рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

  • Раздел Образование
  •  / 
  • Производная функции. Основные определения и обозначения

Реферат Курсовая Конспект

Производная функции. Основные определения и обозначения

Производная функции. Основные определения и обозначения - раздел Образование, Уфа 2013   Назовем Разность ...

 

Назовем разность – приращением функции в точке соответствующим приращению аргумента Производной функции в точке называется предел

Производная функции , рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахождения производной называют также дифференцированием. Для нахождения производных нужно пользоваться таблицей производных основных элементарных функций и правилами дифференцирования функций.

Таблица производных основных элементарных функций.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Правила дифференцирования функций

1. Пусть C-константа и функции имеют производную в точке тогда:

; ; ;

; .

2. Пусть функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке Тогда сложная функция в точке имеет производную, равную

Второе свойство называется правилом дифференцирования сложной функции.

Пример. Найти производную функции

Полагая и имеем и Отсюда, согласно правилу дифференцирования сложной функции, получаем

 

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е. Применение предварительного логарифмирования часто упрощает вычисление производной.

Примеры.

а) Найти производную функции

Логарифмируя, получим Отсюда находим производные левой и правой части Следовательно,

б) Найти производную функции

Логарифмируя, получим Находя производные левой и правой части, получаем

Следовательно,

 

Пусть на интервале заданы две функции и Если при этом функция на интервале имеет обратную то определена новая функция называемая функцией, заданной параметрически соотношениями Переменная называется в этом случае параметром. Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле

Пример. Найти если функция задана параметрически

Поскольку то получаем

 

Функция неявно задана на интервале уравнением если для всех выполнено равенство Для вычисления производной функции нужно равенство продифференцировать по а затем полученное уравнение разрешить относительно

 

Пример.

Найти производную функции заданной неявно

Дифференцируем по это равенство и получаем Отсюда

 

Производной 2-го порядка от функции называется производная от ее первой производной, т.е. Для производной 2-го порядка используется также обозначение

 

Пример. Найти если

Имеем Следовательно,

 

Если приращение функции в точке можно представить в виде при где – некоторое число, то линейная часть этого приращения называется дифференциалом этой функции в точке соответствующим приращению и обозначается символом

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная при этом справедливо равенство Поэтому выражение для дифференциала имеет вид где принято обозначение

Пример. Найти дифференциал функции

Находим производную этой функции Следовательно,

Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Уфа 2013

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... Уфимский государственный авиационный технический университет... ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Производная функции. Основные определения и обозначения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Уфа 2013
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уфимский государ

Определители третьего порядка
Определителем третьего порядка называется число, которое может быть вычислено п

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Вычислить определители второго и третьего порядка:   1)

Определители произвольного порядка
  Пусть задан определитель n-го порядка .  

Понятие матрицы
  Матрицей порядка называется прямоугольная таблица чисел вида

Сложение матриц
Если матрица имеет тот же порядок, что и матрица

Умножение матриц
Произведением матрицы на матрицу

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Найти произведение матриц АВ, где

Обратная матрица
Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е – единичная матрица порядка n. Матриц

Линейные системы уравнений
Дана система m уравнений с n неизвестными . (3.1) Реше

Матрицы
являются соответственно матрицей и расширенной матри

Решение системы уравнений
  После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что

Определение скалярного произведения и его свойства
Пусть даны два вектора и

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Даны векторы = (3, -2, -4),

Определение векторного произведения
Если вектора и

Свойства векторного произведения
Отметим следующие свойства векторного произведения: а)

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Даны векторы = (-1, 3, 2) и

Определение смешанного произведения и его свойства
Смешанным произведением трех векторов называется число

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Даны векторы = (1, 1, -3),

Различные виды уравнений прямой на плоскости
Общее уравнение прямой имеет вид Ах + Ву + С = 0, (8.1) причем вектор

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если: 1) прямая проходит через точку М(-1, 2) перпендикулярно вектору

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
  Если общее уравнение прямой (8.1) умножить на

Уравнений прямой
В различных геометрических задачах используются те или иные уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой. Наибол

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Вычислить расстояние от прямой 2х - у + 1 = 0 до начала координат и до точки М(-1, 2).   Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, 2),

Плоскость в пространстве
При рассмотрении плоскости в пространстве необходимо иметь в виду, что методика решения задач аналогична методике решения задач на прямую в плоскости. Это связано с тем, что различные уравнения пло

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 2, 0) и В(2, 1, 1), перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.   Задача 2) Сост

Прямая и плоскость
Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2, 0, -3) параллельно: 1) вектору

Предел функции. Основные определения и обозначения
Определение конечного предела функции в точке: число называется пределом

Правило Лопиталя
Правило Лопиталя является одним из способов раскрытия неопределенностей и

Возрастание и убывание функций. Экстремум
  Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале

Направление выпуклости и точки перегиба
  График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на инт

Асимптоты
  Асимптотой графика функции называется такая прямая, что расстояние от

Построение графиков функций
  Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме. 1. Найти область определения функции. 2. Определить четность или нечетность данно

Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Если каждой паре значений двух независимых друг от друга переменных из области

Частные производные
  Частной производной по переменной х от функции называется пред

Дифференциал
  Назовем величину полным приращением функции

Экстремумы функций нескольких переменных
  Говорят, что функция имеет локальный максимум

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Найти частные производные функций ,

Параллельно данной прямой;
2) перпендикулярно данной прямой. Исходные данные взять из табл. 1. Таблица 1 № вари- анта   А   В &

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги