Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.
Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс. - раздел Связь, Телекоммуникаций и информатики Потери Механической Энергии В Любой Колебательной Системе Из-За Наличи...
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиально различных способов создания колебательных систем незатухающих колебаний. Остановимся более подробно на рассмотрении незатухающих колебаний под действием внешней периодической силы. Такие колебания называются вынужденными. Продолжим изучение движения гармонического маятника (рис. 6.9 ).
рис. 6.9
Помимо рассмотренных ранее сил упругости и вязкого трения, на шарик действует внешняя вынуждающая периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону
частота, которой может отличаться от собственной частоты колебаний маятника ωo. Природа этой сил в данном случае нам не существенна. Создать такую силу можно различными способами, например, сообщить шарику электрический заряд и поместить его во внешнее переменное электрическое поле. Уравнение движения шарика в рассматриваемом случае имеет вид
Разделим его на массу шарика и используем прежние обозначения параметров системы. В результате получим уравнение вынужденных колебаний:
где fo = Fo/m − отношение амплитудного значения внешней вынуждающей силы к массе шарика. Общее решение уравнения (3) достаточно громоздко и, конечно, зависит от начальных условий. Характер движения шарика, описываемого уравнением (3), понятен: под действием вынуждающей силы возникнуть колебания, амплитуда которых будет возрастать. Этот переходный режим достаточно сложен и зависит от начальных условий. По прошествии некоторого промежутка времени колебательный режим установится, их амплитуда перестанет изменяться. Именно установившийся режим колебаний, во многих случаях представляет основной интерес. Мы не будем рассматривать переход системы к установившемуся режиму, а сконцентрируем внимание на описании и изучении характеристик этого режима. При такой постановке задачи нет необходимости задавать начальные условия, так как интересующий нас установившийся режим не зависит от начальных условий, его характеристики полностью определяются самим уравнением. С аналогичной ситуацией мы сталкивались при изучении движения тела под действием постоянной внешней силы и силы вязкого трения
По прошествии некоторого времени тело движется с постоянной установившейся скоростью v = Fo/β, которая не зависит от начальных условий, и полностью определяется уравнением движения. Начальные условия определяют режим, переходный к установившемуся движению. На основании здравого смысла разумно предположить, что в установившемся режиме колебаний шарик будет колебаться с частотой внешней вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (3) следует искать в гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Для начала решим уравнение (3), пренебрегая силой сопротивления
Попробуем найти его решение в виде гармонической функции
Для этого вычислим зависимости скорости и ускорения тела от времени, как производные от закона движения
и подставим их значения в уравнение (4)
Теперь можно сократить на cosωt. Следовательно, это выражение обращается в верное тождество в любой момент времени, при выполнении условия
Таким образом, наше предположение о решении уравнения (4) в виде (5) оправдалось: установившийся режим колебаний описывается функцией
Отметим, что коэффициент A согласно полученному выражению (6) может быть, как положительным (при ω < ωo), так и отрицательным (при ω > ωo). Изменение знака соответствует изменению фазы колебаний на π (причина такого изменение будет выяснена чуть позже), поэтому амплитудой колебаний является модуль этого коэффициента |A|. Амплитуда установившихся колебаний, как и следовало ожидать, пропорциональна величине вынуждающей силы. Кроме того, эта амплитуда сложным образом зависит от частоты вынуждающей силы. Схематический график этой зависимости показан на рис. 6.10
Рис. 6.10 Резонансная кривая
Как следует из формулы (6) и хорошо видно на графике, при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы амплитуда резко возрастает. Причина такого возрастания амплитуды понятна: вынуждающая сила «во время» подталкивает шарик, при полном совпадении частот установившейся режим отсутствует − амплитуда возрастает до бесконечности. Конечно, на практике такого бесконечного возрастания наблюдать невозможно: во-первых, это может привести к разрушению самой колебательной системы, во-вторых, при больших амплитудах колебаний нельзя пренебрегать силами сопротивления среды. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы называется явлением резонанса. Приступим теперь к поиску решения уравнения вынужденных колебаний с учетом силы сопротивления
Естественно, что и в этом случае решение следует искать в виде гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Легко заметить, что поиск решения в форме (5) в данном случае не приведет к успеху. Действительно, уравнение (8), в отличие от уравнения (4), содержит скорость частицы, которая описывается функцией синуса. Поэтому, временная часть в уравнении (8) не сократится. Следовательно, решение уравнения (8) следует представить в общей форме гармонической функции
в которой два параметра Ao и φ необходимо найти с помощью уравнения (8). Параметр Ao является амплитудой вынужденных колебаний, φ − сдвиг фаз между изменяющейся координатой и переменной вынуждающей силой. Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, функцию (9) можно представить в эквивалентной форме
которая также содержит два параметра B = Aocosφ и C = −Aosinφ, подлежащих определению. Используя функцию (10), запишем явные выражения для зависимостей скорости и ускорения частицы от времени
и подставим в уравнение (8):
Перепишем это выражение в виде
Для того чтобы равенство (13) выполнялось в любой момент времени необходимо, чтобы коэффициенты при косинусе и синусе были равны нулю. На основании этого условия получаем два линейных уравнения для определения параметров функции (10):
Решение этой системы уравнений имеет вид
На основании формулы (10) определяем характеристики вынужденных колебаний: амплитуду
сдвиг фаз
При малом затухании эта зависимость имеет резкий максимум при приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте системы ωo. Таким образом, и в этом случае возможно возникновения резонанса, поэтому построенные зависимости часто называют резонансной кривой. Учет слабого затухания показывает, что амплитуда не возрастает до бесконечности, ее максимальное значение зависит от коэффициента затухания − с возрастанием последнего максимальная амплитуда быстро убывает. Полученная зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы (16) содержит слишком много независимых параметров ( fo, ωo, γ) для того, чтобы построить полное семейство резонансных кривых. Как и во многих случаях, эту зависимость можно существенно упростить, перейдя к «безразмерным» переменным. Преобразуем формулу (16) к следующему виду
и обозначим
− относительная частота (отношение частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы);
− относительная амплитуда (отношение амплитуды колебаний к величине отклонения Ao = f/ωo2 при нулевой частоте);
− безразмерный параметр, определяющий величину затухания. Используя эти обозначения, функция (16) существенно упрощается
так как содержит всего один параметр − δ. Однопараметрическое семейство резонансных кривых, описываемых функцией (16 б) может быть построено, особенно легко с помощью компьютера. Результат такого построения показан на рис. 629.
Федеральное агентство связи... Государственное образовательное учреждение... высшего профессионального образования Поволжский государственный университет...
А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко
Введение в теорию колебаний. Конспект лекций. – Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2013. – 198 с.
Настоящее издание представляет собой учебное пособие к образовательному
Колебания в биологических объектах
Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов.
Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой
Гармонические колебания.
Гармоническое колебание —это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону
Аналитическое.
Колебательный процесс описывается в виде периодической функции, например,
Метод фазовых траекторий.
Метод описания колебаний путем построения траектории тражения системы в плоскости -
Сложение гармонических колебаний одного направления
Если колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотноше
Зачем, собственно, нужно считать спектры сигналов?
Во-первых, это позволяет по-новому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала это может быть затруднительно). Нап
Непериодические сигналы.
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального импульса (единичной мощности и нулевой
Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире пол
Спектральный анализ
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая с
Колебание жидкости в трубке.
Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).
Свободные колебания в контуре
Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подклю
Плазменные колебания.
В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов.
Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтр
Нелинейные колебания
С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости
Затухающие механические колебания крутильного маятника
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.
Рассмотрим с
Период затухающих колебаний
.
Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени,
Добротность
Пниях логарифмического декремента добротность равна
(т
Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденныминазываются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Установление колебаний.
Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t=0, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. У
Лекция 8 Колебательные системы с двумя степенями свободы
Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:
Лекция 8. Колебания систем со многими степенями свободы.
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,
Колебания струны
Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встреч
Тоны и обертоны
Струна, оттянутая строго посередине, будет совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол периода вся струна оказывается по разные стороны от положения равновесия. При этом на концах
Колебания воздушного столба
В духовых музыкальных инструментах (различных трубах) источником звука является колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием
Лекция 9. Параметрические колебания. Качели.
Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивае
Http://fizportal.ru/physics-book-47-1
http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0
Приложение 1. Основные характеристики звука
Упругие волны в воздухе, имеющ
Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха.
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии", т.е. количественных измерений ощущений. Поск
Некоторые сведения о музыкальных инструментах.
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов не зависят от резонатора. Основная частота звука
Добротность различных колебательных систем
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилля
Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты в
Новости и инфо для студентов