Прямая и плоскость - раздел Образование, Уфа 2013 Уравнение Прямой В Пространстве Может Быть Записано Как Уравнение Линии Пе...
Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:
. (9.10)
На практике больше применяется каноническое уравнение прямой в пространстве
(9.11)
где (х1, у1, z1) – точка, через которую эта прямая проходит, а = (l, m, n) – вектор, параллельный прямой, называемый направляющим вектором.
Уравнение прямой, проходящей через две точки (х1, у1, z1) и (х2, у2, z2), имеет вид:
(9.12)
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и
Используя формулу (9.12), получаем
Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости
Острый угол между двумя прямыми в канонической форме:
и
определяется по формуле:
. (9.13)
Условия параллельности прямых в канонической форме:
l1/l2 = m1/m2 = n1/n2. (9.14)
Условие ортогональности прямых:
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0. (9.15)
Примеры.
а) Привести уравнение прямой к каноническому виду.
Решение.
Выразим из системы х через у и z:
Следовательно,
б) Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую
(х-2)/2 = (у-1)/3 = (z - 3)/1.
Решение.
Запишем уравнение плоскости, проходящей через начало координат и ортогональной заданной прямой. Так как направляющий вектор заданной прямой = (2, 3, 1) в этом случае ортогонален плоскости, то можно положить = и записать уравнение плоскости в виде 2х + 3у + z = 0. Найдем точку пересечения этой плоскости и прямой для чего решим систему:
Из уравнения прямой, проходящей через две точки (9.12), получаем искомое уравнение прямой:
или x = y/(-2) = z/4.
в) Через прямую (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 проведем плоскость, параллельную прямой х/(-1) = (у + 2)/2 = (z - 3)/(-3).
Решение.
Так как вектора 1 = (2, -1, 3) и 2 = (-1, 2, -3) (направляющие вектора прямых) параллельны плоскости, то их векторное произведение 12 ортогонально плоскости, т.е. может быть взято за вектор нормали плоскости.
Итак,
3( -1, 1, 1).
Прямая (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 лежит в плоскости. Следовательно, и точка (-1, 1, 2), через которую она проходит, находится там же. Таким образом, искомое уравнение плоскости можно записать в виде
-(х + 1) + (у - 1) + (z -2 ) = 0 или х - у - z + 4 =0.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... Уфимский государственный авиационный технический университет... ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Прямая и плоскость
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Уфа 2013
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Уфимский государ
Обратная матрица
Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е – единичная матрица порядка n.
Матриц
Матрицы
являются соответственно матрицей и расширенной матри
Решение системы уравнений
После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если:
1) прямая проходит через точку М(-1, 2) перпендикулярно вектору
Уравнений прямой
В различных геометрических задачах используются те или иные уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой. Наибол
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Вычислить расстояние от прямой 2х - у + 1 = 0 до начала координат и до точки М(-1, 2).
Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, 2),
Плоскость в пространстве
При рассмотрении плоскости в пространстве необходимо иметь в виду, что методика решения задач аналогична методике решения задач на прямую в плоскости. Это связано с тем, что различные уравнения пло
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 2, 0) и В(2, 1, 1), перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.
Задача 2) Сост
Асимптоты
Асимптотой графика функции называется такая прямая, что расстояние от
Построение графиков функций
Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. Определить четность или нечетность данно
. (9.10)
(9.11)
= (l, m, n) – вектор, параллельный прямой, называемый направляющим вектором.
(9.12)
и 
и 
. (9.13)
к каноническому виду.
= 
или x = y/(-2) = z/4.
1 = (2, -1, 3) и 
3( -1, 1, 1).
Новости и инфо для студентов