рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

  • Раздел Математика
  •  / 
  • Базис системы векторов. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису — существование и единственность.

Реферат Курсовая Конспект

Базис системы векторов. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису — существование и единственность.

Базис системы векторов. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису — существование и единственность. - раздел Математика, Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства Пусть Дана Система Векторов (1) ...

Пусть дана система векторов (1) , , …, из векторного пространства V над полем Р.

Определение 1. Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов (1) называется базисом этой системы.

Теорема. Если система (2) , , …, — базис системы векторов (1), то любой вектор системы векторов (1) является линейной комбинацией системы векторов (2), причем такое представление (разложение по базису) единственно.

Доказательство. Пусть — некоторый вектор из системы векторов (1). Если принадлежит базису (2), то =для некоторого iÎ{}. Тогда = 0+ … + 1+ … + 0— разложение вектора по базису (2). Если не принадлежит базису (2), то рассмотрим систему векторов

(3) , , …, , .

По определению базиса, система векторов (3) является линейно зависимой. Это означает, что существуют скаляры a1, a2,..., ar, ar+1 принадлежащие полю Р и не равные нулю одновременно такие, что выполняется равенство (4) a1+ a2+ … + ar+ ar+1= . Допустим, что ar+1=0. Тогда ar+1=и a1+ a2+ … + ar+ ar+1= , причём скаляры a1, a2,..., ar не равны нулю одновременно. Это означает, что система векторов (2) линейно зависима. Получили противоречие с определением базиса. Поэтому ar+1¹0. Выразим вектор из равенства (4). Получим

= - - - … - ,

то есть вектор является линейной комбинацией базисных векторов (2).

Покажем, что такое представление единственно. Допустим, что существуют два представления вектора в виде линейной комбинации базисных векторов (2):

(5) = a1+ a2+ … + arи (6) = b1+ b2+ … + br.

Вычтем из равенства (5) равенство (6). Получим (7) = (a1 - b1)+ (a2 - b2)+ … + (ar - br). Поскольку система векторов (2) линейно независима, то из равенства (7) следует, что все скаляры ai-bi равны нулю, i=. Это означает, что ai=bi для всех i=и представления (5) и (6) совпадают. Таким образом, существует единственное представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов. Теорема доказана.

Определение 2. Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов , , …, называется разложением вектора по базису , , …, := a1+ a2+ … + ar.

Кортеж (a1, a2, … , ar) называется координатной вектор-строкой вектора в базисе (2). Коэффициенты a1, a2, …, ar разложения вектора по базису (2) называются координатами вектора в базисе (2).

Замечание.Из доказанной теоремы следует, что координаты единственным образом определяют вектор.

Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства

Определение Матрицей размера m times n над полем Р называется прямоугольная таблица состоящая из n строк и m столбцов следующего вида... где aij P i j... Определение Квадратной матрицей n го порядка над полем P называется матрица размера n times n над полем P...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Базис системы векторов. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису — существование и единственность.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц, умножение матриц и их основные свойства.
Определение 1. Пусть A=(aij) – матрица размера m×n над полем P,

Разложение определителя по ряду. Минор и алгебраическое дополнение к элементу определителя. Связь алгебраических дополнений с минорами.
Пусть Δ = =

Системы линейных уравнений (СЛУ). Решение системы линейных уравнений. Элементарные преобразования СЛУ. Элементарные преобразования матрицы.
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Формула для вычисления обратной матрицы.
Теорема 1. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Е

Формулы Крамера.
Теорема 1. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестн

Простейшие свойства векторного пространства
Пусть V — векторное пространство над полем Р. Тогда справедливы следующие свойства. Свойство 1. Для любого

Линейная комбинация системы векторов. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов.
Определение 1. Пусть V – векторное пространство над полем P и ,

Свойства линейно зависимой системы векторов.
Рассмотрим некоторые свойства линейно зависимой системы векторов. Свойство 1. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности.
Определение. Пусть V1 и V2 — векторные пространства над одним и тем же полем P. Говорят, что V1 изоморфно V2 (обозначается V

Пространство всех решений однородной системы уравнений. Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.
Теорема 1. Пусть (1) - однородная система линейных уравнений над полем P, U – множеств

Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений с решениями ассоциированной с ней однородной системы линейных уравнений.
Лемма 1. Пусть (1) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, (2)

Линейная оболочка системы векторов. Размерность подпространства. Размерность суммы двух подпространств.
Определение 1. Пусть V - векторное пространство над полем Р, —.система в

Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат.
Пусть Vn - n-мерное векторное пространство над полем P, (1) – базис Vn

Ядро и образ, ранг и дефект линейного отображения.
Определение 1. Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р,

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги