рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Метод вариации постоянных

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Метод вариации постоянных

Метод вариации постоянных - раздел Математика, Математический анализ Вернемся К Неоднородному Уравнению ...

Вернемся к неоднородному уравнению (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений уравнения (2). Тогда, по теореме 9 (Билет 16), любое решение этого уравнения имеет вид: (12). Предположим также, что нам удалось найти некоторое решение уравнения (1). По теореме 3, любое решение этого уравнения имеет вид: , согласно (12). Итак, для нахождения всех решений уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение . Для этого можно использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде (13), где - фундаментальная система решений уравнения (2). Отметим, что (13) напоминает (12), но имеет существенное отличие от этого равенства состоящее в том, что в (12) все - постоянные, а в (13) это – неизвестные функции от . Потребуем, чтобы кроме равенства (13) выполнялись такие равенства: (14). Из (13) и (14) следует, что ; и т.д., и, наконец, . Поэтому подстановка в левую часть уравнения (1) дает , т.е. обращает уравнение в верное равенство. Поэтому , определяемое равенством (13) и системой условий (14) является решением уравнения (1). По теореме 1 это решение – единственное.

Для того, чтобы отыскать следует воспользоваться системой (14), рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных с определителем . Решая систему, находим а затем, интегрированием, находим .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математический анализ

На сайте allrefs.net читайте: "Математический анализ"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод вариации постоянных

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов
Пусть - последовательность чисел. Рассмотрим величины (1).

Доказательство.
сходится Þ сходится . Но

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса
Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем

Доказательство.
. Пусть . Тогда

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов
Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд

Условная сходимость. Теорема Лейбница
Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно схо

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса
Пусть задана последовательность функций , определенных на множестве

Без доказательства.
Из этой теоремы сразу следует критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда: равномерно сходится на

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда
Теорема. Пусть на . Пусть

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование
Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида или, в более общем случае,

Доказательство.
Лемма. Пусть . Тогда сходится на мн

Разложение элементарных функций в степенные ряды
Разложение . Лемма. Если для любого отрезка

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости
Понятие об ортогональных системах функций. Начнем с определения ортогональных функций. Функции называют

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Пример. Разберем пример: . Решим сначала вспомогательное уравнение

Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), где - функции

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения (2). Мы установим ниже, что оно имеет раз

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции
Теорема 3. Пусть - решение уравнения

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение
Для уравнений (1), у которых (2), где

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения (1) достаточно знать фундаментальную систему