Возрастание и убывание функций. Экстремум - раздел Образование, Уфа 2013
Функция ...
Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале если из неравенства где следует неравенство (соответственно ).
Если функция дифференцируема на интервале и при всех то функция возрастает на ; если же при всех то функция убывает на .
В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в которых производная функции обращается в нуль или не существует.
Если существует такой интервал что для всякой точки из этого интервала выполняется неравенство (или ), то точка называется точкой минимума (максимума) функции , а число – минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.
Необходимое условие экстремума функции. Если – точка экстремума функции то или не существует, т.е. – критическая точка этой функции.
Достаточные условия экстремума непрерывной функции.
1) Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки за исключением, быть может, самой этой точки, и ее производная слева от этой точки положительная, а справа – отрицательная, то точка является точкой максимума; если производная слева от точки отрицательная, а справа – положительная, то точка является точкой минимума; если производная слева и справа от точки имеет одинаковый знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.
2) Если в критической точке вторая производная отлична от нулю, то в этой точке функция имеет максимум при и минимум при
Пример.
Найти интервалы монотонности и точки экстремума для функции
Решение.
Находим производную и приравниваем ее нулю. Решая получившееся уравнение получаем Следовательно, критическими точками (с учетом тех точек, где производная не определена) являются: Область определения разбивается на два интервала монотонности: и Так как при и при то убывает на интервале и возрастает на интервале а в точке достигает минимума
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... Уфимский государственный авиационный технический университет... ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Возрастание и убывание функций. Экстремум
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Уфа 2013
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Уфимский государ
Обратная матрица
Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е – единичная матрица порядка n.
Матриц
Матрицы
являются соответственно матрицей и расширенной матри
Решение системы уравнений
После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если:
1) прямая проходит через точку М(-1, 2) перпендикулярно вектору
Уравнений прямой
В различных геометрических задачах используются те или иные уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой. Наибол
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Вычислить расстояние от прямой 2х - у + 1 = 0 до начала координат и до точки М(-1, 2).
Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, 2),
Плоскость в пространстве
При рассмотрении плоскости в пространстве необходимо иметь в виду, что методика решения задач аналогична методике решения задач на прямую в плоскости. Это связано с тем, что различные уравнения пло
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 2, 0) и В(2, 1, 1), перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.
Задача 2) Сост
Прямая и плоскость
Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:
Асимптоты
Асимптотой графика функции называется такая прямая, что расстояние от
Построение графиков функций
Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. Определить четность или нечетность данно
Новости и инфо для студентов