Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда - раздел Математика, Математический анализ Теорема. Пусть ...
Теорема. Пусть на . Пусть . Тогда .
Доказательство. Требуется доказать, что функция непрерывна в точке , т.е. . Зафиксируем произвольное . Ввиду равномерной сходимости . В частности, . По условию, при любом функция - непрерывная. Значит, . При выбранных имеем: , что и требовалось доказать.
Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого являются непрерывными функциями, есть непрерывная функция.
Доказательство. Применим предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда.
Теорема. (почленное интегрирование ряда). Пусть ряд равномерно сходится к своей сумме на отрезке и все . Тогда .
Доказательство. Обозначим при произвольном , . Тогда - непрерывная функция и, т.к. по предыдущей теореме - непрерывная функция, - также непрерывная функция. Тогда . Для доказательства теоремы достаточно доказать, что при , т.к., по определению, . Но . Поэтому при и требуемое утверждение доказано.
Замечание. Для функциональных последовательностей эта теорема формулируется следующим образом: Пусть на . Пусть . Тогда .
Теорема. (о почленном дифференцировании ряда).
Пусть:
1. ;
2. Ряд сходится на (и пусть его сумма обозначена );
3. Ряд равномерно сходится на .
Тогда или, иными словами, .
Доказательство. Обозначим - сумму ряда . Тогда - непрерывная на функция. Поэтому существует ее интеграл от и он, по предыдущей теореме, равен . Значит, или .
Замечание. Соответствующая теорема для последовательностей может быть сформулирована так: Пусть . Пусть , и пусть , . Тогда , или .
Условная сходимость. Теорема Лейбница
Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно схо
Новости и инфо для студентов