рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве - раздел Образование, Уфа 2013 При Рассмотрении Плоскости В Пространстве Необходимо Иметь В Виду, Что Методи...

При рассмотрении плоскости в пространстве необходимо иметь в виду, что методика решения задач аналогична методике решения задач на прямую в плоскости. Это связано с тем, что различные уравнения плоскости в пространстве подобны уравнениям прямой на плоскости.

Приведем уравнения плоскости в пространстве:

– общее уравнение плоскости

Ах + Ву + Сz + D = 0, (9.1)

где = (А, В, С) – вектор, ортогональный плоскости (вектор нормали);

– уравнение плоскости в отрезках

, (9.2)

где , причем (а, 0, 0), (0, в, 0), (0, 0, с) – координаты точек пересечения плоскости с осями координат;

– уравнение плоскости, проходящей через точку (х0, у0, z0) с вектором нормали = (А, В, С)

А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0, (9.3)

– нормальное уравнение плоскости

хcos a + уcos b + zcos g - p = 0, (9.4)

где р – расстояние от плоскости до начала координат, a, b, g – углы между координатными осями и вектором нормалью к плоскости, направленным от начала координат к плоскости;

– уравнение плоскости, проходящей через три точки (х1, у1, z1), (х2, у2, z2),

(х3, у3, z3)

. (9.5)

 

Приведение общего уравнения плоскости (9.1) к нормальному виду (9.4) осуществляется домножением на множитель:

 

где знак выбирается из условия mD<0.

Расстояние d от точки (х0, у0, z0) до плоскости (9.1) вычисляется по формуле:

d = (9.6)

 

Угол между плоскостями А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и

А2х + В2у + С2z + D2 = 0 определяется из формулы:

 

(9.7)

Условие параллельности плоскостей:

А1/А2 = В1/В2 = С1/С2, (9.8)

и условие ортогональности:

А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0. (9.9)

 

Примеры.

а) Приведем уравнение плоскости 2х + 4у - 5z + 21 = 0 к нормальному виду.

Домножив уравнение на нормирующий множитель

где знак минус взят, так как D>0, получим нормальное уравнение плоскости в виде

б) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 2, 3) и ортогональную вектору (3, 2, 1).

Из уравнения (9.3) и геометрического смысла коэффициентов уравнения сразу имеем 3(х - 1) + 2(у - 2) + (z - 3) = 0 или

3х + 2у + z - 10 = 0.

в) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку (3, 2, -1) и параллельную плоскости 3х - 5у + 2z - 10 = 0.

В силу параллельности плоскостей векторы нормали у обеих плоскостей можно взять равными, т.е. вектор (3, -5, 2) является вектором нормали нашей плоскости. Тогда из уравнения (9.3) имеем

3(х - 3) - 5(у - 2) + 2(z + 1) = 0 или 3х - 5у + 2z + 3 = 0.

г) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z - 3 = 0.

Для нахождения уравнения заданной плоскости нам необходимо найти вектор нормали этой плоскости. Так как он ортогонален нашей плоскости, то он ортогонален любому вектору, параллельному этой плоскости. Таким образом, вектор нормали ортогонален вектору и вектору нормали плоскости х + у + 2z - 3 = 0, т.е. = (1, 1, 2). Из свойств векторного произведения вытекает, что в качестве вектора нормали нашей плоскости можно взять вектор =´1.

Итак,

= = (11, -7, -2).

Из (9.3) теперь легко имеем 11(х - 2) - 7(у + 1) - 2(z - 4) = 0 или

11х - 7у - 2z -21 = 0.

д) Найти угол между плоскостью проходящей через точки и плоскостью заданной уравнением

 

Взяв текущую точку и определив вектора , уравнение плоскости находим по формуле (9.5):

 

т.е.

 

По уравнению плоскостей определяем их нормальные векторы: Угол между плоскостями и находим по формуле (9.7):

откуда рад.

 

 

Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Уфа 2013

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... Уфимский государственный авиационный технический университет... ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Плоскость в пространстве

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Уфа 2013
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уфимский государ

Определители третьего порядка
Определителем третьего порядка называется число, которое может быть вычислено п

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Вычислить определители второго и третьего порядка:   1)

Определители произвольного порядка
  Пусть задан определитель n-го порядка .  

Понятие матрицы
  Матрицей порядка называется прямоугольная таблица чисел вида

Сложение матриц
Если матрица имеет тот же порядок, что и матрица

Умножение матриц
Произведением матрицы на матрицу

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Найти произведение матриц АВ, где

Обратная матрица
Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е – единичная матрица порядка n. Матриц

Линейные системы уравнений
Дана система m уравнений с n неизвестными . (3.1) Реше

Матрицы
являются соответственно матрицей и расширенной матри

Решение системы уравнений
  После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что

Определение скалярного произведения и его свойства
Пусть даны два вектора и

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Даны векторы = (3, -2, -4),

Определение векторного произведения
Если вектора и

Свойства векторного произведения
Отметим следующие свойства векторного произведения: а)

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Даны векторы = (-1, 3, 2) и

Определение смешанного произведения и его свойства
Смешанным произведением трех векторов называется число

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Даны векторы = (1, 1, -3),

Различные виды уравнений прямой на плоскости
Общее уравнение прямой имеет вид Ах + Ву + С = 0, (8.1) причем вектор

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если: 1) прямая проходит через точку М(-1, 2) перпендикулярно вектору

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
  Если общее уравнение прямой (8.1) умножить на

Уравнений прямой
В различных геометрических задачах используются те или иные уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой. Наибол

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Вычислить расстояние от прямой 2х - у + 1 = 0 до начала координат и до точки М(-1, 2).   Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, 2),

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 2, 0) и В(2, 1, 1), перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.   Задача 2) Сост

Прямая и плоскость
Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2, 0, -3) параллельно: 1) вектору

Предел функции. Основные определения и обозначения
Определение конечного предела функции в точке: число называется пределом

Производная функции. Основные определения и обозначения
  Назовем разность – приращением функции

Правило Лопиталя
Правило Лопиталя является одним из способов раскрытия неопределенностей и

Возрастание и убывание функций. Экстремум
  Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале

Направление выпуклости и точки перегиба
  График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на инт

Асимптоты
  Асимптотой графика функции называется такая прямая, что расстояние от

Построение графиков функций
  Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме. 1. Найти область определения функции. 2. Определить четность или нечетность данно

Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Если каждой паре значений двух независимых друг от друга переменных из области

Частные производные
  Частной производной по переменной х от функции называется пред

Дифференциал
  Назовем величину полным приращением функции

Экстремумы функций нескольких переменных
  Говорят, что функция имеет локальный максимум

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Найти частные производные функций ,

Параллельно данной прямой;
2) перпендикулярно данной прямой. Исходные данные взять из табл. 1. Таблица 1 № вари- анта   А   В &

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги