Знаковое натуральное число с фиксированной точкой, имеющее целую и дробную часть, называемое мантиссой

4.2 Форма представлення чисел з комою, що плаває.

 

Форма представления числа Х с плавающей запятой (точкой) называется еще экспоненциальной формой. Она представлена формулой

 

X_q = M_q·q^Pq,

где:

q - основание СЧ;

M_q – знаковое натуральное число с фиксированной точкой, имеющее целую и дробную часть, называемое мантиссой;

P_q – знаковое целое число, называемое порядком.

 

Обобщенные записи мантиссы и порядка

M_q = ± m_k-1 m_k-2 ….. m₁ m₀ , m_-1 m_-2 ….. m_-(f-1) m_-f, (1)

где:

m_i, i=0,…,k-1 – цифры целой части модуля мантиссы (k разрядов);

m_i, i=-f,…,-1 - цифры дробной части модуля мантиссы (f разрядов)

P_q = ± p_r-1 p_r-2………p₁p₀,

где p_i, i=0,…,r-1 – цифры модуля порядка (r разрядов).

 

Правило сохранения величины числа с плавающей запятой (точкой):

Если запятая передвигается на один разряд влево, то порядок надо увеличить на 1.

Если запятая передвигается на один разряд вправо, то порядок надо уменьшить на 1.

 

Для эффективного использования разрядной сетки мантиссы числа с плавающей запятой нормализуют, т.е. накладывают ограничения на положение запятой и величину модуля матисы

Наиболее распространенные виды нормализации:

1. q^-1≤ |M| < 1 (целая часть равна 0);

2. 1 ≤ |M| < q (в целой части только одна значащая цифра).

 

Арифметические действия с нормализованными числами с плавающей запятой

 

Умножение:

мантиссы перемножаются, порядки складываются, результат при необходимости нормализуется.

 

Деление:

мантиссы делятся, порядки вычитаются, результат при необходимости нормализуется.

 

Сложение:

Если порядки разные, то мантиссу числа с меньшим порядком денормализуют (передвигают запятую) т.о., чтобы его порядок стал равен большему. Мантиссы складываются, результат при необходимости нормализуется.

 

Вычитание

  Достоинство формы с плавающей запятой в сравнении с фиксированной –… Недостаток – меньше точность представления количества (меньше значащих цифр) и сложнее выполнение арифметических…

Десятичные числа

Х1=-123,45·10⁺⁵

 

Нормализация 1

Х1=-,12345·10⁺⁸

Нормализация 2

-1,2345·10⁺⁷

 

Пример задания 3.5 лабы 2

 

 

Исходные данные:

Номер в журнале N = 31=11111₂.

Х= N /70=0,4429 (4 цифры после запятой)

Х=0,4429=,011100010110₂ (смотри л4).

 

Записываем N в форме с фиксированной запятой (8 бит со знаком)

 

N_ф=0|0011111,₂ (первый бит знак: 0 - +, 1 - минус)

 

Записываем N в форме с плавающей запятой (мантисса и порядок по 8 бит со знаком)

М P

N_пл = 0|0011111,₂ 0|0000000₂ (первый бит знак порядка: 0 - +, 1 - минус)

 

Нормализуем по 1 виду.Запятую мантиссы двигаем на 5 разрядов влево, следовательно P=+5

 

+ 5

N_пл.н = 0|,1111100₂ 0|0000101₂ .

 

Проверяем М=0|,1111100₂ =+(64+32+16+8+4)/2⁷=124/128=31/32.

 

N_пл = М·2^P = 31·2⁵/32=31 (верно!).

 

Записываем Х в форме с плавающей запятой (мантисса и порядок по 8 бит со знаком)

Х_ф =0,0111001₂ (проведено округление, в последнем бите добавлена 1)

 

Записываем N в форме с плавающей запятой (мантисса и порядок по 8 бит со знаком)

М P

N_пл = 0|,011100010110₂ 0|0000000₂

 

Нормализуем по 1 виду.Запятую мантиссы двигаем на 1 разряд вправо, следовательно P=-1. Оставляем 7 цифр после запятой

М P=-1

N_{пл. н} = 0|,1110001₂ 1|0000001₂

 

Проверяем

М=0|,1110001₂ =+(64+32+16+1)/2⁷=113/128.

 

X_пл = М·2^P = 113·2^-1/128=0,4414 (верно!).