Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Пример. Разберем пример: .

Решим сначала вспомогательное уравнение . Это – уже знакомое уравнение с разделяющимися переменными, имеющее решение . Для нахождения решения исходного уравнения используем метод вариации постоянной. Он состоит в следующем. Ищем решение нашего уравнения в виде: , где - некоторая дифференцируемая функция. Тогда и, подставляя в уравнение, получаем: или . Интегрируя, находим: . Тогда . Итак, мы нашли решение исходного уравнения. Других решений у него нет, поскольку выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши (- непрерывная функция от , а ее производная по , равная 1, тоже).

В общем случае уравнения , где - непрерывные на функции мы поступаем вполне аналогично. Сначала решаем вспомогательное однородное уравнение: , (мы не рассматриваем решение ), откуда, обозначая любую первообразную для функции , находим, ограничиваясь случаем , для определенности, , или . Далее используем метод вариации постоянных: ищем решение неоднородного уравнения в виде . При этом . Подстановка в уравнение дает или . Интегрируем и, обозначая первообразную для , получаем . Тогда . Эту формулу иногда записывают в виде , понимая под знаком интеграла не все множество первообразных, а одну произвольно выбранную первообразную.

Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общее уравнение первого порядка можно пытаться решать разными методами.

Во-первых, можно попытаться все-таки его решить и свести исходное уравнение к одному или нескольким уравнениям вида .

Например, . Уравнение, после преобразования к виду даст равносильную ему совокупность , откуда .

Другой способ – введение параметра.

Например, уравнение можно решить так: введем параметр . Тогда , откуда . Но и мы приходим к уравнению или . При из этого уравнения получаем . Тогда и мы получаем параметрические уравнения: . В этом случае параметр удается исключить: и - явное решение. В случае из получаем .

Указанный прием применим к уравнениям Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа имеет вид , где - дифференцируемые функции. Полагая , получаем . Дифференцируя, получаем: или , откуда . Предполагая, что , получаем уравнение , линейное относительно . Решаем его указанным выше методом и получаем выражение для через и произвольную постоянную . Тогда .

Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: . Вводя параметр , получаем (т.е. , как раз оставшийся случай), или . Тогда, если , то и - это общее решение уравнения Клеро. Если же , то . Тогда .

13. Дифференциальное уравнение n-ного порядка. Задача Коши для уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна в области . Пусть непрерывны в . Тогда задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения с начальными условиями (где точки принадлежат области ) имеет, притом единственное, непродолжаемое (максимальное) решение.

Теорема сформулирована без доказательства.

Методы понижения порядка уравнения. Существуют разные методы снижения порядка (и, тем самым, некоторого упрощения) уравнения. Мы изложим здесь самые простые.

Если уравнение имеет вид (т.е. не содержит , то введение новой переменной уменьшит порядок уравнения, которое примет вид . Если удастся решить это уравнение, то затем можно получить последовательным интегрированием раз.

Если уравнение не содержит , т.е. имеет вид , то его порядок можно понизить, взяв за независимую переменную и считая производную функцией от . Поясним это на примере.

Пример. Решить уравнение . Пусть . Тогда , откуда ; (пусть ); ; ; . Таким образом, . Далее находим: ; .