Сложение взаимно перпендикулярных колебаний - раздел Связь, Телекоммуникаций и информатики Рассмотрим Материальную Точку, Участвующую В Двух Взаимно Перпендикулярных Ко...
Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотношения частот, так и от разности фаз обоих колебаний.
1) Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы, а уравнения колебаний имеют вид
Рис. 2.3. Колебания в плоскости x0y
,
где: и – амплитуды складываемых колебаний вдоль осей X и Y;
– разность фаз складываемых колебаний.
Система представляет собой уравнение искомой траектории в параметрической форме.
Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, исключим параметр t из системы. Для этого разделим каждое уравнение системы на соответствующую ему амплитуду и получим
Используя тригонометрическое тождество
,
для второго уравнения после подстановкииз первого уравнения получим
Или после преобразования
Из аналитической геометрии известно, что это уравнение эллипса с произвольно ориентированными осями, вписанного в прямоугольник со сторонами 2a и 2b, ограничивающего пространство, в котором совершаются колебания (рис. 2.3). Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.
Ориентация относительно осей зависит от разности фаз .
Кроме того, если А=В, то эллипс) вырождается в окружность. Такие колебания называютсяциркулярно поляризованными колебаниями иликолебаниями, поляризованными по кругу.
2) Рассмотрим частные случаи уравнения (2.2)
А) Пусть = 0, тогда cos = 1, sin = 0 и уравнение примет вид
, или
Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой w из первой четверти координатной плоскости в третью четверть (рис.2.4). Амплитуда такого колебания равна .
Рис. 2.4.
Б) Пусть , тогда cos = –1, sin = 0 и уравнение примет вид
или .
Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой w из второй четверти координатной плоскости в четвертую (рис.2.3 e). В данном случае имеем дело слинейно поляризованными колебаниями;Амплитуда такого колебания равна
Рис. 2.5.
В) Пусть , тогда cos= 0, sin= ±1 и уравнение (2.2) примет вид
.
То есть точка движется по эллипсу (рис.2.3.c), оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны a и b. При этом, если , то точка движется по часовой стрелке, если , то против часовой стрелки.
Рис. 2.6.
Г) Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину Δw, то можно считать, что они происходят с одинаковой частотой, а разность фаз медленно меняется по закону
.
В этом случае траектория будет медленно меняться, последовательно проходя все этапы, показанные на рис. 2.7.
Рис.2.7. Сложение колебаний с одинаковыми частотами
При разности фаз груз движется по часовой стрелке, а при - против часовой стрелки. Типичным примером двумерного осциллятора (маятника) является электрон в атоме, который движется вокруг ядра по эллиптической орбите с периодом обращения T~10-15 c Можно считать, что такой электрон одновременно совершает два взаимно-перпендикулярных колебания с частотой
3) Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний отличаются в два раза, например , .
Система уравнений (1) примет вид
Используя формулу косинуса двойного угла, получим уравнение параболы (рис.2.8)
4) В общем случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы и кратны
,
то траектории результирующего движения имеют вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Эти фигуры вписаны в прямоугольник 2a´2b, ограничивающий колебания по осям XиY. При этом количество точек пересечения фигуры Лиссажу и оси X равно m, а количество точек пересечения оси Y равно n.
Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рисунке 2.9 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз .
Рис.2.10. Фигуры Лиссажу при разных соотношениях частот и фаз
По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.
Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются замкнутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, напоминая нить в клубке.
Контрольные вопросы:
1. Сложение однонаправленных колебаний методом векторных диаграмм
Преимущества метода векторных диаграмм
3. Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Когда получается окружность? Прямая?
4. Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний?
Какие фигуры могут быть получены при сложении колебаний с одинаковыми частотами;
6. Какие фигуры могут быть получены при сложении колебаний с близкими но различными частотами
7. Что такое биения? Чему равна частота биений? Период?
8. Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Когда получается окружность? Прямая?
9. Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний?
10. Что такое биения? Чему равна частота биений? Период?
Федеральное агентство связи... Государственное образовательное учреждение... высшего профессионального образования Поволжский государственный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко
Введение в теорию колебаний. Конспект лекций. – Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2013. – 198 с.
Настоящее издание представляет собой учебное пособие к образовательному
Колебания в биологических объектах
Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов.
Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой
Гармонические колебания.
Гармоническое колебание —это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону
Аналитическое.
Колебательный процесс описывается в виде периодической функции, например,
Метод фазовых траекторий.
Метод описания колебаний путем построения траектории тражения системы в плоскости -
Сложение гармонических колебаний одного направления
Если колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические
Зачем, собственно, нужно считать спектры сигналов?
Во-первых, это позволяет по-новому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала это может быть затруднительно). Нап
Непериодические сигналы.
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального импульса (единичной мощности и нулевой
Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире пол
Спектральный анализ
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая с
Колебание жидкости в трубке.
Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).
Свободные колебания в контуре
Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подклю
Плазменные колебания.
В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов.
Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтр
Нелинейные колебания
С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости
Затухающие механические колебания крутильного маятника
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.
Рассмотрим с
Период затухающих колебаний
.
Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени,
Добротность
Пниях логарифмического декремента добротность равна
(т
Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиа
Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденныминазываются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Установление колебаний.
Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t=0, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. У
Лекция 8 Колебательные системы с двумя степенями свободы
Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:
Лекция 8. Колебания систем со многими степенями свободы.
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,
Колебания струны
Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встреч
Тоны и обертоны
Струна, оттянутая строго посередине, будет совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол периода вся струна оказывается по разные стороны от положения равновесия. При этом на концах
Колебания воздушного столба
В духовых музыкальных инструментах (различных трубах) источником звука является колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием
Лекция 9. Параметрические колебания. Качели.
Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивае
Http://fizportal.ru/physics-book-47-1
http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0
Приложение 1. Основные характеристики звука
Упругие волны в воздухе, имеющ
Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха.
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии", т.е. количественных измерений ощущений. Поск
Некоторые сведения о музыкальных инструментах.
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов не зависят от резонатора. Основная частота звука
Добротность различных колебательных систем
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилля
Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты в
,
и 
– амплитуды складываемых колебаний вдоль осей X и Y;
– разность фаз складываемых колебаний.
,
из первого уравнения получим
, или 
.
, тогда cos 
или 
.
, тогда cos
.
, то точка движется по часовой стрелке, если 
, то против часовой стрелки.
.
груз движется по часовой стрелке, а при 
- против часовой стрелки. Типичным примером двумерного осциллятора (маятника) является электрон в атоме, который движется вокруг ядра по эллиптической орбите с периодом обращения T~10-15 c Можно считать, что такой электрон одновременно совершает два взаимно-перпендикулярных колебания с частотой 
, 
.
,
.
Новости и инфо для студентов