Комплексне креслення прямої особливого і загального

Л Е К Ц І Я 2

К О М П Л Е К С Н Е К Р Е С Л Е Н Н Я П Р Я М О Ї

 

Комплексне креслення прямої особливого і загального

Положення

Пряма в просторі безмежна. Обмежена частина прямої називається відрізком. При ортогональному проектуванні на площину пряма, не перпендикулярна до… Оскільки положення прямої у просторі повністю визначається двома точками, то для визначення проекцій прямої досить…

Рис. 2.3 Рис. 2.4

 

Окрім розглянутого загального випадку розміщення прямої по відношенню до заданої системи площин проекцій, існують особливі (часткові) випадки:

а) пряма паралельна до площини проекцій;

б) пряма перпендикулярна до площини проекцій.

Прямі, паралельні до площин проекцій, називаються лініями рівня.

Горизонтальна пряма (горизонталь) - це пряма, паралельна до горизонтальної площини проекцій. Вона позначається буквою h(h₁, h₂, h₃) (на рис. 2.5 відрізок АВ паралельний до П₁). Усі точки горизонталі віддалені на однакові відстані від П₁, тобто для усіх точок горизонталі координата Z - величина постійна (Z = const). А тому h₂ // Х₁₂ (h₂ Z₂₃, h₃ Z₂₃).

Кут нахилу горизонталі до П₁ - a = 0. Кут нахилу горизонталі до П₂ - b і кут нахилу до П₃ - g визначаються з горизонтальної проекції h - h₁(А₁ В₁) (рис. 2.5).

На площину проекцій П₁ відрізки прямої h проектуються в натуральну величину, а на дві інші площини - зі спотворенням - у вигляді відрізків меншої величини.

 

h // П₁: a = 0Þ П₁; b Þ П₂; g Þ П₃

Рис. 2.5

 

Фронтальна пряма (фронталь) - це пряма, паралельна до фронтальної площини проекцій. Вона позначається буквою f(f₁, f₂, f₃) (на рис. 2.6 відрізок СD паралельний до П₂). Усі точки фронталі віддалені на однакові відстані від П₂, тобто для усіх точок фронталі координата Y - величина постійна (Y = const). А тому f₁ // Х₁₂ (f₁Y₁₃, f₃ Y₃₁).

Кут нахилу фронталі до П₂ - b = 0. Кут нахилу фронталі до П₁ - a і кут нахилу до П₃ - g визначаються з фронтальної проекції f - f₂ (С₂D₂) (рис. 2.6).

На площину П₂ відрізки прямої fпроектуються в натуральну величину, а на дві інші площини - зі спотворенням - у вигляді відрізків меншої величини.

 

 

f // П₂: a Þ П₁; b = 0 Þ П₂; g Þ П₃

Рис. 2.6

Профільна пряма - це пряма, паралельна до профільної площини проекцій. Вона позначається буквою р(р₁, р₂, р₃) (на рис. 2.7 відрізок EF паралельний до П₃). Усі точки профільної прямої віддалені на однакові відстані від П₃, тобто для усіх точок профільної прямої координата Х - величина постійна (Х = const). А тому р₁Х₁₂ , р₂Х₁₂ (р₁// Y₁₃, р₂ // Z₂₃).

Кут нахилу профільної прямої до П₃ - g = 0. Кут нахилу профільної прямої до П₁ - a і кут нахилу до П₂ - b визначаються з профільної проекції р - р₃ (Е₃F₃) (рис. 2.7).

На профільну площину проекцій П₃ відрізки прямої рпроектуються в натуральну величину, а на дві інші площини - зі спотворенням - у вигляді відрізків меншої величини, які перпендикулярні осі Х₁₂.

 

 

р // П₃: a Þ П₁; b Þ П₂; g = 0 Þ П₃

Рис. 2.7.

Пряма може бути не тільки паралельною до площини проекцій, але і знаходитись у ній. Характерною ознакою комплексного креслення такої прямої є належність однієї з проекцій такої прямої осі проекцій (рис. 2.8).

 

h₀ - нульова горизонталь f₀ - нульова фронталь

 

Рис. 2.8

 

Проектуючиминазиваються прямі які перпендикулярні до однієї з площин проекцій і паралельні двом іншим площинам проекцій (рис. 2.9).

 

Рис. 2.9

 

Пряма а ^ П₁ - горизонтально проектуюча пряма; пряма b ^ П₂ - фронтально проектуюча пряма; пряма c ^ П₃ - профільно проектуюча пряма.

На одній з площин проекцій проектуюча пряма зображується у вигляді точки, а на двох інших - у вигляді відрізків, які займають горизонтальне або вертикальне положення і величина яких дорівнює натуральній величині відрізка прямої.

 

Точка на прямій. Взаємне положення точки і прямої

 

Якщо точка лежить на прямій, то її проекції лежать на однойменних проекціях цієї прямої і на спільній лінії зв’язку.

ТочкаА (рис. 2.10) лежить на прямій m, тому що її проекції А₁і А₂ розташовані відповідно на горизонтальній m₁ і фронтальній m₂ проекціях прямої.

Точки В і С не лежать на прямій m, тому що одна з проекцій кожної точки не належить проекції цієї прямої.

Точка, яка не лежить на прямій відносно прямої може займати різне положення. Наприклад: точка В знаходиться над прямою m, а точка С - за прямою m.

 

Рис. 2.10

 

Приклади розв'язання задач відносно положення точки і прямої:

 

Приклад 1: Поділити відрізок АВ точкою С у відношенні 2 : 1 (рис. 2.11).

Згадаємо одну з властивостей паралельних проекцій: якщо точка ділить відрізок у даному відношенні, то проекція точки ділить проекцію відрізка у такому ж відношенні.

Щоб поділити відрізок АВ точкою С у відношенні 2 : 1 досить поділити одну його проекцію у даному відношенні (наприклад А₁В₁) відомим з геометрії способом. З точки А₁ проводимо довільний промінь, на якому від точки А₁ відкладаємо три однакових довільних відрізка. Кінець третього відрізка (точку В₀) з'єднуємо з точкою В₁. Кінець другого відрізка позначаємо С₀. Точка С₀ ділить відрізок А₁В₀ у відношенні 2 : 1.

Через точку С₀ проводимо пряму, яка паралельна відрізку В₁В₀. Ця лінія перетинає горизонтальну проекцію відрізка АВ в точці С₁. С₁ ділить А₁В₁ у відношенні 2 : 1. За допомогою лінії зв’язку знаходимо відсутню фронтальну проекцію точки С на А₂В₂.

 

Рис 2.11 Рис. 2.12

 

Приклад 2: Побудувати відсутню фронтальну проекцію точки М, яка належить відрізку АВ профільного положення (А₁В₁; А₂В₂) і горизонтальна проекція точки М (М₁) відома. (рис.2.12).

Для розв'язання задачі з проекцій точок А₂ і В₂ проводимо два паралельних промені довільного напрямку до перетину в точках А₀ і В₀ з відповідними паралельними променями, які провели через проекції А₁ і В₁.

Далі, через горизонтальну проекцію точки М (М₁) проводимо промінь, який паралельний променям А₀А₁ і В₀В₁ до перетину його в точці М₀ з прямою А₀В₀. Через точку М₀ проводимо промінь, який паралельний променям В₀В₂ і А₀А₂ до перетину з проекцією відрізка А₂В₂ в шуканій точці М₂.

 

Сліди прямої

 

Пряма загального положення перетинає всі основні площини проекцій.

Якщо відрізок АВ загального положення продовжити в обидва боки від точок А і В, то в точках М і N він перетне площини проекцій П₁ і П₂ (рис. 2.13).

Точки перетину прямої з площинами проекцій називаються слідами прямої.Точка М - горизонтальний слід прямої АВ, а точка N - фронтальний.

 

 

Рис. 2.13

 

Слід - це точка, яка одночасно належить прямій і площині проекцій. З цієї умови витікає правило побудови слідів прямої. Побудувати сліди прямої на комплексному кресленні означає - знайти проекції слідів.

 

Горизонтальний слід прямої - це точка, яка належить прямій, а тому її проекції належать проекціям прямої. З іншого боку ця точка належить і площині проекцій П₁, тому вона має особливості точок, які належать площинам проекцій: одна координата дорівнює нулю. Для точки, яка лежить на П₁ - Z = 0. Точка прямої АВ, для якої Z = 0, на комплексному кресленні (рис. 2.13) знаходиться на перетині фронтальної проекції прямої АВ (А₂В₂) з віссю Х₁₂. Це точка М₂ - фронтальна проекція горизонтального сліду прямої. Точка М₁ знаходиться на одній вертикальній лінії зв'язку з М₂ і належить горизонтальній проекції прямої.

Таким чином, для побудови на комплексному кресленні горизонтального сліду М прямої АВ необхідно:

1). Продовжити фронтальну проекцію А₂В₂ до перетину з віссю Х₁₂ в точці М₂. Точка М₂ - фронтальна проекція сліду М.

2). Провести через точку М₂ вертикальну лінію зв’язку до перетину з горизонтальною проекцією А₁В₁ прямої (або її продовженням) в точці М₁ (горизонтальній проекції сліду), яка збігається з самим слідом М.

 

Фронтальний слід прямої - це точка, яка належить прямій, а тому її проекції належать проекціям прямої. З іншого боку ця точка належить і площині проекцій П₂, тому вона має особливості точок, які належать площинам проекцій: одна координата дорівнює нулю. Для точки, яка лежить на П₂ - Y = 0. Точка прямої АВ, для якої Y = 0, на комплексному кресленні (рис. 2.13) знаходиться на перетині горизонтальної проекції прямої АВ (А₁В₁) з віссю Х₁₂. Це N₁ - горизонтальна проекція фронтального сліду прямої. N₂ знаходиться на одній вертикальній лінії зв'язку з N₁ і належить фронтальній проекції прямої.

Таким чином, для побудови фронтального сліду (точки N) прямої АВ необхідно:

1). Продовжити горизонтальну проекцію А₁В₁ до перетину з віссю Х₁₂ в точці N₁. Точка N₁- горизонтальна проекція сліду N.

2). Провести через точку N₁ вертикальну лінію зв’язку до перетину з фронтальною проекцією А₂В₂ прямої (або її продовженням). Отримаємо точку N₂ (фронтальну проекцію сліду) яка збігається з самим слідом N.

Пряма загального положення в системі трьох площин проекцій має три сліди: горизонтальний, фронтальний і профільний; пряма рівня - два сліди; проектуюча пряма - один слід. На рисунку 2.14 показана побудова фронтального сліду N і профільного сліду Р горизонталі h, а також горизонтального сліду М і профільного сліду Р фронталі f.

 

Рис. 2.14

Горизонтально-проектуюча пряма а має один горизонтальний слід М (М₁), який збігається з горизонтальною проекцією прямої а (рис. 2.15).

Фронтально-проектуюча пряма bмає одинфронтальний слід N( N₂), який збігається з фронтальною проекцією прямої b(рис. 2.16).

 

Рис. 2.15 Рис.2.16

 

Визначення натуральної величини відрізка прямої і кутів його нахилу до площин проекцій

Пряма загального положення нахилена під різними кутами до площин проекцій, а тому проекції відрізка прямої різні за величиною і важливо уміти… Розглянемо проекції відрізка АВ на дві площини П1 і П2. Якщо через точку А…  

Натуральна величина відрізка прямої загального положення на комплексному кресленні будується як гіпотенуза прямокутного трикутника, перший катет якого дорівнює одній з проекцій даного відрізка, а другий - різниці відстаней від кінців відрізка, до тієї площини проекцій, на якій взято перший катет (різниці відстаней кінців другої його проекції від площини, на якій знаходиться перша проекція цього відрізка).

Кут нахилу відрізка прямої до площини проекцій визначається як кут між натуральною величиною відрізка і його проекцією на цю площину.

Для визначення натуральної величини відрізка АВ і кута a необхідно : 1. Через одну з точок горизонтальної проекції відрізка (у нас точка А1)… 2. Точку А0, яку ми отримали, з’єднуємо з точкою В1. Відрізок А0В1 буде натуральною величиною відрізка АВ, а кут між…

Рис. 2.18

 

2. Точку А₀, яку ми отримали, з’єднуємо з точкою В₃. Відрізок А₀В₃ буде натуральною величиною відрізка АВ, а кут між А₃В₃ і А₀В₃ буде кутом g - кутом нахилу відрізка АВ до площини проекцій П₃.

 

Взаємне положення двох прямих

 

Дві прямі в просторі одна відносно другої можуть бути взаємно паралельними, перетинатися і бути мимобіжними.

Паралельні прямі. Якщо прямі в просторі паралельні, то їх однойменні проекції на будь-яку площину також взаємно паралельні (рис. 2.19).

 

 

Рис. 2.19 Рис. 2.20

Паралельність однойменних проекцій прямих не завжди може бути ознакою паралельності прямих у просторі. Так, прямі АВ і CD є мимобіжними: АВ // П₃ ; СD // П₃. А₂В₂ // С₂D₂, А₁В₁ // С₁D₁, А₃В₃ G С₃D₃:

АВ G СD (рис. 2.20).

Прямі, що перетинаються. Якщо прямі в просторі перетинаються, то на комплексному кресленні їх однойменні проекції перетинаються в точках К₁ і К₂, розташованих на одній лінії зв’язку (рис. 2.21).

 

 

 

 

Рис. 2.21 Рис. 2.22

 

Мимобіжні прямі. Прямі, які в просторі не паралельні між собою і не перетинаються називаються мимобіжними. Точки перетину однойменних проекцій цих прямих не лежать на одній лінії проекційного зв’язку (рис. 2.22).