Виды доказательств

      содержание Прямое и косвенное доказательство 3 Прямое доказательство 4 Косвенное доказательство 5 Следствия, противоречащие фактам 7 Внутренне противоречивые следствия 7 Разделительное доказательство 9 Заключение 11 ЛИТЕРАТУРА 12 Прямое и косвенное доказательство Немецкий философ XIX в. А. Шопенгауэр считал математику доволь­но интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике.

Он даже отвергал саму технику строгих матема­тических доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным; никто не может счесть его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу до­казательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Мате­матик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального понимания.

Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. Вы наконец выходите из лабирин­та и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился». Позиция Шопенгауэра, конечно, курьез, но в ней есть момент, заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства. Иначе его части лишатся связи, и оно в любой мо­мент может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте.

Как раз такого целост­ного понимания не хватало, по всей вероятности, Шопенгауэру. В итоге в общем-то простое доказательство представилось ему блужданием в лабиринте: каждый шаг пути ясен, но общая линия движения покрыта мраком. Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. Даже если выучить его наизусть, предложение за предложением, к имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит.

Следить за доказательством и лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага — это, по словам французского математика А. Пуанкаре, равносильно такому наблюдению за игрой в шахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры. Минимальное требование — это понимание логического выве­дения как целенаправленной процедуры. Только в этом случае до­стигается интуитивная ясность того, что мы делаем. «Я принужден сознаться, — заметил как-то Пуанкаре, — что положи­тельно не способен сделать без ошибки сложение.

Моя память не плохая; но чтобы стать хорошим игроком в шахматы, она оказалась бы недоста­точной. Почему же она не изменяет мне в сложных математических рас­суждениях, в которых запутались бы большинство шахматных игроков? Это происходит, очевидно, потому, что в данном случае память моя на­правляется общим ходом рассуждения. Математическое доказательство не есть простое сцепление умозаключений: это умозаключения, расположен­ные в определенном порядке; и порядок, в котором расположены эти эле­менты.

Если у меня есть чувство этого порядка, вследствие чего я сразу могу обнять всю совокупность рассуждений, мне уже нечего бояться забыть какой-либо элемент; каждый из них сам собою займет свое место » То, что создает, по выражению Пуанкаре, «единство доказатель­ства», можно представить в форме общей схемы, охватывающей основные его шаги, воплощающей в себе общий принцип или его итоговую структуру. Именно такая схема остается в памяти, когда забываются подробности доказательства.

С точки зрения общего движения мысли, все доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Прямое доказательство

Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что д... Очевидно также, что космичес­кий корабль есть космическое тело. Неверным является, в частности, такое след­ствие: у квадрата нет углов... Вместо прямого обо­снования тезиса выдвигается антитезис, что у пациен... Уатта шотландский уче­ный Д.

Внутренне противоречивые следствия

Ложным будет также положение, из которого выводится внут­ренне противо... Хорошим примером такого рассуждения служит известное до­казательство Е... Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на се... Ошибочность предположения вскрывается тем, что из него выводится откро... Эту же схему использовал однажды древнегреческий философ Демо­крит в с...

Разделительное доказательство

Затем показывается ложность последнего, в итоге оста­ется только тезис. Отсюда обычная ошибка разделительных доказа­тельств: рассматриваются н... С помощью разделительного доказательства можно попытать­ся, например, ... Ответ получается косвенным образом: путем показа того, что ни на одной... Это доказательство оказа­лось бы, конечно, несостоятельным, если бы, д...

ЛИТЕРАТУРА

ЛИТЕРАТУРА 1.Арно А Николь П. Логика, или Искусство мыслить, М,: Наука, 1981. 2.Гарднер М. А ну-ка, догадайся! М.: Мир, 1984. 3.Горский Д.П Ивин А.А Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. М,: Просвещение, 1991. 4.Ивин А,А. Искусство правильно мыслить. М,: Просвещение, 1991. 5.Ивин А. А, По законам логики. М 1983. 6.Кириллов В. И. Упражнения по логике, М 1994. 7.Ковальски Р. Логика в решении проблем, М.: Наука, 1991. 8.Поварнин С. И. Искусство спора.

М 1995.