Формула Релея-Джинса - раздел Ядерная техника, В данной теме мы начнем изучение квантовых закономерностей явлений природы Чтобы Определить Число Нормальных Мод С Частотами В Интервале От ...
Чтобы определить число нормальных мод с частотами в интервале от до в трехмерном пространстве, обратимся сначала к рассмотренной ранее задаче о нормальных колебаниях в струне с закрепленными концами, для которой было установлено, что нормальные колебания представляют собой стоячие волны, описываемые уравнением
,
где волновые числа определяются граничными условиями .
Первое условие выполняется автоматически для данной функции, описывающей распределение амплитуды вдоль струны. Из второго условия следует , т.е
, .
В одномерной структуре с такими граничными условиями волновые числа образуют бесконечное счетное множество
, .
Представления о нормальных колебаниях можно обобщить на двумерные и трехмерные структуры. В случае квадратной мембраны с закрепленными краями нормальные колебания также представляют собой стоячие волны, описываемые уравнением
.
Первые два сомножителя описывают распределение амплитуды по мембране, а последний - колебательный процесс.
Проекции волнового вектора на оси координат здесь также определяются граничными условиями и образуют бесконечные счетные множества
, ,
, .
По аналогии можно записать уравнение нормальных колебаний в объемном резонаторе в форме куба с ребром L
,
где
, ,
, , (2)
, .
Для электромагнитных колебаний в полости нормальные колебания также представляют собой стоячие волны. Из опыта следует, что равновесное тепловое излучение не зависит ни от формы полости, ни от материала ее стенок. Поэтому для упрощения дальнейших рассуждений выберем полость в виде куба с длиной ребра L с идеально проводящими стенками. Последнее означает, что граничные условия для потенциала электрического поля являются нулевыми.
В этом случае распределение потенциала в объеме куба можно описать выражением
,
где проекции волнового вектора на оси координат - kx, ky, kz определяются по формулам (2). Они связаны с частотой колебаний соотношением
.
Таким образом, нормальные колебания в полости характеризуются дискретным набором проекций волнового вектора на оси координат
, , .
Каждой тройке чисел mx, my, mz соответствуют две волны с ортогональной поляризацией.
Введем пространство волновых векторов с прямоугольными координатами kx, ky, kz. В этом пространстве каждой стоячей волне (каждой тройке чисел mx, my, mz) будет соответствовать одна изображающая точка (рис. 2). Все изображающие точки расположатся в узлах кубической решетки. Элементарная ячейка этой решетки представляет кубик с ребром () и объемом
.
На каждую такую ячейку приходится одна изображающая точка, так как у куба восемь вершин, но каждая вершина принадлежит восьми соприкасающимся ячейкам
Решетка заполняет только один октант пространства волновых векторов. Проведем из начала координат сферу радиусом . Объем части шара в одном октанте равен
,
а число изображающих точек, попавших в эту сферу, получим, если этот объем разделим на объем элементарной ячейки. Учитывая, что каждой изображающей точке соответствуют два нормальных колебания с разной поляризацией, получим, что число различных нормальных колебаний, частоты которых не превышают w, равно
,
где V – объем полости.
Продифференцировав это соотношение, получим
. (3)
Подставив (3) в (1) найдем выражение для спектральной объемной плотности энергии
. (4)
В классической статистической физике для средней энергии , приходящейся на одну колебательную степень свободы, получена формула
. (5)
Поэтому для спектральной объемной плотности энергии запишем выражения
, (6)
Эта формула называется формулой Релея-Джинса для теплового излучения.
На рис. 3 приведены экспериментальная (Э) и теоретическая (Р-Дж) зависимости
В области малых частот формула Релея-Джинса дает совпадающие с экспериментом результаты, а в области больших частот (фиолетовая, ультрафиолетовая и рентгеновская часть спектра) теория дает сильно завышенные результаты. Это приводит к тому, что теоретическое значение объемной плотности энергии электромагнитного поля
обращается в бесконечность, что означает, что все тела должны мгновенно отдавать свою энергию в излучение.
Данное расхождение теории и эксперимента П.С.Эренфест назвал ультрафиолетовой катастрофой.
Катастрофа заключается в том, что классическая физика не смогла объяснить, почему печка долго не остывает.
По теории Релея-Джинса тепловое равновесие между излучением и веществом невозможно. Причина ультрафиолетовой катастрофы состоит в том, что поле имеет бесконечно большое число степеней свободы, а вещество - конечное. Поэтому если бы было справедливо равномерное распределение энергии по степеням свободы, то при тепловом равновесии вся энергия должна была бы сосредоточиться в поле.
Введение... В конце ХIX в даже у крупных ученых сложилось представление что в физике уже... Решение первой из указанных проблем привело к созданию Эйнштейном теории относительности а решение второй проблемы...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Формула Релея-Джинса
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Равновесное тепловое излучение
1. В проблеме теплового излучения большое значение имеет понятие равновесного излучения. Чтобы представить, что это такое, рассмотрим замкнутую полость с неподвижными и непрозрачным
Понятие вероятности. Средние значения случайных величин
1. Большинство физических величин изменяется хаотически, т.е. являются случайными величинами. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная величина принимает ст
Понятие о квантах. Средняя энергия осциллятора. Фотоны
1. Формирование электромагнитного поля равновесного излучения является случайным процессом, так как случайны процессы испускания света телами. Поэтому энергия любого нормального кол
Модели атома Томсона и Резерфорда
1. Согласно классическим представлениям атом мог бы испускать монохроматическую волну в том случае, когда электрон в атоме совершает гармонические колебания и следовательно, удерживается около поло
Столкновение заряженных частиц
В опытах Резерфорда применялись очень тонкие металлические фольги с толщиной порядка . Это и позволяло не учит
Формула Резерфорда и ее экспериментальная проверка
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, являлась гипотезой и требовала экспериментальной проверки. Для этого Резерфорду пришлось детально проанализировать процесс рассеяния
Спектры излучения атомов.
1. С появлением первых спектральных приборов началось изучение спектров излучения и поглощения различных тел. К началу ХХ в. Было известно, что раскаленные тела излучают сплошной спектр, в котором
Постулаты Бора
Неустойчивость планетарной модели атома по Резерфорду и закономерности атомных спектров, в частности их дискре
Опыты Франка и Герца
Идея Бора о стационарных состояниях атомов получила экспериментальное подтверждение в том же 1913г. в опытах Джеймса Франка и Густава Герца.
Опыты Франка и Герца начались до появления теор
Гипотеза де-Бройля. Волны де Бройля.
1. В 1923 году французский физик Луи де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой двойственностью должны обладать не только фотоны, но и частицы вещества. Экспериментальное подтверждение этой
Особенности поведения микрочастиц
Многочисленные эксперименты показали, что электроны, атомы, молекулы и другие частицы обладают волновыми свойствами. При этом они сохраняют свои корпускулярные свойства. Объекты, обладающие корпуск
Соотношения неопределенностей
1. Отсутствие траектории у микрочастицы указывает на то, что описывать ее состояние столь же подробно как для материальной точки нельзя.
Действительно, задание координат и импульса материа
Дифракция микрочастиц на щели
Причиной существования квантовых неопределенностей и соотношений Гейзенберга являются волновые свойства микрочастиц.
Пусть движение электрона описывается плоской волной де Бройля. Электрон
Минимальная энергия и размеры атома
Принцип неопределенности является одним из основных законов квантовой физики. Из принципа неопределенности вытекает ряд важных следствий. В частности состояние покоя для микрочастицы, движущейся в
Временное уравнение Шредингера
1. Плоская волна де Бройля
соответствует равномерному свободному движению частицы в определ
Стационарные состояния. Свойства волновых функций
Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция принципи
Потенциальный барьер. Решение стационарного уравнения
1. Рассмотрим рассеяние микрочастиц на преграде, испускаемых источником, удаленным на большое расстояние от нее. Силовое воздействие на микрочастицу определяется потенциальной энергией взаимодейств
Коэффициенты отражения и пропускания ступенчатого барьера
На опыте измеряются не амплитудные коэффициенты прошедшей и от-раженной волн, а коэффициенты отражения и пропускания для частиц, которые связаны с амплитудными коэффициентами вероятностными соотнош
Туннельный эффект
1. Теперь рассмотрим барьер конечной ширины (рис. 2). В этом случае в первой области будут существовать падаю
Система двух взаимодействующих частиц
При классическом рассмотрении движение системы из двух частиц сводится к движению двух квазичастиц, одна из которых с массой
Модель гармонического осциллятора
Зависимость энергии взаимодействия двух атомов от расстояния между ними показана на рис. . При некотором расстоянии
Момент импульса
1. Согласно классическому определению моментом импульса частицы относительно начала координат О называ
Проекции момента импульса
Выбрав за ось некоторое произвольное направление в пространстве, определим собственные функции и собственные
Координатах
1. Если силы, действующие на частицу в разных точках пространства, направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же точку, называемую центром, и зависят только от расстояния до него
Сложение угловых моментов
1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Для этого рассмотрим простейшую изолированную систему из двух невзаимодействующих микрочастиц: 1 и 2.
Оператором углов
Атома водорода.
В 1921 году Штерном и Герлахом был поставлен прямой опыт по обнаружению квантования магнитного момента атомов. В вакуумной камере устанавливался электромагнит со специальной формой наконечников, чт
Принцип Паули
1. Сочетание волновых и корпускулярных свойств у микрочастиц приводит к отличиям в поведении не только одиночных микрочастиц, но и в поведении коллективов частиц. Эти отличия касаются только систем
Особенности периодической системы элементов
Располагая химические элементы в порядке возрастания атомного веса, Менделееву пришлось отступить от этого исходного принципа и переставить места некоторых элементов, придавая большее значение пери
Спин-орбитальное взаимодействие
Основное взаимодействие электрона с ядром атома есть электростатическое взаимодействие их зарядов. Но так как электрон движется вокруг ядра, то возникает дополнительное взаимодействие, обусловленно
Энергетические уровни и спектральные серии щелочных металлов
В атомах щелочных металлов электронная оболочка содержит один наружный (валентный) электрон, сравнительно слабо связанный с ядром атома. Переходы между энергетическими уровнями валентного электрона
Результирующий механический момент атома
В многоэлектронных атомах все орбитальные и спиновые моменты электронов складываются в единый угловой момент атома. Конечно результирующий момент от порядка слагаемых не зависит, но, тем не менее,
Магнитный момент атома
С механическим моментом связан магнитный момент. Для орбитального момента
,
Сложный эффект Зеемана
Рассмотрим сначала сложный эффект Зеемана, т.е расщепление спектральных линий в слабом магнитном поле.
При наложении слабого магнитного поля появляется дополнительная энергия взаимодействи
Простой эффект Зеемана
В сильных магнитных полях воздействие на атом становится сравнимым или больше спин-орбитального взаимодействия. В этом случае уже нельзя рассматривать поведение каждой компоненты мультиплета тонкой
Приближенная количественная теория атома гелия
Задача о движении двух электронов в поле ядра аналогична задаче о движении двух планет в гравитационном поле Солнца. В небесной механике разработаны достаточно точные приближенные методы расчета дв
до 
в трехмерном пространстве, обратимся сначала к рассмотренной ранее задаче о нормальных колебаниях в струне с закрепленными концами, для которой было установлено, что нормальные колебания представляют собой стоячие волны, описываемые уравнением
,
определяются граничными условиями 
.
, т.е
, 
.
, 
.
, 
,
, 
.
,
, 
.
,
.
, 
, 
.
Введем пространство волновых векторов с прямоугольными координатами kx, ky, kz. В этом пространстве каждой стоячей волне (каждой тройке чисел mx, my, mz) будет соответствовать одна изображающая точка (рис. 2). Все изображающие точки расположатся в узлах кубической решетки. Элементарная ячейка этой решетки представляет кубик с ребром (
) и объемом
.
. Объем части шара в одном октанте равен
,
,
. (3)
. (4)
, приходящейся на одну колебательную степень свободы, получена формула
. (5)
запишем выражения
, (6)
Новости и инфо для студентов