Q(4-0) = x*б*(T[4] - T[0])/y . (9) Точность аппроксимации градиента зависит от размера ячейки. Если ячейка имеет квадратную форму, то уравнение теплового потока становится независимым от формы тела. Подставляя зависимости (6) (9) в выражение (4), можно увидеть, что при постоянном коэффициенте теплопроводности для квадратной сетки (x = y) оно сводится к соотношению между температурами в рассматриваемом узле и близлежащих: T[1]+ T[2] + T[3] + T[4] - 4*T[0] = 0. (10) Выражение (10) применимо ко всем внутренним узлам. Рассмотрим узел, расположенный на поверхности твердого тела, толщиной б в двухмерной задаче (рис.2). Рис.2.Расположение узлов на поверхности двумерного тела, омываемого жидкостью Пусть узел 0, расположенный на границе твердого тела, контактирует с окружающей средой, имеющей температуру Тc. Интенсивность теплообмена с окружающей средой характеризуется коэффициентом теплоотдачи alfa. Узел 0 может также обмениваться кондуктивным потоком теплоты с тремя соседними узлами: 1,2,3. В этом случае тепловой баланс для узла 0 запишется следующим образом: Q(1-0) + Q(2-0) + Q(3-0) + Q(c-0) = 0, (11) где Q(c 0)-тепловой поток, передаваемый от среды узлу 0 конвекцией.

По закону Ньютона - Рихмана Q(c-0) = alfa*F*(T[c] - T[0]) . (12) В результате преобразований выражения (11), по аналогии с ранее выполненными, для внутреннего узла, получим y*б*(T[1] -T[0])/ x + (x/2)*б*(T[2] - T[0])/ y + ( x/2)* *б*(T[3] -T[0])/ y + alfa* y*б*(Tc -T[0]) = 0 . (13) Соотношение (13) значительно упрощается при выборе квадратной сетки.

В этом случае при постоянном коэффициенте теплопроводности оно приводится к виду T[1] + 0,5*(T[2] + T[3]) + Bi*Tc - (2+Bi)*T[0] = 0, (14) где Bi =alfa* x/lamda - число Био. Ниже приведены уравнения теплового баланса при других граничных условиях для двухмерных тел (x=y): Узел Схема Расчетное уравнение &#9474;/ Т . 2 */ Е . &#9553;/ П Плоская поверх- &#9472;&#9516;&#9472;&#9 472;.&#9472;&#9472;&#9472;&a mp;#9472; &#9484; &#9472; &#9553;/ Л ность с тепло- &#9474; . &#9553;/ О изолированной x . * &#9552;&#9552;&#9578;&#9 552; *&#9553;/ И границей &#9474; . 1 0 &#9553;/ З 0,5(T[2] + T[3]) + &#9472;&#9524;&#9472;&#9 472;.&#9472;&#9472;&#9472;&a mp;#9472; &#9500;&#9472; &#9472;&#9570;/ О + T[1] -2*T[0] = 0 . &#9553;/ Л . &#9472;>&#9524; x&#9568;<Я . 3 */ Ц . &#9474;/ И / Я - . . *2 . . &#9472;&#9472;>&#9532;&am p;#9472;&#9472;&#9472;&#9579 ; x &#9500;<&#9472; . . &#9500;&#9472; &#9472;&#9553;& #9472; &#9472;&#9532;&#9472;&#9 516;&#9472; . Внутренний угол, . 1 0 &#9553; &#9474; 3. 0,5*(T[1]+T[4])+ обе поверхности .&#9472;&#9472;&#9472;*& #9472;&#9552;&#9552;&#9575;& amp;#9552;&#9552;&#9472;* &#9552;&#9552;&#9578;&#9 552;&#9552; * . +T[2]+T[3]+Bi*Tc- омываются жид- alfa,Tc &#9553; x . -(3+Bi)*T[0] = 0 костью Окружающая &#9553;&#9472; &#9472;&#9524;& #9472;&#9 524;&#9472; . среда &#9553; . *4 . &#9474; Данный метод применим и для трехмерных задач при наличии внутреннего источника тепловыделения. 2. М Е Т О Д И К А П О Д Г О Т О В К И И Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч И Н А Э В М Решение задачи на ЭВМ включает в себя следующие основные этапы[6]: 1. Постановка задачи, разработка математической модели. 2.

Выбор метода численного решения

Выбор метода численного решения . 3.

Разработка алгоритма и структуры

Разработка алгоритма и структуры данных. 4.

Написание программы и подготовка ее к вводу в ЭВМ

Написание программы и подготовка ее к вводу в ЭВМ. Тестирование и отладка программы. Решение задачи на ЭВМ, обработка и оформление результата Методику подг... Пусть имеется длинная металлическая балка, являющаяся элементом констр... Средний коэффициент теплоотдачи от жидкости к стенкам alfa2.