Реферат Курсовая Конспект
Распадающиеся квадратичные формы - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определение 66. Квадратичная Форма Называется ...
|
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теорема 70. Квадратичная форма над полем комплексных чисел распадается тогда и только тогда, когда её ранг меньше или равен двум. Квадратичная форма над полем действительных чисел распадается тогда и только тогда, когда либо её ранг не больше единицы, либо её ранг равен двум, а положительный индекс инерции равен единице.
Доказательство. Если форма нулевая (её ранг равен нулю), то утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим любую ненулевую форму j(а).
Þ Пусть квадратичная форма j распадающаяся. Тогда
j(а) = (a1х1 + a2х2 + … + anхn)×(b1х1 + b2х2 + … + bnхn).
Возможны два случая:
1. aк = lbк для всех к = 1, 2, … , n. Тогда j(а) = l(a1х1 + a2х2 + … + anхn)2.
Сделав преобразование координат по формулам:
у1 = a1х1 + a2х2 + … + anхn , у2 = х2 , … , уn = хn , получим j(а) = lу12. Но это канонический вид данной формы. Следовательно, ранг формы равен 1.
2. Не все aк равны соответствующим bк .
Сделав преобразование координат по формулам:
у1 = a1х1 + a2х2 + … + anхn , у2 = b1х1 + b2х2 + … + bnхn , у3 = х3 , … , уn = хn , получим
j = у1у2 .
Сделав ещё одно преобразование координат по формулам:
у1 = z1 – z2 , у2 = z1 + z2 , у3 = z3 , … , zn , получим j = z12 – z22. В случае поля действительных чисел это выражение является нормальным видом данной формы. Следовательно, ранг формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1. Если дана форма над полем комплексных чисел, то преобразование у1 = z1 –i z2 , у2 = z1 +i z2 , у3 = z3 , … , zn приводит форму к виду j = z12 + z22. Ранг этой формы равен 2.
Ü Если действительная или комплексная форма имеет ранг 1, то она приводится к нормальному виду j(а) = у12. Из формул преобразования координат у1=a1х1 + a2х2 +…+ anхn . Но тогда j = (a1х1 + a2х2 + … + anхn)2, т.е. форма распадающаяся.
Если комплексная форма имеет ранг 2, то она приводится к виду
j = z12 + z22 = (z1 – i z2)×( z1 +i z2).
Подставив вместо z1 и z2 их выражения из формул преобразования координат, получим в исходных координатах j(а) = (a1х1 + a2х2 + … + anхn)×(b1х1 + b2х2 + … + bnхn), т.е. форма распадающаяся.
Если действительная форма имеет ранг 2 и положительный индекс инерции 1, то она приводится к виду j = z12 – z22 = (z1 – z2)×(z1 + z2). Подставив вместо z1 и z2 их выражения, получим j(а) = (a1х1 + a2х2 + … + anхn)×(b1х1 + b2х2 + … + bnхn), т.е. форма распадающаяся.
Пример. Будет ли распадающейся над полем действительных чисел квадратичная форма: j = 3х12 + 3х1х2 – 2х1х3 + 8х1х4 – 2х2х3 + 5х2х4 – 2х3х4 + 5х42.
Решение. Приведём форму к каноническому виду.
j = (36х12 + 36х1х2 – 24х1х3 + 96х1х4 + 9х22 + 4х32 + 64х42 – 12х2х3 + 48х2х4 – 32х3х4) – х22 –
–х32 – х42 + х2х3 – 4х2х4 + х3х4 – 2х2х3 + 5х2х4 – 2х3х4 + 5х42 = (6х1 + 3х2 – 2х3 + 8х4)2 –
–(х22 + 3х2х3 – 3х2х4 + х32 + х42 – 2х3х4) + х32 + х42 – х3х4 –х32 – х42 + х3х4 –
– 2х3х4 + 5х42 = (6х1 + 3х2 – 2х3 + 8х4)2 – (х2 + х3 – х4)2. Отсюда видно, что ранг данной формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1, следовательно, форма распадается. Действительно,
j = (3х1 +х2 – х3 + 4х4 + х2 + х3 – х4)×( 3х1 + х2 – х3 + 4х4 – х2 – х3 + х4).
Отсюда j = (х1 + х2 + х4)×(3х1 – 2х3 + 5х4).
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОЛЛОКВИУМУ «Определители. Матрицы. Линейные пространства»
1. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
2. Определители 2-го и 3-го порядка.
3. Перестановки: определение, свойства.
4. Подстановки: определение, свойства.
5. Определители n-го порядка: определение, свойства, в которых говорится о равенстве определителя нулю.
6. Определители n-го порядка: определение, свойства, в которых говорится, что определитель не изменится.
7. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю.
8. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.
9. Теоремы Лапласа и Крамера.
10. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.
11. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.
12. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.
13. Обратная матрица.
14. Решение матричных уравнений.
15. Определение и примеры линейных пространств.
16. Арифметическое линейное пространство.
17. Линейно зависимые системы векторов: определение, свойства.
18. Линейно независимые системы векторов: определение, свойства.
19. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов.
20. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства.
21. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства.
22. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.
23. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.
24. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма.
25. Изоморфизм линейных пространств.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Распадающиеся квадратичные формы
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов