Одномерного гармонического осциллятора - раздел Ядерная техника, В данной теме мы начнем изучение квантовых закономерностей явлений природы Освободившись От Множителя Перед Второй Производной, Получим Уравнение
...
Освободившись от множителя перед второй производной, получим уравнение
, (1)
где
, . (2)
Точка является особой точкой уравнения. Поэтому решение этого уравнения ищут в виде
. (3)
Первый множитель такого решения устраняет из уравнения член . А для функции получается уравнение
. (4)
Отрицательный показатель экспоненты обеспечивает конечность волновой функции на бесконечности.
Введя безразмерную переменную
, (6)
уравнение (4) преобразуем к виду
. (7)
Решением этого уравнения будет . В этом случае параметр , а волновая функция
.
Это решение не имеет узлов, поэтому оно описывает основное состояние гармонического осциллятора. Ему соответствует нулевая энергия
.
Решением уравнения (7) будет также .
Действительно подстановка этого решения в (7) дает
.
Приравнивая нулю коэффициенты при разных степенях , получим
, .
Таким образом,
, .
Поэтому
, .
Волновая функция первого возбужденного состояния имеет один узел и его энергия больше нулевой энергии на .
В стационарном состоянии с энергией функция
должна иметь узлов. Это значит, что функция должна быть полиномом -й степени с некратными корнями. Эти полиномы называются полиномами Эрмита-Чебышева
.
Они являются решением уравнения (7)
.
Это уравнение должно выполняться при любых , т.е. коэффициенты при одинаковых степенях должны обращаться в нуль. Для определения собственных значений уравнения достаточно приравнять нулю коэффициент при старшей степени
.
Отсюда находим или
. (8)
При этом полиномы Эрмита-Чебышева должны удовлетворять уравнению
. (9)
Из условия (8) следует, что собственные значения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора принимают дискретный ряд значений.
Энергетические уровни гармонического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга
.
Наименьшая энергия, которую имеет гармонический осциллятор – энергия нулевых колебаний
.
Наличие энергии нулевых колебаний находится в полном соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга: микрочастица никогда не может остановиться и иметь одновременно точное значение координаты и импульса .
Таким образом, теория Шредингера подтвердила правильность предположения Планка об эквидистантности значений энергии осцилляторов поля и о величине кванта энергии. Кроме того, квантовая теория предсказывает существование нулевых колебаний осциллятора, что соответствует принципу неопределенностей.
Решение уравнения (9) можно записать в виде
.
Множитель здесь введен для того, чтобы сделать положительным коэффициент при старшей степени положительным. Нормировочный множитель определяется из условия нормировки волновых функций и выражается формулой
Введение... В конце ХIX в даже у крупных ученых сложилось представление что в физике уже... Решение первой из указанных проблем привело к созданию Эйнштейном теории относительности а решение второй проблемы...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Одномерного гармонического осциллятора
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Равновесное тепловое излучение
1. В проблеме теплового излучения большое значение имеет понятие равновесного излучения. Чтобы представить, что это такое, рассмотрим замкнутую полость с неподвижными и непрозрачным
Формула Релея-Джинса
Чтобы определить число нормальных мод с частотами в интервале от до
Понятие вероятности. Средние значения случайных величин
1. Большинство физических величин изменяется хаотически, т.е. являются случайными величинами. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная величина принимает ст
Понятие о квантах. Средняя энергия осциллятора. Фотоны
1. Формирование электромагнитного поля равновесного излучения является случайным процессом, так как случайны процессы испускания света телами. Поэтому энергия любого нормального кол
Модели атома Томсона и Резерфорда
1. Согласно классическим представлениям атом мог бы испускать монохроматическую волну в том случае, когда электрон в атоме совершает гармонические колебания и следовательно, удерживается около поло
Столкновение заряженных частиц
В опытах Резерфорда применялись очень тонкие металлические фольги с толщиной порядка . Это и позволяло не учит
Формула Резерфорда и ее экспериментальная проверка
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, являлась гипотезой и требовала экспериментальной проверки. Для этого Резерфорду пришлось детально проанализировать процесс рассеяния
Спектры излучения атомов.
1. С появлением первых спектральных приборов началось изучение спектров излучения и поглощения различных тел. К началу ХХ в. Было известно, что раскаленные тела излучают сплошной спектр, в котором
Постулаты Бора
Неустойчивость планетарной модели атома по Резерфорду и закономерности атомных спектров, в частности их дискре
Опыты Франка и Герца
Идея Бора о стационарных состояниях атомов получила экспериментальное подтверждение в том же 1913г. в опытах Джеймса Франка и Густава Герца.
Опыты Франка и Герца начались до появления теор
Гипотеза де-Бройля. Волны де Бройля.
1. В 1923 году французский физик Луи де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой двойственностью должны обладать не только фотоны, но и частицы вещества. Экспериментальное подтверждение этой
Особенности поведения микрочастиц
Многочисленные эксперименты показали, что электроны, атомы, молекулы и другие частицы обладают волновыми свойствами. При этом они сохраняют свои корпускулярные свойства. Объекты, обладающие корпуск
Соотношения неопределенностей
1. Отсутствие траектории у микрочастицы указывает на то, что описывать ее состояние столь же подробно как для материальной точки нельзя.
Действительно, задание координат и импульса материа
Дифракция микрочастиц на щели
Причиной существования квантовых неопределенностей и соотношений Гейзенберга являются волновые свойства микрочастиц.
Пусть движение электрона описывается плоской волной де Бройля. Электрон
Минимальная энергия и размеры атома
Принцип неопределенности является одним из основных законов квантовой физики. Из принципа неопределенности вытекает ряд важных следствий. В частности состояние покоя для микрочастицы, движущейся в
Временное уравнение Шредингера
1. Плоская волна де Бройля
соответствует равномерному свободному движению частицы в определ
Стационарные состояния. Свойства волновых функций
Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция принципи
Потенциальный барьер. Решение стационарного уравнения
1. Рассмотрим рассеяние микрочастиц на преграде, испускаемых источником, удаленным на большое расстояние от нее. Силовое воздействие на микрочастицу определяется потенциальной энергией взаимодейств
Коэффициенты отражения и пропускания ступенчатого барьера
На опыте измеряются не амплитудные коэффициенты прошедшей и от-раженной волн, а коэффициенты отражения и пропускания для частиц, которые связаны с амплитудными коэффициентами вероятностными соотнош
Туннельный эффект
1. Теперь рассмотрим барьер конечной ширины (рис. 2). В этом случае в первой области будут существовать падаю
Система двух взаимодействующих частиц
При классическом рассмотрении движение системы из двух частиц сводится к движению двух квазичастиц, одна из которых с массой
Модель гармонического осциллятора
Зависимость энергии взаимодействия двух атомов от расстояния между ними показана на рис. . При некотором расстоянии
Момент импульса
1. Согласно классическому определению моментом импульса частицы относительно начала координат О называ
Проекции момента импульса
Выбрав за ось некоторое произвольное направление в пространстве, определим собственные функции и собственные
Координатах
1. Если силы, действующие на частицу в разных точках пространства, направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же точку, называемую центром, и зависят только от расстояния до него
Сложение угловых моментов
1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Для этого рассмотрим простейшую изолированную систему из двух невзаимодействующих микрочастиц: 1 и 2.
Оператором углов
Атома водорода.
В 1921 году Штерном и Герлахом был поставлен прямой опыт по обнаружению квантования магнитного момента атомов. В вакуумной камере устанавливался электромагнит со специальной формой наконечников, чт
Принцип Паули
1. Сочетание волновых и корпускулярных свойств у микрочастиц приводит к отличиям в поведении не только одиночных микрочастиц, но и в поведении коллективов частиц. Эти отличия касаются только систем
Особенности периодической системы элементов
Располагая химические элементы в порядке возрастания атомного веса, Менделееву пришлось отступить от этого исходного принципа и переставить места некоторых элементов, придавая большее значение пери
Спин-орбитальное взаимодействие
Основное взаимодействие электрона с ядром атома есть электростатическое взаимодействие их зарядов. Но так как электрон движется вокруг ядра, то возникает дополнительное взаимодействие, обусловленно
Энергетические уровни и спектральные серии щелочных металлов
В атомах щелочных металлов электронная оболочка содержит один наружный (валентный) электрон, сравнительно слабо связанный с ядром атома. Переходы между энергетическими уровнями валентного электрона
Результирующий механический момент атома
В многоэлектронных атомах все орбитальные и спиновые моменты электронов складываются в единый угловой момент атома. Конечно результирующий момент от порядка слагаемых не зависит, но, тем не менее,
Магнитный момент атома
С механическим моментом связан магнитный момент. Для орбитального момента
,
Сложный эффект Зеемана
Рассмотрим сначала сложный эффект Зеемана, т.е расщепление спектральных линий в слабом магнитном поле.
При наложении слабого магнитного поля появляется дополнительная энергия взаимодействи
Простой эффект Зеемана
В сильных магнитных полях воздействие на атом становится сравнимым или больше спин-орбитального взаимодействия. В этом случае уже нельзя рассматривать поведение каждой компоненты мультиплета тонкой
Приближенная количественная теория атома гелия
Задача о движении двух электронов в поле ядра аналогична задаче о движении двух планет в гравитационном поле Солнца. В небесной механике разработаны достаточно точные приближенные методы расчета дв
, (1)
, 
. (2)
является особой точкой уравнения. Поэтому решение этого уравнения ищут в виде
. (3)
. А для функции 
получается уравнение
. (4)
, (6)
. (7)
. В этом случае параметр 
, а волновая функция
.
.
.
.
, получим
, 
.
, 
.
, 
.
.
функция
узлов. Это значит, что функция 
должна быть полиномом 
.
.
.
или
. (8)
. (9)
.
.
и импульса 
.
.
здесь введен для того, чтобы сделать положительным коэффициент при старшей степени положительным. Нормировочный множитель 
определяется из условия нормировки волновых функций и выражается формулой
.
.
,
,
,
.
Новости и инфо для студентов