рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Производные некоторых элементарных функций

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Производные некоторых элементарных функций

Производные некоторых элементарных функций - раздел Математика, ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Пусть Функция Y = F (X) Определена На Некотором Промежутке X...

Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x₀ÎX и f(x) дифференцируема в точке x₀, т.е. производная существует.

Для одной и той же функции f(x) производную можно вычислять в различных точках x, и ее значения будут зависеть от x, т.е. производная (x) будет функцией от x, ее называют производной функцией от функцииf(x). Нахождение производной функции называют дифференцированием функции f(x).

Итак, производная функция от функции f(x) по определению:

Для того чтобы научиться дифференцировать функции, надо знать производные основных элементарных функций и правила дифференцирования. Выведем производные некоторых элементарных функций.

1. f(x) = с – постоянное число.

Итак, (c)' = 0.

2. f(x) = x:

Получили: (x)' = 1.

3.
:

Таким образом, .

4. :

5. f(x) = sinx:

Значит, (sinx)' = cosx

6. Аналогично доказывается, что (cosx)' = –sinx.

Для дальнейшего изложения вычислим два вспомогательных предела, а именно:

используя для этого второй замечательный предел и непрерывность функций log_ax и a^x.

Первый предел:

Таким образом, .

Для вычисления второго предела введем новую переменную: z = a^y – 1, тогда
a^y= z + 1, откуда y = log_a(z + 1). Если y ® 0, то z ® 0, следовательно,

, т.е. .

7. :

Значит, В частности, .

8. Убедимся, что (a^x)' = a^xlna:

При a = e, получаем: (e^x)' = e^x.

Производные для других элементарных функций мы вычислим в следующих разделах.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные правила дифференцирования... Установим правила по которым можно находить производные суммы произведения... Теорема Если функции u x v x дифференцируемы в точке x то их сумма дифференцируема в этой точке причем...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Производные некоторых элементарных функций

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Понятие производной, ее геометрический и механический смысл
Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0

Решение
Если

Доказательство
Так как Du = u(x + Dx) – u(x), то u(x + Dx) = u(x) + Du.

Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций
Используя теорему 5 (разд. 2.3) докажем следующие формулы: 1) ; 2)

Дифференцирование функций, заданных неявно. Логарифмическое дифференцирование
Пусть переменные x, y связаны между собой некоторым уравнением F(x, y) = 0, (2.1) причем y является функцией от x, тогда говорят, что функция

Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование
Рассмотрим задание линии на плоскости, при котором переменные x, y являются функциями третьей переменной t (называемой параметром):

Дифференциал функции
Пусть функция в точке x0 имеет производную. По определению: =

Решение
1) Dy = (x + Dx)2 – x2 = x2 + 2xDx + (Dx)2 – x2 = 2xDx + (Dx)2

Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) та

Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наи

Правило Лопиталя
В главе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа

Формула Тейлора
Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений. Рассмотрим предварительно следующую задач

Возрастание и убывание функций
Теорема 1. (Достаточное условие возрастания функции) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (

Экстремумы функции
Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f(x) определена на промежутке X и x0 Î X. Говорят, что в точ

Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
Пусть f(x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f(x). Кривая, заданная функцией

Асимптоты
При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки