Экстремумы функций нескольких переменных - раздел Образование, Уфа 2013
Говорят, Что Функция ...
Говорят, что функция имеет локальный максимум в точке , т.е. при , если для всех точек, достаточно близких к точке (т.е. лежащих в некоторой её окрестности) и отличных от неё.
Говорят, что функция имеет локальный минимум в точке , т.е. при , если для всех точек, достаточно близких к точке и отличных от неё.
(Слово «локальный» мы, далее, будем опускать). Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от или обращается в ноль при этих значениях аргументов, или не существует.
Точки, в которых частная производная первого порядка обращается в ноль, называются стационарными.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является стационарной точкой функции , т.е. . Обозначим , где
Тогда при : 1) имеет максимум, если и . 2) имеет минимум, если и . 3) не имеет ни минимума, ни максимума, если . 4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).
Пример. Найти экстремум функции .
Решение. Сначала найдем частные производные:
, .
Стационарные точки найдем из системы уравнений:
Система имеет два решения: и . Значит, имеются две стационарные точки – это и .
Находим производные второго порядка данной функции:
,
В точкеимеем Так как , то в этой точке экстремума нет.
В точке имеем Так как, и А>0, то функция в этой точке имеет минимум.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... Уфимский государственный авиационный технический университет... ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Экстремумы функций нескольких переменных
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Уфа 2013
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Уфимский государ
Обратная матрица
Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е – единичная матрица порядка n.
Матриц
Матрицы
являются соответственно матрицей и расширенной матри
Решение системы уравнений
После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если:
1) прямая проходит через точку М(-1, 2) перпендикулярно вектору
Уравнений прямой
В различных геометрических задачах используются те или иные уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой. Наибол
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Вычислить расстояние от прямой 2х - у + 1 = 0 до начала координат и до точки М(-1, 2).
Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, 2),
Плоскость в пространстве
При рассмотрении плоскости в пространстве необходимо иметь в виду, что методика решения задач аналогична методике решения задач на прямую в плоскости. Это связано с тем, что различные уравнения пло
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 2, 0) и В(2, 1, 1), перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.
Задача 2) Сост
Прямая и плоскость
Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:
Асимптоты
Асимптотой графика функции называется такая прямая, что расстояние от
Построение графиков функций
Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. Определить четность или нечетность данно
Новости и инфо для студентов