Курс Методы вычислений

2011/2012 уч. год

 

Курс « Методы вычислений »

Для студентов III курса ДО математического факультета

Задания лабораторной работы № 4 Тема «Метод наименьших квадратов»

Для данной таблицы постройте на глаз сглаживающую прямую, запишите её уравнение.

Найдите наилучшую по МНК линейную функцию.

Вычислите среднеквадратичное уклонение T1 для прямой, построенной на глаз, и T1* для наилучшей по МНК. Сравните результаты и сделайте выводы

Найдите многочлены Pm*(x) и их среднеквадратические уклонения T m* при m = 2, 3, 4. Постройте графики.

5) Сравните полученные многочлены друг с другом, укажите наилучший из них. Сравните результаты с теоретическими предпосылками. Сделайте выводы.

 

Задание 4.2. Изучение основной тенденции развития экономических процессов

По данным о розничном товарообороте региона в 1980-1985 гг. произведите анализ основной тенденции развития товарооборота. Выбор математической модели обоснуйте. Оцените степень адекватности построенной модели. Составьте прогноз на следующие два года.

Задание 4.3. Регрессионный анализ в биометрии

Постройте график зависимости y(x). Рассчитайте уравнение регрессии для этой зависимости. Выбор математической модели обоснуйте. Сделайте вывод о качестве построенной модели.

Варианты заданий

Задание 4.1

Число (N - 1), где N - номер варианта, необходимо представить в виде 10i + j, где i – число десятков в номере варианта, а j – число единиц.

i

j

x0

y0

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

 

Задание 4.2. В таблицах представлены данные об объёме товарооборота (млрд. руб.)

 

	Номер варианта
Год
	16,28	13,68	11,18	16,28	16,28	11,18	13,68	16,28	13,68	11,18
	17,33	15,48	11,75	18,12	18,08	13,21	15,71	18,31	13,91	13,02
	18,38	17,23	12,92	20,25	19,83	15,25	17,75	20,35	14,38	15,15
	19,41	18,43	14,87	22,74	21,03	17,3	19,8	22,4	15,09	17,64
	20,46	19,13	17,89	25,65	21,73	19,33	21,83	24,43	16,11	20,55
	21,51	19,33	22,37	29,02	21,93	21,37	23,87	26,47	17,47	23,92

	Номер варианта
Год
	13,68	11,18	16,28	11,18	13,68	16,28	11,18	11,18	13,68	16,28
	14,73	12,98	16,76	11,41	14,25	16,85	12,23	11,66	15,52	16,51
	15,78	14,73	17,69	11,88	15,42	18,02	13,28	12,59	17,65	16,98
	16,81	15,93	18,16	12,59	17,37	19,97	14,31	13,06	20,14	17,69
	17,86	16,63	19,01	13,61	20,39	22,99	15,36	13,91	23,05	18,71
	18,93	16,83	19,38	14,97	24,87	27,47	16,42	14,28	26,42	20,07

Задание 4.3

1. При изучении ящерицы-круглоголовки в Западном Казахстане выявлено, что температура ее тела зависит от температуры окружающего воздуха:

Температура воздуха,°С
Температура тела,°С		33,5

 

2. При изучении степной гадюки на востоке Казахстана выявлено, что температура ее тела зависит от температуры окружающего воздуха:

Температура воздуха,°С					18,5
Температура тела,°С			31,5

 

3. Л. Р. Мичурина (1974), изучая в лаборатории скорость роста молодых красно-серых полевок, получила следующие данные о зависимости массы от возраста:

Возраст, дни
Масса тела, г	2,43	3,6	5,19	6,4	8,55	9,81	12,47	13,69

 

4. В. И. Абеленцев, изучая экологию сурка-байбака на Украине в 1958 г., приводит следующие данные о связи между числом учтенных сурков и числом выводковых нор:

Сурки
Выводковые норы

 

5. Изучение видового состава птиц в зимней тайге Западной Сибири (Рябко, 1980) показало зависимость числа учтенных видов от длины маршрута:

Длина маршрута, км
Число видов

 

6. Г.С. Фадеев (1970), изучая размножение домовой мыши на юго-востоке Казахстана, получил следующие данные о зависимости средней величины выводка от месяца года (x – порядковый номер месяца, начиная с января):

Месяц года
Природные местообитания			7,5	5,6	6,3	6,4	8,4	7,6	8,6	7,6

 

7. Г.С. Фадеев (1970), изучая размножение домовой мыши на юго-востоке Казахстана, получил следующие данные о зависимости средней величины выводка от месяца года (x – порядковый номер месяца, начиная с января):

Месяц года
Постройки и скирды	4,7	5,1	5,1	5,3	6,3	5,4	5,7	7,1	7,4	6,8	5,9	6,5

 

8. При изучении роста сайгаков получены следующие данные о зависимости длины тела от возраста:

Возраст, мес
Длина тела, см	59,4		98,3	111,5	114,2			122,6	135,8

 

9. При изучении зависимости процента занятой территории от плотности зверьков красной полевки на юге Западной Сибири получены следующие данные:

Число зверьков на 1 га (x)	32,5	37,1	55,3	10,5	20,5	34,9
Процент занятой площади (y)	86,1	91,2	99,9	37,8	61,5	88,3

 

10. Л. Р. Мичурина (1974), изучая в лаборатории скорость роста молодых красных полевок, получила следующие результаты о росте массы тела зверьков в зависимости от возраста:

Возраст, дни
Масса тела, г	2,23	3,3	4,26	5,34	6,3	8,1	9,33	10,72

 

11. В. А. Агафонов (1982), изучая подвижность зайца-беляка в Кировской области, получил следующие результаты для ноября-февраля о зависимости наследа беляка от площади его индивидуального участка:

Площадь участка,га	0,66	0,8	1,81		0,45	0,4	3,52	0,01
Длина наследа,м

 

12. В полевой лаборатории изучали зависимость скорости передвижения таежных клещей из Костромской области от температуры воздуха. Получены следующие данные о связи температуры воздуха и скорости передвижения клещей:

Температура воздуха,°С	9,6				18,4	19,6	21,2
Скорость передвижения клещей, см/мин	9,77	14,4	18,8		17,8	26,6	22,9	26,9

 

13. Оценивали скорость роста степной гадюки в Западном Казахстане (зависимость массы тела от его длины). Получены следующие данные:

Длина тела, см		48,5	31,7		34,5	37,4		56,8	30,6
Масса тела, г		71,7	19,3	40,7	20,8	28,2	9,6	77,2	17,7

 

14. Многолетнее изучение колебаний численности красной полевки на Салаире (юг Западной Сибири) дало следующие результаты:

Сумма максимальных температур за июль, (x)	59,3	63,6	56,2		66,8		60,7	62,3
Обилие полевок в июле, (y)	11,5		12,9	16,0	25,0	34,1	12,8	26,9

 

15. Проведено сопоставление плотности популяции (x) и размеров индивидуальных участков красной полевки (y) на юге Западной Сибири. Данные приведены в таблице:

Плотность	88,5	75,4		52,5	27,6	28,7	42,5
Площадь участков	0,1	0,16	0,08	0,1	0,14	0,2	0,17

 

16. Наблюдения показали, что удой группы коров ярославской породы изменяется в зависимости от срока лактации следующим образом:

Лактация, мес
Удой, ц	18,2	20,1	23,4	24,6	25,6	25,9	23,6	22,7	19,2

 

17. Зависимость основного обмена (y), выраженного в килоджоулях на 1 кг массы тела (x) обезьян за 24 часа, характеризуется следующими величинами:

Масса тела, кг	1,4	2,2	2,3	2,6	3,6	4,1	4,4	5,8
Основной обмен, кДж

 

18. Наблюдения за развитием самцов павианов-гамадрилов в период полового созревания показали, что масса их тела изменяется в зависимости от возраста следующим образом:

Возраст, мес
Масса тела, кг	4,6	4,5	6,4	6,1	7,5	8,0	11,0

 

19. Наблюдения за развитием самок павианов-гамадрилов показали, что между массой их тела (y) и длиной туловища (x) существует связь:

Длина туловища, см
Масса тела, кг	1,5	2,0	2,3	3,3	3,6	4,4	5,5	6,0	7,8	9,6	12,0

 

20. Зависимость между массой тела (y) и возрастом (x) детенышей макак-резусов в первый год их жизни отражена в следующей таблице:

Возраст, мес
Масса тела, кг	0,53	0,71	0,79	0,98	1,06	1,13	1,25	1,43	1,51	1,59	1,65	1,77