Понятие о квантах. Средняя энергия осциллятора. Фотоны
Понятие о квантах. Средняя энергия осциллятора. Фотоны - раздел Ядерная техника, В данной теме мы начнем изучение квантовых закономерностей явлений природы
1. Формирование Электромагнитного Поля Равновесного Излучения...
1. Формирование электромагнитного поля равновесного излучения является случайным процессом, так как случайны процессы испускания света телами. Поэтому энергия любого нормального колебания в равновесном излучении является случайной величиной. При определении ее среднего значения необходимо использовать закон Больцмана для распределения вероятности по состояниям.
По классическим представлениям энергия любой системы может изменяться на бесконечно малую величину, т.е. является непрерывной величиной. В этом случае закон Больцмана имеет вид
.
Здесь - вероятность обнаружения системы в состоянии с энергией в пределах от до ,
- (7)
плотность распределения вероятности по энергии. С увеличением энергии вероятность обнаружения системы уменьшается по экспоненциальному закону.
Если в формуле (5) положить и , то нормировочная постоянная будет равна , а
. (8)
Среднее значение энергии нормального колебания в равновесном излучении одинаково для любой моды, в соответствии с максвелловским принципом о равномерном распределении энергии по степеням свободы, и не зависит от частоты.
Таким образом, представление о том, что энергия любой системы принимает непрерывный ряд значений, приводит к закону Релея – Джинса.
2. Для объяснения своей эмпирической формулы, дающей правильное распределение энергии в спектре равновесного излучения, М.Планку пришлось предположить, что энергия осциллятора поля (нормального колебания) изменяется порциями – квантами и может принимать дискретный ряд значений . В этом случае вероятность обнаружения осциллятора поля в состоянии с энергией описывается формулой
. (9)
Если взять большое число одинаковых осцилляторов (ансамбль осцилляторов), то в соответствии с этим законом в состояниях с малой энергией будет находиться больше осцилляторов, чем в состояниях с большой энергией. Вероятность того, что осциллятор будет иметь бесконечно большую энергию, равна нулю.
Положив в формуле (2) и получаем
.
При этом для среднего значения энергии осциллятора поля получается выражение
. (10)
Данное выражение показывает, что средняя энергия осциллятора определяется квантом энергии и абсолютной температурой. При малых энергиях кванта среднее значение энергии моды совпадает с классическим . С увеличением энергии кванта среднее значение энергии моды стремится к нулю. Таким образом, дискретность энергии приводит к неравноправию степеней свободы. Моды с большим значением обладают в среднем малой энергией, т.е. не возбуждаются.
Следовательно, чтобы изменить вид функции Релея-Джинса, необходимо считать, что величина кванта энергии является конечной величиной и должна зависеть от частоты осциллятора.
3. Рассматривая энергию осциллятора и его фазовый портрет (рис. 2), мы установили, что энергия осциллятора равна произведению действия на частоту
.
Сопоставляя эту формулу с возможными по Планку значениями энергии осциллятора
,
приходим к выводу, что дискретным (квантованным) значениям энергии осциллятора должны соответствовать дискретные значения действия
. (11)
При этом для кванта энергии получаем формулу
. (12)
Из дискретности действия (11) следует, что на фазовой плоскости для осциллятора возможны не все фазовые траектории, а только такие, для которых площадь, ограниченная фазовой траекторией, кратна S0 (рис. 2). Величина S0 является квантом действия и называется постоянной М. Планка, для которой он ввел специальное обозначение .
В теоретических исследованиях часто используют постоянную П. Дирака и круговую частоту .
В этих обозначениях выражение для кванта энергии записывается в виде
. (13)
4. Таким образом, из гипотезы М. Планка получается, что средняя энергия осциллятора поля является функцией частоты и температуры
. (14)
На рис. 3 показана зависимость от частоты для фиксированной температуры.
На малых частотах, когда квант энергии мал по сравнению со средней тепловой энергией молекул (), экспоненту можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться первыми двумя слагаемыми
.
Для таких низкочастотных осцилляторов средняя энергия (10) совпадает с классической
.
На высоких частотах (), когда квант энергии много больше средней тепловой энергии атомов, единицей в знаменателе (10) можно пренебречь по сравнению с экспонентой
,
и мы получаем, что средняя энергия осциллятора становится очень маленькой
. (15)
Физически это означает, что такие осцилляторы не возбуждаются и не принимают участия в формировании равновесного излучения: атомы не могут обеспечить значительное количество квантов с таким большим значением энергии. Осцилляторы есть, но тепловое движение атомов не может их возбудить. Квантование энергии осцилляторов уменьшает эффективное число осцилляторов, участвующих в формировании теплового равновесия.
Используя формулу (14) для средней энергии осциллятора и подставляя ее в формулу Релея-Джинса, получим формулу М. Планка для спектральной плотности объемной плотности энергии теплового излучения
. (16)
Данная формула позволила правильно объяснить все закономерности теплового излучения
5. Гипотеза М.Планка позволила не только дать правильное объяснение распределению энергии в спектре теплового излучения, но она позволила понять закономерности фотоэффекта и объяснить существование коротковолновой границы тормозного рентгеновского излучения.
При этом пришлось предположить, что свет не только излучается порциями, но и поглощается и распространяется в пространстве также порциями. В результате, в науке появилось представление о фотоне как о микрочастице света, обладающей как волновыми характеристиками: частотой и длиной волны , так и корпускулярными: энергией и импульсом , и движущейся в пространстве со скоростью света в вакууме .
Связь между частотой и энергией фотона дается формулой М.Планка
,
а связь между импульсом и длиной волны вытекает из релятивистского соотношения
.
Кроме того, для любой частицы, движущейся со скоростью , из уравнения следует , т.е. масса покоя такой частицы равна нулю .
Введение... В конце ХIX в даже у крупных ученых сложилось представление что в физике уже... Решение первой из указанных проблем привело к созданию Эйнштейном теории относительности а решение второй проблемы...
Равновесное тепловое излучение
1. В проблеме теплового излучения большое значение имеет понятие равновесного излучения. Чтобы представить, что это такое, рассмотрим замкнутую полость с неподвижными и непрозрачным
Формула Релея-Джинса
Чтобы определить число нормальных мод с частотами в интервале от до
Понятие вероятности. Средние значения случайных величин
1. Большинство физических величин изменяется хаотически, т.е. являются случайными величинами. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная величина принимает ст
Модели атома Томсона и Резерфорда
1. Согласно классическим представлениям атом мог бы испускать монохроматическую волну в том случае, когда электрон в атоме совершает гармонические колебания и следовательно, удерживается около поло
Столкновение заряженных частиц
В опытах Резерфорда применялись очень тонкие металлические фольги с толщиной порядка . Это и позволяло не учит
Формула Резерфорда и ее экспериментальная проверка
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, являлась гипотезой и требовала экспериментальной проверки. Для этого Резерфорду пришлось детально проанализировать процесс рассеяния
Спектры излучения атомов.
1. С появлением первых спектральных приборов началось изучение спектров излучения и поглощения различных тел. К началу ХХ в. Было известно, что раскаленные тела излучают сплошной спектр, в котором
Постулаты Бора
Неустойчивость планетарной модели атома по Резерфорду и закономерности атомных спектров, в частности их дискре
Опыты Франка и Герца
Идея Бора о стационарных состояниях атомов получила экспериментальное подтверждение в том же 1913г. в опытах Джеймса Франка и Густава Герца.
Опыты Франка и Герца начались до появления теор
Гипотеза де-Бройля. Волны де Бройля.
1. В 1923 году французский физик Луи де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой двойственностью должны обладать не только фотоны, но и частицы вещества. Экспериментальное подтверждение этой
Особенности поведения микрочастиц
Многочисленные эксперименты показали, что электроны, атомы, молекулы и другие частицы обладают волновыми свойствами. При этом они сохраняют свои корпускулярные свойства. Объекты, обладающие корпуск
Соотношения неопределенностей
1. Отсутствие траектории у микрочастицы указывает на то, что описывать ее состояние столь же подробно как для материальной точки нельзя.
Действительно, задание координат и импульса материа
Дифракция микрочастиц на щели
Причиной существования квантовых неопределенностей и соотношений Гейзенберга являются волновые свойства микрочастиц.
Пусть движение электрона описывается плоской волной де Бройля. Электрон
Минимальная энергия и размеры атома
Принцип неопределенности является одним из основных законов квантовой физики. Из принципа неопределенности вытекает ряд важных следствий. В частности состояние покоя для микрочастицы, движущейся в
Временное уравнение Шредингера
1. Плоская волна де Бройля
соответствует равномерному свободному движению частицы в определ
Стационарные состояния. Свойства волновых функций
Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция принципи
Потенциальный барьер. Решение стационарного уравнения
1. Рассмотрим рассеяние микрочастиц на преграде, испускаемых источником, удаленным на большое расстояние от нее. Силовое воздействие на микрочастицу определяется потенциальной энергией взаимодейств
Коэффициенты отражения и пропускания ступенчатого барьера
На опыте измеряются не амплитудные коэффициенты прошедшей и от-раженной волн, а коэффициенты отражения и пропускания для частиц, которые связаны с амплитудными коэффициентами вероятностными соотнош
Туннельный эффект
1. Теперь рассмотрим барьер конечной ширины (рис. 2). В этом случае в первой области будут существовать падаю
Система двух взаимодействующих частиц
При классическом рассмотрении движение системы из двух частиц сводится к движению двух квазичастиц, одна из которых с массой
Модель гармонического осциллятора
Зависимость энергии взаимодействия двух атомов от расстояния между ними показана на рис. . При некотором расстоянии
Момент импульса
1. Согласно классическому определению моментом импульса частицы относительно начала координат О называ
Проекции момента импульса
Выбрав за ось некоторое произвольное направление в пространстве, определим собственные функции и собственные
Координатах
1. Если силы, действующие на частицу в разных точках пространства, направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же точку, называемую центром, и зависят только от расстояния до него
Сложение угловых моментов
1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Для этого рассмотрим простейшую изолированную систему из двух невзаимодействующих микрочастиц: 1 и 2.
Оператором углов
Атома водорода.
В 1921 году Штерном и Герлахом был поставлен прямой опыт по обнаружению квантования магнитного момента атомов. В вакуумной камере устанавливался электромагнит со специальной формой наконечников, чт
Принцип Паули
1. Сочетание волновых и корпускулярных свойств у микрочастиц приводит к отличиям в поведении не только одиночных микрочастиц, но и в поведении коллективов частиц. Эти отличия касаются только систем
Особенности периодической системы элементов
Располагая химические элементы в порядке возрастания атомного веса, Менделееву пришлось отступить от этого исходного принципа и переставить места некоторых элементов, придавая большее значение пери
Спин-орбитальное взаимодействие
Основное взаимодействие электрона с ядром атома есть электростатическое взаимодействие их зарядов. Но так как электрон движется вокруг ядра, то возникает дополнительное взаимодействие, обусловленно
Энергетические уровни и спектральные серии щелочных металлов
В атомах щелочных металлов электронная оболочка содержит один наружный (валентный) электрон, сравнительно слабо связанный с ядром атома. Переходы между энергетическими уровнями валентного электрона
Результирующий механический момент атома
В многоэлектронных атомах все орбитальные и спиновые моменты электронов складываются в единый угловой момент атома. Конечно результирующий момент от порядка слагаемых не зависит, но, тем не менее,
Магнитный момент атома
С механическим моментом связан магнитный момент. Для орбитального момента
,
Сложный эффект Зеемана
Рассмотрим сначала сложный эффект Зеемана, т.е расщепление спектральных линий в слабом магнитном поле.
При наложении слабого магнитного поля появляется дополнительная энергия взаимодействи
Простой эффект Зеемана
В сильных магнитных полях воздействие на атом становится сравнимым или больше спин-орбитального взаимодействия. В этом случае уже нельзя рассматривать поведение каждой компоненты мультиплета тонкой
Приближенная количественная теория атома гелия
Задача о движении двух электронов в поле ядра аналогична задаче о движении двух планет в гравитационном поле Солнца. В небесной механике разработаны достаточно точные приближенные методы расчета дв
Новости и инфо для студентов