Глава 5. Логические основы компьютеров

Глава 5. Логические основы компьютеров

Что такое алгебра логики?

Что же такое логическое высказывание? Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно… Джордж Буль Так, например, предложение "6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное.…

Что такое логическая формула?

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание… Как показывает анализ формулы (A v B) C, при определённых сочетаниях… Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных.…

Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием?

Из этого следует два вывода: одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации,…

В каком виде записываются в памяти компьютера и в регистрах процессора данные и команды?

Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины. Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации. Мы уже рассмотрели способы записи двоичной информации на магнитных дисках и на CD-ROM. В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули (или наоборот), например:

 

Что такое логический элемент компьютера?

Логический элемент компьютера — это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ и другие (называемые также вентилями), а также триггер.

Чтобы представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных… Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий —… Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на…

Что такое схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ?

С х е м а И

Рис. 5.1 Таблица истинности схемы И x y x . y …

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x ^. y
(читается как "x и y"). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком "&" (читается как "амперсэнд"), являющимся сокращенной записью английского слова and.

С х е м а ИЛИ

Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами представлено на рис. 5.2. Знак "1" на схеме — от устаревшего… Рис. 5.2 Таблица истинности схемы ИЛИ x y x v y …

С х е м а НЕ

Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение на структурных схемах инвертора — на рисунке 5.3 Рис. 5.3 Таблица истинности схемы НЕ x  

С х е м а И—НЕ

Рис. 5.4 Таблица истинности схемы И—НЕ x y   …

С х е м а ИЛИ—НЕ

Рис. 5.5 Таблица истинности схемы ИЛИ—НЕ x y   …  

Что такое триггер?

Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс). Условное… Рис. 5.6 Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и , причем выходной сигнал Q является логическим…

Что такое сумматор?

Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных… Рис. 5.8 При сложении чисел A и B в одном i-ом разряде приходится иметь дело с тремя цифрами:

Какие основные законы выполняются в алгебре логики?

В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Как составить таблицу истинности?

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь:

Примеры.

1. Составим таблицу истинности для формулы , которая содержит две переменные x и y. В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение формулы. В результате получим таблицу:

Переменные	Промежуточные логические формулы	Формула

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 1, то есть является тождественно истинной.

2. Таблица истинности для формулы :

Переменные	Промежуточные логические формулы	Формула

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формулапринимает значение 0, то есть является тождественно ложной.

3. Таблица истинности для формулы :

Переменные	Промежуточные логические формулы	Формула

Из таблицы видно, что формула в некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых — 0, то есть является выполнимой.

Как упростить логическую формулу?

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование… Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении… 1) (законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон,…

Что такое переключательная схема?

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.

Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

Будем считать, что два переключателя Х и связаны таким образом, что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю должна соответствовать переменная .

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a)

Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1;

б)

Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0;

в)

Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;

г)

Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) =;

д)

Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = x ^. y;

е)

Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=x v y;

ж)

Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией .

Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале). Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И. Журавлев, С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работысводится к следующим трём этапам:

1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
2. упрощению этой функции;
3. построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к

1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
2. получению упрощённой формулы.

Примеры.

1. Построим схему, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.

Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид F(x, y, z, t) = t ^. (x v y v z), а схема выглядит так:

 

2. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.

 

Схема имеет вид:

 

3. Найдем функцию проводимости схемы:

 

Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Функция проводимости F(a, b, c, d, e) = a . b v a . e . d v c . d v c . e . b.

4. Упростим переключательные схемы:

а)

Решение:

Упрощенная схема:

б)

.

Здесь первое логическое слагаемое является отрицанием второго логического слагаемого , а дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1.

Упрощенная схема :

в)

 

Упрощенная схема:

г)

 

Упрощенная схема:

д)

(по закону склеивания)

Упрощенная схема:

е)

Решение:

Упрощенная схема:

Как решать логические задачи?

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

• средствами алгебры логики;
• табличный;
• с помощью рассуждений.

Познакомимся с ними поочередно.

I. Решение логических задач средствами алгебры логики

Пример 1. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок. — Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл. — Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть…

II. Решение логических задач табличным способом

Пример 3. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете,… Известно, что: Смит самый высокий; играющий на скрипке меньше ростом… На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

III. Решение логических задач с помощью рассуждений

Пример 6. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них,… Решение. Имеется три утверждения: Вадим изучает китайский; Сергей не… Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи,…

Упражнения

[ Ответ ] 5.2. Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие —… 5.3. Приведите примеры истинных и ложных высказываний: а) из арифметики; б) из физики; в) из биологии; г) из…

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

5.24. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что это… 5.25. Пятеро одноклассников: Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали… Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят? [ Ответ ]