Микрочастица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
Микрочастица в одномерной прямоугольной потенциальной яме - раздел Ядерная техника, В данной теме мы начнем изучение квантовых закономерностей явлений природы ...
1. Рассмотрим сначала одномерное движение микрочастицы, причем будем считать, что в области потенциальная энергия равна нулю, а за ее пределами обращается в бесконечность (рис. 3). В этом случае вероятность нахождения микрочастицы за пределами ямы равна нулю и волновая функция обращается в нуль на краях области движения (при и ). В одномерной задаче волновая функция зависит только от координаты x. Поэтому в операторе Лапласа используется только дифференцирование по одной переменной и стационарное уравнение Шредингера является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
, (84)
.
Общее решение такого уравнения содержит две произвольные постоянные A и B
,
которые определяются из дополнительных условий.
Из граничного условия на левой границе
следует .
Граничное условие на правой границе
выполняется не для любых значений волнового числа k, а только для квантованных, удовлетворяющих условию
, где
Это условие квантования позволяет найти собственные функции уравнения Шредингера (84)
(85)
и собственные значения
. (86)
Постоянная В определяется из условия нормировки волновых функций
и равна
Графики собственных функций изображены на рис. 39. На рис. 40 показано распределение плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная . Из графиков, например, следует, что в состоянии с n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траекториях. Согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.
2. Мы решили очень упрощенную задачу, но, тем не менее, она охватывает очень многие особенности поведения микрочастиц в реальных системах.
Во-первых, отметим, что квантование энергии получается при решении уравнения Шредингера автоматически без введения дополнительных постулатов. В данной конкретной задаче это квантование означает, что в пределах бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы должно укладываться целое количество длин полуволн де Бройля. В этом смысле задача математически эквивалентна задаче о колебаниях закрепленной струны.
В самом нижнем энергетическом состоянии (n = 1) энергия микрочастицы
отлична от нуля, что соответствует принципу неопределенностей Гейзенберга. Даже в самом нижнем энергетическом состоянии микрочастица не может остановиться (иметь нулевой импульс и определенную координату), и энергию этого состояния называют нулевой энергией.
Во-вторых, расстояние между энергетическими уровнями
и его относительная величина
позволяет сформулировать выводы общие для многих квантовых систем (задач).
Прежде всего, отметим, что относительная величина квантования энергии уменьшается с ростом квантового числа n. То есть для более высоких состояний роль квантования понижается: D<< .
Затем отметим, что величина квантов энергии Dтем меньше, чем больше масса частицы и чем больше область ее движения.
Так для молекулы массой m = 10-26 кг, двигающейся в сосуде размером 0,1 м величина квантов энергии
настолько мала (например, по сравнению с тепловой энергией при комнатной температуре
что энергетический спектр молекулы можно считать квазинепрерывным.
Точно также для электрона (m = 10-31 кг) в кристалле (L = 10-3 м)
энергетический спектр также можно считать квазинепрерывным.
Но если область движения электрона порядка атомных размеров (), то энергетический интервал между соседними уровнями
настолько велик по сравнению с тепловой энергией, что не учитывать дискретность энергетических уровней уже нельзя.
Введение... В конце ХIX в даже у крупных ученых сложилось представление что в физике уже... Решение первой из указанных проблем привело к созданию Эйнштейном теории относительности а решение второй проблемы...
Равновесное тепловое излучение
1. В проблеме теплового излучения большое значение имеет понятие равновесного излучения. Чтобы представить, что это такое, рассмотрим замкнутую полость с неподвижными и непрозрачным
Формула Релея-Джинса
Чтобы определить число нормальных мод с частотами в интервале от до
Понятие вероятности. Средние значения случайных величин
1. Большинство физических величин изменяется хаотически, т.е. являются случайными величинами. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная величина принимает ст
Понятие о квантах. Средняя энергия осциллятора. Фотоны
1. Формирование электромагнитного поля равновесного излучения является случайным процессом, так как случайны процессы испускания света телами. Поэтому энергия любого нормального кол
Модели атома Томсона и Резерфорда
1. Согласно классическим представлениям атом мог бы испускать монохроматическую волну в том случае, когда электрон в атоме совершает гармонические колебания и следовательно, удерживается около поло
Столкновение заряженных частиц
В опытах Резерфорда применялись очень тонкие металлические фольги с толщиной порядка . Это и позволяло не учит
Формула Резерфорда и ее экспериментальная проверка
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, являлась гипотезой и требовала экспериментальной проверки. Для этого Резерфорду пришлось детально проанализировать процесс рассеяния
Спектры излучения атомов.
1. С появлением первых спектральных приборов началось изучение спектров излучения и поглощения различных тел. К началу ХХ в. Было известно, что раскаленные тела излучают сплошной спектр, в котором
Постулаты Бора
Неустойчивость планетарной модели атома по Резерфорду и закономерности атомных спектров, в частности их дискре
Опыты Франка и Герца
Идея Бора о стационарных состояниях атомов получила экспериментальное подтверждение в том же 1913г. в опытах Джеймса Франка и Густава Герца.
Опыты Франка и Герца начались до появления теор
Гипотеза де-Бройля. Волны де Бройля.
1. В 1923 году французский физик Луи де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой двойственностью должны обладать не только фотоны, но и частицы вещества. Экспериментальное подтверждение этой
Особенности поведения микрочастиц
Многочисленные эксперименты показали, что электроны, атомы, молекулы и другие частицы обладают волновыми свойствами. При этом они сохраняют свои корпускулярные свойства. Объекты, обладающие корпуск
Соотношения неопределенностей
1. Отсутствие траектории у микрочастицы указывает на то, что описывать ее состояние столь же подробно как для материальной точки нельзя.
Действительно, задание координат и импульса материа
Дифракция микрочастиц на щели
Причиной существования квантовых неопределенностей и соотношений Гейзенберга являются волновые свойства микрочастиц.
Пусть движение электрона описывается плоской волной де Бройля. Электрон
Минимальная энергия и размеры атома
Принцип неопределенности является одним из основных законов квантовой физики. Из принципа неопределенности вытекает ряд важных следствий. В частности состояние покоя для микрочастицы, движущейся в
Временное уравнение Шредингера
1. Плоская волна де Бройля
соответствует равномерному свободному движению частицы в определ
Стационарные состояния. Свойства волновых функций
Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция принципи
Потенциальный барьер. Решение стационарного уравнения
1. Рассмотрим рассеяние микрочастиц на преграде, испускаемых источником, удаленным на большое расстояние от нее. Силовое воздействие на микрочастицу определяется потенциальной энергией взаимодейств
Коэффициенты отражения и пропускания ступенчатого барьера
На опыте измеряются не амплитудные коэффициенты прошедшей и от-раженной волн, а коэффициенты отражения и пропускания для частиц, которые связаны с амплитудными коэффициентами вероятностными соотнош
Туннельный эффект
1. Теперь рассмотрим барьер конечной ширины (рис. 2). В этом случае в первой области будут существовать падаю
Система двух взаимодействующих частиц
При классическом рассмотрении движение системы из двух частиц сводится к движению двух квазичастиц, одна из которых с массой
Модель гармонического осциллятора
Зависимость энергии взаимодействия двух атомов от расстояния между ними показана на рис. . При некотором расстоянии
Момент импульса
1. Согласно классическому определению моментом импульса частицы относительно начала координат О называ
Проекции момента импульса
Выбрав за ось некоторое произвольное направление в пространстве, определим собственные функции и собственные
Координатах
1. Если силы, действующие на частицу в разных точках пространства, направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же точку, называемую центром, и зависят только от расстояния до него
Сложение угловых моментов
1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Для этого рассмотрим простейшую изолированную систему из двух невзаимодействующих микрочастиц: 1 и 2.
Оператором углов
Атома водорода.
В 1921 году Штерном и Герлахом был поставлен прямой опыт по обнаружению квантования магнитного момента атомов. В вакуумной камере устанавливался электромагнит со специальной формой наконечников, чт
Принцип Паули
1. Сочетание волновых и корпускулярных свойств у микрочастиц приводит к отличиям в поведении не только одиночных микрочастиц, но и в поведении коллективов частиц. Эти отличия касаются только систем
Особенности периодической системы элементов
Располагая химические элементы в порядке возрастания атомного веса, Менделееву пришлось отступить от этого исходного принципа и переставить места некоторых элементов, придавая большее значение пери
Спин-орбитальное взаимодействие
Основное взаимодействие электрона с ядром атома есть электростатическое взаимодействие их зарядов. Но так как электрон движется вокруг ядра, то возникает дополнительное взаимодействие, обусловленно
Энергетические уровни и спектральные серии щелочных металлов
В атомах щелочных металлов электронная оболочка содержит один наружный (валентный) электрон, сравнительно слабо связанный с ядром атома. Переходы между энергетическими уровнями валентного электрона
Результирующий механический момент атома
В многоэлектронных атомах все орбитальные и спиновые моменты электронов складываются в единый угловой момент атома. Конечно результирующий момент от порядка слагаемых не зависит, но, тем не менее,
Магнитный момент атома
С механическим моментом связан магнитный момент. Для орбитального момента
,
Сложный эффект Зеемана
Рассмотрим сначала сложный эффект Зеемана, т.е расщепление спектральных линий в слабом магнитном поле.
При наложении слабого магнитного поля появляется дополнительная энергия взаимодействи
Простой эффект Зеемана
В сильных магнитных полях воздействие на атом становится сравнимым или больше спин-орбитального взаимодействия. В этом случае уже нельзя рассматривать поведение каждой компоненты мультиплета тонкой
Приближенная количественная теория атома гелия
Задача о движении двух электронов в поле ядра аналогична задаче о движении двух планет в гравитационном поле Солнца. В небесной механике разработаны достаточно точные приближенные методы расчета дв
Новости и инфо для студентов