Предел функции. Основные определения и обозначения

Определение конечного предела функции в точке: число называется пределом функции при если для любого найдется такое, что при

Обозначение: или при

Говорят, что число является пределом функции при и пишут если для любого найдется число такое, что как только

Наряду с введенным выше понятием предела функции используется также следующее понятие одностороннего предела. Число называют пределом функции в точке справа (слева) и пишут если для любого найдется такое, что при Аналогично вводится понятие одностороннего предела на бесконечности и

Отметим, что тогда и только тогда, когда

Функция называется бесконечно малой (бесконечно большой) при если

Две бесконечно малые (бесконечно большие) функции и при называются эквивалентными, если

Обозначение: при

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.

(11.1)

если

Отметим, что (С – константа)

Наиболее простым способом вычисления пределов является непосредственная подстановка вместо х числа а. При этом может получиться какое-либо число, которое и является пределом. Например

.

Второй также несложный случай возникает, если при такой непосредственной подстановке одна из составляющих имеет предел равный ¥, и получаются следующие варианты (и их решение): С/¥ = 0, С/0 = ¥, ¥/0 = ¥, , . Например

.

В остальных случаях возникают так называемые неопределенности. По поведению функций пределы делятся на неопределенности вида: , Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

а) сокращение на множитель, создающий неопределенность;

б) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при );

в) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;

г) использование двух замечательных пределов:

(11.2)

Второй из этих пределов можно также записать в виде

 

11.2. Неопределенности вида 0/0

а) Рациональные выражения. В случае неопределенности 0/0 для рациональных выражений всегда применяется прием сокращения множителя, обращающегося в ноль. Для этого предварительно выделяется линейный множитель, который обращается в ноль. Для выделения линейного множителя находят корни многочлена и разлагают его на множители.

Пример. Найти предел

Находим корни числителя х² - х - 6: х₁ = 3, х₂ = -2. Разлагаем его на множители х² - х - 6 = (х – 3)(х + 2). То же самое проделываем и для знаменателя: х₁ = 3, х₂ = -7/2, 2х² + х - 21 = 2(х – 3)(х + 7/2) =

= (х – 3)(2х + 7). Подставим эти разложения в предел и сокращаем множители, обращающиеся в ноль:

 

б) Иррациональные выражения. Пределы вычисляются также сокращением множителя, обращающегося в предельной точке в ноль. Правда предварительно для этого иррациональное выражение домножают и делят на сопряженное выражение, т.е., если выражение имеет вид (a ± b), то его домножают и делят на (a b).

 

Пример. Найти предел

Домножим числитель и знаменатель на выражение , одновременно разлагая знаменатель на множители:

 

в) Выражения, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Вычисление пределов в этом случае, как правило, проводится по следующим трем методикам:

1) использование первого замечательного предела

или эквивалентности:

sin a(x) ~ a(x) при a(x) ® 0 (x ® x₀ );

 

2) использование формул тригонометрии;

3) применение замены для сведения к первому замечательному преде-лу.

 

Примеры.

 

а) Найти предел

Воспользуемся приведенными эквивалентностями:

 

sin 5x ~ 5x, sin 2x ~ 2x при x® 0.

Тогда

б) Найти предел

 

По формулам тригонометрии () с учетом эквивалентности имеем

 

в) Найти предел

 

Для сведения к первому замечательному пределу сделаем две замены:

у = 1/х, z = arcsin y:

 

г) Найти предел

 

Сделаем замену переменной: у = х + 2. Тогда (с учетом периодичности тангенса и эквивалентности)

 

г) Выражения, содержащие логарифмические и показательные функции. Основными приемами вычисления пределов в этом случае являются:

1) использование эквивалентностей

ln (1 + a (x)) ~ a (x), a^a(x) - 1 ~ a (x)ln a при a (х) ® 0;

2) замена переменной для сведения к приведенным эквивалентностям.

 

 

Примеры.

 

а) Найти предел

 

 

 

б) Найти предел

=

 

11.3. Неопределенности вида ¥/¥

 

В качестве примеров этой неопределенности рассмотрим рациональные функции, когда аргумент стремится к бесконечности. Вычисляются такие пределы вынесением в числителе и знаменателе наивысшей степени х и ее сокращением. При вычислении окончательного результата постоянно используется равенство С/¥ = 0 (C-константа).

 

Пример. Найти предел

 

Выносим наивысшую степень х в числителе и знаменателе:

 

11.4. Неопределенности вида ¥ - ¥, 0×¥, 0⁰, ¥⁰, 1^¥

Первые четыре неопределенности с помощью арифметических преобразований сводятся к рассмотренным ранее случаям. Для вычисления пределов с неопределенностью 1^¥ можно использовать следующую формулу:

 

 

Примеры.

 

а) Найти предел

 

б) Найти предел

 

При вычислении подобных примеров наибольшую опасность представляет путаница, возникающая в связи с тем, что к определенным выражениям (типа (2/3)^¥ = 0) применяют формулу, как для неопределенности вида 1^¥. Например

 

или