Небольшой объем учебного пособия достигнут с помощью тщательного отбора и лаконичного изложения материала

УДК 53

ББК 22.3

Т70

Рецензент: профессор кафедры физики имени А. М. Фабриканта Московского энергетического института (технического университета) В. А. Касьянов

ISBN 5-06-003634-0 Ó ГУП «Издательство «Высшая школа», 2001

Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запреща­ется.

Предисловие

Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений и предназ­начено для студентов высших технических учебных заведений дневной формы обучения с ограниченным числом часов по физике, с возможностью его использования на вечерней и заочной формах обучения.

Небольшой объем учебного пособия достигнут с помощью тщательного отбора и лаконичного изложения материала.

Книга состоит из семи частей. В первой части дано систематическое изложение физических основ классической механики, а также рассмотрены элементы специальной (частной) теории относительности. Вторая часть посвящена основам молекулярной физики и термодинамики. В третьей части изучаются электростатика, постоянный электрический ток и электромагнетизм. В четвертой части, посвященной изложению теории колебаний и воли, механические и электромагнитные колебания рассматрива­ются параллельно, указываются их сходства и различия и сравниваются физические процессы, происходящие при соответствующих колебаниях. В пятой части рассмо­трены элементы геометрической и электронной оптики, волновая оптика и квантовая природа излучения. Шестая часть посвящена элементам квантовой физики атомов, молекул и твердых тел. В седьмой части излагаются элементы физики атомного ядра и элементарных частиц.

Изложение материала ведется без громоздких математических выкладок, должное внимание обращается на физическую суть явлений и описывающих их понятий и зако­нов, а также на преемственность современной и классической физики. Все биографичес­кие данные приведены по книге Ю. А. Храмова «Физики» (М.: Наука, 1983).

Для обозначения векторных величин на всех рисунках и в тексте использован полужирный шрифт, за исключением величин, обозначенных греческими буквами, которые по техническим причинам набраны в тексте светлым шрифтом со стрелкой.

Автор выражает глубокую признательность коллегам и читателям, чьи доброжела­тельные замечания и пожелания способствовали улучшению книги. Я особенно призна­тельна профессору Касьянову В. А. за рецензирование пособия и сделанные им замечания.

Автор будет благодарен за замечания и советы по улучшению пособия. Просьба направлять их в издательство «Высшая школа» по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.

Автор

Введение

Предмет физики и ее связь с другими науками

Окружающий вас мир, все существующее вокруг вас и обнаруживаемое нами посред­ством ощущений представляет собой материю.

Неотъемлемым свойством материи и формой ее существования является движение. Движение в широком смысле слова — это всевозможные изменения материи — от простого перемещения до сложнейших процессов мышления.

Разнообразные формы движения материи изучаются различными науками, в том числе и физикой. Предмет физики, как, впрочем, и любой науки, может быть раскрыт только по мере его детального изложения. Дать строгое определение предмета физики довольно сложно, потому что границы между физикой и рядом смежных дисциплин условны. На данной стадии развития нельзя сохранить определение физики только как науки о природе.

Академик А. Ф. Иоффе (1880—1960; российский физик)* определил физику как науку, изучающую общие свойства и законы движения вещества и поля. В настоящее время общепризнано, что вес взаимодействия осуществляются посредством полей, например гравитационных, электромагнитных, полей ядерных сил. Поле наряду с ве­ществом является одной из форм существования материи. Неразрывная связь поля и вещества, а также различие в их свойствах будут рассмотрены по мере изучения курса.

*Все данные приведены по биографическому справочнику Ю. А. Храмова «Физики» (М.: Наука, 1983).

 

Физика — наука о наиболее простых и вместе с тем наиболее общих формах движения материи и их взаимных превращениях. Изучаемые физикой формы движения материи (механическая, тепловая и др.) присутствуют во всех высших и более сложных формах движения материи (химических, биологических и др.). Поэтому они, будучи наиболее простыми, являются в то же время наиболее общими формами движения материи. Высшие и более сложные формы движения материи — предмет изучения других наук (химии, биологии и др.).

Физика тесно связана с естественными науками. Эта теснейшая связь физики с другими отраслями естествознания, как отмечал академик С. И. Вавилов (1891—1955; российский физик и общественный деятель), привела к тому, что физика глубочайшими корнями вросла в астрономию, геологию, химию, биологию и другие естественные науки. В результате образовался ряд новых смежных дисциплин, таких, как астрофизика, биофизика и др.

Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь имеет двусторонний характер. Физика выросла из потребностей техники (развитие механики у древних греков, например, было вызвано запросами строительной и военной техники того времени), и техника, в свою очередь, определяет направление физических исследований (напри­мер, в свое время задача создания наиболее экономичных тепловых двигателей вызвала бурное развитие термодинамики). С другой стороны, от развития физики зависит технический уровень производства. Физика — база для создания новых отраслей тех­ники (электронная техника, ядерная техника и др.).

Бурный темп развития физики, растущие связи ее с техникой указывают на значи­тельную роль курса физики во втузе: это фундаментальная база для теоретической подготовки инженера, без которой его успешная деятельность невозможна.

Единицы физических величин

Основным методом исследования в физике является опит — основанное на практике чувственно-эмпирическое познание объективной действительности, т. е. наблюдение исследуемых явлений в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом явлений и многократно воспроизводить его при повторении этих условий.

Для объяснения экспериментальных фактов выдвигаются гипотезы. Гипотеза — это научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо явления и требующее проверки на опыте и теоретического обоснования для того, чтобы стать достоверной научной теорией.

В результате обобщения экспериментальных фактов, а также результатов деятель­ности людей устанавливаютсяфизические законы — устойчивые повторяющиеся объективные закономерности, существующие в природе. Наиболее важные законы устанавливают связь между физическими величинами, для чего необходимо эти вели­чины измерять. Измерение физической величины есть действие, выполняемое с помо­щью средств измерений для нахождения значения физической величины в принятых единицах. Единицы физических величин можно выбрать произвольно, но тогда возник­нут трудности при их сравнении. Поэтому целесообразно ввести систему единиц, охватывающую единицы всех физических величин.

Для построения системы единиц произвольно выбирают единицы для нескольких не зависящих друг от друга физических величии. Эти единицы называютсяосновными.Остальные же величины и их единицы выводятся из законов, связывающих эти величины и их единицы с основными. Они называютсяпроизводными.

В настоящее время обязательна к применению в научной, а также в учебной литературе Система Интернациональная (СИ), которая строится на семи основных единицах — метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела — и двух допол­нительных — радиан и стерадиан.

Метр (м) — длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 с.

Килограмм (кг) — масса, равная массе международного прототипа килограмма (платиноиридиевого цилиндра, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа).

Секунда (с) — время, равное 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

Ампер (А) — сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создаст между этими проводниками силу, равную 2×10^–7 Н на каждый метр длины.

Кельвин (К) — 1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды.

Моль (моль) — количество вещества системы, содержащей столько же структур­ных элементов, сколько атомов содержится в нуклиде ¹²С массой 0,012 кг.

Кандела (кд) — сила света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540×10¹² Гц, энергетическая сила света кото­рого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср.

Радиан (рад) — угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.

Стерадиан (ср) — телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Для установления производных единиц используют физические законы, связыва­ющие их с основными единицами. Например, из формулы равномерного прямолиней­ного движения v=s/t (s – пройденный путь, t — время) производная единица скорости получается равной 1 м/с.

1 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Глава 1 Элементы кинематики

§ 1. Модели в механике. Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения

Механика — часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.Механическое движе­ние — это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей.

Развитие механики как науки начинается с III в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед (287—212 до н. э.) сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564—1642) н окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643—1727).

Механика Галилея—Ньютона называетсяклассической механикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света с в вакууме. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью с, изучаютсярелятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности, сформулированной А. Эйнштейном (1879—1955). Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприменимы — они заменяются законами китовой механики.

В первой части нашего курса мы будем изучать механику Галилея—Ньютона, т.е. рассматривать движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости с. В классической механике общепринята концепция пространства и времени, разработанная И. Ньютоном и господствовавшая в естествознании на протяжении XVII—XIX вв. Механика Галилея—Ньютона рассматривает пространство и время как объективные формы существования материи, но в отрыве друг от друга и от движения материальных тел, что соответствовало уровню знаний того времени.

Механика делится на три раздела: I) кинематику; 2) динамику; 3) статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают.

Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменя­ют это движение.

Статика изучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.

Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью являетсяматериальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Понятие материальной точки — абстрактное, но его введение облегчает решение практических задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки.

Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек. В механике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.

Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е. изменять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель — абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступатель­ного и вращательного движений. Поступательное движение — это движение, при кото­ром любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.

Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо друго­му, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета. С ним связывается система отсчета — совокупность системы координат и часов, связанных с телом от­счета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y и z или радиусом-вектором r, проведенным из начала системы координат в данную точку (рис. 1).

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями

x = x(t), у = y(t), z = z(t), (1.1)

эквивалентными векторному уравнению

r = r(t). (1.2)

Уравнения (1.1) и соответственно (1.2) называютсякинематическими уравнениями дви­женияматериальной точки.

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в про­странстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка свободно движется в пространстве, то, как уже было сказано, она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у и z), если она движется по некоторой поверхности, то двумя степенями свободы, если вдоль некоторой линии, то одной степенью свободы.

Исключая t в уравнениях (1.1) и (1.2), получим уравнение траектории движения материальной точки. Траектория движения материальной точки — линия, описыва­емая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис. 2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути Ds и является скалярной функцией времени: Ds = Ds(t). Вектор Dr = r —r₀, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением.

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения |Dr| равен пройденному пути Ds.

§ 2. Скорость

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направ­ление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор r₀ (рис. 3). В течение малого промежутка времени Dt точка пройдет путь Ds и получит элементарное (бесконечно малое) перемещение Dr.

Вектором средней скорости <v> называется отношение приращения Dr радиу­са-вектора точки к промежутку времени Dt:

(2.1)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением Dr. При неог­раниченном уменьшении Dt средняя скорость стремится к предельному значению, которое называетсямгновенной скоростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пре­деле совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траек­тории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения Dt путь Ds все больше будет приближаться к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

(2.2)

Принеравномерном движении — модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной ávñ —средней скоро­стью неравномерного движения:

Из рис. 3 вытекает, что ávñ> |ávñ|, так как Ds > |Dr|, и только в случае прямолиней­ного движения

Если выражение ds = vdt (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пре­делах от t до t + Dt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Dt:

(2.3)

В случаеравномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁ до t₂, дается интегралом

§ 3. Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотримплоское движение, т.е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За время Dt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v₁ = v + Dv. Перенесем вектор v₁ в точку А и найдем Dv (рис. 4).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Dt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Dv к интервалу вре­мени Dt

Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент време­ни t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение a есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Dv на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор , по модулю равный v₁. Очевидно, что вектор , равный , определяет изменение скорости за время Dt по моду­лю: . Вторая же составляющая вектора Dv характеризует изменение ско­рости за время Dt по направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка…

Задачи

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s=A+Bt+Ct²+Dt³ (С=0,1 м/с², D=0,03 м/с³). Определить: 1) время после начала движения, через которое ускорение а тела будет равно 2 м/с²; 2) среднее ускорение áаñ тела за этот промежу­ток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с²]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к гори­зонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]

1.3. Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением w = 2At + 5Bt⁴ (A = 2 рад/с² и B = 1 рад/с⁵). Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделан­ных колесом за это время. [а=8,5 м/с²; N=0,48]

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r=4 м, задается уравне­нием a_n=A+Bt+Ct² (А=1 м/с², B=6 м/с³, С=3 м/с⁴). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t₁= 5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t₂=1 с. [1) 6 м/с²; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с²]

1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин^–1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с²; 2) 240]

1.6. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j=A+Bt+Ct²+Dt³ (B=1 рад/с, С=1 рад/с², D=1 рад/с³). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение ; 2) нормальное ускорение а_n; 3) полное ускорение а. [1) 1,4 м/с²; 2) 28,9 м/с²; 3) 28,9 м/с²]

Глава 2 Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

§ 5. Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведаны в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10^–12 их значения).

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила— это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

§ 6. Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — основной закон динамики поступательного движения — от­вечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:

а ~ F (т = const). (6.1)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно

а ~ 1/т (F = const). (6.2)

Используя выражения (6.1) и (6.2) и учитывая, что сила и ускорение—величины векторные, можем записать

а = kF/m. (6.3)

Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда

или

(6.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:

(6.5)

Векторная величина

(6.6)

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материаль­ной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

(6.7)

Это выражение — более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изме­нения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг×м/с².

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае равенст­ва нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (6.7).

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F=ma разложена на два компонен­та: тангенциальную силу F_t, (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу F_n (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и , а также , можно записать:

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

§ 7. Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим зако­ном Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F₁₂ = – F₂₁, (7.1)

где F₁₂ — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

F₂₁ — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и явля­ются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

§ 8. Силы трения

Обсуждая до сих пор силы, мы не интересовались их происхождением. Однако в меха­нике мы будем рассматривать различные силы: трения, упругости, тяготения.

Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедля­ет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существова­нием силы трения, которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел. Силы трения могут быть разной природы, но в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения, качения или верчения.

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазоч­ной прослойки »0,1 мкм и меньше).

Обсудим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей; в случае же очень гладких поверх­ностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рис. 11), к которому приложена горизон­тальная сила F. Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила F будет больше силы трения F_тр. Французские физики Г. Амонтон (1663—1705) и Ш. Кулон (1736—1806) опытным путем установили следующий закон: сила трения скольжения F_тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

F_тр = f N,

где f — коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Найдем значение коэффициента трения. Если тело находится на наклонной плоско­сти с углом наклона a (рис.12), то оно приходит в движение, только когда тангенциаль­ная составляющая F силы тяжести Р больше силы трения F_тр. Следовательно, в пре­дельном случае (начало скольжения тела) F=F_тр. или Psin a₀ = f N = f P cos a₀, откуда

f = tga₀.

Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла a₀, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.

Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения

F_тр = f _ист (N + Sp₀),

где р₀ — добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S — пло­щадь контакта между телами; f_ист — истинный коэффициент трения скольжения.

Трение играет большую роль в природе и технике. Благодаря трению движется транспорт, удерживается забитый в стену гвоздь и т. д.

В некоторых случаях силы трения оказывают вредное действие и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьша­ется примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между этими поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят друг относительно друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим внут­ренним трением жидкости.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольже­ния трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

F_тр=f_к N/r, (8.1)

где r — радиус катящегося тела; f_к — коэффициент трения качения, имеющий размер­ность dim f_к =L. Из (8.1) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

§ 9. Закон сохранения импульса. Центр масс

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокуп­ность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механичес­кой системы называются — внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и проти­воположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m₁, m₂,.... m_n, и v₁, v₂,..., v_n. Пусть — равнодейст­вующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a — равно­действующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения, получаем

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

или

(9.1)

 

 

где — импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выпол­няется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импуль­са — фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симмет­рии пространства — его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Отметим, что, согласно (9.1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В механике Галилея—Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

где m_i и r_i — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = m_iv_i , a есть импульс р системы, можно написать

(9.2)

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

(9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собойзакон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается непо­движным.

§ 10. Уравнение движения тела переменной массы

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т — dm, а скорость станет равной v + dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt

где u — скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

(учли, что dmdv — малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому

или

(10.1)

Второе слагаемое в правой части (10.1) называютреактивной силой Fp. Если u про­тивоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.

Таким образом, мы получилиуравнение движения тела переменной массы

(10.2)

которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859—1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы­валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К. Э. Циолковский (1857—1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отече­ственной космонавтики.

Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относитель­но ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в на­чальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m₀, то С = u ln(m₀). Следовательно,

v = u ln (m₀/m). (10.3)

Это соотношение называетсяформулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m₀; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью с распространения света в вакууме.

Задачи

2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Опреде­лить скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффициент трения 0,15. [10,9 м/с]

2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли? [28 м/с]

2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы a = 30° и b=45°. Гири равной массы (m₁=m₂=2 кг) соединены нитью, перекинутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные плоскости равными f₁=f₂=f=0,1 и пренебрегая трением в блоке, определить: 1) ускорение, с которым движутся гири; 2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м/с²; 2) 12 Н]

2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой производится выстрел вдоль полотна под углом a=45° к горизонту. Масса платформы с пушкой М=20 т, масса снаряда m=10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами f = 0,002. Определить скорость снаряда, если после выстрела платформа откатилась на рас­стояние s=3 м. [v₀=M/(mcosa)=970м/с]

2.5. На катере массой m=5 т находится водомет, .выбрасывающий μ=25 кг/с воды со скоро­стью и=7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную скорость катера. [1) v=u (1—exp^(–μt/m) = 4,15 м/с; 2) 7 м/с]

Глава 3 Работа и энергия

§11. Энергия, работа, мощность

Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С раз­личными формами движения материи связывают различные формы энергии: механи­ческую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движе­ния материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в дру­гих — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той иди иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол a с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F_s на направление перемещения (F_s= Fcosa), умноженной на перемещение точки приложения силы:

(11.1)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементар­ное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения — прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

где a — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; F_s — проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

(11.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F_s, от пути s вдоль траектории 1—2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определяется на графике площадью заштрихованной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const и a=const, то получим

где s — пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).

Из формулы (11.1) следует, что при a < p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F_s совпадает по направлению с вектором скорости движе­ния v (см. рис. 13). Если a > p/2, то работа силы отрицательна. При a = p/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы —джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н × м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

(11.3)

За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности —ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

§ 12. Кинетическая и потенциальная энергии

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона и умножая на перемещение dr получаем

Так как то dA = mv dv=mvdv=dT, откуда

Таким образом, тело массой т, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией

(12.1)

Из формулы (12.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (12.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньюто­на. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их вза­имным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипатнвной; ее примером является сила трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении кон­фигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

(12.2)

Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение (12.2) можно записать в виде

(12.3)

Следовательно, если известна функция П(r), то из формулы (12.3) можно найти силу F по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как

где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точ­ностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физи­ческих законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энер­гию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают от­носительно нулевого уровня. Для консервативных сил

или в векторном виде

(12.4)

где

(12.5)

(i, j, k — единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом скаляра П.

Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называемыйоператором Гамильтона*илинабла-оператором:

(12.6)

 

* У. Гамильтон (1805—1865) — ирландский математик и физик.

 

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

(12.7)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П₀=0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h' ), П= —mgh'.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

где F_{x упp} — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак минус указывает, что F_{x упp} направлена в сторону, противоположную деформации x.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе уп­ругости и противоположно ей направлена, т. е.

Элементарная работа dA, совершаемая силой F_x при бесконечно малой деформации dx, равна

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и вза­имодействия:

т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

§ 13. Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711—1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814—1878) и немецким естествоиспыта­телем Г. Гельмгольцем (1821—1894).

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂,..., m_n, движущихся со скоростями v₁, v₂,..., v_n. Пусть , ,..., — равнодействующие внутренних консер­вативных сил, действующих на каждую из этих точек, a F₁, F₂, ..., F_n — равнодейст­вующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначимf₁, f₂, ..., f_n. При v<<c массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные dr₁, dr₂, ..., dr_n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr_i==v_i dt, получим

Сложив эти уравнения, получим

(13.1)

Первый член левой части равенства (13.1)

где dT — приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).

Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил, дейст­вующих на систему. Таким образом,имеем

(13.2)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состоя­ния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

d (T+П) = 0,

откуда

(13.3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохранение механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия со­храняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однород­ность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продо­лжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем — диссипативные системы, в которых механичес­кая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и об­ратно в эквивалентных количествах так, что полная энергия остается неизменной. Этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон сохранения и превращения энер­гии — фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопичес­ких тел, так и для систем микротел.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезнове­нии» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии друго­го вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

§ 14. Графическом представление энергии

Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т. е. П=П (х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента назы­вается потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

Будем рассматривать только консервативные системы, т. е. системы, в которых взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (13.3). Рассмотрим графическое пред­ставление потенциальной энергии для тела в однородном поле тяжести и для упругодеформированного тела.

Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, согласно (12.7), П (h)=mgh. График данной зависимости П = П(h) — прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 15), угол наклона которой к оси h тем больше,чем больше масса тела (так как tga=mg).

Пусть полная энергия тела равна Е (ее график — прямая, параллельная оси h). На высоте h тело обладает потенциальной энергией П, которая определяется отрезком вертикали, заключенным между точкой h на оси абсцисс и графиком П(h). Естествен­но, что кинетическая энергия Т задается ординатой между графиком П(h) и горизон­тальной прямой ЕЕ. Из рис. 15 следует, что если h=h_max, то Т=0 и П=E=mgh_max, т. е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.

Из приведенного графика можно найти скорость тела на высоте h:

откуда

Зависимость потенциальной энергии упругой деформации П=кх²/2 от деформации х имеет вид параболы (рис. 16), где график заданной полной энергии тела Е — прямая, параллельная оси абсцисс х, а значения Т и П определяются так же, как на рис. 15. Из рис. 16 следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия тела воз­растает, а кинетическая — уменьшается. Абсцисса x_max определяет максимально воз­можную деформацию растяжения тела, a –х_max — максимально возможную дефор­мацию сжатия тела. Если х = ±х_max, то T=0 и П=E=k/2, т. е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.

 

Из анализа графика на рис. 16 вытекает, что при полной энергии тела, равной Е, тело не может сместиться правее х_max и левее –х_max, так как кинетическая энергия не может быть отрицательной и, следовательно, потенциальная энергия не может быть больше полной энергии. В таком случае говорят, что тело находится впотенциальной яме с координатами – х_max £ x £ х_max.

В общем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (рис. 17). Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е — заданная полная энергия частицы, то частица может находиться только там, где П(х) £ Е, т. е. в областях I и III. Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьер CDG, ширина которого равна интервалу значе­ний х, при которых E < П, а его высота определяется разностью П_mах–E. Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I частица с полной энергией Е оказывается «запертой» в потенциальной яме AВС и совершает колебания между точками с координатами х_A и х_C.

В точке В с координатой х₀ (рис. 17) потенциальная энергия частицы минимальна. Так как действующая на частицу сила (см. § 12) (П — функция только одной координаты), а условие минимума потенциальной энергии , то в точке В —F_x = 0. При смещении частицы из положения х₀ (и влево и вправо) она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение х₀ является положениемустойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки (для П_max). Однако эта точка соответствует положениюнеустойчивого равновесия, так как при смещении частицы из положения появляется сила, стремящаяся удалить ее от этого положения.

§ 15. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение)—это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Помимо ударов в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров) сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процес­се их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения пока­зывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и да удара называется коэффициентом восстановления e:

Если для сталкивающихся тел e=0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если e=1 — абсолютно упругими. На практике для всех тел 0 < e < 1 (например, для стальных шаров e»0,56, для шаров из слоновой кости e»0,89, для свинца e»0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой степенью точности рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называетсялинией удара. Удар называетсяцентральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энер­гия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (подчеркнем, что это идеализированный случай).

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорости шаров массами т₁ и m₂ до удара через v₁ и v₂, после удара—через и (рис. 18). В случае прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицатель-нос — движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

(15.1)

(15.2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим

(15.3)

(15.4)

откуда

(15.5)

Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим

(15.6)

(15.7)

Разберем несколько примеров.

1. При v₂=0

(15.8)

(15.9)

Проанализируем выражения (15.8) в (15.9) для двух шаров различных масс:

а) т₁=т₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (v₂=0) (рис. 19), то после удара остановится первый шар (=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара ();

б) т₁>т₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (<v₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (>) (рис. 20);

в) т₁<т₂. Направление движения первого шара при ударе изменяется—шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. <v₁ (рис. 21);

г) т₂>>т₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что = –v₁, »2m₁v₁/m₂»0.

2. При т₁=т₂ выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид

т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстре­чу друг другу (рис. 22).

Если массы шаров т₁ и т₂, их скорости до удара v₁ и v₂, то, используя закон сохранения импульса, можно записать

где v — скорость движения шаров после удара. Тогда

(15.10)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (т₁=т₂), то

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (15.10), получаем

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v₂=0), то

Когда m₂>>m₁ (масса неподвижного тела очень большая), то v<<v₁ и почти вся кинети­ческая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m₁>>m₂), тогда v»v₁ и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.

Задачи

3.1. Определить: 1) работу поднятия груза по наклонной плоскости; 2) среднюю и 3) максималь­ную мощности подъемного устройства, еслимасса груза 10 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту 45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема 2 с. [1) 173 Дж; 2) 86 Вт; 3) 173 Вт]

3.2.С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая со­противлением воздуха, определить: 1) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия 60 Дж: 2) потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с; 2) 88,6 Дж]

3.3. Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту, с которой должна скатываться тележ­ка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала полную петлю и не выпала из желоба. [25 м]

3.4. Пуля массой m=10 г, летевшая горизонтально со скоростью v=500 м/с, попадает в балли­стический маятник длиной l=1 м и массой M=5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника. [18°30']

3.5. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается выражением П (r) = , где А и В — положительные постоянные. Определить значение r₀, соответствующее равновесному положению частицы. Является ли это положение положением устойчивого равновесия? [r₀=2A/B]

3.6. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой т₁ ударяется о по­коящееся тело массой m₂, в результате чего скорость первого тела уменьшается в n=1,5 ра­за. Определить: 1) отношение m₁/m₂; 2) кинетическую энергию Т₂ второго тела, если первоначальная кинетическая энергия первого тела T₁=1000 Дж. [1) 5; 2) 555 Дж]

3.7. Тело массой т₁=4 кг движется со скоростью v₁=3 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты, выделившееся при ударе. [9 Дж]

Глава 4 Механика твердого тела

§ 16. Момент инерции

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерциисистемы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равнаясумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 23). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ=r²dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r—плотность материала, то dm=2prhrdr и dJ=2phrr^зdr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как pR²h — объем цилиндра, то его масса m=pR²hr, а момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

(16.1)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Таблица 1

§ 17. Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т₁, т₂ ,..., т_n , находящиеся на расстоянии r₁, r₂,..., r_n от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами m_i опишут окружности различных радиусов r_i, и имеют различные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

(17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получаем

где J_z — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

(17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела движущегося поступательно (T=mv²/2), следует, что момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m — масса катящегося тела; v_c — скорость центра масс тела; Jc — момент инер­ции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w — угловая скорость тела.

§ 18. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

(18.1)

где a— угол между r и F; r sina = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О —плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 27). Пусть сила F приложе­на в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, a — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения В проходит путь ds=rdj и работа равна произведе­нию проекции силы на направление смещения на величину смещения:

(18.2)

Учитывая (18.1), можем записать

где Frsin a = Fl =M_z — момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но поэтому M_zdj = J_zwdw, или

Учитывая, чтополучаем

(18.3)

Уравнение (18.3) представляет собойуравнение динамики вращательного движения твердого телаотносительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции (см. § 20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

(18.4)

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

§ 19. Момент импульса и закон то сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества движения)материальной точки Аотносительно неподвижной точки Оназывается физическая величина, определяемая векторным произ­ведением:

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv — импульс мате­риальной точки (рис. 28); L — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

Модуль вектора момента импульса

где a — угол между векторамиrир,l — плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдель­ная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой скоро­стью v_i . Скорость v_i и импульс m_iv_i перпендикулярны этому радиусу, т. с. радиус является плечом вектора m_iv_i . Поэтому можем записать, что момент импульса отдель­ной частицы равен

(19.1)

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Монет импульса твердого телаотносительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу (17.1) v_i = wr_i, получим

т. е.

(19.2)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

т. е.

Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твер­дого телаотносительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

(19.3)

В замкнутой системе момент внешних сил откуда

(19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы от­счета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели (рис. 29), приведен во вращение с угловой скоростью w₁. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения w₂ возрастает. Аналогич­но, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл. 2).

Таблица 2

§ 20. Свободные оси. Гироскоп

Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существу­ют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называютсясвободными осями (илиосями свободного вращения). Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называютсяглавными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней (рис. 30). Для однородного цилиндра одной из главных осей инерции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения тела.

Можно показать, что вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепи­педа, приведя его одновременно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращать­ся вокруг осей 1 и 2 (рис. 30).

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, закреплен­ный к шпинделю центробежной машины, привести в быстрое вращение, то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикуляр­ной оси палочки и проходящей через ее середину (рис. 31). Это и есть ось свободного вращения (момент инерции при этом положении палочки максимальный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внешних связей (аккурат­но снять верхний конец нити с крючка шпинделя), то положение оси вращения в пространстве в течение некоторого времени сохраняется. Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы — массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардановом подве­се (рис. 32). Дискообразное тело — гироскоп — закреплено на оси АА, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей горизонтальной оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являющейся центром масс гироскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в пространстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.

Таккак трение в подшипниках мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (например, с помо­щью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помо­щью основного закона динамики вращательного движения. Для свободно враща­ющегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его свободной оси, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения С совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения (19.3), L = const. т. е. момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направле­ние в пространстве. Следовательно, вместе с ним сохраняет свое положение в простран­стве и ось гироскопа.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, согласно (19.3), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее названиегироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа (рис. 33) поворачивается вокруг прямой О₃О₃, а не вокруг прямой O₂O₂ , как это казалось бы естественным на первый взгляд (O₁O₁ и O₂O₂ лежат в плоскости чертежа, а О₃О₃ и силы F перпендикулярны ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой О₂О₂. За время dt момент импульса L гироскопа получит приращение dL=Mdt (направление dL совпадает с направлением М) и станет равным L'=L+dL. Направление вектора L' совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О₃О₃. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил М и велик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное дейст­вие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Их действие необходимо учитывать при констру­ировании устройств, содержащих быстровращающиеся массивные составные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсчета и явля­ются частным случаем кориолисовой силы инерции (см. § 27).

Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гироскопов — поддер­жание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авто­рулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва ветра и т. д.) положение оси гироскопа в про­странстве сохраняется. Следовательно, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается относительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

Впервые гироскоп применен французским физиком Ж. Фуко (1819—1868) для доказательства вращения Земли.

§ 21. Деформации твердого тела

Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердого тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

Деформация называетсяупругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму.Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называютсяпластическими (или остаточными). Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать упругие деформации, что мы и будем делать.

В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 34), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы F₁ и F₂ (F₁=F₂=F), в результате чего длина стержня меняется на величину Dl. Естественно, что при растяжении Dl положительно, а при сжатии отрицательно.

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называетсянапряже­нием:

(21.1)

Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называетсянормальным,если же по касательной к поверхности —тангенциальным.

Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой те­лом, является егоотносительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация)

(21.2)

относительное поперечное растяжение (сжатие)

где d — диаметр стержня.

Деформации e и e' всегда имеют разные знаки (при растяжении Dl положительно, a Dd отрицательно, при сжатии Dl отрицательно, a Dd положительно). Из опыта вытекает взаимосвязь e и e':

где m — положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона*.

Английский физик Р. Гук (1635—1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение e и напряжение s прямо пропорциональны друг другу:

(21.3)

где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга**. Из выражения (21.3) видно, что модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относитель­ное удлинение, равное единице.

Из формул (21.2), (21.3) и (21.1) вытекает, что

или

(21.4)

где k—коэффициент упругости. Выражение (21.4) также задает закон Гука, согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

* С. Пуассон (1781—1840) — французский ученый.

** Т. Юнг (1773—1829) — английский ученый.

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений, качественный ход которой мы рассмотрим для металлического образца (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s(e), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемогопредела пропорциональности (s_п). При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость s(e) уже нелинейна) и допредела упругости (s_у) остаточные деформации не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, а параллельной ей — CF. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (»0,2%), называетсяпределом текучести(s_т) — точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называетсяобластью текучести (или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести зна­чительна, называются вязкими, для которых же она практически отсутствует —хруп­кими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Мак­симальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называетсяпределом прочности (s_р).

Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных факторов. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим.

Вычислим потенциальную энергию упругорастянутого (сжатого) стержня, которая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:

где х — абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от 0 до Dl. Согласно закону Гука (21.4), F=kx=ESx/l. Поэтому

т. е. потенциальная энергия упругорастянутого стержня пропорциональна квадрату деформации (Dl)².

Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу F_t , (рис. 36), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулы

где Ds — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между слоями (для малых углов tgg»g).

Задачи

4.1. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Определить: 1) отноше­ние скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) их отношение в данный момент време­ни. [1) 14/15; 2) 14/15]

4.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом R=0,5 м приложена постоянная касатель­ная сила F=100 H. При вращении диска на него действует момент сил трения М=2 Н×м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение в постоянно и равно 12 рад/с². [32 кг]

4.3. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m=1 кг перекину­та невесомая нить, к концам которой прикреплены тепа массами m₁=1 кг и m₂=2 кг. Прене­брегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношения Т₂/Т₁ сил на­тяжения нити. [1) 2,8 м/с²; 2) 1,11]

4.4. Скорость вращения колеса, момент инерции которого 2 кг×м², вращающегося при торможении равнозамедленно, за время t=1 мин уменьшилась от n₁=300 мин^–1 до n₂=180 мин^–1. Определить: 1) угловое ускорение e колеса; 2) момент М силы торможения; 3) работу силы торможения. [1) 0,21 рад/с²; 2) 0,42 Н×м; 3) 630 Дж]

4.5. Человек массой m=80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой M=100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n₁=10 мин^–1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека —точеч­ной массой, определить, с какой частотой n₂ будет тогда вращаться платформа. [26 мин^–1]

4.6. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм², модуль Юнга для алюминия E=69 ГПа. [Dl/l==0,03]

Глава 5 Тяготение. Элементы теории поля

§ 22. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения

Еще в глубокой древности было замечено, что в отличие от звезд, которые неизменно сохраняют свое взаимное расположение в пространстве в течение столетий, планеты описывают среди звезд сложнейшие траектории. Для объяснения петлеобразного дви­жения планет древнегреческий ученый К. Птоломей (II в. н. э.), считая Землю рас­положенной в центре Вселенной, предположил, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр которого равномерно движется по большому кругу, в центре которого находится Земля. Эта концепция получила название птоломеевой геоцентрической системы мира.

В начале XVI в. польским астрономом Н. Коперником (1473—1543) обоснована гелиоцентрическая система (см. § 5), согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Теория и наблюдения Коперника воспринимались как занимательная фантазия.

К началу XVII столетия большинство ученых убедилось, однако, в справедливости гелиоцентрической системы мира. И. Кеплер (1571—1630), обработав и уточнив ре­зультаты многочисленных наблюдений датского астронома Т. Браге (1546—1601), изложил законы движения планет:

1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы боль­ших полуосей их орбит.

Впоследствии И. Ньютон, изучая движение небесных тел, на основании законов Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m₁ и т₂) и обратно пропорци­ональная квадрату расстояния между ними (r²):

(22.1)

Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент пропорциональности G называется гравитаци­онной постоянной.

Закон всемирного тяготения установлен для тел, принимаемых за материальные точки, т. е. для таких тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если же размеры взаимодействующих тел сравнимы с расстоянием между ними, то эти тела надо разбить на точечные элементы, подсчитать по формуле (22.1) силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем геометрически их сложить (проинтегрировать), что является довольно сложной математической задачей.

Впервые экспериментальное доказательство закона всемирного тяготения для зем­ных тел, а также числовое определение гравитационной постоянной G проведено английским физиком Г. Кавендишем (1731—1810). Принципиальная схема опыта Кавендиша, применившегокрутильные весы, представлена на рис. 37. Легкое коромысло А с двумя одинаковыми шариками массой m=729 г подвешено на упругой нити В. На коромысле С укреплены на той же высоте массивные шары массой M=158 кг. Поворачивая коромысло С вокруг вертикальной оси, можно изменять расстояние между шарами с массами т и М. Под действием пары сил, приложенных к шарам т со стороны шаров М, коромысло А поворачивается в горизонтальной плоскости, закручи­вая нить В до тех пор, пока момент сил упругости не уравновесит момента сил тяготения. Зная упругие свойства нити, по измеренному углу поворота можно найти возникающие силы притяжения, а таккак массы шаров известны, то и вычислить значение G.

Значение G, приводимое в таблицах фундаментальных физических постоянных, принимается равным 6,6720×10^–11 Н×м/кг², т. е. два точечных тела массой по 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, притягиваются с силой 6,6720×10^–11 H. Очень малая величина G показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае больших масс.

§ 23. Сила тяжести и вес. Невесомость

На любое тело, расположенное вблизи поверхности Земли, действует сила тяготения F, под влиянием которой и в согласии со вторым законом Ньютона тело начнет двигать­ся с ускорением свободного падения g. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой т действует сила

называемаясилой тяжести.

Согласно фундаментальному физическому закону —обобщенному закону Галилея,все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Следова­тельно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториаль­ный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с².

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой:

где М — масса Земли; R — расстояние между телом и центром Земли. Эта формула дана для случая, когда тело находится на поверхности Земли.

Пусть тело расположено на высоте h от поверхности Земли, R₀ — радиус Земли, тогда

т. е. сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается.

В физике применяется также понятие веса тела.Весом тела называют силу, с кото­рой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удержива­ющую тело от свободного падения. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состояниемневесомости.

Таким образом, сила тяжести действует всегда, а вес проявляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением а, отличным от g. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением a¹g, то к этому телу приложена дополнительная сила N, удовлет­воряющая условию

Тогдавес тела

т. е. если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то а=0 иP'=mg.Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории и в любом направлении, тоa=g и Р'=0, т. е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе.

§ 24. Поле тяготения и то напряженность

Закон тяготения Ньютона определяет зависимость силы тяготения от масс взаимодей­ствующих тел и расстояния между ними, но не показывает, как осуществляется это взаимодействие. Тяготение принадлежит к особой группе взаимодействий. Силы тяго­тения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой т, внесенное в это поле, действует сила тяготения, т. е.

(24.1)

Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения.Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряжен­ность есть силовая характеристика поля тяготения.

Поле тяготения называетсяоднородным, если его напряженность во всех точках одинакова, ицентральным, если во всех точках поля векторы напряженности направ­лены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке (А), неподвижной по отноше­нию к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис. 38).

Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые линии выбираются так, что вектор напряженности поля направлен по касательной к силовой линии.

§ 25. Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения

Определим работу, совершаемую силами поля тяготения при перемещении в нем материальной точки массой т. Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела массой т от Земли. На расстоянии R (рис. 39) на данное тело действует сила

При перемещении этого тела на расстояние dR совершается работа

(25.1)

Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае проти­воположны по направлению (рис. 39).

Если тело перемещать с расстояния R₁ до R₂, то работа

(25.2)

Из формулы (25.2) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т. е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным (см. § 12).

Согласно формуле (12.2), работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т. е.

Из формулы (25.2) получаем

(25.3)

Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то для удобства принимают потенциальную энергию при R₂®¥ равной нулю (П₂=0). Тогда (25.3) запишется в виде П₁= –GmM/R₁. Так как первая точка была выбрана произвольно, то

Величина

является энергетической характеристикой поля тяготения и называется потенциалом. Потенциал поля тяготения j — скалярная величина, определяемая потенциальной энер­гией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен

(25.4)

где R — расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.

Из формулы (25.4) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потен­циалом образует сферическую поверхность (R=const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называютсяэквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом (j) поля тяготения и его напряжен­ностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна

С другой стороны, dA=Fdl (dl — элементарное перемещение). Учитывая (24.1), полу­чаем, что dA=mgdl, т. е. mg0l= —mdj, или

Величина dj/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения. Можно показать, что

(25.5)

где — градиент скаляра j (см. (12.5)). Знак минус в формуле (25.5) показывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания по­тенциала.

В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рассмот­рим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

где R₀ — радиус Земли. Так как

(25.6)

то, учитывая условие h<<R₀, получаем

Таким образом, мы вывели формулу, совпадающую с (12.7), которая постулировалась раньше.

§ 26. Космические скорости

Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.

Первой космической (иликруговой) скоростью v₁ называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом r, действует сила тяготения Земли, сооб­щающая ему нормальное ускорение v/r. По второму закону Ньютона,

Если спутник движется вблизи поверхности Земли, тогда r»R₀ (радиус Земли) и g=GM/R(см. (25.6)), поэтому у поверхности Земли

Первой космической скорости недостаточно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения. Необходимая для этого скорость называется второй космической. Второй космической (или параболической) скоростью v₂ называют ту наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии со­противления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совер­шаемой против сил тяготения:

откуда

Третьей космической скоростью v₃ называют скорость, которую необходимо сооб­щить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость v₃=16,7 км/с. Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной технической задачей. Ее первое теоретическое осмысление начато К. Э. Циолковским, им была выведена уже рассмот­ренная нами формула (10.3), позволяющая рассчитывать скорость ракет.

Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая — при запуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая — при запуске ракеты в 1959 г. После исторического полета Ю. А. Гагарина в 1961 г. начинается бурное развитие космонавтики.

§ 27. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Как уже отмечалось (см. § 5, 6), законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называютсянеинерциальными. В неинерциальных системах законы Нью­тона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода — так называемыесилы инерции.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции F_ин при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обуслов­ленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение а', каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е.

(27.1)

Так как F=ma (a — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил: 1) силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета; 2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета; 3) силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета. Пусть на тележке к штативу на нити подвешен шарик массой т (рис. 40). Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается силой реакции нити Т.

Если тележку привести в поступательное движение с ускорением а₀, то нить начнет отклоняться от вертикали назад до такого угла a, пока результирующая сила F=P+T не обеспечит ускорение шарика, равное а₀. Таким образом, результирующая сила F направлена в сторону ускорения тележки а₀ и для установившегося движения шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением а₀) равна F=mgtga=ma₀, откуда

т. е. угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше ускорение тележки.

Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F_и, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Таким образом,

(27.2)

Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается в повседневных явлениях. Например, когда поезд набирает скорость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторону и пассажир удаляется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны при внезапном торможении поезда. Силы инерции проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью w (w=const) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установлены маятники (на нитях подвешены шарики массой m). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис. 41).

В инерциальной системе отсчета, связанной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Следовательно, на него действует сила, равная F=mw²R и направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести Р и силы натяжения нитиТ: F=P+T. Когда движение шарика установится, то F=mgtga=mw²R, откуда

т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние R от центра шарика до оси вращения дискаи чем больше угловая скорость вращения w.

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возмож­но, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F_ц, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила F_ц, называемаяцентробежной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна

(27.3)

Действию центробежных сил инерции подвергаются, например, пассажиры в движущемся транспорте на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) принимаются специальные меры для уравновешивания це­нтробежных сил инерции.

Из формулы (27.3) вытекает, что центробежная сила инерции, действующая на тела во враща­ющихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения w системы отсчета и радиуса R, но не зависит от скорости тел относительно вращающихся систем отсчета. Следовательно, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Пусть шарик массой m движется с постоянной скоростью v' вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (v'= coast, w =const, v'^w). Если диск не вращается, то шарик, направленный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик катится по кривой OВ (рис. 42, а), причем его скорость v' относительно диска изменяет свое направление. Это возможно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости v'.

Для того чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, используем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движетсябез трения равно­мерно и прямолинейно со скоростью v' (рис. 42, б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Относительно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравновешивается приложенной к шарику силой инерции F_к, перпендикулярной скорости v'. Эта сила называетсякориолисовой силой инерции.

Можно показать, что сила Кориолиса*

(27.4)

* Г. Кориолис (1792—1843) — французский физик и инженер.

 

Вектор F_к перпендикулярен векторам скорости v' тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся системы отсчета, например относительно Земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис. 43), то действующая на него сила Кориолиса,как это следует из выражения (27.4), будет направлена вправо по отношению к направлению движения, т. е. тело несколько отклонится на восток. Если тело движется на юг, то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые, и т. д. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, дейст­вующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.

Благодаря силе Кориолиса падающие на поверхность Земли тела отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно составлять 1 см при падении с высоты 100 м). С силой Кориолиса связано поведение маятника Фуко, явившееся в свое время одним из доказательств вращения Земли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверх­ности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального направления.

Раскрывая содержание F_ии в формуле (27.1), получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

где силы инерции задаются формулами (27.2) — (27.4).

Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействи­ем тел, а ускоренным движением системы отсчета. Поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к данному телу. Два основных положения механики, согласно которым ускорение всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускорением, одновременно не выполняются.

Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах. В инерциальных системах отсчета таких сил не существует.

Возникает вопрос о «реальности» или «фиктивности» сил инерции. В ньютоновской механике, согласно которой сила есть результат взаимодействия тел, на силы инерции можно смотретькак на «фиктивные», «исчезающие» в инерциальных системах отсчета. Однако возможна и другая их интерпретация. Таккак взаимодействия тел осуществляются посредством силовых полей, то силы инерции рассматриваютсякак воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать «реальными». Независимо от того, рассматриваются ли силы инерции в качестве «фиктивных» или «реальных», многие явления, о которых упоминалось в настоящем параграфе, объясняются с помощью сил инерции.

Силы инерции, действующие на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.

При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же,как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

 

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принципа эквивалентности Эйнштей­на): все физические явления в поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответст­вующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассмат­риваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относитель­ности.

Задачи

5.1. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, соприкасаясь друг с другом, притягиваются. Определить, как изменится сила притяжения, если массу шаров увеличить в n=4 раза. [Возрастет в 6,35 раза]

5.2. Плотность вещества некоторой шарообразной планеты составляет 3 г/см³. Каким должен быть период обращения планеты вокруг собственной оси, чтобы на экваторе тела были не­весомыми? [Т==1,9 ч]

5.3. Определить, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз больше массы Луны. [0,9 R]

5.4. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала соприкасаются друг с дру­гом. Определить, как изменится потенциальная энергия их гравитационного взаимодействия, если массу шаров увеличить в четыре раза. [Возрастет в 14,6 раза]

5.5. Два спутника одинаковой массы движутся вокруг Земли по круговым орбитам радиусов R₁ и R₂. Определить: 1) отношение полных энергий спутников (E₁/E₂); 2) отношение их моментов импульса (L₁/L₂). [1) R₂/R₁; 2) ]

5.6. Вагон катится вдоль горизонтального участка дороги. Сила трения составляет 20% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой 10 г. Определить: 1) силу, дей­ствующую на нить; 2) угол отклонения нити от вертикали. [1) 0,10 Н; 2) 11°35']

5.7. Тело массой 1,5 кг, падая свободно в течение 5 с, попадает на Землю в точку с географиче­ской широтой j=45°. Учитывая вращение Земли, нарисовать и определить все силы, дей­ствующие на тело в момент его падения на Землю. [1) 14,7 Н; 2) 35,7 Н; 3) 7,57 мН]

Глава 6 Элементы механики жидкостей

§ 28. Давление в жидкости и газе

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результа­те соударений стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставлен­ный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.

Жидкость же, имея определенный объем, принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекула­ми остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неиз­менным объемом.

Единица давления —паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1м²(1 Па=1 Н/м²).

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняетсязакону Паскаля*: давле­ние в любом месте покоящейся жидкости одинаково по воем направлениям, при­чем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкос­тью.

* Б. Паскаль (1623—1662) — французский ученый.

 

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящей­ся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жид­кости, его высоте h и плотности r вес P=rgSh, а давление на нижнее основание

(28.1)

т. е. давление изменяется линейно с высотой. Давление rgh называетсягидростатичес­ким давлением.

Согласно формуле (28.1), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, определя­емая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

F_А=PgV,

где р — плотность жидкости, V— объем погруженного в жидкость тела.

§ 29. Уравнение неразрывности

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жид­кости — потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S₁ и S₂, перпен­дикулярные направлению скорости (рис. 46).

За время Dt через сечение S проходит объем жидкости SvDt; следовательно, за 1 с через S₁ пройдет объем жидкости S₁v₁, где v₁ — скорость течения жидкости в месте сечения S₁. Через сечение S₂ за 1 с пройдет объем жидкости S₂v₂, где v₂ — скорость течения жидкости в месте сечения S₂. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S₂ пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S₁, т. е.

(29.1)

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на попереч­ное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотноше­ние (29.1) называетсяуравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

§ 30. Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S₁ скорость течения v₁, давление p₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения v₂, давление p₂ и высота сечения h₂. За малый промежуток времени Dt жидкость перемеща­ется от сечения S₁ к сечению , от S₂ к .

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂—E₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

E₂ – E₁ = А,(30.1)

где E₁ и E₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответст­венно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, за рассматриваемый малый промежуток времени Dt. Для перенесения массы m от S₁ до жидкость должна переместиться на расстояние l₁=v₁Dt и от S₂ до — на расстояние l₂=v₂Dt. Отметим, что l₁ и l₂ настоль­ко малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,

А = F₁l₁ + F₂l₂, (30.2)

где F₁=p₁S₁ и F₂= – p₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противополож­ную течению жидкости; рис. 47).

Полные энергии E₁ и E₂ будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

(30.3)

 

(30.4)

 

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

(30.5)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на DV, получим

где р — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

(30.6)

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опуб­ликовано в 1738 г.) и называетсяуравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к устано­вившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называетсястатическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина rv²/2 —динамическим давлением. Как уже указывалось выше (см. § 28), величина rgh представляет собойгидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h₁ =h₂) выражение (30.6) принимает вид

(30.7)

где p+rv²/2 называетсяполным давлением.

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения нераз­рывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давле­ние больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы рядманометров (рис. 48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикреп­ленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого приме­няется трубка Пито — Прандтля (рис. 49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р₀), с помощью дру­гой — статическое (р). Манометром измеряют разность давлений:

(30.8)

где ро — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давле­нию:

(30.9)

Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работыводоструйного насоса (рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавлива­ется и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. =133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жид­костью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 51).

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₂ выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:

Так как давления р₁ и р₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р₁=р₂, то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что v₂/v₁=S₁/S₂, где S₁ и S₂ — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S₁>>S₂, то членом v/2 можно пренебречь и

Это выражение получило название формулы Торричелли.*

* Э. Торричелли (1608—1647) — итальянский физик и математик.

 

§ 31. Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей

Вязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротив­ление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявля­ется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медлен­нее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.

Сила внутреннего трения F тем больше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S (рис. 52), и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. На рисунке представлены два слоя, отстоящие друг от друга на расстоянии Dx и движущиеся со скоростями v₁ и v₂. При этом v₁—v₂=Dv. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями, перпендикулярно скорости течения слоев. Величина показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направле­нию движения слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего трения

(31.1)

где коэффициент пропорциональности m, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью).

Единица вязкости — паскаль-секунда (Па×с): 1 Па×с равен динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения 1 Н на 1 м² поверхности касания слоев (1 Па×с= 1 Н×с/м²).

Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей h с увеличе­нием температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Например, вязкость касторового масла в интервале 18—40°С падает в четыре раза. Российский физик П. Л. Капица (1894—1984; Нобелевская пре­мия 1978 г.) открыл, что при температуре 2,17 К жидкий гелий переходит в сверх­текучее состояние, в котором его вязкость равна нулю.

Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоис­тым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).

Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях ее движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скоро­сти последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние до поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы.

При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоро­стей, перпендикулярные течению, поэтому они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быстро возрастает по мере удаления от поверх­ности трубы, затем изменяется довольно незначительно. Так как частицы жидкости переходят из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличают­ся. Из-за большого градиента скоростей у поверхности трубы обычно происходит образование вихрей.

Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах (рис. 53) отличается от параболического профиля при ламинарном течении более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы и меньшей кривизной в центральной части течения. Характер течения зависит от безразмерной величины, называемойчислом Рейнольдса (О. Рейнольдс (1842—1912) — английский ученый):

где n = h/p—кинематическая вязкость; р—плотность жидкости; <v>—средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы.

При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное тече­ние, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области а при (для гладких труб) течение—турбулентное. Если число Рейнольдса одинаково, то режим течения различных жидкостей (газов) в трубах разных сечений одинаков.

§ 32. Методы определения вязкости

1. Метод Стокса.* Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

* Дж. Стокс (1819—1903) — английский физик и математик.

 

На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести Р=⁴/₃pr³rg (r — плотность шарика), сила Архимеда Р=⁴/₃pr³r'g (r' — пло­тность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом: F=6phrv, где r — радиус шарика, v — его скорость. При равномерном движении шарика

откуда

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жид­кости (газа).

2. Метод Пуазейля.* Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (рис. 54). Сила внутреннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя,

где dS — боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается.

* Ж. Пуазейль (1799—1868) — французский физиолог и физик.

 

Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей на его основание:

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получаем

 

Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис. 53).

За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой

откуда вязкость

§ 33. Движение тел в жидкостях и газах

Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследование движения твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движения морских судов.

На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействующую их обозначим R), одна из которых (R_x) направлена в сторону, противоположную движению тела (в сторону потока), —лобовое сопротивление, а вторая (R_y) перпен­дикулярна этому направлению —подъемная сила (рис. 55).

Если тело симметрично и его ось симметрии совпадает с направлением скорости, то на него действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать, что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопротивления. Если рассмотреть движение цилиндра в такой жидкости (рис. 56), то картина линий тока симметрична как относительно прямой, проходящей через точки А и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D, т. с. результирующая сила давления на поверхность цилиндра будет равна нулю.

Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости (особенно при увеличении скорости обтекания). Вследствие вязкости среды в области, прилегающей к поверх­ности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими скоростями. В результате тормозящего действия этого слоя возникает вращение частиц и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы (нет плавно утончающейся хвостовой части), то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидкости (газа), направ­ленное противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, сле­дуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противоположные стороны (рис. 57).

Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным коэффициентом сопротивления С_x, определя­емым экспериментально:

(33.1)

где r — плотность среды; v — скорость движения тела; S — наибольшее поперечное сечение тела.

Составляющую R_x можно значительно уменьшить, подобрав тело такой формы, которая не способствует образованию завихрения.

Подъемная сила может быть определена формулой, аналогичной (33.1):

где С_у — безразмерный коэффициент подъемной силы.

Для крыла самолета требуется большая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это условие выполняется при малых углах атаки a (угол к потоку); см. рис. 55). Крыло тем лучше удовлетворяет этому условию, чем больше величина К=С_у/С_x называемаякачеством крыла. Большие заслуги в конструировании требу­емого профиля крыла и изучении влияния геометрической формы тела на коэффициент подъемной силы принадлежат «отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921).

Задачи

6.1. Полый железный шар (r =7,87 г/см³) весит в воздухе 5 Н, а в воде (r' = 1 г/см³) — 3 Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определить объем внутренней полости шара. [139 см³]

6.2. Бак цилиндрической формы площадью основания S = 1 м² и объемом V = 3 м³ заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить время t, необходимое для опусто­шения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью S₁ =10 см².

6.3. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой H = 5 м, имеет форму усеченного конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сечения d₁ = 6 см, верхнего — d₂ = 2 см. Вы­сота сопла h = 1 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в сопле, определить: 1) расход воды в 1 с, подаваемой фонтаном; 2) разность Dр давления в нижнем сечении и атмосферного давления. Плотность воды r =1 г/см³. [1) d²/4 = 3,1 х 10^-3 м³/с; 2) Dp = pgh + pgH (1– d/d=58,3 кПа]

6.4. На горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд, в боковой поверхности которого имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше поперечного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии h₁ = 64 см ниже уровня воды в сосуде, который поддерживается постоянным, и на расстоянии h₂ = 25 см от дна сосуда. Пренебрегая вязкостью воды, определить, на каком расстоянии по горизонтали от сосуда падает на поверхность струя, вытекающая из отверстия. [80 см]

6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность r =1,2 г/см³), падает с устано­вившейся скоростью 5 см/с стеклянный шарик (r' = 2,7 г/см³) диаметром 1 мм. Определить динамическую вязкость глицерина. [1,6 Па×с]

6.6. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен на высоте h₁ = 5 см от его дна капилляр внутренним диаметром d = 2 мм и длиной l = 1 см. В сосуде поддерживается постоянный уровеньмашинного масла (плотность r = 0,9 г/см³ и динамичес­кая вязкость h = 0,1 Па×с) на высоте h₂ = 80 см выше капилляра. Определить, на каком расстоянии по горизонтали от конца капилляра падает на поверхность стола струя масла, вытекающая из отверстия.

6.7. Определить наибольшую скорость, которую может приобрести свободно падающий в воз­духе (r=1,29 г/см³) стальной шарик (r' = 9 г/см³) массой m = 20 г. Коэффициент С_х принять равным 0,5. [94 см/с]

Глава 7 Элементы специальной (частной) теории относительности

§ 34. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

В классической механике справедливмеханический принцип относительности (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных систе­мах отсчета.

Для его доказательства рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему K (с координатами х, у, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему K' (с координатами x', у', z'), движущуюся относительно K равномерно и прямолинейно со скоростью u (u=const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольный момент времени t расположение этих систем друг относительно друга имеет вид, изображенный на рис. 58. Скорость u направлена вдоль OO', радиус-вектор, проведенный из О в О', r₀=ut.

Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. Из рис. 58 видно, что

(34.1)

Уравнение (34.1) можно записать в проекциях на оси координат:

(34.2)

Уравнения (34.1) и (34.2) носят название преобразований координат Галилея.

В частном случае, когда система К' движется со скоростью т вдоль положительного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют вид

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относи­тельного движения систем отсчета, т. е. к преобразованиям (34.2) можно добавить еще одно уравнение:

(34.3)

Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики (u<<с), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца* (§ 36).

* Х. Лоренц (1853—1928) — нидерландский физик-теоретик.

 

Продифференцировав выражение (34.1) по времени (с учетом (34.3)), получим уравнение

(34.4)

которое представляет собой правило сложения скоростей в классической механике.

Ускорение в системе отсчета К

Таким образом, ускорение точки А в системах отсчета К и К', движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково:

(34.5)

Следовательно, если на точку А другие тела не действуют (а=0), то, согласно (34.5), и а'=0, т. е. система К' является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится).

Таким образом, из соотношения (34.5) вытекает подтверждение механического принципа относительности: уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т. е. являютсяинвариантными по отношению к преобразованиям координат. Галилей обратил внимание, что никакими механичес­кими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя устано­вить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.

§ 35. Постулаты специальной (частной) теории относительности

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущих­ся с малыми скоростями (v<<с). Однако в конце XIX в. выяснилось, что выводы классической механики противоречат некоторым опытным данным, в частности при изучении движения быстрых заряженных частиц оказалось, что их движение не подчи­няется законам механики. Далее возникли затруднения при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света. Если источник и приемник света движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, то, согласно классической механике, измеренная скорость должна зависеть от относительной скоро­сти их движения. Американский физик А. Майкельсон (1852—1913) в 1881 г., а затем в 1887 г. совместно с Е. Морли (американский физик, 1838—1923) пытался обнаружить движение Земли относительно эфира (эфирный ветер) —опыт Майкельсона — Морли, применяя интерферометр, названный впоследствии интерферометром Майкельсона (см. § 175). Обнаружить эфирный ветер Майкельсону не удалось, как, впрочем, не удалось его обнаружить и в других многочисленных опытах. Опыты «упрямо» показы­вали, что скорости света в двух движущихся друг относительно друга системах равны. Это противоречило правилу сложения скоростей классической механики.

Одновременно было показано противоречие между классической теорией и уравне­ниями (см. § 139) Дж. К. Максвелла (английский физик, 1831—1879), лежащими в ос­нове понимания светакак электромагнитной волны.

Для объяснения этих и некоторых других опытных данных необходимо было создать новую механику, которая, объясняя эти факты, содержала бы ньютоновскую механику как предельный случай для малых скоростей (v<<с). Это и удалось сделать А. Эйнштейну, который пришел к выводу о том, что мирового эфира — особой среды, которая могла бы быть принята в качестве абсолютной системы, — не существует. Существование постоянной скорости распространения света в вакууме находилось в согласии с уравнениями Максвелла.

Таким образом, А. Эйнштейн заложил основыспециальной теории относительности.Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространства и вре­мени, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно (см. § 13), а пространство однородно (см. § 9) и изотропно (см. § 19). Специальная теория относительности часто называется такжерелятивистской теорией,а специфические явления, описываемые этой теорией, —релятивистскими эффектами.

В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна, сфор­мулированные им в 1905 г.

I. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптичес­кие), проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной систе­мы отсчета к другой.

П. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Первый постулат Эйнштейна, являясь обобщением механического принципа от­носительности Галилея на любые физические процессы, утверждает, таким образом, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описывающие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. Согласно этому постулату, все инерциальные системы от­счета совершенно равноправны, т. е. явления (механические, электродинамические, оптические и др.) вовсех инерциальных системах отсчета протекают одинаково.

Согласно второму постулату Эйнштейна, постоянство скорости света — фундаме­нтальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.

Специальная теория относительности потребовала отказа от привычных представ­лений о пространстве и времени, принятых в классической механике, поскольку они противоречили принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолютное время.

Постулаты Эйнштейна и теория, построенная на их основе, установили новый взгляд на мир и новые пространственно-временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий. Эти и другие следствия из теории Эйнштейна находят надежное эксперимен­тальное подтверждение, являясь тем самым обоснованием постулатов Эйнштей­на — обоснованием специальной теории относительности.

§ 36. Преобразования Лоренца

Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что классические преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразова­ниями, удовлетворяющими постулатам теории относительности.

Для иллюстрации этого вывода рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами х, у, z) и К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К (вдоль оси х) со скоростью v = const (рис. 59). Пусть в начальный момент времени t=t'=0, когда начала координат О и О' совпадают, излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна, скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А (рис. 59), пройдя расстояние

х = ct, (36.1)

то в системе К' координата светового импульса в момент достижения точки А

х' = ct'. (36.2)

где t' — время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в си­стеме К'. Вычитая (36.1) из (36.2), получаем

х' – х = c(t' – t).

Так как х' ¹ х (система К' перемещается по отношению к системе К), то

t' ¹ t,

т. е. отсчет времени в системах К и К' различен — отсчет времени имеет относитель­ный характер (в классической физике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково, т. е. t=t').

Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой:

заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна (формулы представлены для случая, когда К' движется относительно К со скоростью v вдоль оси х).

Эти преобразования предложены Лоренцем в 1904 г., еще до появления теории относительности,как преобразования, относительно которых уравнения Максвелла (см. § 139) инвариантны.

Преобразования Лоренцаимеют вид

(36.3)

Из сравнения приведенных уравнений вытекает, что они симметричны и отличаются лишь знаком при v. Это очевидно, таккак если скорость движения системы К' относительно системы К равна v, то скорость движения К относительно К' рав­на –v.

Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (по сравне­нию со скоростью с), т. е. когда b<<1, они переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается сутьпринципа соответствия), которые являются, следова­тельно, предельным случаем преобразований Лоренца. При v>c выражения (36.3) для х, t, х', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится, в свою очередь, в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости распрост­ранения света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстоя­ние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразова­ний Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преоб­разования (см. (36.3)) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространственные координаты, т. е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким об­разом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространст­венные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

§ 37. Следствия из преобразований Лоренца

1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами x₁ и x₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты и и моменты времени и . Если события в системе К происходят в одной точке (x₁ =х₂) и являются одновременными (t₁ =t₂), то, согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

т. е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены (х₁ ¹ x₂), но одновременны (t₁ = t₂), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Знак разности определяется знаком выраже­ния v (x₁ – x₂), поэтому в различных точках системы отсчета К' (при разных v) разность будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длитель­ность которого (разность показаний часов в конце и начале события) t = t₂ – t₁, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К'

(37.1)

причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют

(37.2)

Подставляя (37.2) в (37.1), получаем

или

(37.3)

Из соотношения (37.3) вытекает, что t<t', т. е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени t', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала t, отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для t и t' обратимы. Из (37.3) следует, что замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая многочисленные дискуссии. Представим себе, что осуществля­ется фантастический космический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли доходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света (=0,001). По земным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонав­та в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю в раз более молодым, чем его брат-близнец, оста­вшийся на Земле. Это явление, получившее названиепарадокса близнецов, в дейст­вительности парадокса нt содержит. Дело в том, что принцип относительности утверж­дает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправиль­ность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроиз­вольно распадающихся элементарных частиц в опытах с p-мезонами. Среднее время жизни покоящихся p-мезонов (по часам, движущимся вместе с ними) t » 2,2×10^–8 с. Следовательно, p-мезоны, образующиеся в верхних слоях атмосферы (на высоте »30 км) и движущиеся со скоростью, близкой к скорости с, должны были бы прохо­дить расстояния сt » 6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это релятивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок жизни p-мезона t' = t/, а путь этих частиц в атмосфере vt' = bct' = bct/. Так как b »1, то vt'>>ct.

3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет , где и — не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоится. Опреде­лим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоро­стью v. Для этого необходимо измерить координаты его концов x₁ и x₂ в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х₂ – х₁ и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (36.3), получим

т. е.

(37.4)

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (37.4).

Из выражения (37.4) следует, что линейный размер тела, движущегося отно­сительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (36.3) следует, что

т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоро­стью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени t' — координатами х', у', z', то

представляют собой соответственно проекции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'. Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Произведя соответствующие преобразования, получаемрелятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

(37.5)

Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость и относительно системы К совпадает с u_x, а скорость и' относительно К' — с . Тогда закон сложения скоростей примет вид

(37.6)

Легко убедиться в том, что если скорости v, и' и и малы по сравнению со скоростью с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей в классической механике (см. (34.4)). Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью распространения света в вакууме) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

 

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнш­тейна (см. § 35). Действительно, если u' = c, то формула (37.6) примет вид (аналогично можно показать, что при и = с скорость u' также равна с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в со­гласии с постулатами Эйнштейна.

Докажем также, что если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости с, то их результирующая скорость всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай u' = v = с. После подстановки в формулу (37.6) получим и = с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить. Скорость света в какой-либо среде, равная с/n (n — абсолютный показатель преломления среды), предельной величиной не является (подробнее см. § 189).

§ 38. Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разнос. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной фи­зической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнш­тейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами (х, у, z, t), такой физической величиной являетсяинтервал между двумя событиями:

(38.1)

где — расстояние между точками трехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначение t₁₂ = t₂ – t₁, получим

Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Обозначив Dt = t₂ – t₁, Dx = x₂ – x₁, Dy = y₂ – y₁ и Dz = z₂ – z₁, выражение (38.1) можно записать в виде

Интервал между теми же событиями в системе К' равен

(38.2)

Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Подставив эти значения в (38.2), после элементарных преобразований получим, что т. е.

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Теория относительности, таким образом, сформулировала новое представление о пространстве и времени. Пространственно-временные отношения являются не аб­солютными величинами, как утверждала механика Галилея — Ньютона, а относитель­ными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являют­ся несостоятельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи — пространство-время. Простран­ство и время не существуют вне материи и независимо от нее.

Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория относительности, или теория тяготения) показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не является евклидовой (т. е. не завися­щей от размеров области пространства-времени), а изменяется от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения.

§ 39. Основной закон релятивистской динамики материальной точки

Масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости:

(39.1)

где m₀ — масса покоя частицы, т. е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; с — скорость света в ваку­уме; т — масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.

Из принципа относительности Эйнштейна (см. § 35), утверждающего инвариант­ность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

(39.2)

или

(39.3)

где

(39.4)

— релятивистский импульс материальной точки.

Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнением ньюто­новской механики (6.7). Однако физический смысл его другой: справа стоит производ­ная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (39.4). Таким образом, уравнение (39.2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учиты­вать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства (см. § 9) в релятивистской механике выполняет­сязакон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к с, то можно использовать только релятивистское выраже­ние для импульса.

Анализ формул (39.1), (39.4) и (39.2) показывает, что при скоростях, значительно меньших скорости с, уравнение (39.2) переходит в основной закон (см. (6.5)) классичес­кой механики. Следовательно, условием применимости законов классической (ньюто­новской) механики является условие v<<c. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v<<c (формально пере­ход осуществляется при с®¥). Таким образом, классическая механика — это меха­ника макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Экспериментальное доказательство зависимости массы от скорости (39.1) является подтверждением справедливости специальной теории относительности. В дальнейшем (см. § 116) будет показано, что на основании этой зависимости производятся расчеты ускорителей.

§ 40. Закон взаимосвязи массы и энергии

Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы. Раньше (§ 12) было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном переме­щении равно работе силы на этом перемещении:

(40.1)

Учитывая, что dr = v dt, и подставив в (40.1) выражение (39.2), получаем

Преобразовав данное выражение с учетом того, что vdv = vdv, и формулы (39.1), придем к выражению

(40.2)

т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m₀, то, проинтегрировав (40.2), получим

(40.3)

или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

(40.4)

Выражение (40.4) при скоростях v«c переходит в классическое:

(разлагая в ряд при v<<c, правомерно пренебречь чле­нами второго порядка малости).

А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии, а именно любое изменение массы Dm сопровождается изменением полной энергии частицы,

(40.5)

Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой т:

(40.6)

Уравнение (40.6), равно как и (40.5), выражает фундаментальный закон природы —за­кон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Закон (40.6) можно, учитывая выражение (40.3), записать в виде

откуда следует, что покоящееся тело (T=0) также обладает энергией

называемой энергией покоя. В классической механике энергия покоя Е₀ не учитывается, считая, что при v=0 энергия покоящегося тела равна нулю.

В силу однородности времени (см. § 13) в релятивистской механике, как и в клас­сической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Из формул (40.6) и (39.4) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы:

(40.7)

Возвращаясь к уравнению (40.6), отметим еще раз, что оно имеет универсальный характер. Оно применимо ко воем формам энергии, т. е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса

(40.8)

и, наоборот, со всякой массой связана энергия (40.6).

Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), вводят понятие энергии связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро — на протоны и нейтроны). Энергия связи системы

(40.9)

где m_0i — масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; М₀ — масса покоя системы, состоящей из п частиц.

Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превраще­ниях элементарных частиц.

Рассматривая выводы специальной теории относительности, видим, что она, как, впрочем, и любые крупные открытия, потребовала пересмотра многих установившихся и ставших привычными представлений. Масса тела не остается постоянной величиной, а зависит от скорости тела; длина тел и длительность событий не являются абсолют­ными величинами, а носят относительный характер; наконец, масса и энергия оказа­лись связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойст­вами материи.

Основной вывод теории относительности сводится к тому, что пространство и вре­мя органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования мате­рии — пространство-время. Только поэтому пространственно-временной интервал между двумя событиями является абсолютным, в то время как пространственные и временны2е промежутки между этими событиями относительны. Следовательно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространственно-временны2х соотношений движущейся материи.

Задачи

7.1. Определить собственную длину стержня (длину, измеренную в системе, относительно которой стержень покоится), если в лабораторной системе (системе отсчета, связанной с измерительными приборами) его скорость v = 0,8 с, длина l = 1 м и угол между ним и направлением движения q = 30°.

7.2. Собственное время жизни частицы отличается на 1,5% от времени жизни по неподвижным часам. Определить b = v/с. [0,172]

7.3. Тело, масса покоя которого 2 кг, движется со скоростью 200 Мм/с в системе K', перемеща­ющейся относительно системы К со скоростью 200 Мм/с. Определить: 1) скорость тела относи­тельно системы К; 2) его массу в этой системе. [1) 277 Мм/с; 2) 5,2 кг]

7.4. Воспользовавшись тем, что интервал — инвариантная величина по отношению к преобразо­ваниям координат, определить расстояние, которое пролетел p-мезон с момента рождения до распада, если время его жизни в этой системе отсчета Dt = 5 мкс, а собственное время жизни (время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом) Dt₀ =2,2 мкс. [1,35 км]

7.5. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютонов­ский импульс в пять раз. [0,98 с]

7.6. Определить скорость, полученную электроном, если он прошел ускоряющую разность по­тенциалов 1,2 МэВ. [2,86 Мм/с]

7.7. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого 1 ГэВ. [5,34×10^–19 Н×с]

2 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Глава 8 Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

§ 41. Статистический и термодинамический методы. Опытные законы идеального газа

Статистический и термодинамический методы исследования. Молекулярная физика и термодинамика — разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих процессов применяют два качественно различных и взаимно допол­няющих друг друга метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинами­ческий. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй — термодинамики.

Молекулярная физика — раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.

Идея об атомном строении вещества высказана древнегреческим философом Демо­критом (460—370 до н. э.). Атомистика возрождается вновь лишь в XVII в. и развива­ется в работах М. В. Ломоносова, взгляды которого на строение вещества и тепловые явления были близки к современным. Строгое развитие молекулярной теории относит­ся к середине XIX в. и связано с работами немецкого физика Р. Клаузиуса (1822—1888), Дж. Максвелла и Л. Больцмана.

Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом совокупного действия огромного числа молекул. Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с помощью статистического метода. Этот метод основан на том, что свойства макроскопической системы в конеч­ном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями динамических характеристик этих частиц (скорости, энер­гии и т. д.). Например, температура тела определяется скоростью хаотического движе­ния его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения молекул. Нельзя говорить о температуре одной молекулы. Таким образом, макроскопические характеристики тел имеют физический смысл лишь в слу­чае большого числа молекул.

Термодинамика — раздел физики, изучающий общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехо­да между этими состояниями. Термодинамика не рассматривает микропроцессы, кото­рые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический метод отличается от статистического. Термодинамика базируется на двух началах — фундаментальных за­конах, установленных в результате обобщения опытных данных.

Область применения термодинамики значительно шире, чем молекулярно-кинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим методом. Однако, с другой стороны, термодинами­ческий метод несколько ограничен: термодинамика ничего не говорит о микроскопи­ческом строении вещества, о механизме явлений, а лишь устанавливает связи между макроскопическими свойствами вещества. Молекулярно-кинетическая теория и термо­динамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различ­ными методами исследования.

Термодинамика имеет дело стермодинамической системой — совокупностью мак­роскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Основа термодинамического мето­да — определение состояния термодинамической системы. Состояние системы задает­сятермодинамическими параметрами (параметрами состояния) — совокупностью физи­ческих величин, характеризующих свойства термодинамической системы. Обычно в ка­честве параметров состояния выбирают температуру, давление и удельный объем.

Температура — одно из основных понятий, играющих важную роль не только в термодинамике, но и в физике в целом. Температура — физическая величина, харак­теризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы. В соответствии с решением XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) в настоящее время можно применять только две температурные шкалы — термодина­мическую и Международную практическую, градуированные соответственно в кельвинах (К) и в градусах Цельсия (°С). В Международной практической шкале тем­пература замерзания и кипения воды при давлении 1,013×10⁵ Па соответственно 0 и 100°С (реперные точки).

Термодинамическая температурная шкала определяется по одной реперной точке, в качестве которой взятатройная точка воды (температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при давления 609 Па находятся в термодинамическом равновесии). Температура этой точки по термодинамической шкале равна 273,16 К (точно). Градус Цельсия равен кельвину. В термодинамической шкале температура замерзания воды равна 273,15 К (при том же давлении, что и в Международной практической шкале), поэтому, по определению, термодинамическая температура и температура по Между­народной практической шкале связаны соотношением

Т = 273,15 + t.

Температура T = 0 К называетсянулем кельвин. Анализ различных процессов показывает, что 0 К недостижим, хотя приближение к нему сколь угодно близко возможно.

Удельный объем v — это объем единицы массы. Когда тело однородно, т. е. его плотность r = const, то v=V/m=1/p. Так как при постоянной массе удельный объем пропорционален общему объему, то макроскопические свойства однородного тела можно характеризовать объемом тела.

Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термодина­мической системе, связанное с изменением хотя бы одного из ее термодинамических параметров, называетсятермодинамическим процессом. Макроскопическая система на­ходится втермодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется (предполагается, что внешние условия рассматриваемой системы при этом не изменяются).

В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализированной модельюидеаль­ного газа, согласно которой считают, что:

1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;

2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к нормальным (например, кислород и гелий), а также при низких давления» и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся поправки, учитывающие собственный объем молекул газа и действующие молекулярные силы, можно перейти к теории реальных газов.

Рассмотрим законы, описывающие поведение идеальных газов.

Закон Бойля—Мариотта*: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

(41.1)

* Р. Бойль (1627—1691)—английский ученый; Э. Мариотт (1620—1684) — французский физик.

 

Кривая, изображающая зависимость между величинами р и V, характеризующими свойства вещества при постоянной температуре, называетсяизотермой. Изотермы представляют собой гиперболы, расположенные на графикетем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс (рис. 60).

Законы Гей-Люссака*:1) объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:

(41.2)

2) давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с тем­пературой:

(41.3)

* Ж. Гей-Люссак (1778—1850) — французский ученый.

 

В этих уравнениях t — температура по шкале Цельсия, р₀ и V₀ — давление и объем при 0°С, коэффициент a = 1/273,15 К^–1.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называетсяизобарным. На диа­грамме в координатах V, t (рис. 61) этот процесс изображается прямой, называемой изобарой. Процесс, протекающий при постоянном объеме, называетсяизохорным. На диаграмме в координатах р, t (рис. 62) он изображается прямой, называемойизохорой.

Из (41.2) и (41.3) следует, что изобары и изохоры пересекают ось температур в точке t=–1/a=–273,15°С, определяемой из условия 1+at = 0. Если перенести начало отсчета в эту точку, то происходит переход к шкале Кельвина (рис. 62), откуда

 

Вводя в формулы (41.2) и (41.3) термодинамическую температуру, законам Гей-Люссака можно придать более удобный вид:

 

(41.4)

(41.5)

где индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям, лежащим на одной изобаре или изохоре.

 

Закон Авогадро*: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях этот объем равен 22,41×10^–3 м³/моль.

* А. Авогадро (1776—1856) — итальянский физики химик.

 

По определению, в одном моле различных веществ содержится одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро:

Закон Дальтона*: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений p₁, p₂ ,..., р_n входящих в нее газов:

Парциальное давление — давление, которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.

* Дж. Дальтон (1766—1844) — английский химик и физик.

 

§ 42. Уравнение Клапейрона — Менделеева

Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодина­мическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемаяуравнением состояния, кото­рое в общем виде дается выражением

где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799—1864) вывел уравнение состоя­ния идеального газа, объединив законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V₁, имеет давление р₁ и находится при тем­пературе T₁. Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами р₂, V₂, T₂ (рис. 63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1–1'), 2) изохорного (изохора 1'–2).

 

В соответствии с законами Бойля — Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) за­пишем:

(42.1)

(42.2)

Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) получим

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т. е.

(42.3)

Выражение (42.3) являетсяуравнением Клапейрона, в котором В — газовая постоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д. И. Менделеев (1834—1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V_m. Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V_m, поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называетсямолярном газовой постоянной. Уравнению

(42.4)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно являетсяуравнением состояния идеального газа, называемым такжеуравнением Клапейрона — Менделеева.

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р₀= 1,013×10⁵ Па, T₀=273,15 К, V_m=22,41×10^–3 м³/моль): R=8,31 Дж/(моль×К).

От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейро­на — Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давле­нии и температуре один моль газа занимает молярный объем V_m, то при тех же условиях масса т газа займет объем V= (т/М)V_m, где М —молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы — килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона — Менделеева для массы т газа

(42.5)

где n =m/M—количество вещества.

Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:

Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде

где N_A/V_m = n — концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

(42.6)

следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорциональ­но концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м³ газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта*:

* И. Лошмидт (1821—1895) —австрийский химик и физик.

 

§ 43. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одно­атомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис. 64) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молеку­ла, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m₀v – (– m₀v) = 2m₀v, где m₀ — масса молекулы, v — ее скорость. За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой vDt (рис. 64). Число этих молекул равно nDSvDt (n — концентрация молекул).

Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке DS под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется ¹/₃ молекул, причем половина молекул ¹/₆ движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет ¹/₆nDSvDt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

(43.1)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v₁, v₂, ..., v_N, то целесообразно рассматриватьсреднюю квадратную скорость

(43.2)

характеризующую всю совокупность молекул газа.

Уравнение (43.1) с учетом (43.2) примет вид

(43.3)

Выражение (43.3) называетсяосновным уравнением молекулярно-кинетической те­ории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

Учитывая, что n =N / V, получим

(43.4)

или

(43.5)

где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа m=Nm₀, то уравнение (43.4) можно переписать в виде

Для одного моля газа т=М (М — молярная масса), поэтому

где V_m — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделе­ева, pV_m=RT. Таким образом,

откуда

(43.6)

Так как M=m₀N_А, где т₀ — масса одной молекулы, a N_А — постоянная Авогадро, то из уравнения (43.6) следует, что

(43.7)

где k=R/N_А — постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температу­ре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водоро­да — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеаль­ного газа

(43.8)

(использовали формулы (43.5) и (43.7)) пропорциональна термодинамической тем­пературе и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при Т=0 <e₀>=0, т. е. при 0К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (43.8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.

§ 44. Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам зада­вали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т. е. в любом направ­лении в среднем движется одинаковое число молекул.

По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой т₀ в газе, находящемся в состоянии равновесия при Т= const. остается постоянной и равной

Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоро­стям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом.

При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Пред­полагалось также, что силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, т. е.

откуда

Применяя методы теории вероятностей. Максвелл нашел функцию f(v) — закон о распределеня молекул идеального газа по скоростям:

(44.1)

Из (44.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т).

График функции (44.1) приведен на рис. 65. Так как при возрастании v множитель exp[–m₀v²/(2kT)] уменьшается быстрее, чем растет множитель v², то функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при v_B, и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно v_B.

Относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, находится как площадь заштрихованной полоски на рис. 65. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция f(v) удовлетворяет условию нормировки

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоро­стям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Значение наиболее веро­ятной скорости можно найти продифференцировав выражение (44.1) (постоянные множители опускаем) по аргументу v, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(v):

Значения v=0 и v=¥ соответствуют минимумам выражения (44.1), а значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость v_B:

(44.2)

Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 66) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, оста­ется неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

Средняя скорость молекулы <v> (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле

Подставляя сюда f(v) и интегрируя, получаем

(44.3)

Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная 2) средняя 3) средняя квадратичная (рис. 65). Исходя из распределения молекул по скоростям

(44.4)

можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии e. Для этого перейдем от переменной v к переменной e=m₀v²/2. Подставив в (44.4) v=и dv=de , получим

где dN(e) — число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движе­ния, заключенную в интервале от e до e + de.

Таким образом, функция распределения молекул по энергиям теплового движения

Средняя кинетическая энергия <e> молекулы идеального газа

т. е. получили результат, совпадающий с формулой (43.8).

§ 45. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 67), то на высоте h+dh оно равно p+dp (при dh>0 dp<0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м²:

где r — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно,

(45.1)

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV=(m/M) RT (т — масса газа, М — молярная масса газа), находим, что

Подставив это выражение в (45.1), получим

С изменением высоты от h₁ до h₂ давление изменяется от р₁ до р₂ (рис. 67), т. е.

или

(45.2)

Выражение (45.2) называетсябарометрической формулой. Она позволяет найти атмос­ферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту: Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормаль­ным, то выражение (45.2) может быть записано в виде

(45.3)

где р — давление на высоте h.

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называетсявысотоме­ром (илиальтиметром). Его работа основана на использовании формулы (45.3). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользоваться вы­ражением (42.6) p=nkT:

где n – концентрация молекул на высоте h, n₀ – то же, на высоте h=0. Так как M=m₀N_A (N_A – постоянная Авогадро, т₀ – масса одной молекулы), a R=kN_A, то

(45.4)

где m₀gh=П — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

(45.5)

Выражение (45.5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциаль­ного поля. Из вето следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом вне­шнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

§ 46. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкивают­ся друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы прохо­дят некоторый путь l, который называетсядлиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так какмы имеемдело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить осредней длине свободного пробега молекул <l>.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называетсяэффективным диаметром молекулы d (рис. 68). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости <v>, и если <z> — среднее число столкновений, испытываемых одной молеку­лой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега

Для определения <z> представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 69).

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломаного» цилиндра:

где п — концентрация молекул, V = pd² <v> <v> — средняя скорость молекулы или путь, пройденным ею за 1 с). Таким образом,среднее число столкновений

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

Тогда средняя длина свободного пробега

т. е. <l> обратно пропорциональна концентрации n молекул. С другой стороны, из (42.6) следует, что при постоянной температуре n пропорциональна давлению р. Следовательно,

§ 47. Опытное обоснование молекулярно-кинетической теории

Рассмотрим некоторые явления, экспериментально подтверждающие основные поло­жения и выводы молекулярно-кинетической теории.

1. Броуновское движение. Шотландский ботаник Р. Броун (1773—1858), наблюдая под микроскопом взвесь цветочной пыльцы в воде, обнаружил, что частицы пыльцы оживленно и беспорядочно двигались, то вращаясь, то перемещаясь с места на место, подобно пылинкам в солнечном луче. Впоследствии оказалось, что подобное сложное зигзагообразное движение характерно для любых частиц малых размеров (»1 мкм), взвешенных в газе или жидкости. Интенсивность этого движения, называемого броуновским, повышается с ростом температуры среды, с уменьшением вязкости и раз­меров частиц (независимо от их химической природы). Причина броуновского движе­ния долго оставалась неясной. Лишь через 80 лет после обнаружения этого эффекта ему было дано объяснение: броуновское движение взвешенных частиц вызывается ударами молекул среды, в которой частицы взвешены. Так как молекулы движутся хаотически, то броуновские частицы получают толчки с разных сторон, поэтому и совершают движение столь причудливой формы. Таким образом, броуновское движение является подтверждением выводов молекулярно-кинетической теории о хаотическом (тепловом) движении атомов и молекул.

 

2. Опыт Штерна. Первое экспериментальное определение скоростей молекул выпо­лнено немецким физиком О. Штерном (1888—1970). Его опыты позволили также оценить распределение молекул по скоростям. Схема установки Штерна представлена на рис. 70. Вдоль оси внутреннего цилиндра с щелью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревается током при откачанном воздухе. При нагревании серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра, давая изображение щели О. Если прибор привести во вращение вокруг общей оси цилиндров, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние s. Изображение щели получается размытым. Исследуя толщину осажденного слоя, можно оценить распределение моле­кул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.

Зная радиусы цилиндров, их угловую скорость вращения, а также измеряя s, можно вычислить скорость движения атомов серебра при данной температуре проволоки. Результаты опыта показали, что средняя скорость атомов серебра близка к той, которая следует из максвелловского распределения молекул по скоростям.

3. Опыт Ламмерт. Этот опыт позволяет более точно определить закон распределе­ния молекул по скоростям. Схема вакуумной установки приведена на рис. 71. Молеку­лярный пучок, сформированный источником, проходя через щель, попадает в прием­ник. Между источником и приемником помещают два диска с прорезями, закреплен­ных на общей оси. При неподвижных дисках молекулы достигают приемника, проходя через прорези в обоих дисках. Если ось привести во вращение, то приемника достигнут только те прошедшие прорезь в первом диске молекулы, которые затрачивают для пробега между дисками время, равное или кратное времени оборота диска. Другие же молекулы задерживаются вторым диском. Меняя угловую скорость вращения дисков и измеряя число молекул, попадающих в приемник, можно выявить закон распределе­ния молекул по скоростям. Этот опыт также подтвердил справедливость максвелловс­кого распределения молекул по скоростям.

4. Опытное определение постоянной Авогадро. Воспользовавшись идеей распределе­ния молекул по высоте (см. формулу (45.4)), французский ученый Ж. Перрен (1870—1942) экспериментально определил значение постоянной Авогадро. Исследуя под микроскопом броуновское движение, он убедился, что броуновские частицы рас­пределяются по высоте подобно молекулам газа в поле тяготения. Применив к ним больцмановское распределение, можно записать

где т—масса частицы, т₁—масса вытесненной ею жидкости; m=⁴/₃pr³r, m₁=⁴/₃pr³r₁ (r — радиус частицы, r — плотность частицы, r₁ — плотность жидкости).

Если n₁ и n₂ — концентрации частиц на уровнях h₁ и n₂, a k=R/N_A, то

Значение N_A, получаемое из работ Ж. Перрена, соответствовало значениям, полу­ченным в других опытах, что подтверждает применимость к броуновским частицам распределения (45.4).

§ 48. Явления переноса в термодинамически неравновесных системах

В термодинамически неравновесных системах возникают особые необратимые процес­сы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространствен­ный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся теплопровод­ность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса). Для простоты ограничимся одномер­ными явлениями переноса. Систему отсчета выберем так, чтобы ось х была ориен­тирована в направлении переноса.

1. Теплопроводность. Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше,чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных сто­лкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., иными словами, выравнивание температур.

Перенос энергии в форме теплоты подчиняетсязакону Фурье:

(48.1)

где j_E —плотность теплового потока — величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, l — теплопроводность, — градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры (поэтому знаки j_E и – противоположны). Теплопроводность l численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице.

Можно показать, что

(48.2)

где с_V — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме), r — плотность газа, <v> — средняя скорость теплового движения молекул, <l> — средняя длина сво­бодного пробега.

2. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроиз­вольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жид­костей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности. Во время становления молекулярно-кинетической теории по вопросу диффузии возникли противоречия. Так как молекулы движутся с огромными скоростями, диффузия должна происходить очень быстро. Если же открыть в комнате сосуд с пахучим веществом, то запах распространяется довольно медленно. Однако противоречия здесь нет. Молекулы при атмосферном давлении обладают малой длиной свободного пробега и, сталкиваясь с другими молекулами, в основном «стоят» на месте.

Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фука:

(48.3)

где j_m —плотность потока массы — величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, D —диффузия (коэффициент диффузии), dr/dx — градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки j_m и dr/dx противоположны). Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинети­ческой теории газов,

(48.4)

3. Внутреннее трение (вязкость). Механизм возникновения внутреннего трения меж­ду параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.

Согласно формуле (31.1), сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона:

(48.5)

где h — динамическая вязкость (вязкость), dv/dx — градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению дви­жения слоев, S — площадь, на которую действует сила F.

Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматри­вать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (48.5) можно пред­ставить в виде

(48.6)

где j_p —плотность потока импульса — величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, — градиент скорости. Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки j_р и противоположны).

Динамическая вязкость h численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле

(48.7)

Из сопоставления формул (48.1), (48.3) и (48.6), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были установлены задолго до того, как они были обоснованы и выведены из молекулярно-кинетической теории, позволившей установить, что внешнее сходство их математи­ческих выражений обусловлено общностью лежащего в основе явлений теплопровод­ности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.

Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетического смысла коэффициентов l, D и h. Выражения для коэффициентов переноса выводятся из кинетической теории. Они записаны без вывода, так как строгое рассмот­рение явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Формулы (48.2), (48.4) и (48.7) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые зависимости между l, D и h:

Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.

§ 48. Вакуум и методы его получения. Свойства ультраразреженных газов

Если из сосуда откачивать газ, то по мере понижения давления число столкновений молекул друг с другом уменьшается, что приводит к увеличению их длины свободного пробега. При достаточно большом разрежении столкновения между молекулами от­носительно редки, поэтому основную роль играют столкновения молекул со стенками сосуда.Вакуумом называется состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега <l> сравнима или больше характерного линейного размера d сосуда, в котором газ находится. В зависимости от соотношения <l> и d различаютнизкий (<l> << d), средний (<l> £ d),высокий (<l> > d) исверхвысокий (<l> >> d) вакуум. Газ в состоянии высокого вакуума называетсяультраразреженным.

Вопросы создания вакуума имеют большое значение в технике, так как, например, во многих современных электронных приборах используются электронные пучки, формирование которых возможно лишь в условиях вакуума. Для получения различных степеней разрежения применяютсявакуумные насосы.В настоящее время применяются вакуумные насосы, позволяющие получить предварительное разрежение (форвакуум) до »0,13 Па, а также вакуумные насосы и лабораторные приспособления, позволя­ющие получить давление до 13,3 мкПа — 1,33 пПа (10^–7 —10^–14 мм рт. ст.).

Принцип работы форвакуумного насоса представлен на рис. 72. Внутри цилиндрической полости корпуса вращается эксцентрично насаженный цилиндр. Две лопасти 1 и 1', вставленные в разрез цилиндра и раздвигаемые пружиной 2, разделяют простра­нство между цилиндром и стенкой полости на две части. Газ из откачиваемого сосуда поступает в область 3, по мере поворачивания цилиндра лопасть 1 отходит, простран­ство 3 увеличивается и газ засасывается через трубку 4. При дальнейшем вращении лопасть 1' отключает пространство 3 от трубки 4 и начинает вытеснять газ через клапан 5 наружу. Весь процесс непрерывно повторяется.

 

Для получения высокого вакуума применяютсядиффузионные насосы (рабочее вещество — ртуть или масло), которые не способны откачивать газ из сосудов начиная с атмосферного давления, но способны создавать добавочную разность давлений, поэтому их употребляют вместе с форвакуумными насосами. Рассмотрим схему дейст­вия диффузионного насоса (рис. 73). В колбе ртуть нагревается, пары ртути, поднима­ясь по трубке 1, вырываются из сопла 2 с большой скоростью, увлекая за собой молекулы газа из откачиваемого сосуда (в нем создан предварительный вакуум). Эти пары, попадая затем в «водяную рубашку», конденсируются и стекают обратно в резервуар, а захваченный газ выходит в пространство (через трубку 3), в котором уже создан форвакуум. Если применять многоступенчатые насосы (несколько сопл расположены последовательно), то реально при хороших уплотнениях можно с помощью них получить разрежение до 10^–7 мм рт. ст.

Для дальнейшего понижения давления применяются так называемые «ловушки». Между диффузионным насосом и откачиваемым объектом располагают специально изогнутое колено (1 или 2) соединительной трубки (ловушку), которую охлаждают жидким азотом (рис. 74). При такой температуре пары ртути (масла) вымораживаются и давление в откачиваемом сосуде понижается приблизительно на 1—2 порядка. Описанные ловушки называют охлаждаемыми; можно применять также неохлаждаемые ловушки. Специальное рабочее вещество (например, алюмогель) помещают в один из отростков соединительной трубка вблизи откачиваемого объекта, которое поддерживается при температуре 300°С. При достижении высокого вакуума алюмогель охлаждается до комнатной температуры, при которой он начинает поглощать име­ющиеся в системе пары. Преимущество этих ловушек состоит в том, что с их помощью в откачиваемых объектах можно поддерживать высокий вакуум уже после непосредст­венной откачки в течение даже нескольких суток.

Остановимся на некоторых свойствах ультраразреженных газов. Так как в состоя­нии ультраразрежения молекулы практически друг с другом не сталкиваются, то газ в этом состоянии не обладает внутренним трением. Отсутствие соударений между молекулами разреженного газа отражается также на механизме теплопроводности. Если при обычных давлениях перенос энергии молекулами производится «эстафетой», то при ультраразрежении каждая молекула сама должна перенести энергию от одной стенки сосуда к другой. Явление уменьшения теплопроводности вакуума при пониже­нии давления используется на практике для создания тепловой изоляции. Например, для уменьшения теплообмена между телом и окружающей средой тело помещают в сосуд Дьюара*, имеющий двойные стенки, между которыми находится разрежен­ный воздух, теплопроводность которого очень мала.

* Д. Дьюар (1842—1923) — английскийхимик и физик.

 

Рассмотрим два сосуда 1 и 2, поддерживаемых соответственно при температурах T₁ и Т₂ (рис. 75) и соединенных между собой трубкой. Если длина свободного пробега молекул гораздо меньше диаметра соединительной трубки (<l> << d), то стационарное состояние газа характеризуется равенством давлений в обоих сосудах (p₁ = р₂). Стаци­онарное же состояние ультраразреженного газа (<l> >> d), находящегося в двух сосудах, соединенных трубкой, возможно лишь в том случае, когда встречные потоки частиц, перемещающихся из одного сосуда в другой, одинаковы, т. е.

где п₁ и п₂ — концентрации молекул в обоих сосудах, <v₁> и <v₂> — средние скорости молекул. Учитывая, что n = p/(kT) и из условия (49.1) получаем

(49.2)

т. е. в условиях высокого вакуума выравнивания давлении не происходит. Если в от­качанный стеклянный баллон (рве. 76) на пружину 1 насадить слюдяной листочек 2, одна сторона которого зачернена, и освещать его, то возникнет разность температур между светлой и зачерненной поверхностями листочка. Из выражения (49.2) следует, что в данном случае разным будет и давление, т. е. молекулы от зачерненной поверх­ности будут отталкиваться с большей силой, чем от светлой, в результате чего листочек отклонится. Это явление называется радиометрическим эффектом. На радиометричес­ком эффекте основано действие радиометрического манометра.

Задачи

8.1. Начертить и объяснить графики изотермического и изобарного процессов в координатах p и V, p и T, T и V.

8.2. В сосуде при температуре t = 20°C и давлении р = 0,2 МПа содержится смесь газов — кислорода массой m₁ =16 г и азота массой m₂ = 21 г. Определить плотность смеси. [2.5 кг/м³]

8.3. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,38 кг/м³. [478 м/с]

8.4. Используя закон о распределении молекул идеального газа по скоростям, найти закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям и (u = v/v_B). []

8.5. Воспользовавшись законом распределения идеального газа по относительным скоростям (см. задачу 8.4), определить, какая доля молекул кислорода, находящегося при темпера­туре t = 0°C, имеет скорости от 100 до 110 м/с. [0,4]

8.6. На какой высоте плотность воздуха в два раза меньше, чем его плотность на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 273 К. [5,5 км]

8.7. Определить среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при темпера­туре 300 К и давлении 5 кПа. Эффективный диаметр молекул принять равным 0,28 нм. [170 нс]

8.8. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения при некоторых условиях равны соответст­венно 1,42×10^–4 м²/с и 8,5 мкПа×с. Определить концентрацию молекул воздуха при этих условиях. [1,25×10²⁴ м^–3]

Глава 9 Основы термодинамики

§ 50. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул

Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U — энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (моле­кул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния систе­мы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние). Это означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутрен­ней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состоя­ний и не зависит от пути перехода.

В § 1 было введено понятие числа степеней свободы: это число независимых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространст­ве. В ряде задач молекулу одноатомного газа (рис. 77, а) рассматривают как матери­альную точку, которой приписывают три степени свободы поступательного движения. При этом энергию вращательного движения можно не учитывать (r ® 0, J = mr²® 0, T_вр=Jw²/2®0).

В классической механике молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек, жестко связанных неде­формируемой связью (рис. 77, б). Эта система кроме трех степеней свободы поступа­тельного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси (оси, проходящей через оба атома) лишено смысла. Таким образом, двухатомный газ обладает пятью степенями свободы (i = 5). Трехатомная (рис. 77, я) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения.

Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преиму­щества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <e₀> в (43.8):

В классической статистической физике выводитсязакон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень «обладает» вдвое большей энергией потому, что на нее прихо­дится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциаль­ной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы

где i — сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колеба­тельных степеней свободы молекулы:

В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы.

Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия, отнесенная к одному молю газа, будет равнасумме кинетических энергий N_a молекул:

(50.1)

Внутренняя энергия для произвольной массы т газа.

где М — молярная масса, n — количество вещества.

§ 51. Первое начало термодинамики

Рассмотрим термодинамическую систему, для которой механическая энергия не изме­няется, а изменяется лишь ее внутренняя энергия. Внутренняя энергия системы может изменяться в результате различных процессов, например совершения над системой работы или сообщения ей теплоты. Так, вдвигая поршень в цилиндр, в котором находится газ, мы сжимаем этот газ, в результате чего его температура повышается, т. е. тем самым изменяется (увеличивается) внутренняя энергия газа. С другой сторо­ны, температуру газа и его внутреннюю энергию можно увеличить за счет сообщения ему некоторого количества теплоты — энергии, переданной системе внешними телами путем теплообмена (процесс обмена внутренними энергиями при контакте тел с раз­ными температурами).

Таким образом, можно говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: работе и теплоте. Энергия механического движения может превращаться в энергию теплового движения, и наоборот. При этих превращениях соблюдается закон сохранения и превращения энергии; применительно к термодинамическим процессам этим законом и является первое начало термодинамики, установленное в результате обобщения многовековых опытных данных.

Допустим, что некоторая система (газ, заключенный в цилиндр под поршнем), обладая внутренней энергией U₁, получила некоторое количество теплоты Q и, перейдя в новое состояние, характеризующееся внутренней энергией U₂, совершила работу А над внешней средой, т. е. против внешних сил. Количество теплоты считается положительным, когда оно подводится к системе, а работа — положительной, когда система совершает ее против внешних сил. Опыт показывает, что в соответствии с законом сохранения энергии при любом способе перехода системы из первого состояния во второе изменение внутренней энергии DU=U₂–U₁ будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой А, совершенной системой против внешних сил:

или

(51.1)

Уравнение (51.1) выражаетпервое начало термодинамики: теплота, сообщаемая систе­ме, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил. Выражение (51.1) в дифференциальной форме будет иметь вид

или в более корректной форме

(51.2)

где dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, dA — элементар­ная работа, dQ — бесконечно малое количество теплоты. В этом выражении dU является полным дифференциалом, а dA и dQ таковыми не являются. В дальнейшем будем использовать запись первого начала термодинамики в форме (51.2).

Из формулы (51.1) следует, что в СИ количество теплоты выражается в тех же единицах, что работа и энергия, т. е. в джоулях (Дж).

Если система периодически возвращается в первоначальное состояние, то измене­ние ее внутренней энергии DU=0. Тогда, согласно первому началу термодинамики,

т. е. вечный двигатель первого рода — периодически действующий двигатель, который совершал бы бóльшую работу, чем сообщенная ему извне энергия, — невозможен (одна из формулировок первого начала термодинамики).

§ 52. Работа газа при изменении его объема

Для рассмотрения конкретных процессов найдем в общем виде внешнюю работу, совершаемую газом при изменении его объема. Рассмотрим, например, газ, находя­щийся под поршнем в цилиндрическом сосуде (рис. 78). Если газ, расширяясь, пере­двигает поршень на бесконечно малое расстояние dl, то производит над ним работу

 

где S — площадь поршня, Sdl=dV— изменение объема системы. Таким образом,

(52.1)

 

Полную работу А, совершаемую газом при изменении его объема от V₁ до V₂, найдем интегрированием формулы (52.1):

(52.2)

Результат интегрирования определяется характером зависимости между давлением и объемом газа. Найденное для работы выражение (52.2) справедливо при любых изменениях объема твердых, жидких и газообразных тел.

Произведенную при том или ином процессе работу можно изобразить графически с помощью кривой в координатах р, V. Пусть изменение давления газа при его расширении изображается кривой на рис. 79. При увеличении объема на dV соверша­емая газом работа равна pdV, т. е. определяется площадью полоски с основанием dV, заштрихованной на рисунке. Поэтому полная работа, совершаемая газом при расшире­нии от объема V₁ до объема V₂, определяется площадью, ограниченной осью абсцисс, кривой p=f(V) и прямыми V₁ и V₂.

Графически можно изображать только равновесные процессы — процессы, состо­ящие из последовательности равновесных состояний. Они протекают так, что измене­ние термодинамических параметров за конечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальные процессы неравновесны (они протекают с конечной скоростью), но в ряде случаев неравновесностью реальных процессов можно пренебречь (чем медлен­нее процесс протекает, тем он ближе к равновесному). В дальнейшем рассматриваемые процессы будем считать равновесными.

§ 53. Теплоемкость

Удельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству теплоты, необходи­мому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:

Единила удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг × К)).

Молярная теплоемкость—величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1 К:

(53.1)

где n=m/М—количество вещества.

Единица молярной теплоемкости — джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль × К)).

Удельная теплоемкость с связана с молярной С_m, соотношением

(53.2)

где М — молярная масса вещества.

Различают теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается постоянным.

Запишем выражение первого начала термодинамики (51.2) для 1 моль газа с учетом формул (52.1) и (53.1):

(53.3)

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна нулю (см. (52.1)) и сообщаемая газу извне теплота вдет только на увеличение его внутренней энергии:

(53.4)

т. е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме С_V равна изменению внут­ренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на 1 К. Согласно формуле (50.1), тогда

(53.5)

Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (53.3) можно запи­сать в виде

Учитывая, что не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от p, ни от V, а определяется лишь температурой Т) и всегда равна С_V (см. (53.4)), и дифференцируя уравнение Клапейрона — Менделеева pV_m=RT (42.4) по T (p=const), получаем

(53.6)

Выражение (53.6) называетсяуравнением Майера; оно показывает, что С_р всегда больше С_V на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагрева­нии газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, таккак постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа. Использовав (53.5), выражение (53.6) можно записать в виде

(53.7)

При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение С_p к С_V :

(53.8)

Из формул (53.5) и (53.7) следует, что молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение молекулярно-кинетической теории справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов.Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявля­ющееся в теплоемкости, зависит от температуры. Молекула двухатомного газа облада­ет тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.

По закону равномерного распределения энергии по степеням свободы (см. § 50), для комнатных температур С_V = ⁷/₂ R. Из качественной экспериментальной зависимости молярной теплоемкости С_V водорода (рис. 80) следует, что С_V зависит от темпера­туры: при низкой температуре (»50 К) С_V =³/₂ R, при комнатной — C_V = ⁵/₂R (вместо расчетных ⁷/₂R) и при очень высокой — Сv=⁷/₂ R. Это можно объяснить, пред­положив, что при низких температурах наблюдается только поступательное движение молекул, при комнатных — добавляется их вращение, а при высоких — к этим двум видам движения добавляются еще колебания молекул.

Расхождение теории и эксперимента нетрудно объяснить. Дело в том, что при вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии вращения и колебаний молекул (возможны не любые вращательные и колебательные энергии, а лишь опреде­ленный дискретный ряд значений энергий). Если энергия теплового движения недоста­точна, например, для возбуждения колебаний, то эти колебания не вносят своего вклада в теплоемкость (соответствующая степень свободы «замораживается» — к ней неприменим закон равнораспределения энергии). Этим объясняется, что теплоемкость моля двухатомного газа — водорода — при комнатной температуре равна ⁵/₂ R вме­сто ⁷/₂R. Аналогично можно объяснить уменьшение теплоемкости при низкой тем­пературе («замораживаются» вращательные степени свободы) и увеличение при высо­кой («возбуждаются» колебательные степени свободы).

§ 54. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам

Среди равновесных процессов, происходящих с термодинамическими системами, выде­ляются изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным.

Изохорный процесс (V=const). Диаграмма этого процесса(изохора)в координатах р, V изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 81), где процесс 1—2 есть изохорное нагревание, а 1—3 — изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.

Как уже указывалось в § 53, из первого начала термодинамики (dQ=dU+dA) для изохорного процесса следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии:

Согласно формуле (53.4),

Тогда для произвольной массы газа получим

(54.1)

Изобарный процесс (p=const). Диаграмма этого процесса (изобара) в координатах р, V изображается прямой, параллельной оси V. При изобарном процессе работа газа (см. (52.2)) при увеличения объема от V₁ до V₂ равна

(54.2)

и определяется площадью заштрихованного прямоугольника (рис. 82). Если испо­льзовать уравнение (42.5) Клапейрона — Менделеева для выбранных нами двух состояний, то

откуда

Тогда выражение (54.2) для работы изобарного расширения примет вид

(54.3)

Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если T₂ —T₁ =1 К, то для 1 моль газа R=A, т. е. R численно равна работе изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании его на 1 К.

В изобарном процессе при сообщении газу массой т количества теплоты

его внутренняя энергия возрастает на величину (согласно формуле (53.4))

При этом газ совершит работу, определяемую выражением (54.3).

Изотермический процесс (T=const). Как уже указывалось § 41, изотермический процесс описывается законом Бойля—Мариотта:

Диаграмма этого процесса (изотерма) в координатах р, V представляет собой гиперболу (см. рис. 60), расположенную на диаграмме тем выше, чем выше тем­пература, при которой происходит процесс.

Исходя из выражений (52.2) и (42.5) найдем работу изотермического расширения газа:

Так как при Т=const внутренняя энергия идеального газа не изменяется:

то из первого начала термодинамики (dQ=dU+dA) следует, что для изотермического процесса

т. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил:

(54.4)

Следовательно, для того чтобы при расширении газа температура не понижалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения.

§ 55. Адиабатический процесс. Политропный процесс

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (dQ=0) между системой и окружающей средой. К адиабатическим процессам можно отнести все быстропротекающие процессы. Например, адиабатическим процессом можно счи­тать процесс распространения звука в среде, так как скорость распространения звуко­вой волны настолько велика, что обмен энергией между волной и средой произойти не успевает. Адиабатические процессы применяются в двигателях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д.

Из первого начала термодинамики (dQ=dU+dA) для адиабатического процесса следует, что

(55.1)

т. е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

Используя выражения (52.1) и (53.4), для произвольной массы газа перепишем уравнение (55.1) в виде

(55.2)

Продифференцировав уравнение состояния для идеального газа получим

(55.3)

Исключим из (55.2) и (55.3) температуру Т.

Разделив переменные и учитывая, что С_p/С_V=g (см. (53.8)), найдем

Интегрируя это уравнение в пределах от p₁ до p₂ и соответственно от V₁ до V₂, а затем потенцируя, придем к выражению

Так как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то можно записать

(55.4)

Полученное выражение естьуравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.

Для перехода к переменным Т, V или p, Т исключим из (55.4) с помощью уравнения Клапейрона — Менделеева

соответственно давление или объем:

(55.5)

(55.6)

Выражения (55.4) — (55.6) представляют собой уравнения адиабатического процес­са. В этих уравнениях безразмерная величина (см. (53.8) и (53.2))

(55.7)

называетсяпоказателем адиабаты (иликоэффициентом Пуассона). Для одноатомных газов (Ne, He и др.), достаточно хорошо удовлетворяющих условию идеальности, i=3, g=1,67. Для двухатомных газов (Н2, N2, О2 и др.) i=5, g=1,4. Значения g, вычисленные по формуле (55.7), хорошо подтверждаются экспериментом.

Диаграмма адиабатического процесса (адиабата) в координатах р, V изображается гиперболой (рис. 83). На рисунке видно, что адиабата (pV^g = const) более крута, чем изотерма (pV = const). Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии 1—3 увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры.

Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе. Запишем урав­нение (55.1) в виде

Если газ адиабатически расширяется от объема V₁ до V₂, то его температура уменьша­ется от T₁ до T₂ и работа расширения идеального газа

(55.8)

Применяя те же приемы, что и при выводе формулы (55.5), выражение (55.8) для работы при адиабатическом расширении можно преобразовать к виду

где .

Работа, совершаемая газом при адиабатическом расширении 1—2 (определяется площадью, заштрихованной на рис. 83), меньше, чем при изотермическом. Это объяс­няется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом — температура поддерживается постоянной за счет притока извне эквивалентного количества теплоты.

Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процессы имеют общую особенность — они происходят при постоянной теплоемкости. В первых двух процессах теплоемкости соответственно равны С_V и С_p, в изотермическом процессе (dT=0) теплоемкость равна ±¥, в адиабатическом (dQ=0) теплоемкость равна нулю. Процесс, в котором теплоемкость остается постоянной, называется политропным.

Исходя из первого начала термодинамики при условии постоянства теплоемкости (C=const) можно вывести уравнение политропы:

(55.9)

где п=(С—С_p)/(С—С_V)—показатель политропы. Очевидно, что при С=0, n=g, из (55.9) получается уравнение адиабаты; при С = ¥, n = 1 — уравнение изотермы; при С=С_p, n=0 —уравнение изобары, при С=С_V, n=±¥ — уравнение изохоры. Таким образом, все рассмотренные процессы являются частными случаями политропного процесса.

§ 56. Круговой процесс (цикл). Обратимые и необратимые процессы

Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное. На диаграмме процессов цикл изоб­ражается замкнутой кривой (рис. 84). Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на процессы расширения (1—2) и сжатия (2—1) газа. Работа расширения (определяется площадью фигуры 1a2V₂V₁1) положительна (dV>0), работа сжатия (определяется площадью фигуры 2b1V₁V₂2) отрицательна (dV<0). Следовательно, работа, совершаемая газом за цикл, определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если за цикл совершается положительная работа A=>0 (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым (рис. 84, а), если за цикл совершается отрицательная работа A=<0 (цикл протекает против часовой стрелки), то он называется обратным (рис. 84, б).

Прямой цикл используется в тепловых двигателях — периодически действующих двигателях, совершающих работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах — периодически действующих установках, в ко­торых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой.

В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю. Поэтому первое начало термодинамики (51.1) для кругового процесса

(56.1)

т. е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне теплоты. Однако в результате кругового процесса система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтому

где Q₁ — количество теплоты, полученное системой, Q₂ — количество теплоты, отданное системой. Поэтому термический коэффициент полезного действия для кругового процесса

(56.2)

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среда и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.

Любой равновесный процесс является обратимым. Обратимость равновесного процесса, происходящего в системе, следует из того, что се любое промежуточное состояние есть состояние термодинамического равновесия; для него «безразлично», идет процесс в прямом или обратном направлении. Реальные процессы сопровождают­ся диссипацией энергии (из-за трения, теплопроводности и т. д.), которая нами не обсуждается. Обратимые процессы — это идеализация реальных процессов. Их рассмот­рение важно по двум причинам: 1) многие процессы в природе и технике практически обратимы; 2) обратимые процессы являются наиболее экономичными; имеют мак­симальный термический коэффициент полезного действия, что позволяет указать пути повышения к. п. д. реальных тепловых двигателей.

§ 57. Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической вероятностью

Понятие энтропии введено в 1865 г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физического содержания этого понятия рассматривают отношение теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе, к температуре Т теплоотдающего тела, называемое приведенным количеством теплоты.

Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно dQ/T. Строгий теоретический анализ показывает, что приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно нулю:

(57.1)

Из равенства нулю интеграла (57.1), взятого по замкнутому контуру, следует, что подынтегральное выражение dQ/T есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние. Таким образом,

(57.2)

Функция состояния, дифференциалом которой является dQ/T, называется энтропией и обозначается S.

Из формулы (57.1) следует, что для обратимых процессов изменение энтропии

(57.3)

В термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающей необратимый цикл, возрастает:

(57.4)

Выражения (57.3) и (57.4) относятся только к замкнутым системам, если же система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может вести себя любым образом. Соотношения (57.3) и (57.4) можно представить в виде неравенства Клаузиуса

(57.5)

т. е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).

Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то, согласно (57.2), изменение энтропии

(57.6)

где подынтегральное выражение и пределы интегрирования определяются через вели­чины, характеризующие исследуемый процесс. Формула (57.6) определяет энтропию лишь с точностью до аддитивной постоянной. Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий.

Исходя из выражения (57.6), найдем изменение энтропии в процессах идеального газа. Taк как то

или

(57.7)

т. е. изменение энтропии DS_1®2 идеального газа при переходе его из состояния 1 в со­стояние 2 не зависит от вида процесса перехода 1®2.

Таккак для адиабатического процесса dQ = 0, то DS = 0 и, следовательно, S=const, т. е. адиабатический обратимый процесс протекает при постоянной энтропии. Поэтому его часто называютизоэнтропийным процессом. Из формулы (57.7) следует, что при изотермическом процессе (T₁= T₂)

при изохорном процессе (V₁ = V₂)

Энтропия обладает свойством аддитивности: энтропия системы равна сумме энт­ропий тел, входящих в систему. Свойством аддитивности обладают также внутренняя энергия, масса, объем (температура и давление таким свойством не обладают).

Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике: энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность W состояния системы — это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние (по определению, W³1, т. е. термодинамическая вероятность не есть вероятность в математическом смысле (последняя £ 1!)).

Согласно Больцману (1872), энтропия системы и термодинамическая вероятность связаны между собой следующим образом:

(57.8)

где k — постоянная Больцмана. Таким образом, энтропия определяется логарифмом числа микросостояний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятности состояния термодинамической системы. Формула Больцмана (57.8) позволяет дать энтропии следующее статистическое толкование: энтропия является мерой неупорядо­ченности системы. В самом деле, чем больше число микросостояний, реализующих данное макросостояние, тем больше энтропия. В состоянии равновесия — наиболее вероятного состояния системы — число микросостояний максимально, при этом мак­симальна и энтропия.

Таккак реальные процессы необратимы, то можно утверждать, что все процессы в замкнутой системе ведут к увеличению ее энтропии —принцип возрастания энтропии.При статистическом толковании энтропии это означает, что процессы в замкнутой системе идут в направлении увеличения числа микросостояний, иными словами, от менее вероятных состояний к более вероятным, до тех пор пока вероятность состояния не станет максимальной.

Сопоставляя выражения (57.5) и (57.8), видим, что энтропия и термодинамичес­кая вероятность состояний замкнутой системы могут либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянными (в случае обратимых процес­сов).

Отметим, однако, что эти утверждения имеют место для систем, состоящих из очень большого числа частиц, но могут нарушаться в системах с малым числом частиц. Для «малых» систем могут наблюдаться флуктуации, т. е. энтропия и термодинами­ческая вероятность состояний замкнутой системы на определенном отрезке времени могут убывать, а не возрастать, или оставаться постоянными.

§ 58. Второе начало термодинамики

Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не позволяет установить направление протекания термодинамических процессов. Кроме того, можно представить множество процессов, не противоречащих первому началу, в которых энергия сохраняется, а в природе они не осуществляются. Появление второго начала термодинамики связано с необходимостью дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет. Второе начало термодинамики определяет направление протекания термодинамических процессов.

Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса (см. § 57),второе начало термодинамики можно сформулировать какзакон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.

Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинамики: в про­цессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь существенно, что речь идет о замкнутых системах, так как в незамкнутых системах энтропия может вести себя любым образом (убывать, возрастать, оставаться постоянной). Кроме того, отметим еще раз, что энтропия остается постоянной в замкнутой системе только при обратимых процессах. При необратимых процессах в замкнутой системе энтропия всегда возрастает.

Формула Больцмана (57.8) позволяет объяснить постулируемое вторым началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необратимых процес­сах: возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в более вероятные состояния. Таким образом, формула Больцмана позволяет дать статисти­ческое толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь статистическим зако­ном, описывает закономерности хаотического движения большого числа частиц, со­ставляющих замкнутую систему.

Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:

1) по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;

2)по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которо­го является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

Можно довольно просто доказать (предоставим это читателю) эквивалентность формулировок Кельвина и Клаузиуса. Кроме того, показано, что если в замкнутой системе провести воображаемый процесс, противоречащий второму началу термодина­мики в формулировке Клаузиуса, то он сопровождается уменьшением энтропии. Это же доказывает эквивалентность формулировки Клаузиуса (а следовательно, и Кель­вина) и статистической формулировки, согласно которой энтропия замкнутой системы не может убывать.

В середине XIX в. возникла проблема так называемой тепловой смерти Вселенной. Рассматривая Вселенную как замкнутую систему и применяя к ней второе качало термодинамики, Клаузиус свел его содержание к утверждению, что энтропия Вселенной должна достигнуть своего максимума. Это означает, что со временем все формы движения должны перейти в тепловую. Переход же теплоты от горячих тел к холодным приведет к тому, что температура всех тел во Вселенной сравняется, т. е. наступит полное тепловое равновесие и все процессы во Вселенной прекратятся — наступит тепловая смерть Вселенной. Ошибочность вывода о тепловой смерти заключается в том, что бессмысленно применять второе начало термодинамики к незамкнутым системам, например к такой безграничной и бесконечно развивающейся системе, как Вселенная.

Первые два начала термодинамики дают недостаточно сведений о поведении термодинамических систем при нуле Кельвина. Они дополняютсятретьим началом термодинамика, илитеоремой Нернста* — Планка: энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения температуры к нулю Кельвина:

*В. Ф. Г. Нернст(1864—1941)— немецкий физик и химик.

 

Так как энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной, то эту постоян­ную удобно взять равной нулю. Отметим, однако, что это произвольное допущение, поскольку энтропия по своей сущности всегда определяется с точностью до аддитив­ной постоянной. Из теоремы Нернста — Планка следует, что теплоемкости С_р и С_V при 0 К равны нулю.

§ 59. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его к. п. д. для идеального газа

Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго рода — периодически действующий двигатель, совершающий рабо­ту за счет охлаждения одного источника теплоты, — невозможен. Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя (исторически второе начало термодинамики и возникло из анализа работы тепловых двигателей).

Принцип действия теплового двигателя приведен на рис. 85. От термостата* с более высокой температурой Т₁, называемого нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q₁, а термостату с более низкой температурой Т₂, называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q₂, при этом совершается работа А = Q₁ – Q₂.

*Термодинамическая система, которая может обмениваться теплотой с телами без измене­ния температуры.

 

Чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигателя (56.2) был равен 1, необходимо выполнение условия Q₂ = 0, т. е. тепловой двигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно. Tax, французский физик и инженер Н. Л. С. Карно (1796 — 1832) показал, что для работы теплового двигателя необ­ходимо не менее двух источников теплоты с различными температурами, иначе это противоречило бы второму началу термодинамики.

Двигатель второго рода, будь он возможен, был бы практически вечным. Охлаждение, например, воды океанов на 1° дало бы огромную энергию. Масса воды в Мировом океане составляет примерно 10¹⁸ т, при охлаждении которой на 1° выделилось бы примерно 10²⁴ Дж теплоты, что эквивалентно полному сжиганию 10¹⁴ т угля. Железнодорожный состав, нагруженный этим количеством угля, растянулся бы на расстояние 10¹⁰км, что приблизительно совпадает с размерами Солнечной системы!

Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в холо­дильной машине, принцип действия которой представлен на рис. 86. Системой за цикл от термостата с более низкой температурой Т₂ отнимается количество теплоты Q₂ и от­дается термостату с более высокой температурой Т₁ количество теплоты Q₁. Для кругового процесса, согласно (56.1), Q=A, но, по условию, Q = Q₂ – Q₁ < 0, поэтому А<0 и Q₂ – Q₁ = –А, или Q₁ = Q₂ + A, т. е. количество теплоты Q₁, отданное системой источнику теплоты при более высокой температуре T₁ больше количества теплоты Q₂, полученного от источника теплоты при более низкой температуре T₂, на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.

Однако второе начало термодинамики не следует представлять так, что оно совсем запрещает переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. Ведь именно такой переход осуществляется в холодильной машине. Но при этом надо помнить, что внешние силы совершают работу над системой, т. е. этот переход не является единст­венным результатом процесса.

Основываясь на втором начале термодинамики, Карно вывел теорему, носящую теперь его имя: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих оди­наковые температуры нагревателей (T₁) и холодильников (T₂), наибольшим к. п. д. обладают обратимые машины; при этом к. п. д. обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей (T₁) и холодильников (T₂), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела, совершающего круговой процесс и обменивающегося энергией с другими телами), а определяются только температурами нагревателя и холодильника.

Карно теоретически проанализировал обратимый наиболее экономичный цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Его называют циклом Карно. Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным поршнем.

Цикл Карно изображен на рис. 87, где изотермические расширение и сжатие заданы соответственно кривыми 1—2 и 3—4, а адиабатические расширение и сжатие — кривы­ми 2—3 и 4—1. При изотермическом процессе U=const, поэтому, согласно (54.4), количество теплоты Q₁, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А₁₂, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

(59.1)

При адиабатическом расширении 2—3 теплообмен с окружающей средой отсутствует и работа расширения А₂₃ совершается за счет изменения внутренней энергии (см. (55.1) и (55.8)):

Количество теплоты Q₂, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия А₃₄:

(59.2)

Работа адиабатического сжатия

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

и, как можно показать, определяется площадью, заштрихованной на рис. 87. Термический к. п. д. цикла Карно, согласно (56.2),

Применив уравнение (55.5) для адиабат 2—3 и 4—1, получим

откуда

(59.3)

Подставляя (59.1) и (59.2) в формулу (56.2) и учитывая (59.3), получаем

(59.4)

т. е. для цикла Карно к. п. д. действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для его повышения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при T₁ = 400 К и T₂ = 300 К h = 0,25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а температуру холодильника понизить на 50 К, то h = 0,5. К. п. д. всякого реального теплового двигателя из-за трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно.

Обратный цикл Карно положен в основу действиятепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть — получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором.

Теорема Карно послужила основанием для установлениятермодинамической шка­лы температур. Сравнив левую и правую части формулы (59.4), получим

(59.5)

т. е. для сравнения температур Т₁ и T₂ двух тел необходимо осуществить обратимый цикл Карно, в котором одно тело используется в качестве нагревателя, другое — холо­дильника. Из равенства (59.5) видно, что отношение температур тел равно отношению отданного в этом цикле количества теплоты к полученному. Согласно теореме Карно, химический состав рабочего тела не влияет на результаты сравнения температур, поэтому такая термодинамическая шкала не связана со свойствами какого-то опреде­ленного термометрического тела. Отметим, что практически таким образом сравни­вать температуры трудно, так как реальные термодинамические процессы, как ухе указывалось, являются необратимыми.

Задачи

9.1. Азот массой 1 кг находится при температуре 280 К. Определить: 1) внутреннюю энергию молекул азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул азота. Газ считать идеальным. [1) 208 кДж; 2) 83,1 кДж]

9.2. Определить удельные теплоемкости с_V и с_p, некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях 1,43 кг/м³. [с_V = 660Дж/(кг × К), с_p = 910 Дж/(кг × К)]

9.3. Водород массой m = 20 г был нагрет на DT = 100 К при постоянном давлении. Определить: 1) количество теплоты Q, переданное газу; 2) приращение DU внутренней энергии газа; 3) работу А расширения. [1) 29,3 кДж; 2) 20,9 кДж; 3) 8,4 кДж]

9.4. Кислород объемом 2 л находится под давлением 1 МПа. Определить, какое количество тепло­ты необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление вдвое в результате изохорного процесса. [5 кДж]

9.5. Некоторый газ массой 2 кг находится при температуре 300 К и под давлением 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в три раза. Работа, за­траченная на сжатие, A = –1,37 кДж. Определить: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа. [1) гелий; 2) 1,25 м³/кг]

9.6. Двухатомный идеальный газ занимает объем V₁= 1 л и находится под давлением р₁ = 0,1 МПа. После адиабатического сжатия газ характеризуется объемом V₂ и давлением p₂. В результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до первоначальной темпе­ратуры, а его давление р₃ = 0,2 МПа. Определить: 1) объем V₂, 2) давление p₂. Представить эти процессы графически. [1) 0,5 л; 2) 0,26 МПа]

9.7. Идеальный газ количеством вещества v = 2 моль сначала изобарно нагрели так, что его объем увеличился в п = 2 раза, а затем изохорно охладили так, что давление газа уменьши­лось в п = 2 раза. Определить приращение энтропии в ходе указанных процессов. [11,5 Дж/К]

9.8. Тепловая машина, совершая обратимый цикл Карно, за один цикл совершает работу 1 кДж. Температура нагревателя 400 К, а холодильника 300 К. Определить: 1) к. п. д. машины; 2) количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за цикл; 3) количество теплоты, отдаваемое холодильнику за цикл. [1) 25%; 2) 4 кДж; 3) 3 кДж]

9.9. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический к. п. д. которого равен 0,3. Определить работу изотермического сжатия газа, если работа изотермического расширения составляет 300 Дж.[–210Дж]

Глава 10 Реальные газы, жидкости и твердые тела

§ 60. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия

Модель идеального газа, используемая в молекулярно-кинетической теории газов, позволяет описывать поведение разреженных реальных газов при достаточно высоких температурах и низких давлеиижх. При выводе уравнения состояния идеального газа размерами молекул и их взаимодействием друг с другом пренебрегают. Повышение давления приводит к уменьшению среднего расстояния между молекулами, поэтому необходимо учитывать объем молекул и взаимодействие между ними. Taк, в 1 м³ газа при нормальных условиях содержится 2,68×10²⁵ молекул, занимающих объем пример­но 10^–4 м³ (радиус молекулы примерно 10^–10 м), которым по сравнению с объемом газа (1 м³) можно пренебречь. При давлении 500 МПа (1 атм = 101,3 кПа) объем молекул составит уже половину всего объема газа. Таким образом, при высоких давлениях и низких температурах указанная модель идеального газа непригодна.

При рассмотренииреальных газов — газов, свойства которых зависят от взаимо­действия молекул, надо учитыватьсилы межмолекулярного взаимодействия. Они прояв­ляются на расстояниях £ 10^–9 м и быстро убывают при увеличении расстояния между молекулами. Такие силы называютсякороткодействующими.

В XX в., по мере развития представлений о строении атома и квантовой механики, было выяснено, что между молекулами вещества одновременно действуютсилы притя­жения и силы отталкивания. На рис. 88, а приведена качественная зависимость сил межмолекулярного взаимодействия от расстояния r между молекулами, где F_о и F_п — соответственно силы отталкивания и притяжения, a F —их результирующая. Силы отталкивания считаются положительными, а силы взаимного притяже­ния — отрицательными.

На расстоянии r=r₀ результирующая сила F = 0, т.е. силы притяжения и оттал­кивания уравновешивают друг друга. Таким образом, расстояние r₀ соответствует равновесному расстоянию между молекулами, на котором бы они находились в отсут­ствие теплового движения. При r < r₀ преобладают силы отталкивания (F>0), при r > r₀ — силы притяжения (F<0). На расстояниях r > 10^–9 м межмолекулярные силы взаимодействия практически отсутствуют (F®0).

Элементарная работа dA силы F при увеличении расстояния между молекулами на dr совершается за счет уменьшения взаимной потенциальной энергии молекул, т. е.

(60.1)

Из анализа качественной зависимости потенциальной энергии взаимодействия молекул от расстояния между ними (рис. 88, б) следует, что если молекулы находятся друг от друга на расстоянии, на котором межмолекулярные силы взаимодействия не действу­ют (r®¥), то П=0. При постепенном сближении молекул между, ними появляются силы притяжения (F<0), которые совершают положительную работу (dA=Fdr > 0). Тогда, согласно (60.1), потенциальная энергия взаимодействия уменьшается, достигая минимума при r= r₀. При r < r₀ с уменьшением r силы отталкивания (F>0) резко возрастают и совершаемая против них работа отрицательна (dA=Fdr<0). Потенци­альная энергия начинает тоже резко возрастать и становится положительной. Из данной потенциальной кривой следует, что система из двух взаимодействующих молекул в состоянии устойчивого равновесия (r = r₀) обладает минимальной потенци­альной энергией.

Критерием различных агрегатных состояний вещества является соотношениемеж­ду величинами П_min и kT. П_min — наименьшая потенциальная энергия взаимодействия молекул — определяет работу, которую нужно совершить против сил притяжения для того, чтобы разъединить молекулы, находящиеся в равновесии (r= r₀); kT определяет удвоенную среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы хаотического (теплового) движения молекул.

Если П_min<<kT, то вещество находится в газообразном состоянии, так как интенсив­ное тепловое движение молекул препятствует соединению молекул, сблизившихся до расстояния r₀, т. е. вероятность образования агрегатов из молекул достаточно мала. Если П_min>>kT, то вещество находится в твердом состоянии, так как молекулы, притягиваясь друг к другу, не могут удалиться на значительные расстояния и колеб­лются около положений равновесия, определяемого расстоянием r₀. Если П_min»kT, то вещество находится в жидком состоянии, так как в результате теплового движения молекулы перемещаются в пространстве, обмениваясь местами, но не расходясь на расстояние, превышающее r₀.

Таким образом, любое вещество в зависимости от температуры может находиться в газообразном, жидком или твердом агрегатном состоянии, причем температура перехода из одного агрегатного состояния в другое зависит от значения П_min, для данного вещества. Например, у инертных газов П_min мало, а у металлов велико, поэтому при обычных (комнатных) температурах они находятся соответственно в газо­образном и твердом состояниях.

§ 61. Уравнение Ван-дер-Ваальса

Как уже указывалось в § 60, для реальных газов необходимо учитывать размеры молекул и их взаимодействие друг с другом, поэтому модель идеального газа и уравнение Клапейрона — Менделеева (42.4) pV_m=RT (для моля газа), описывающее идеаль­ный газ, для реальных газов непригодны.

Учитывая собственный объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия, голландский физик И. Ван-дер-Ваальс (1837—1923) вывел уравнение состояния реаль­ного газа. Ван-дер-Ваальсом в уравнение Клапейрона — Менделеева введены две поправки.

1. Учет собственного объема молекул. Наличие сил отталкивания, которые проти­водействуют проникновению в занятый молекулой объем других молекул, сводится к тому, что фактический свободный объем, в котором могут двигаться молекулы реального газа, будет не V_m, а V_m — b, где b — объем,занимаемый самими молекулами.

Объем b равен учетверенному собственному объему молекул. Если, например, в сосуде находятся две молекулы, то центр любой из них не может приблизиться к центру другой молекулы на расстояние, меньшее диаметра d молекулы. Это означает, что для центров обеих молекул оказывается недоступным сферический объем радиуса d, т. е. объем, равный восьми объемам молекулы или учетверенному объему молекулы в рас­чете на одну молекулу.

2. Учет притяжения молекул. Действие сил притяжения газа приводит к появлению дополнительного давления на газ, называемого внутренним давлением. По вычислени­ям Ван-дер-Ваальса, внутреннее давление обратно пропорционально квадрату моляр­ного объема, т. е.

(61.1)

где а — постоянная Ван-дер-Ваальса, характеризующая силы межмолекулярного при­тяжения, V_m — молярный объем.

Вводя эти поправки, получимуравнение Ван-дер-Ваальса для моля газа(уравнение состояния реальных газов):

(61.2)

Для произвольного количества вещества v газа (v=m/M) с учетом того, что V=vV_m, уравнение Ван-дер-Ваальса примет вид

где поправки а и b — постоянные для каждого газа величины, определяемые опытным путем (записываются уравнения Ван-дер-Ваальса для двух известных из опыта состоя­ний газа и решаются относительно а и b).

При выводе уравнения Ван-дер-Ваальса сделан целый ряд упрощений, поэтому оно также весьма приближенное, хотя и лучше (особенно для несильно сжатых газов) согласуется с опытом, чем уравнение состояния идеального газа.

Уравнение Ван-дер-Ваальса не единственное уравнение, описывающее реальные газы. Существу­ют и другие уравнения, некоторые из них даже точнее описывают реальные газы, но не рассматрива­ются из-за их сложности.

§ 62. Изотермы Ван-дер-Ваальса и их анализ

Для исследования поведения реального газа рассмотримизотермы Ван-дер-Ваальса — кривые зависимости р от V_m при заданных Т, определяемые уравнением Ван-дер-Ваальса (61.2) для моля газа. Эти кривые (рассматриваются для четырех различных температур; рис. 89) имеют довольно своеобразный характер. При высоких температурах (T > T_к) изотерма реального газа отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением ее формы, оставаясь монотонно спадающей кри­вой. При некоторой температуре T_к на изотерме имеется лишь одна точка перегиба К.

Эта изотерма называется критической, соответствующая ей температура T_к — крити­ческой температурой; точка перегиба К называется критической точкой; в этой точке касательная к ней параллельна оси абсцисс. Соответствующие этой точке объем V_к, и давление р_к называются также критическими. Состояние с критическими парамет­рами (p_к, V_к, T_к) называется критическим состоянием. При низких температурах (Т < T_к ) изотермы имеют волнообразный участок, сначала монотонно опускаясь вниз, затем монотонно поднимаясь вверх и снова монотонно опускаясь.

Для пояснения характера изотерм преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса (61.2) к виду

(62.1)

Уравнение (62.1) при заданных р и Т является уравнением третьей степени от­носительно V_m; следовательно, оно может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два мнимых, причем физический смысл имеют лишь веществен­ные положительные корни. Поэтому первому случаю соответствуют изотермы при низких температурах (три значения объема газа V₁, V₂ и V₃ отвечают (символ «m» для простоты опускаем) одному значению давления р₁), второму случаю — изотермы при высоких температурах.

Рассматривая различные участки изотермы при T<Т_к (рис. 90), видим, что на участках 1—3 и 5—7 при уменьшении объема V_m давление р возрастает, что естествен­но. На участке 3—5 сжатие вещества приводит к уменьшению давления; практика же показывает, что такие состояния в природе не осуществляются. Наличие участка 3—5 означает, что при постепенном изменении объема вещество не может оставаться все время в виде однородной среды; в некоторый момент должно наступить скачкообраз­ное изменение состояния и распад вещества на две фазы. Таким образом, истинная изотерма будет иметь вид ломаной линии 7—6—2—1. Часть 6–7 отвечает газообраз­ному состоянию, а часть 2–1 — жидкому. В состояниях, соответствующих горизон­тальному участку изотермы 6—2, наблюдается равновесие жидкой и газообразной фаз вещества. Вещество в газообразном состоянии при температуре ниже критической называется паром, а пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью, называется насыщенным.

Данные выводы, следующие из анализа уравнения Ван-дер-Ваальса, были под­тверждены опытами ирландского ученого Т. Эндрюса (1813—1885), изучавшего изо­термическое сжатие углекислого газа. Отличие экспериментальных (Эндрюс) и те­оретических (Ван-дер-Ваальс) изотерм заключается в том, что превращению газа в жидкость в первом случае соответствуют горизонтальные участки, а во вто­ром — волнообразные.

Для нахождения критических параметров подставим их значения в уравнение (62.1) в запишем

(62.2)

(символ «m» для простоты опускаем). Поскольку в критической точке все три корня совпадают и равны V_к уравнение приводится к виду

(62.3)

или

Tax как уравнения (62.2) и (62.3) тождественны, то в них должны быть равны и коэф­фициенты при неизвестных соответствующих степеней. Поэтому можно записать

(62.4)

Решая полученные уравнения, найдем

Если через крайние точки горизонтальных участков семейства изотерм провести линию, то получится колоколообразная кривая (рис. 91), ограничивающая область двухфазных состояний вещества. Эта кривая и критическая изотерма делят диаграмму р,V_m под изотермой на три области: под колоколообразной кривой располагается область двухфазных состояний (жидкость и насыщенный пар), слева от нее находится область жидкого состояния, а справа — область пара. Пар отличается от остальных газообразных состояний тем, что при изотермическом сжатии претерпевает процесс сжижения. Газ же при температуре выше критической не может быть превращен в жидкость ни при каком давлении.

Сравнивая изотерму Ван-дер-Ваальса с изотермой Эндрюса (верхняя кривая на рис. 92), видим, что последняя имеет прямолинейный участок 2—6, соответствующий двухфазным состояниям вещества. Правда, при некоторых условиях могут быть ре­ализованы состояния, изображаемые участками ван-дер-ваальсовой изотермы 5—6 и 2—3. Эти неустойчивые состояния называютсяметастабильными. Участок 2—3 изображаетперегретую жидкость, 5—6 —пересыщенный пар. Обе фазы ограниченно устойчивы.

При достаточно низких температурах изотерма пересекает ось V_m, переходя в об­ласть отрицательных давлений (нижняя кривая на рис. 92). Вещество под отрицатель­ным давлением находится в состоянии растяжения. При некоторых условиях такие состояния также реализуются. Участок 8—9 на нижней изотерме соответствует перегре­той жидкости, участок 9—10 — растянутой жидкости.

§ 63. Внутренняя энергия реального газа

Внутренняя энергия реального газа складывается из кинетической энергии теплового движения его молекул (определяет внутреннюю энергию идеального газа, равную С_VТ; см. § 53) и потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия. Потенциальная энергия реального газа обусловлена только силами притяжения между молекулами. Наличие сил притяжения приводит к возникновению внутреннего давления на газ (см. (61.1)):

Работа, которая затрачивается для преодоления сил притяжения, действующих между молекулами газа, как известно из механики, идет на увеличение потенциальной энергии системы, т. е. или откуда

(постоянная интегрирования принята равной нулю). Знак минус означает, что молеку­лярные силы, создающие внутреннее давление р', являются силами притяжения (см. § 60). Учитывая оба слагаемых, получим, что внутренняя энергия моля реального газа

(63.1)

растет с повышением температуры и увеличением объема.

Если газ расширяется без теплообмена с окружающей средой (адиабатический процесс, т. е. dQ=0) и не совершает внешней работы (расширение газа в вакуум, т. е. dА=0), то на основании первого начала термодинамики (dQ = (U₂—U₁)+ dA) Получим, что

(63.2)

Следовательно, при адиабатическом расширении без совершения внешней работы внутренняя энергия газа не изменяется.

Равенство (63.2) формально справедливо как для идеального, так и для реального газов, но физический смысл его для обоих случаев совершенно различен. Для идеального газа равенство U₁=U₂ означает равенство температур (T₁=T₂), т. е. при ади­абатическом расширении идеального газа в вакуум его температура не изменяется. Для реального газа из равенства (63.2), учитывая, что для моля газа

(63.3)

получаем

Так как V₂> V₁, то Т₁ > Т₂, т. е. реальный газ при адиабатическом расширении в вакуум охлаждается. При адиабатическом сжатии в вакуум реальный газ нагревается.

§ 64. Эффект Джоуля — Томсона

Если идеальный газ адиабатически расширяется и совершает при этом работу, то он охлаждается, так как работа в данном случае совершается за счет его внутренней энергии (см. § 55). Подобный процесс, но с реальным газом — адиабатическое рас­ширение реального газа с совершением внешними силами положительной рабо­ты—осуществили английские физики Дж. Джоуль (1818—1889) и У. Томсон (лорд Кельвин, 1824—1907).

Рассмотрим эффект Джоуля — Томсона. На рис. 93 представлена схема их опыта. В теплоизолированной трубке с пористой перегородкой находятся два поршня, кото­рые могут перемешаться без трения. Пусть сначала слева от перегородки газ под поршнем 1 находится под давлением р₁, занимает объем V₁ при температуре Т₁, а справа газ отсутствует (поршень 2 придвинут к перегородке). После прохождения газа через пористую перегородку в правой части газ характеризуется параметрами р₂, V₂, T₂. Давления p₁ и p₂ поддерживаются постоянными (p₁>p₂).

Так как расширение газа происходит без теплообмена с окружающей средой (адиабатически), то на основании первого начала термодинамики

(64.1)

Внешняя работа, совершаемая газом, состоит из положительной работы при движении поршня 2 (А₂=р₂V₂) и отрицательной при движении поршня 1 (A₁=p₁V₁), т. е. dA=A₂—A₁. Подставляя выражения для работ в формулу (64.1), получаем

(64.2)

Таким образом, в опыте Джоуля — Томсона сохраняется (остается неизменной) вели­чина U+pV. Она является функцией состояния и называется энтальпией.

Ради простоты рассмотрим 1 моль газа. Подставляя в формулу (64.2) выражение (63.3) и рассчитанные из уравнения Ван-дер-Ваальса (61.2) значения p₁V₂ и р₂V₂ (символ «m» опять опускаем) и производя элементарные преобразования, получаем

(64.3)

Из выражения (64.3) следует, что знак разности (T₂—T₁) зависит от того, какая из поправок Ван-дер-Ваальса играет бóльшую роль. Проанализируем данное выражение, сделав допущение, что p₂<<p₁ и V₂>>V₁:

1) а » 0 — не учитываем силы притяжения между молекулами, а учитываем лишь размеры самих молекул. Тогда

т. е. газ в данном случае нагревается;

2) b » 0 — не учитываем размеров молекул, а учитываем лишь силы притяжения между молекулами. Тогда

т. е. газ в данном случае охлаждается;

3) учитываем обе поправки. Подставив в выражение (64.3) вычисленное из уравне­ния Ван-дер-Ваальса (61.2) значение р₁, имеем

(64.4)

т. е. знак разности температур зависит от значений начального объема V₁ и начальной температуры Т₁.

Изменение температуры реального газа в результате его адиабатического расшире­ния, или, как говорят,адиабатического дросселирования — медленного прохождения газа под действием перепада давления сквозьдроссель (например, пористую перегород­ку), называетсяэффектом Джоуля—Томсона. Эффект Джоуля — Томсона принято называтьположительным, если газ в процессе дросселирования охлаждается (DT<0), иотрицательным, если газ нагревается (DT > 0).

В зависимости от условий дросселирования для одного и того же газа эффект Джоуля — Томсона может быть как положительным, так и отрицательным. Тем­пература, при которой (для данного давления) происходит изменение знака эффекта Джоуля — Томсона, называетсятемпературой инверсии. Ее зависимость от объема получим, приравняв выражение (64.4) нулю:

(64.5)

Кривая, определяемая уравнением (64.5), — кривая инверсии — приведена на рис. 94. Область выше этой кривой соответствует отрицательному эффекту Джоуля — Томсона, ниже — положительному. Отметим, что при больших перепадах давления на дросселе температура газа изменяется значительно. Так, при дросселировании от 20 да 0,1 МПа и начальной температуре 17° С воздух охлаждается на 35° С.

Эффект Джоуля — Томсона обусловлен отклонением газа от идеальности. В самом деле, для моля идеального газа рV_m=RТ, поэтому выражение (64.2) примет вид

откуда следует, что Т₁ = T₂.

§ 65. Сжижение газов

Превращение любого газа в жидкость — сжижение газа — возможно лишь при тем­пературе ниже критической (см. § 62). При ранних попытках сжижения газов оказалось, что некоторые газы (Cl, СО₂, NH₃) легко сжижались изотермическим сжатием, а целый ряд газов (O₂, N₂, H₂, He) сжижению не поддавался. Подобные неудачные попытки объяснил Д. И. Менделеев, показавший, что сжижение этих газов производилось при температуре, большей критической, и поэтому заранее было обречено на неудачу. Впоследствии удалось получить жидкий кислород, азот и водород (их критические температуры равны соответственно 154,4, 126,1 и 33 К), а в 1908 г. нидерландский физик Г. Камерлинг-Оннес (1853—1926) добился сжижения гелия, имеющего самую низкую критическую температуру (5,3 К).

Для сжижения газов чаще применяются два промышленных метода, в основе которых используется либо эффект Джоуля—Томсона, либо охлаждение газа при совершении им работы.

Схема одной из установок, в которой используется эффект Джоуля—Томсо­на, —машины Линде* — представлена на рис. 95. Воздух в компрессоре (К) сжима­ется до давления в десятки мегапаскаль и охлаждается в холодильнике (X) до тем­пературы ниже температуры инверсии, в результате чего при дальнейшем расширении газа наблюдается положительный эффект Джоуля — Томсона (охлаждение газа при его расширении). Затем сжатый воздух проходит по внутренней трубе теплообменника (ТО) и пропускается через дроссель (Др), при этом он сильно расширяется и охлаждает­ся. Расширившийся воздух вновь засасывается по внешней трубе теплообменника, охлаждая вторую порцию сжатого воздуха, текущего по внутренней трубе. Так как каждая следующая порция воздуха предварительно охлаждается, а затем пропускается через дроссель, то температура понижается все больше. В результате 6—8-часового цикла часть воздуха (»5%), охлаждаясь до температуры ниже критической, сжижается и поступает в дьюаровский сосуд (ДС) (см. § 49), а остальная его часть возвращается в теплообменник.

* К. Линде (1842—1934) — немецкий физик и инженер.

Второй метод сжижения газов основан на охлаждении газа при совершении им работы. Сжатый газ, поступая в поршневую машину (детадер), расширяется и совер­шает при этом работу по передвижению поршня. Taк как работа совершается за счет внутренней энергии газа, то его температура при этом понижается.

Академик П. Л. Капица предложил вместо детандера применять турбодетандер, в котором газ, сжатый всего лишь до 500—600 кПа, охлаждается, совершая работу по вращению турбины. Этот метод успешно применен Капицей для сжижения гелия, предварительное охлаждение которого производилось жидким азотом. Современные мощные холодильные установки работают по принципу турбодетандера.

§ 66. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение

Жидкость является агрегатным состоянием вещества, промежуточным между газооб­разным и твердым, поэтому она обладает свойствами какгазообразных, так и твердых веществ. Жидкости, подобно твердым телам, обладают определенным объемом, а по­добно газам, принимают форму сосуда, в котором они находятся (см. § 28). Молекулы газа практически не связаны между собой силами межмолекулярного взаимодействия, и в данном случае средняя энергия теплового движения молекул газа гораздо больше средней потенциальной энергии, обусловленной силами притяжения между ними (см. § 60), поэтому молекулы газа разлетаются в разные стороны и газ занимает предоставленный ему объем. В твердых и жидких телах силы притяжения между молекулами уже существенны и удерживают молекулы на определенном расстоянии друг от друга. В этом случае средняя энергия хаотического (теплового) движения молекул меньше средней потенциальной энергии, обусловленной силами межмолекулярного взаимодей­ствия, и ее недостаточно для преодоления сил притяжения между молекулами, поэтому твердые тела и жидкости имеют определенный объем.

Рентгеноструктурный анализ жидкостей показал, что характер расположения ча­стиц жидкости промежуточен между газом и твердым телом. В газах молекулы движутся хаотично, поэтому нет никакой закономерности в их взаимном расположе­нии. Для твердых тел наблюдается так называемый дальний порядок в расположении частиц, т. е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на больших расстояниях. В жидкостях имеет место так называемый ближний порядок в расположении частиц, т. е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на расстояниях, сравнимых с межатомными.

Теория жидкости до настоящего времени полностью не развита. Разработка ряда проблем в исследовании сложных свойств жидкости принадлежит Я. И. Френкелю (1894—1952). Тепловое движение в жидкости он объяснял тем, что каждая молекула в течение некоторого времени колеблется около определенного положения равновесия, после чего скачком переходит в новое положение, отстоящее от исходного на расстоя­нии порядка межатомного. Таким образом, молекулы жидкости довольно медленно перемещаются по всей массе жидкости и диффузия происходит гораздо медленнее, чем в газах. С повышением температуры жидкости частота колебательного движения резко увеличивается, возрастает подвижность молекул, что, в свою очередь, является причи­ной уменьшения вязкости жидкости.

На каждую молекулу жидкости со стороны окружающих молекул действуют силы притяжения, быстро убывающие с расстоянием (см. рис. 88); следовательно, начиная с некоторого минимального расстояния силами притяжения между молекулами можно пренебречь. Это расстояние (порядка 10^–9 м) называется радиусом молекулярного действияr, а сфера радиуса r — сферой молекулярного действия.

Выделим внутри жидкости какую-либо молекулу А (рис. 96) и проведем вокруг нее сферу радиуса r. Достаточно, согласно определению, учесть действие на данную молекулу только тех молекул, которые находятся внутри сферы молекулярного дейст­вия. Силы, с которыми эти молекулы действуют на молекулу А, направлены в разные стороны и в среднем скомпенсированы, поэтому результирующая сила, действующая на молекулу внутри жидкости со стороны других молекул, равна нулю. Иначе обстоит дело, если молекула, например молекула В, расположена от поверхности на расстоя­нии, меньшем r. В данном случае сфера молекулярного действия лишь частично расположена внутри жидкости. Так как концентрация молекул в расположенном над жидкостью газе мала по сравнению с их концентрацией в жидкости, то равнодейст­вующая сил F, приложенных к каждой молекуле поверхностного слоя, не равна нулю и направлена внутрь жидкости. Таким образом, результирующие силы всех молекул поверхностного слоя оказывают на жидкость давление, называемоемолекулярным(иливнутренним). Молекулярное давление не действует на тело, помещенное в жид­кость, так как оно обусловлено силами, действующими только между молекулами самой жидкости.

Суммарная энергия частиц жидкости складывается из энергии их хаотического (теплового) движения и потенциальной энергии, обусловленной силами межмолекуляр­ного взаимодействия. Для перемещения молекулы из глубины жидкости в поверхност­ный слой надо затратить работу. Эта работа совершается за счет кинетической энергии молекул и идет на увеличение их потенциальной энергии. Поэтому молекулы поверх­ностного слоя жидкости обладают большей потенциальной энергией, чем молекулы внутри жидкости. Эта дополнительная энергия, которой обладают молекулы в поверх­ностном слое жидкости, называемая поверхностной энергией, пропорциональна площа­ди слоя DS:

(66.1)

где s — поверхностное натяжение.

Так как равновесное состояние характеризуется минимумом потенциальной энер­гии, то жидкость при отсутствии внешних сил будет принимать такую форму, чтобы при заданном объеме она имела минимальную поверхность, т. е. форму шара. Наблю­дая мельчайшие капельки, взвешенные в воздухе, можем видеть, что они действительно имеют форму шариков, но несколько искаженную из-за действия сил земного тяготе­ния. В условиях невесомости капля любой жидкости (независимо от ее размеров) имеет сферическую форму, что доказано экспериментально на космических кораблях.

Итак, условием устойчивого равновесия жидкости является минимум поверхност­ной энергии. Это означает, что жидкость при заданном объеме должна иметь наимень­шую площадь поверхности, т. е. жидкость стремится сократить площадь свободной поверхности. В этом случае поверхностный слой жидкости можно уподобить растяну­той упругой пленке, в которой действуют силы натяжения.

Рассмотрим поверхность жидкости (рис. 97), ограниченную замкнутым контуром. Под действием сил поверхностного натяжения (направлены по касательной к поверх­ности жидкости и перпендикулярно участку контура, на который они действуют) поверхность жидкости сократилась и рассматриваемый контур переместился в положе­ние, отмеченное светло-серым цветом. Силы, действующие со стороны выделенного участка на граничащие с ним участки, совершают работу

где f — сила поверхностного натяжения, действующая на единицу длины контура поверхности жидкости.

Из рис. 97 видно, что DlDx = DS, т. е.

(66.2)

Эта работа совершается за счет уменьшения поверхностной энергии, т. е.

(66.3)

Из сравнения выражений (66.1) — (66.3) видно, что

(66.4)

т. е. поверхностное натяжение s равно силе поверхностного натяжения, приходящейся на единицу длины контура, ограничивающего поверхность. Единица поверхностного натяжения — ньютон на метр (Н/м) или джоуль на квадратный метр (Дж/м²) (см. (66.4) и (бб.1)). Большинство жидкостей при температуре 300 К имеет поверхностное натяжение порядка 10^–2—10^–1 Н/м. Поверхностное натяжение с повышением тем­пературы уменьшается, так как увеличиваются средние расстояния между молекулами жидкости.

Поверхностное натяжение существенным образом зависит от примесей, имеющихся в жидкостях. Вещества, ослабляющие поверхностное натяжение жидкости, называются пoвеpxностно-активными. Наиболее известным поверхностно-активным веществом по отношению х воде является мыло. Оно сильно уменьшает ее поверхностное натяжение (примерно с 7,5 •10^–2 до 4,5 • 10^–2 Н/м). Поверхностно-активными веществами, пони­жающими поверхностное натяжение воды, являются также спирты, эфиры, нефть и др.

Существуют вещества (сахар, соль), которые увеличивают поверхностное натяжение жидкости благодаря тому, что их молекулы взаимодействуют с молекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой. Например, если посолить мыльный раствор, то в поверхностный слой жидкости выталкивается молекул мыла больше, чем в пресной воде. В мыловаренной технике мыло «высаливается» этим способом из раствора.

§ 67. Смачивание

Из практики известно, что капля воды растекается на стекле и принимает форму, изображенную на рис. 98, в то время как ртуть на той же поверхности превращается в несколько сплюснутую каплю (рис. 99). В первом случае говорят, что жидкость смачивает твердую поверхность, во втором — не смачивает ее. Смачивание зависит от характера сил, действующих между молекулами поверхностных слоев соприкасающих­ся сред. Для смачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, и жидкость стремит­ся увеличить поверхность соприкосновения с твердым телом. Для несмачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела меньше, чем между молекулами жидкости, и жидкость стремится уменьшить поверхность своего соприкосновения с твердым телом.

К линии соприкосновения трех сред (точка О есть ее пересечение с плоскостью чертежа) приложены три силы поверхностного натяжения, которые направлены по касательной внутрь поверхности соприкосновения соответствующих двух сред (рис. 98 и 99). Эти силы, отнесенные к единице длины линии соприкосновения, равны соответст­вующим поверхностным натяжениям s₁₂, s₁₃, s₂₃. Угол q между касательными к поверх­ности жидкости и твердого тела называется краевым углом. Условием равновесия капли (рис. 98) является равенство нулю суммы проекций сил поверхностного натяжения на направление касательной к поверхности твердого тела, т. е.

откуда

(67.1)

Из условия (67.1) вытекает, что краевой угол может быть острым или тупым в зависимости от значений s₁₃ и s₁₂. Если s₁₃ > s₁₂, то cosq > 0 и угол q—острый (рис. 98), т. е. жидкость смачивает твердую поверхность. Если s₁₃ < s₁₂, то cosq < 0 и угол q — тупой (рис. 99), т. е. жидкость не смачивает твердую поверхность. Краевой угол удовлетворяет условию (67.1), если

(67.2)

Если условие (67.2) не выполняется, то капля жидкости 2 ни при каких значениях q не может находиться в равновесии. Если s₁₃ > s₁₂ + s₂₃, то жидкость растекается по поверх­ности твердого тела, покрывая его тонкой пленкой (например, керосин на поверхности стекла), —имеет место полное смачивание (в данном случае q = 0). Если s₁₂ > s₁₃ + s₂₃, то жидкость стягивается в шаровую каплю, в пределе имея с ней лишь одну точку соприкосновения (например, капля воды на поверхности парафина), — имеет место полное несмачивание (в данном случае q = p).

Смачивание и несмачивание являются понятиями относительными, т. е. жидкость, смачивающая одну твердую поверхность, не смачивает другую. Например, вода смачи­вает стекло, но не смачивает парафин; ртуть не смачивает стекло, но смачивает чистые поверхности металлов.

Явления смачивания и несмачивания имеют большое значение в технике. Напри­мер, в методе флотационного обогащения руды (отделение руды от пустой породы) ее, мелко раздробленную, взбалтывают в жидкости, смачивающей пустую породу и не смачивающей руду. Через эту смесь продувается воздух, а затем она отстаивается. При этом смоченные жидкостью частицы породы опускаются на дно, а крупинки минералов «прилипают» к пузырькам воздуха и всплывают на поверхность жидкости. При механической обработке металлов их смачивают специальными жидкостями, что облегчает и ускоряет обработку.

§ 68. Давление под искривленной поверхностью жидкости

Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказывает на жидкость избыточное (добавочное) давление. Это давление, обусловленное силами поверхност­ного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой поверх­ности — отрицательно.

Для расчета избыточного давления предположим, что свободная поверхность жидкости имеет форму сферы радиуса R, от которой мысленно отсечен шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиуса r=Rsina (рис. 100). На каждый бес­конечно малый элемент длины Dl этого контура действует сила поверхностного натяжения DF = s Dl, касательная к поверхности сферы. Разложив DF на два компонента (DF₁ и DF₂), видим, что геометрическая сумма сил DF₂ равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направлены в обратные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения, дей­ствующих на вырезанный сегмент, направлена перпендикулярно плоскости сечения внутрь жидкости и равна алгебраической сумме составляющих DF₁:

Разделив эту силу на площадь основания сегмента pr², вычислим избыточное давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривиз­ной поверхности:

(68.1)

Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна

(68.2)

Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину Dp.

Формулы (68.1) и (68.2) являются частным случаем формулы Лапласа,* опре­деляющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

(68.3)

где R₁ и R₂ — радиусы кривизны двух любых взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости в дайной точке. Радиус кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости.

*П. Лаплас (1749—1827) — французский ученый.

 

Для сферической искривленной поверхности (R₁=R₂=R) выражение (68.3) перехо­дит в (68.1), для цилиндрической (R₁=R и R₂=¥) — избыточное давление

В случае плоской поверхности (R₁=R₂=¥) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают.

§ 69. Капиллярные явления

Если поместить узкую трубку(капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широ­кий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости —мениск — имеет вогнутую форму, если не смачивает — выпуклую (рис. 101).

Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточное давле­ние, определяемое по формуле (68.2). Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, таккак под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h, при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) rgh уравновеши­вается избыточным давлением Dp, т. е.

где r — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.

Если r — радиус капилляра, q — краевой угол, то из рис. 101 следует, что (2s cosq)/r = rgh, откуда

(69.1)

В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая—опускается, из формулы (69.1) при q<p/2 (cosq>0) получим положительные значения h, а при q>p/2 (cosq<0) — отрицательные. Из выражения (69.1) видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (q=0) вода (r =1000 кг/м³, s = 0,073 Н/м) в ка­пилляре диаметром 10мкм поднимается на высоту h »3 м.

Капиллярные явления играют большую роль в природа и технике. Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам. На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т. д.

§ 70. Твердые тела. Моно- и поликристаллы

Твердые тела (кристаллы) характеризуются наличием значительных сил межмолекулярного взаимодействия и сохраняют постоянными не только свой объем, но и форму. Кристаллы имеют правильную геометрическую форму, которая, как показали рент­генографические исследования немецкого физика-теоретика М. Лауэ (1879—1960), яв­ляется результатом упорядоченного расположения частиц (атомов, молекул, ионов), составляющих кристалл. Структура, для которой характерно регулярное расположение частиц с периодической повторяемостью в трех измерениях, называется кристалличес­кой решеткой. Точки, в которых расположены частицы, а точнее — средние равновес­ные положения, около которых частицы совершают колебания, называются узлами кристаллической решетки.

Кристаллические тела можно разделить на две группы: монокристаллы и поли­кристаллы. Монокристаллы — твердые тела, частицы которых образуют единую кри­сталлическую решетку. Кристаллическая структура монокристаллов обнаруживается по их внешней форме. Хотя внешняя форма монокристаллов одного типа может быть различной, но углы между соответствующими гранями у них остаются постоянными. Это закон постоянства углов, сформулированный М. В. Ломоносовым. Он сделал важный вывод, что правильная форма кристаллов связана с закономерным размещени­ем частиц, образующих кристалл. Монокристаллами являются большинство минера­лов. Однако крупные природные монокристаллы встречаются довольно редко (напри­мер, лед, поваренная соль, исландский шпат). В настоящее время многие монокристал­лы выращиваются искусственно. Условия роста крупных монокристаллов (чистый раствор, медленное охлаждение и т. д.) часто не выдерживаются, поэтому большинст­во твердых тел имеет мелкокристаллическую структуру, т. е. состоит из множества беспорядочно ориентированных мелких кристаллических зерен. Такие твердые тела называются поликристаллами (многие горные породы, металлы и сплавы).

Характерной особенностью монокристаллов является их анизотропность, т. е. зави­симость физических свойств — упругих, механических, тепловых, электрических, маг­нитных, оптических — от направления. Анизотропия монокристаллов объясняется тем, что в кристаллической решетке различно число частиц, приходящихся на оди­наковые по длине, но разные по направлению отрезки (рис. 102), т. е. плотность расположения частиц кристаллической решетки по разным направлениям неодинакова, что и приводит к различию свойств кристалла вдоль этих направлений. В поликристаллах анизотропия наблюдается только для отдельных мелких кристалликов, но их различная ориентация приводит к тому, что свойства поликристалла по всем направле­ниям в среднем одинаковы.

.

§ 71. Типы кристаллических твердых тел

Существует два признака для классификации кристаллов: 1) кристаллографический; 2) физический (природа частиц, расположенных в узлах кристаллической решетки, и характер сил взаимодействия между ними).

1. Кристаллографический признак кристаллов. В данном случае важна только про­странственная периодичность в расположении частиц, поэтому можно отвлечься от их внутренней структуры, рассматривая частицы как геометрические точки.

Кристаллическая решетка может обладать различными видами симметрии. Сим­метрия кристаллической решетки — ее свойство совмещаться с собой при некоторых пространственных перемещениях, например параллельных переносах, поворотах, от­ражениях или их комбинациях и т. д. Кристаллической решетке, как доказал русский кристаллограф Е. С. Федоров (1853—1919), присущи 230 комбинаций элементов сим­метрии, или 230 различных пространственных групп.

С переносной симметрией в трехмерном пространстве связывают понятие трехмер­ной периодической структуры — пространственной решетки, или решетки Бравэ, пред­ставление о которой введено французским кристаллографом О. Бравэ (1811—1863). Всякая пространственная решетка может быть составлена повторением в трех различ­ных направлениях одного и того же структурного элемента — элементарной ячейки. Всего существует 14 типов решеток Бравэ, различающихся по виду переносной симмет­рии. Они распределяются по семи кристаллографическим системам, или сингониям, представленным в порядке возрастающей симметрии в табл. 3. Для описания элементарных ячеек пользуются кристаллографическими осями координат, которые проводят параллельно ребрам элементарной ячейки, а начало координат выбирают в левом углу передней грани элементарной ячейки. Элементарная кристаллическая ячейка представ­ляет собой параллелепипед, построенный на ребрах а, b, с с углами a, b и g между ребрами (табл. 3). Величины а, b и с и a, b и g называются параметрами элементарной ячейки и однозначно ее определяют.

2. Физический признак кристаллов. В зависимости от рода частиц, расположенных в узлах кристаллической решетки, и характера сил взаимодействия между ними кри­сталлы разделяются на четыре типа: ионные, атомные, металлические, молекулярные.

Ионные кристаллы. В узлах кристаллической решетки располагаются поочередно ионы противоположного знака. Типичными ионными кристаллами являются большин­ство галоидных соединений щелочных металлов (NaCl, CsCl, КВr и т. д.), а также оксидов различных элементов (MgO, СаО и т. д.). Структуры решеток двух наиболее характерных ионных кристаллов — NaCl (решетка представляет собой две одинаковые гранецентрированные кубические решетки, вложенные друг в друга; в узлах одной из этих решеток находятся ионы Na⁺, в узлах другой — ионы Cl^–) и CsCl (кубическая объемно центрированная решетка — в центре каждой элементарной решетки находит­ся ион) — показаны на рис. 103. Силы взаимодействия между ионами являются в основном электростатическими (кулоновскими).Связь, обусловленная кулоновскими силами притяжения между разноименно заряженными ионами, на­зываетсяионной (илигетерополярной).В ионной решетке нельзя выделить от­дельные молекулы: кристалл представ­ляет собойкак бы одну гигантскую мо­лекулу.

 

 

Таблица 3

Атомные кристаллы. В узлах кри­сталлической решетки располагаются нейтральные атомы, удерживающиеся в узлах решеткигомеополярными, или ковалентными, связями квантово-механического происхождения (у соседних атомов обобществлены валентные элек­троны, наименее связанные с атомом). Атомными кристаллами являются ал­маз и графит (два различных состояния углерода), некоторые неорганические со­единения (ZnS, ВеО и т. д.), а также типичные полупроводники — германий Ge и кремний Si. Структура решетки алмаза приведена на рис. 104, где каж­дый атом углерода окружен четырьмя такими же атомами, которые располага­ются на одинаковых расстояниях от него в вершинах тетраэдров.

Валентные связи осуществляются па­рами электронов, движущихся по орби­там, охватывающим оба атома, и носят направленный характер: ковалентные силы направлены от центрального ато­ма к вершинам тетраэдра. В отличие от графита решетка алмаза не содержит плоских слоев, что не позволяет сдви­гать отдельные участки кристалла, по­этому алмаз является прочным соедине­нием.

Металлические кристаллы. В узлах кристаллической решетки располагают­ся положительные ионы металла. При образовании кристаллической решетки валент­ные электроны, сравнительно слабо связанные с атомами, отделяются от атомов и коллективизируются: они уже принадлежат не одному атому, как в случае ионной связи, и не паре соседних атомов, как в случае гомеополярной связи, а всему кристаллу в целом. Таким образом, в металлах между положительными ионами хаотически, подобно молекулам газа, движутся «свободные» электроны, наличие которых обес­печивает хорошую электропроводность металлов. Так как металлическая связь не имеет направленного действия и положительные ионы решетки одинаковы по свойст­вам, то металлы должны иметь симметрию высокого порядка. Действительно, большинство металлов имеют кубическую объемно центрированную (Li, Na, К, Rb, Cs) и кубическую гранецентрированную (Сu, Ag, Pt, Au) решетки. Чаще всего металлы встречаются в виде поликристаллов.

Молекулярные кристаллы. В узлах кристаллической решетки располагаются ней­тральные молекулы вещества, силы взаимодействия между которыми обусловлены незначительным взаимным смещением электронов в электронных оболочках атомов. Эта силы называются ван-дер-ваальсовыми, так как они имеют ту же природу, что и силы притяжения между молекулами, приводящими к отклонению газов от идеаль­ности. Молекулярными кристаллами являются, например, большинство органических соединений (парафин, спирт, резина и т. д.), инертные газы (Ne, Аr, Кr, Хе) и газы СО₂, О₂, N₂ в твердом состоянии, лед, а также кристаллы брома Вr₂, иода I₂. Ван-дер-ваальсовы силы довольно слабые, поэтому молекулярные кристаллы легко деформируются.

В некоторых твердых телах одновременно может осуществляться несколько видов связи. Примером может служить графит (гексагональная решетка). Решетка графита (рис. 105) состоит из ряда параллельных плоскостей, в которых атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников. Расстояние между плоскостя­ми более чем в два раза превышает расстояние между атомами шестиугольника. Плоские слои связаны друг с другом ван-дер-ваальсовыми силами. В пределах слоя три валентных электрона каждого атома углерода образуют ковалентную связь с сосед­ними атомами углерода, а четвертый электрон, оставаясь «свободным», коллективизи­руется, но не во всей решетке, как в случае металлов, а в пределах одного слоя. Таким образом, в данном случае осуществляются три вида связи: гомеополярная и метал­лическая — в пределах одного слоя; ван-дер-ваальсова — между слоями. Этим объяс­няется мягкость графита, так как его слон могут скользить друг относительно друга.

Различие в строении кристаллических решеток двух разновидностей углеро­да — графита и алмаза — объясняет различие в их физических свойствах: мягкость графита и твердость алмаза; графит — проводник электричества, алмаз — диэлектрик (нет свободных электронов) и т. д.

Расположение атомов в кристаллах характеризуется такжекоординационным чис­лом — числом ближайших однотипных с данным атомом соседних атомов в кристал­лической решетке или молекул в молекулярных кристаллах. Для модельного изображения кристаллических структур из атомов и ионов пользуются системой плотной упаковки шаров. Рассматривая простейший случай плотной упаковки шаров оди­накового радиуса на плоскости, приходим к двум способам их расположения (рис. 106, а, б). Правая упаковка является более плотной, так как при равном числе шаров площадь ромба со стороной, равной стороне квадрата, меньше площади квадрата. Как видно из рисунка, различие в упаковках сводится к различию ко­ординационных чисел: в левой упаковке координационное число равно 4, в правой — 6, т. е. чем плотнее упаковка, тем больше координационное число.

Рассмотрим, при каких условиях плотная упаковка шаров в пространстве может соответствовать той или иной кристаллической структуре, приводимой ранее. Начнем строить решетку со слоя шаров, представленных на рис. 106, б. Для упрощения дальнейших рассуждений спроецируем центры шаров на плоскость, на которой они лежат, обозначив их белыми кружками (рис. 107). На эту же плоскость спроецируем центры просветов между шарами, которые обозначены на рис. 107 соответственно черными кружками и крестиками. Любой плотноупакованный слой будем называть слоем А, если центры его шаров расположены над серыми кружками, слоем В — если над красными кружками, слоем С — если над крестиками. Над слоем А уложим второй плотноупакованный слой так, чтобы каждый шар этого слоя лежал на трех шарах первого слоя. Это можно сделать двояко: взять в качестве второго слоя либо В, либо С. Третий слой можно опять уложить двояко и т. д. Итак, плотную упаковку можно описать как последовательность АВСВАС..., в которой не могут стоять рядом слои, обозначенные одинаковыми буквами.

Из множества возможных комбинаций в кристаллографии реальное значение име­ют два типа упаковки: 1) двухслойная упаковка АВАВАВ... — гексагональная плотноупакованная структура (рис. 108); 2) трехслойная упаковка АВСАВС... — кубическая гранецентрированная структура (рис. 109). В обеих решетках координационное число равно 12 и плотность упаковки одинакова — атомы занимают 74% общего объема кристалла. Координационное число, соответствующее кубической объемно центрированной решетке, равно 8, решетке алмаза (см. рис. 104) равно 4.

Кроме двух- и трехслойных упаковок можно построить многослойные с большим периодом повторяемости одинаковых слоев, например АВСВАСАВСВАС... — шестислойная упаковка. Существует модификация карбида SiC с периодом повторяемости 6, 15 и 243 слоя.

Если кристалл построен из атомов различных элементов, то его можно представить в виде плотной упаковки шаров разных размеров. На рис. 110 приведено модельное изображение кристалла поваренной соли. Крупные ионы хлора (r=181 пм) образуют плотную трехслойную упаковку, у которой большие пустоты заполнены меньшими по размеру ионами натрия (r=98 пм). Каждый ион Na окружен шестью ионами Сl и, наоборот, каждый ион Cl — шестью ионами Na.

 

§ 72. Дефекты в кристаллах

Рассмотренные в § 71 идеальные кристаллические структуры существуют лишь в очень малых объемах реальных кристаллов, в которых всегда имеются отклонения от упорядоченного расположения частиц в узлах решетки, называемые дефектами кристаллической решетки. Дефекты делятся на макроскопические, возникающие в процессе образования и роста кристаллов (например, трещины, поры, инородные макроскопи­ческие включения), и микроскопические, обусловленные микроскопическими отклонени­ями от периодичности.

Микродефекты делятся на точечные и линейные. Точечные дефекты бывают трех типов: 1) вакансии — отсутствие атома в узле кристаллической решетки (рис. 111, a); 2) междоузельный атом — атом, внедрившийся в междоузельное пространство (рис. 111, б); 3) примесный атом — атом примеси, либо замещающий атом основного веще­ства в кристаллической решетке (примесь замещения, рис. 111, в), либо внедрившийся в междоузельное пространство (примесь внедрения, рис. 111, б; только в междоузлии вместо атома основного вещества располагается атом примеси). Точечные дефекты нарушают лишь ближний порядок в кристаллах, не затрагивая дальнего порядка, — в этом состоит их характерная особенность.

Линейные дефекты нарушают дальний порядок. Как следует из опытов, механичес­кие свойства кристаллов в значительной степени определяются дефектами особого вида — дислокациями. Дислокации — линейные дефекты, нарушающие правильное че­редование атомных плоскостей.

Дислокации бывают краевые и винтовые. Если одна из атомных плоскостей об­рывается внутри кристалла, то край этой плоскости образует краевую дислокацию (рис. 112, а). В случае винтовой дислокации (рис. 112, б) ни одна из атомных плоскостей внутри кристалла не обрывается, а сами плоскости лишь приблизительно параллельны и смыкаются друг с другом так, что фактически кристалл состоит из одной атомной плоскости, изогнутой по винтовой поверхности.

Плотность дислокаций (число дислокаций, приходящихся на единицу площади поверхности кристалла) для совершенных монокристаллов составляет 10² — 10³ см^–2, для деформированных кристаллов — 10¹⁰ — 10¹² см^–2. Дислокации никогда не об­рываются, они либо выходят на поверхность, либо разветвляются, поэтому в реальном кристалле образуются плоские или пространственные сетки дислокаций. Дислокации и их движение можно наблюдать с помощью электронного микроскопа, а также методом избирательного травления — в местах выхода дислокации на поверхность возникают ямки травления (интенсивное разрушение кристалла под действием реаген­та), «проявляющие» дислокации.

Наличие дефектов в кристаллической структуре влияет на свойства кристаллов, анализ которых проведем ниже.

§ 73. Теплоемкость твердых тел

В качестве модели твердого тела рассмотрим правильно построенную кристалличес­кую решетку, в узлах которой частицы (атомы, ионы, молекулы), принимаемые за материальные точки, колеблются около своих положений равновесия — узлов решет­ки — в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Таким образом, каждой состав­ляющей кристаллическую решетку частице приписывается три колебательных степени свободы, каждая из которых, согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы (см. § 50), обладает энергией kT.

Внутренняя энергия моля твердого тела

где N_A — постоянная Авогадро; N_Ak=R (R — молярная газовая постоянная). Молярная теплоемкость твердого тела

(73.1)

т. е. молярная (атомная) теплоемкость химически простых тел в кристаллическом

состоянии одинакова (равна 3R) и не зависит от температуры. Этот закон был эмпирически получен французскими учеными П. Дюлонгом (1785—1838) и Л. Пти (1791—1820) и носит названиезакона Дюлонга и Пти.

Если твердое тело является химическим соединением (например, NaCl), то число частиц в моле не равно постоянной Авогадро, а равно nN_A, где n — число атомов в молекуле (для NaCl число частиц в моле равно 2N_A, так, в одном моле NaCl содержится N_A атомов Na и N_A атомов Cl). Таким образом, молярная теплоемкость твердых химических соединений

т. е. равна сумме атомных теплоемкостей элементов, составляющих это соединение.

Как показывают опытные данные (табл. 4), для многих веществ закон Дю­лонга и Пти выполняется с довольно хорошим приближением, хотя некото­рые вещества (С, Be, В) имеют значи­тельные отклонения от вычисленных теплоемкостей. Кроме того, так же как и в случае газов (см. § 53), опыты по измерению теплоемкости твердых тел при низких температурах показали, что она зависит от температуры (рис. 113). Вблизи нуля кельвин теплоемкость тел пропорциональна Т³, и только при до­статочно высоких температурах, харак­терных для каждого вещества, выполня­ется условие (73.1). Алмаз, например, имеет теплоемкость, равную 3R при1800 К! Однако для большинства твердых тел комнатная температура является уже достаточно высокой.

Таблица 4

Расхождение опытных и теоретических значений теплоемкостей, вычисленных на основе классической теории, объяснили, исходя из квантовой теории теплоемкостей, А. Эйнштейн и П. Дебай.

§ 74. Испарение, сублимация, плавление и кристаллизация. Аморфные тела

Как в жидкостях, так и в твердых телах всегда имеется некоторое число молекул, энергия которых достаточна для преодоления притяжения к другим молекулам и кото­рые способны оторваться от поверхности жидкости или твердого тела и перейти в окружающее их пространство. Этот процесс для жидкости называетсяиспарением(илипарообразованием), для твердых тел —сублимацией (иливозгонкой).

Испарение жидкостей идет при любой температуре, но его интенсивность с повы­шением температуры возрастает. Наряду с процессом испарения происходит компен­сирующий его процесс конденсации пара в жидкость. Если число молекул, покидающих жидкость за единицу времени через единицу поверхности, равно числу молекул, перехо­дящих из пара в жидкость, то наступает динамическое равновесие между процессами испарения и конденсации. Пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью, называ­ется насыщенным (см. также § 62).

Для большинства твердых тел процесс сублимации при обычных температурах незначителен и давление пара над поверхностью твердого тела мало; оно повышается с повышением температуры. Интенсивно сублимируют такие вещества, как нафталин, камфора, что обнаруживается по резкому, свойственному им запаху. Особенно интен­сивно сублимация происходит в вакууме — этим пользуются для изготовления зеркал. Известный пример сублимации — превращение льда в пар — мокрое белье высыхает на морозе.

Если твердое тело нагревать, то его внутренняя энергия (складывается из энергии колебаний частиц в узлах решетки и энергии взаимодействия этих частиц) возрастает. При повышении температуры амплитуда колебаний частиц увеличивается до тех пор, пока кристаллическая решетка не разрушится, — твердое тело плавится. На рис. 114, а изображена примерная зависимость Т (Q), где Q — количество теплоты, получа­емое телом при плавлении. По мере сообщения твердому телу теплоты его тем­пература повышается, а при температуре плавления T_пл, начинается переход тела из твердого состояния в жидкое. Температура T_пл остается постоянной до тех пор, пока весь кристалл не расплавится, и только тогда температура жидкости вновь начнет повышаться.

Нагревание твердого тела до T_пл еще не переводит его в жидкое состояние, поскольку энергия частиц вещества должна быть достаточной для разрушения кристал­лической решетки. В процессе плавления теплота, сообщаемая веществу, идет на совершение работы по разрушению кристаллической решетки, а поэтому T_пл = const до расплавления всего кристалла. Затем подводимая теплота пойдет опять-таки на увели­чение энергии частиц жидкости и ее температура начнет повышаться. Количество теплоты, необходимое для расплавления 1 кг вещества, называется удельной теплотой плавления.

Если жидкость охлаждать, то процесс протекает в обратном направлении (рис. 114, б; Q' — количество теплоты, отдаваемое телом при кристаллизации): сначала тем­пература жидкости понижается, затем при постоянной температуре, равной T_пл, начи­наетсякристаллизация, после ее завершения температура кристалла начнет понижаться. Для кристаллизации вещества необходимо наличие так называемыхцентров кристал­лизации — кристаллических зародышей, которыми могут быть не только кристаллики образующегося вещества, но и примеси, а также пыль, сажа и т. д. Отсутствие центров кристаллизации в чистой жидкости затрудняет образование микроскопических кри­сталликов, и вещество, оставаясь в жидком состоянии, охлаждается до температуры, меньшей температуры кристаллизации, при этом образуется переохлажденная жидкость (на рис. 114, б ей соответствует штриховая кривая). При сильном переохлаждении начинается спонтанное образование центров кристаллизации и вещество кристаллизу­ется довольно быстро.

Обычно переохлаждение расплава происходит от долей до десятков градусов, но для ряда веществ может достигать сотен градусов. Из-за большой вязкости сильно переохлажденные жидкости теряют текучесть, сохраняя, как в твердые тела, свою форму. Эти тела получили название аморфных твердых тел; к ним относятся смолы, мех, сургуч, стекло. Аморфные тела, являясь, таким образом, переохлажденными жидкостями, изотропны, т. е. их свойства во всех направлениях одинаковы; для них, как и для жидкостей, характерен ближний, порядок в расположении частиц; в них в отличие от жидкостей подвижность частиц довольно мала. Особенностью аморфных тел явля­ется отсутствие у них определенной точки плавления, т. е. невозможно указать опреде­ленную температуру, выше которой можно было бы констатировать жидкое состояние, а ниже — твердое. Из опыта известно, что в аморфных телах со временем может наблюдаться процесс кристаллизации, например в стекле появляются кристаллики; оно, теряя прозрачность, начинает мутнеть и превращаться в поликристаллическое тело.

В последнее время широкое распространение в народном хозяйстве получили полимеры — органические аморфные тела, молекулы которых состоят из большого числа одинаковых длинных молекулярных цепочек, соединенных химическими (валентными) связями. К полимерам относятся как естественные (крахмал, белок, каучук, клетчатка и др.), так и искусственные (пластмасса, резина, полистирол, лавсан, капрон и др.) органические вещества. Полимерам присущи прочность и эластичность; некото­рые полимеры выдерживают растяжение, в 5—10 раз превышающее их первоначальную длину. Это объясняется тем, что длинные молекулярные цепочки могут при деформации либо сворачиваться в плотные клубки, либо вытягиваться в прямые линии. Эластичность полимеров проявляется только в определенном интервале температур, ниже которого они становятся твердыми и хрупкими, а выше — пластичными. Хотя синтети­ческих полимерных материалов создано очень много (искусственные волокна, замените­ли кожи, строительные материалы, заменители металлов и др.), но теория полимеров до настоящего времени полностью не разработана. Ее развитие определяется запросами современной техники, требующей синтеза полимеров с заранее заданными свойствами.

§ 75. Фазовые переходы I и П рода

Фазой называется термодинамически равновесное состояние вещества, отличающееся по физическим свойствам от других возможных равновесных состояний того же вещества. Если, например, в закрытом сосуде находится вода, то эта система является двухфазной: жидкая фаза — вода; газообразная фаза — смесь воздуха с водяными парами. Если в воду бросить кусочки льда, то эта система станет трехфазной, в кото­рой лед является твердой фазой. Часто понятие «фаза» употребляется в смысле агрегатного состояния, однако надо учитывать, что оно шире, чем понятие «агрегатное состояние». В пределах одного агрегатного состояния вещество может находиться в нескольких фазах, отличающихся по своим свойствам, составу и строению (лед, например, встречается в пяти различных модификациях — фазах). Переход вещества из одной фазы в другую — фазовый переход — всегда связан с качественными измене­ниями свойств вещества. Примером фазового перехода могут служить изменения агрегатного состояния вещества или переходы, связанные с изменениями в составе, строении и свойствах вещества (например, переход кристаллического вещества из одной модификации в другую).

Различают фазовые переходы двух родов. Фазовый переход I рода (например, плавление, кристаллизация и т. д.) сопровождается поглощением или выделением теплоты, называемой теплотой фазового перехода. Фазовые переходы I рода харак­теризуются постоянством температуры, изменениями энтропии и объема. Объяснение этому можно дать следующим образом. Например, при плавлении телу нужно сооб­щить некоторое количество теплоты, чтобы вызвать разрушение кристаллической решетки. Подводимая при плавлении теплота идет не на нагрев тела, а на разрыв межатомных связей, поэтому плавление протекает при постоянной температуре. В подобных переходах — из более упорядоченного кристаллического состояния в менее упорядоченное жидкое состояние — степень беспорядка увеличивается, т. е., согласно второму началу термодинамики, этот процесс связан с возрастанием энтропии систе­мы. Если переход происходит в обратном направлении (кристаллизация), то система теплоту выделяет.

Фазовые переходы, не связанные с поглощением или выделением теплоты и измене­нием объема, называются фазовыми переходами II рода. Эти переходы характеризуют­ся постоянством объема и энтропии, но скачкообразным изменением теплоемкости. Общая трактовка фазовых переходов II рода предложена академиком Л. Д. Ландау (1908—1968). Согласно этой трактовке, фазовые переходы II рода связаны с изменени­ем симметрии: выше точки перехода система, как правило, обладает более высокой симметрией, чем ниже точки перехода. Примерами фазовых переходов II рода являют­ся: переход ферромагнитных веществ (железа, никеля) при определенных давлении в температуре в парамагнитное состояние; переход металлов и некоторых сплавов при температуре, близкой к 0 К, в сверхпроводящее состояние, характеризуемое скачкооб­разным уменьшением электрического сопротивления до нуля; превращение обыкновен­ного жидкого гелия (гелия I) при Т=2,9 К в другую жидкую модификацию (гелий II), обладающую свойствами сверхтекучести.

§ 76. Диаграмма состояния. Тройная точка

Если система является однокомпонентной, т. е. состоящей из химически однородного вещества или его соединения, то понятие фазы совпадает с понятием агрегатного состояния. Согласно § 60, одно и то же вещество в зависимости от соотношения между удвоенной средней энергией, приходящейся на одну степень свободы хаотического (теплового) движения молекул, и наименьшей потенциальной энергией взаимодействия молекул может находиться в одном из трех агрегатных состояний: твердом, жидком или газообразном. Это соотношение, в свою очередь, определяется внешними услови­ями — температурой и давлением. Следовательно, фазовые превращения также опре­деляются изменениями температуры и давления.

Для наглядного изображения фазовых превращений используется диаграмма состо­яния (рис. 115), на которой в координатах р,Т задается зависимость между тем­пературой фазового перехода и давлением в виде кривых испарения (КИ), плавления (КП) и сублимации (КС), разделяющих поле диаграммы на три области, соответст­вующие условиям существования твердой (ТТ), жидкой (Ж) и газообразной (Г) фаз. Кривые на диаграмме называются кривыми фазового равновесия, каждая точка на них соответствует условиям равновесия двух сосуществующих фаз: КП — твердого тела и жидкости, КИ—жидкости и газа, КС—твердого тела и газа.

Точка, в которой пересекаются эти кривые и которая, следовательно, определяет условия (температуру Т_тр и соответствующее ей равновесное давление р_тр) одновремен­ного равновесного сосуществования трех фаз вещества, называется тройной точкой. Каждое вещество имеет только одну тройную точку. Тройная точка воды соответству­ет температуре 273,16 К (или температуре 0,01°С по шкале Цельсия) и является основной реперной точкой для построения термодинамической температурной шкалы.

Термодинамика дает метод расчета кривой равновесия двух фаз одного и того же вещества. Согласно уравнению Клапейрона — Клаузиуса, производная от равновесного давления по температуре равна

(76.1)

где L — теплота фазового перехода, (V₂—V₁) — изменение объема вещества при пере­ходе его из первой фазы во вторую, Т— температура перехода (процесс изотермичес­кий).

Уравнение Клапейрона — Клаузиуса позволяет определить наклоны кривых равно­весия. Поскольку L и Т положительны, наклон задается знаком V₂—V₁ . При испарении жидкостей и сублимации твердых тел объем вещества всегда возрастает, поэтому, согласно (76.1), dp/dT>0; следовательно, в этих процессах повышение температуры приводит к увеличению давления, и наоборот. При плавлении большинства веществ объем, как правило, возрастает, т. е. dp/dT>0; следовательно, увеличение давления приводит к повышению температуры плавления (сплошная КП на рис. 115). Для некоторых же веществ (Н₂О, Ge, чугун и др.) объем жидкой фазы меньше объема твердой фазы, т. е. dp/dT<0; следовательно, увеличение давления сопровождается понижением температуры плавления (штриховая линия на рис. 115).

Диаграмма состояния, строящаяся на основе экспериментальных данных, позволя­ет судить, в каком состоянии находится данное вещество при определенных р и Т, а также какие фазовые переходы будут происходить при том или ином процессе. Например, при условиях, соответствующих точке 1 (рис. 116), вещество находится в твердом состоянии, точке 2 — в газообразном, а точке 3 — одновременно в жидком и газообразном состояниях. Допустим, что вещество в твердом состоянии, соответ­ствующем точке 4, подвергается изобарному нагреванию, изображенному на диаграм­ме состояния горизонтальной штриховой прямой 4—5—6. Из рисунка видно, что при температуре, соответствующей точке 5, вещество плавится, при более высокой тем­пературе, соответствующей точке 6, — начинает превращаться в газ. Если же вещество находится в твердом состоянии, соответствующем точке 7, то при изобарном нагрева­нии (штриховая прямая 7—8) кристалл превращается в газ минуя жидкую фазу. Если вещество находится в состоянии, соответствующем точке 9, то при изотермическом сжатии (штриховая прямая 9—10) оно пройдет следующие три состояния: газ — жид­кость — кристаллическое состояние.

На диаграмме состояний (см. рис. 115 и 116) видно, что кривая испарения закан­чивается в критической точке К. Поэтому возможен непрерывный переход вещества из жидкого состояния в газообразное и обратно в обход критической точки, без пересече­ния кривой испарения (переход 11—12 на рис. 116), т. е. такой переход, который не сопровождается фазовыми превращениями. Это возможно благодаря тому, что раз­личие между газом и жидкостью является чисто количественным (оба эти состояния, например, являются изотропными). Переход же кристаллического состояния (харак­теризуется анизотропией) в жидкое или газообразное может быть только скачкообраз­ным (в результате фазового перехода), поэтому кривые плавления и сублимации не могут обрываться, как это имеет место для кривой испарения в критической точке. Кривая плавления уходит в бесконечность, а кривая сублимации идет в точку, где p=0 и T=0 К.

Задачи

10.1. Углекислый газ массой m=1 кг находится при температуре 290 К в сосуде вместимостью 20 л. Определить давление газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Объяснить разли­чие в результатах. Поправки а и b принять равными соответственно 0,365 Н×м⁴моль² и 4,3×10^–5 м³/моль. [1) 2,44 МПа; 2) 2,76 МПа]

10.2. Кислород, содержащий количество вещества v=2 моль, занимает объем V₁= 1 л. Опреде­лить изменение DT температуры кислорода, если он адиабатически расширяется в вакуум до объема V₂=10 л. Поправку а принять равной 0,136 Н×м⁴/моль². [—11,8 К]

10.3. Показать, что эффект Джоуля — Томсона всегда отрицателен, если дросселируется газ, си­лами притяжения молекул которого можно пренебречь.

10.4. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определить работу А, кото­рую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d₁=2 см до d₂=6 см. Поверхностное натяжение s мыльного раствора принять равным 40 мН/м. [0,8 мДж]

10.5. Воздушный пузырек диаметром d=0,02 мм находится на глубине h=20 см под поверхностью воды. Определить давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное давление принять нор­мальным. Поверхностное натяжение воды s = 73 мН/м, а ее плотность r=1 г/см³ [118 кПа]

10.6. Вертикальный открытый капилляр внутренним диаметром d=3 мм опущен в сосуд с ртутью. Определить радиус кривизны ртутного мениска в капилляре, если разность уровней ртути в сосуде и в капилляре Dh=3,7 мм. Плотность ртути r=13,6 г/см³, а поверхностное натяжение s = 0,5 Н/м. [2мм]

10.7.Для нагревания металлического шарика массой 25 г от 10 до 30°С затратили количество теплоты, равное 117 Дж. Определить теплоемкость шарика из закона Дюлонга и Пти и мате­риал шарика. [М»107 кг/моль; серебро]

3 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Глава 11 Электростатика

§ 77. Закон сохранения электрического заряда

Еще в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть, притягивает легкие предметы. Английский врач Джильберт (конец XVI в.) назвал тела, способные после натирания притягивать легкие предметы, наэлектризованными. Сейчас мы гово­рим, что тела при этом приобретают электрические заряды. Несмотря на огромное разнообразие веществ в природе, существует только два типа электрических зарядов: заряды, подобные возникающим на стекле, потертом о кожу (их назвали положитель­ными), и заряды, подобные возникающим на эбоните, потертом о мех (их назвали отрицательными), одноименные заряды друг от друга отталкиваются, разноимен­ные — притягиваются.

Опытным путем (1910—1914) американский физик Р. Милликен (1868—1953) пока­зал, что электрический заряддискретен, т. е. заряд любого тела составляет целое кратное отэлементарного электрического заряда е (е=1,6×10^–19 Кл). Электрон (m_e=9,11×10^–31 кг) ипротон (т_p= 1,67×10^–27 кг) являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов.

Все тела в природе способны электризоваться, т. е. приобретать электрический заряд. Электризация тел может осуществляться различными способами: соприкоснове­нием (трением), электростатической индукцией (см. § 92) и т. д. Всякий процесс заряжения сводится к разделению зарядов, при котором на одном из тел (или части тела) появляется избыток положительного заряда, а на другом (или другой части тела) — избыток отрицательного заряда. Общее количество зарядов обоих знаков, содержащихся в телах, не изменяется: эти заряды только перераспределяются между телами.

Из обобщения опытных данных был установлен фундаментальный закон природы, экспериментально подтвержденный в 1843 г. английским физиком М. Фарадеем (1791—1867), —закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними тела­ми) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.

Электрический заряд — величина релятивистски инвариантная, т. е. не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется этот заряд или покоится.

В зависимости от концентрации свободных зарядов тела делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.Проводники — тела, в которых электрический заряд может перемещаться по всему его объему. Проводники делятся на две группы: 1)про­водники первого рода (металлы) — перенос в них зарядов (свободных электронов) не сопровождается химическими превращениями; 2)проводники второго рода (например, расплавленные соли, растворы кислот) — перенос в них зарядов (положительных и отрицательных ионов) ведет к химическим изменениям. Диэлектрики (например, стекло, пластмассы) — тела, в которых практически отсутствуют свободные заряды. Полупроводники (например, германий, кремний) занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. Указанное деление тел является весьма усло­вным, однако большое различие в них концентраций свободных зарядов обусловливает огромные качественные различия в их поведении и оправдывает поэтому деление тел на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Единица электрического заряда (производная единица, так как определяется через единицу силы тока) — кулон (Кл) — электрический заряд, проходящий через попереч­ное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с.

§ 78. Закон Кулона

Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов установлен в 1785 г. Ш. Кулоном с помощью крутильных весов, подобных тем, которые (см. § 22) использовались Г. Кавендишем для определения гравитационной постоянной (ранее этот закон был открыт Г. Кавендишем, однако его работа оставалась неизвестной более 100 лет). Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные раз­меры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряжен­ных тел, с которыми он взаимодействует. Понятие точечного заряда, как и материаль­ной точки, является физической абстракцией.

Закон Кулона:сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q₁ и Q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т. е. является центральной, и соответствует притяжению (F<0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F>0) в случае одноименных зарядов. Эта сила называется кулоновской силой. В векторной форме закон Кулона имеет вид

(78.1)

где F₁₂ — сила, действующая на заряд Q₁ со стороны заряда Q₂, r₁₂ — радиус-вектор, соединяющий заряд Q₂ с зарядом Q₁, r = |r₁₂| (рис. 117). На заряд Q₂ со стороны заряда Q₁ действует сила F₂₁ = –F₁₂.

В СИ коэффициент пропорциональности равен

Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде:

(78.2)

Величина e₀ называется электрической постоянной; она относится к числу фундамен­тальных физических постоянных и равна

(78.3)

гдефарад (Ф) — единица электрической емкости (см. § 93). Тогда

§ 79. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем элект­рические заряды, существует силовое поле. Согласно представлениям современной физики, поле реально существует и наряду с веществом является одной из форм существования материи, посредством которого осуществляются определенные взаимо­действия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав вещества. В данном случае говорят об электрическом поле — поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Мы будем рассматривать элект­рические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами и называ­ются электростатическими.

Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный положительный заряд — такой заряд, который не искажает исследу­емое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом Q, поместить пробный заряд Q₀, то на него действует сила F, различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона (78.2), пропорци­ональна пробному заряду Q₀. Поэтому отношение F/Q₀ не зависит от Q₀ и характеризу­ет электростатическое поле в той точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатичес­кого поля.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

(79.1)

Как следует из формул (79.1) и (78.1), напряженность поля точечного заряда в вакууме

(79.2)

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положитель­ный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положи­тельного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду (рис. 118).

Из формулы (79.1) следует, что единица напряженности электростатического по­ля — ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл — напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл= 1 В/м, где В (вольт) — еди­ница потенциала электростатического поля (см. § 84).

Графически электростатическое поле изображают с помощьюлиний напряженности — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е (рис. 119). Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности. Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Дляоднородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности — радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис. 120, а), и входя­щие в него, если заряд отрицателен (рис. 120, б). Вследствие большой наглядности графический способ представления электростатического поля широко применяется в электротехнике.

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились про­водить их с определенной густотой (см. рис. 119): число линий напряженности, прони­зывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора Е. Тогда число линий напряженности, пронизыва­ющих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует угол a с вектором Е, равно Е dS cosa = E_ndS, где Е_п—проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS (рис. 121). Величина

называетсяпотоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь dS = dSn — век­тор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Выбор направления вектора n (а следовательно, и dS) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В×м.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Е сквозь эту поверх­ность

(79.3)

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора Е является алгебра­ической величиной: зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления n. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу области, охватыва­емой поверхностью.

 

В истории развития физики имела место борьба двух теорий: дальнодействия и близкодействия. В теориидальнодействия принимается, что электрические явления определяются мгновенным взаимодействием зарядов на любых расстояниях. Согласно теорииблизкодействия, все электрические явления определяются изменениями полей зарядов, причем эти изменения распространяются в пространстве от точки к точке с конечной скоростью. Применительно к электростатическим полям обе теории дают одинаковые результаты, хорошо согласующиеся с опытом. Переход же к явлениям, обусловленным движением электрических зарядов, приводит к несостоятельности те­ории дальнодействия, поэтому современной теорией взаимодействия заряженных ча­стиц является теория близкодействия.

§ 80. Принцип суперпозиции электростатических полей. Поле диполя

Рассмотрим метод определения модуля и направления вектора напряженности Е в каж­дой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов Q₁, Q₂, ..., Q_n.

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил (см. § 6), т. е. результирующая сила F, дейст­вующая со стороны поля на пробный заряд Q₀, равна векторной сумме сил F_i, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q_i:

(80.1)

Согласно (79.1), F= Q₀E и F_i = Q₀Е_i, где Е—напряженность результирующего поля, а Е_i — напряженность поля, создаваемого зарядом Q_i. Подставляя последние выраже­ния в (80.1), получаем

(80.2)

Формула (80.2) выражаетпринцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой си­стемы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля элект­рического диполя.Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q,–Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положи­тельному и равный расстоянию между ними, называетсяплечом диполя 1. Вектор

(80.3)

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда |Q| на плечо l, называетсяэлектрическим моментом диполяилидипольным моментом(рис. 122).

Согласно принципу суперпозиции (80.2), напряженность Е поля диполя в произ­вольной точке

где Е₊ и Е_– — напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряжен­ность поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.

1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А (рис. 123). Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна

Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через r, на основании формулы (79.2) для вакуума можно записать

Согласно определению диполя, l/2<<r, поэтому

2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины,в точке В (рис. 123). Точка В равноудалена от зарядов, поэтому

(80.4)

где r' — расстояние от точки В до середины плеча диполя. Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор Е_B, получим

откуда

(80.5)

Подставив в выражение (80.5) значение (80.4), получим

Вектор Е_B имеет направление, противоположное вектору электрического момента диполя (вектор р направлен от отрицательного заряда к положительному).

§ 81. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверх­ность.

В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферичес­кую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 124), равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, таккак поток считается положитель­ным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e₀, т. е.

(81.1)

Знак потока совпадает со знаком заряда Q.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей E_i полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: Поэтому

Согласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q_i /e₀. Следовательно,

(81.2)

Формула (81.2) выражаеттеорему Гаусса для электростатического поля в вакууме:поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀. Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801—1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю — К. Гауссом.

В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью r=dQ/dV, различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,

(81.3)

Используя формулу (81.3), теорему Гаусса (81.2) можно записать так:

§ 82. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 126) заряжена с постояннойповерхностной плотностью+s (s=dQ/dS — заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (соsa=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равенсумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Е_n совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен sS. Согласно теореме Гаусса (81.2), 2ES=sS/e₀, откуда

(82.1)

Из формулы (82.1) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями + s и –s. Поле таких плоскостей найдемкак суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E=0. В области между плоскостями E = E₊ + E_– (E₊ и E_– определяются по формуле (82.1)), поэтому результирующая напряженность

(82.2)

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +s. Благодаря равномер­ному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметри­ей. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), , откуда

(82.3)

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону,как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 129. Если r'<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E=0).

4. Поле объемно заряженного шара.Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно собъемной плотностью r (r = – заряд, приходящийся на единицу объема). Учитывая соображения

симметрии (см. п. 3), можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (82.3)). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r'<R охватывает заряд Q'=⁴/₃. Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), . Учитывая, что , получаем

(82.4)

Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r' согласно выражению (82.4). График зависимости Е от r для рассмотренного случая приведен на рис. 130.

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 131) заряжен равномерно слинейной плотностью t (t = – заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен 2prlЕ. По теореме Гаусса (81.2), при r>R 2prlЕ = tl/e₀, откуда

(82.5)

Если r<R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области E=0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определя­ется выражением (82.5), внутри же его поле отсутствует.

§ 83. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 132) перемещается другой точечный заряд Q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемеще­нии dl равна

Так как d/cosa=dr, то

Работа при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2

(83.1)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными (см. § 12).

Из формулы (83.1) следует, что работа, совершаемая при перемещении электричес­кого заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

(83.2)

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Е dl = E_l dl, где E_l = Ecosa — проекция вектора Е на направление элементарного переме­щения. Тогда формулу (83.2) можно записать в виде

(83.3)

Интеграл называетсяциркуляцией вектора напряженности. Следователь­но, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого за­мкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называет­ся потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Формула (83.3) справедлива только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что для поля движущихся зарядов условие (83.3) не выполняется (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).

§ 84. Потенциал электростатического поля

Тело, находящееся в потенциальном поле сил (а электростатическое поле является потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа (см. § 12). Как известно (см. (12.2)), работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу (83.1) сил электро­статического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q₀ в начальной и конечной точках поля заряда Q:

(84.1)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда qq в поле заряда Q равна

Она, как и в механике, определяется неоднозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r®¥) потенци­альная энергия обращается в нуль (U=0), то С=0 и потенциальная энергия заряда Q₀, находящегося в поле заряда Q на расстоянии г от него, равна

(84.2)

Для одноименных зарядов Q₀Q>0 и потенциальная энергия их взаимодействия (оттал­кивания) положительна, для разноименных зарядов Q₀Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой n точечных зарядов Q₁, Q₂, ..., Q_n, то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом Q₀, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда Q₀, находящегося в этом поле, равна сумме потенциальных энергий U_i, каждого из зарядов:

(84.3)

Из формул (84.2) и (84.3) вытекает, что отношение U/Q₀ не зависит от Q₀ и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой по­тенциалом:

(84.4)

Потенциал j в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещен­ного в эту точку.

Из формул (84.4) и (84.2) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

(84.5)

Работа, совершаемая селами электростатического поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 (см. (84.1), (84.4), (84.5)), может быть представлена как

(84.6)

т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного поло­жительного заряда из точки 1 в точку 2.

Работа сил поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде

(84.7)

Приравняв (84.6) и (84.7), придем к выражению для разности потенциалов:

(84.8)

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траек­тории перемещения.

Если перемещать заряд Q₀ из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконеч­ность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля, согласно (84.6), A_¥=Q₀j, откуда

(84.9)

Таким образом, потенциал — физическая величина, определяемая работой по переме­щению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Из выражения (84.4) следует, что единица потенциала —вольт (В): 1 В есть потен­циал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что введенная в § 79 единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл=1 Н×м/(Кл×м)=1 Дж/(Кл×м)=1 В/м.

Из формул (84.3) и (84.4) вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

§ 85. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом — энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x₂—x₁=dx, равна E_xdx. Та же работа равна j₁—j₂=dj. Приравняв оба выражения, можем записать

(85.1)

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор Е:

гдеi, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента (12.4) и (12.6) следует, что

(85.2)

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля,как и в случае поля тяготения (см. § 25), пользуютсяэквипотенциальными поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5), Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае — кон­центрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точеч­ного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Дей­ствительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эк­випотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим повер­хностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы заря­дов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверх­ностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас­положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 133 для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом — впадину (б).

§ 86. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

Установленная в § 85 связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произволь­ными точками этого поля.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости определяется формулой (82.1): E=s/(2e₀), где s — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x₁ и х₂ от плоскости, равна (используем формулу (85.1))

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей определяется формулой (82.2); Е=s/e₀, где s — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между плоско­стями, расстояние между которыми равно d (см. формулу (85.1)), равна

(86.1)

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы

(r> R) вычисляется по (82.3): Разностьпотенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от центра сферы (r₁ >R, r₂>R, r₂>r₁), равна

(86.2)

Если принять r₁=r и r₂=¥, то потенциал поля вне сферической поверхности, согласно формуле (86.2), задается выражением

(ср. с формулой (84.5)). Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен

График зависимости j от r приведен на рис. 134.

4. Поле объемно заряженного шарарадиуса R с общим зарядом Q вне шара (r>R) вычисляется по формуле (82.3), поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от центра шара (r₁ > R, r₂ > R, r₂ > r₁), определяется формулой (86.2). В любой точке, лежащей внутри шара на расстоянии r' от его центра (r'<R), напряженность определяется выражением (82.4): Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях и от центра шара (<R, <R, >), равна

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндрарадиуса R, заряженного с линейной

плотностью t, вне цилиндра (r>R) определяется формулой (82.5): Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ м r₂ от оси заряженного цилиндра (r₁>R, r₂>R, r₂>r₁), равна

(86.3)

§ 87. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Так как положитель­ный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтральна. Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом + Q, находящимся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным отрицательным зарядом – Q, находящимся в центре «тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом, определяемым формулой (80.3).

Первую группу диэлектриков (N₂, Н₂, О₂, СО₂, СН₄, ...) составляют вещества, молекулы которых имеют симметричное строение, т. е. центры «тяжести» положитель­ных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы р равен нулю.Молекулы таких диэлект­риков называютсянеполярными. Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.

Вторую группу диэлектриков (H₂O, NН₃, SO₂, CO,...) составляют вещества, молеку­лы которых имеют асимметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом.Молекулы таких диэлектриков называютсяполярными. При отсутствии внешнего поля, однако, дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в про­странстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Третью группу диэлектриков (NaCl, KCl, КВr, ...) составляют вещества, молекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой простра­нственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих кри­сталлах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При наложении на ионный кристалл электрического поля происходит некоторая деформация кристаллической решетки или относительное смещение подрешеток, приводящее к возни­кновению дипольных моментов.

Таким образом, внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика, или, иными словами, к поляризации диэлектрика.Поляризациейдиэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.

Соответственно трем группам диэлектриков различают три вида поляризации:

электронная, илидеформационная, поляризация диэлектрика с неполярными молеку­лами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момен­та за счет деформации электронных орбит;

ориентационная, илидипольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Естественно, что тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих факторов (электрическое поле и тепловое движение) возникает преимущественная ориентация дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура;

ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заклю­чающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицатель­ных — против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

§ 88. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике

При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле он поляризуется, т. е. приобретает отличный от нуля дипольный момент гдер_i — дипольный момент одной молекулы. Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются векторной величиной —поляризованностью, определяемой как дипольный момент единицы объема диэлектрика:

(88.1)

Из опыта следует, что для большого класса диэлектриков (за исключением сегнетоэлектриков, см. § 91) поляризованность Р линейно зависит от напряженности поля Е. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то

(88.2)

где { —диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства ди­электрика; { – величина безразмерная; притом всегда { > 0 и для большинства диэлек­триков (твердых и жидких) составляет несколько единиц (хотя, например, для спирта {»25, для воды {=80).

Для установления количественных закономерностей поля в диэлектрике внесем в однородное внешнее электрическое поле Е₀ (создается двумя бесконечными парал­лельными разноименно заряженными плоскостями) пластинку из однородного диэлек­трика, расположив ее так, как показано на рис. 135. Под действием поля диэлектрик поляризуется, т. е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные — против поля. В результате этого на правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью +s', на левой — отрицательного заряда с поверхностной плотностью –s'. Эти нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поля­ризации диэлектрика, называютсясвязанными. Так как их поверхностная плотность s' меньше плотности s свободных зарядов плоскостей, то не все поле Е компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть — обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляризация диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первоначальным внеш­ним полем. Вне диэлектрика Е=Е₀.

Таким образом, появление связанных зарядов приводит к возникновению допол­нительного электрического поля Е' (поля, создаваемого связанными зарядами), кото­рое направлено против внешнего поля Е₀ (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика

Поле Е'=s'/e₀ (поле, созданное двумя бесконечными заряженными плоскостями; см. формулу (82.2)), поэтому

(88.3)

Определим поверхностную плотность связанных зарядов s'. По (88.1), полный дипольный момент пластинки диэлектрика p_V =PV = PSd, где S — площадь грани пластинки, d — ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент, согласно (80.3), равен произведению связанного заряда каждой грани Q' =s' S на расстояние d между ними, т. е. р_V = s' Sd. Таким образом, PSd= s' Sd, или

(88.4)

т. е. поверхностная плотность связанных зарядов s' равна поляризованности Р. Подставив в (88.3) выражения (88.4) и (88.2), получим

откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

(88.5)

Безразмерная величина

(88.6)

называетсядиэлектрической проницаемостью среды. Сравнивая (88.5) и (88.6), видим, что e показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, и характеризует количественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле.

§ 88. Электрическое смещение. Теореме Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

Напряженность электростатического поля, согласно (88.5), зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна e. Вектор напряженности Е, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачко­образное изменение, создавая тем самым неудобства при расчетах электростатических полей. Поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризо­вать поле ещевектором электрического смещения, который для электрически изотроп­ной среды, по определению, равен

(89.1)

Используя формулы (88.6) и (88.2), вектор электрического смещения можно выразить как

(89.2)

Единица электрического смещения — кулон на метр в квадрате (Кл/м²).

Рассмотрим, с чем можно связать вектор электрического смещения. Связанные заряды появляются в диэлектрике при наличии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных электрических зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатическое поле свободных зарядов накладывается дополнительное поле свя­занных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором напряжен­ности Е, и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Связанные заряды, воз­никающие в диэлектрике, могут вызвать, однако, перераспределение свободных заря­дов, создающих поле. Поэтому вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Аналогично, как и поле Е, поле D изображается с помощьюлиний электрического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности (см. §79).

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии вектора D — только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора D сквозь эту поверх­ность

где D_n — проекция вектора D на нормаль n к площадке dS.

Теорема Гаусса дляэлектростатического поля в диэлектрике:

(89.3)

т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. В такой форме теорема Гаусса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.

Для вакуума D_n = e₀E_n (e =1), тогда поток вектора напряженности Е сквозь произ­вольную замкнутую поверхность (ср. с (81.2)) равен

Так как источниками поля Е в среде являются как свободные, так и связанные заряды, то теорему Гаусса (81.2) для поля Е в самом общем виде можно записать как

где — соответственно алгебраические суммы свободных и связанных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S. Однако эта формула неприемлема для описания поля Е в диэлектрике, так как она выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды, которые, в свою очередь, определяются им же. Это еще раз доказывает целесообразность введения вектора электрического смещения.

§ 90. Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

Рассмотрим связь между векторами Е и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (диэлектрические проницаемости которых e₁ и e₂) при отсут­ствии на границе свободных зарядов. Построим вблизи границы раздела диэлектриков 1 и 2 небольшой замкнутый прямоугольный контур ABCDA длины l, ориентировав его так, как показано на рис. 136. Согласно теореме (83.3) о циркуляции вектора Е,

откуда

(знаки интегралов по АВ и CD разные, так как пути интегрирования противоположны, а интегралы по участкам ВС и DA ничтожно малы). Поэтому

(90.1)

Заменив, согласно (89.1), проекции вектора Е проекциями вектора D, деленными на e₀e, получим

(90.2)

На границе раздела двух диэлектриков (рис. 137) построим прямой цилиндр ничтожно малой высоты, одно основание которого находится в первом диэлектрике, другое — во втором. Основания DS настолько малы, что в пределах каждого из них вектор D одинаков. Согласно теореме Гаусса (89.3),

(нормалиnиn'к основаниям цилиндра направлены противоположно). Поэтому

(90.3)

Заменив, согласно (89.1), проекции вектора D проекциями вектора Е, умноженными на e₀e, получим

(90.4)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора Е (Е_t) и нормальная составляющая вектора D (D_n) изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), а нормальная составляющая вектора Е (E_n) и тангенциальная составляющая вектора D (D_t) претерпевают скачок.

Из условий (90.1) — (90.4) для составляющих векторов Е и D следует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Найдем связь между углами a₁ и a₂ (на рис. 138 e₁>e₂). Согласно (90.1) и (90.4), Е_t2 = Е_t1 и e₂E_n2 = e₁E_n1. Разложим векторы E₁ и E₂ у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие. Из рис. 138 следует, что

Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий напряжен­ности Е (а значит, и линий смещения D)

Эта формула показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлектрической проница­емостью, линии Е и D удаляются от нормали.

§ 91. Сегнетоэлектрики

Сегнетоэлектрики — диэлектрики, обладающие в определенном интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризованностью, т. е. поляризованностью в отсут­ствие внешнего электрического поля. К сегнетоэлектрикам относятся, например, дета­льно изученные И. В. Курчатовым (1903—1960) и П. П. Кобеко (1897—1954) сегнетова соль NaKC₄H₄O₆ • 4Н₂О (от нее и получили свое название сегнетоэлектрики) и титанат бария ВаТiO₃.

При отсутствии внешнего электрического поля сегнетоэлектрик представляет собой как бы мозаикуиздоменов — областей с различными направлениями поляризованности. Это схематически показано на примере титаната бария (рис. 139), где стрелки и знаки , Å указывают направление вектора Р. Так как в смежных доменах эти направления различны, то в целом дипольный момент диэлектрика равен нулю. При внесении сегнетоэлектрика во внешнее поле происходит переориентация дипольных моментов доменов по полю, а возникшее при этом суммарное электрическое поле доменов будет поддерживать их некоторую ориентацию и после прекращения действия внешнего поля. Поэтому сегнетоэлектрики имеют аномально большие значения ди­электрической проницаемости (для сегнетовой соли, например, e_max»10⁴).

Сегнетоэлектрические свойства сильно зависят от температуры. Для каждого сег­нетоэлектрика имеется определенная температура, выше которой его необычные свой­ства исчезают и он становится обычным диэлектриком. Эта температура называется точкой Кюри (в честь французского физика Пьера Кюри (1859—1906)). Как правило, сегнетоэлектрики имеют только одну точку Кюри; исключение составляют лишь сегнетова соль (—18 и +24°С) и изоморфные с нею соединения. В сегнетоэлектриках вблизи точки Кюри наблюдается также резкое возрастание теплоемкости вещества. Превращение сегнетоэлектриков в обычный диэлектрик, происходящее в точке Кюри, сопровождается фазовым переходом II рода (см. § 75).

Диэлектрическая проницаемость e (а следовательно, и диэлектрическая восприим­чивость {) сегнетоэлектриков зависит от напряженности Е поля в веществе, а для других диэлектриков эти величины являются характеристиками вещества.

Для сегнетоэлектриков формула (88.2) не соблюдается; для них связь между векторами поляризованности (Р) и напряженности (Е) нелинейная и зависит от значений Е в предшествующие моменты времени. В сегнетоэлектриках наблюдаетсяявление диэлектрического гистерезиса («запаздывания»). Как видно из рис. 140, с увеличением напряженности Е внешнего электрического поля поляризованность Р растет, достигая насыщения (кривая 1). Уменьшение Р с уменьшением Е происходит по кривой 2, и при Е=0 сегнетоэлектрик сохраняетостаточную поляризованность Р₀, т.е. сегнетоэлектрик остается поляризованным в отсутствие внешнего электрического поля. Чтобы унич­тожить остаточную поляризованность, надо приложить электрическое поле обратного направления (—E_с). Величина Е_c называетсякоэрцитивной силой (от лат. coercitio — удерживание). Если далее Е изменять, то Р изменяется по кривой 3петли гистерезиса.

Интенсивному изучению сегнетоэлектриков послужило открытие академиком Б. М. Вулом (1903—1985) аномальных диэлектрических свойств титаната бария. Титанат бария из-за его химической устойчивости и высокой механической прочности, а также из-за сохранения сегнетоэлектрических свойств в широком температурном интервале нашел большое научно-техническое применение (например, в качестве гене­ратора и приемника ультразвуковых воли). В настоящее время известно более сотни сегнетоэлектриков, не считая их твердых растворов. Сегнетоэлектрики широко применяются также в качестве материалов, обладающих большими значениями e (например, в конденсаторах).

Следует упомянуть еще опьезоэлектриках — кристаллических веществах, в которых при сжатии или растяжении в определенных направлениях возникает электрическая поляризация даже в отсутст­вие внешнего электрического поля(прямой пьезоэффект). Наблюдаетсяиобратный пьезоэффект — появление механической деформации под действием электрического поля. У некоторых пьезоэлектриков решетка положительных ионов в состоянии термодинамического равновесия смеще­на относительно решетки отрицательных ионов, в результате чего они оказываются поляризован­ными даже без внешнего электрического поля. Такие кристаллы называются пироэлектриками. Еще существуютэлектреты — диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего электрического поля (электрические аналоги постоянных магнитов). Эти группы веществ находят широкое применение в технике и бытовых устройствах.

§ 92. Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действовать электростатическое поле, в результате чего они начнут перемещаться. Перемещение зарядов (ток) продолжается до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. В самом деле, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Итак, напряженность поля во всех точках внутри проводника равна нулю:

Отсутствие поля внутри проводника означает, согласно (85.2), что потенциал во всех точках внутри проводника постоянен (j = const), т. е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной (см. § 85). Отсюда же следует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке его поверхности. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды начали бы по поверхности проводника переме­щаться, что, в свою очередь, противоречило бы равновесному распределению зарядов.

Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. Это следует непосредственно из теоремы Гаусса (89.3), согласно которой заряд Q, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой поверхностью, равен

так как во всех точках внутри поверхности D=0.

Найдем взаимосвязь между напряженностью Е поля вблизи поверхности заряжен­ного проводника и поверхностной плотностью s зарядов на его поверхности. Для этого применим теорему Гаусса к бесконечно малому цилиндру с основаниями DS, пересека­ющему границу проводник — диэлектрик. Ось цилиндра ориентирована вдоль вектора Е (рис. 141). Поток вектора электрического смещения через внутреннюю часть цилинд­рической поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е₁ (а следовательно, и D₁) равен нулю, поэтому поток вектора D сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяется только потоком сквозь наружное основание цилиндра. Со­гласно теореме Гаусса (89.3), этот поток (DDS) равен сумме зарядов (Q=sDS), охваты­ваемых поверхностью: DDS=sDS т.е.

(92.1)

или

(92.2)

где e — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Таким образом, напряженность электростатического поля у поверхности провод­ника определяется поверхностной плотностью зарядов. Можно показать, что соот­ношение (92.2) задает напряженность электростатического поля вблизи поверхности проводника любой формы.

Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный проводник, то свободные заряды (электроны, ионы) будут перемещаться: положительные — по полю, отрицательные — против поля (рис. 142, а). На одном конце проводника будет скап­ливаться избыток положительного заряда, на другом — избыток отрицательного. Эти заряды называютсяиндуцированными. Процесс будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряжен­ности вне проводника — перпендикулярными его поверхности (рис. 142, б). Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий напряженности; они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростати­ческой индукцией.

Из рис. 142, б следует, что индуцированные заряды появляются на проводнике вследствие смещения их под действием поля, т. е. s является поверхностной плот­ностью смещенных зарядов. По (92.1), электрическое смещение D вблизи проводника численно равно поверхностной плотности смещенных зарядов. Поэтому вектор D по­лучил название вектора электрического смещения.

Таккак в состоянии равновесия внутри проводника заряды отсутствуют, то созда­ние внутри него полости не повлияет на конфигурацию расположения зарядов и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри полости поле будет отсут­ствовать. Если теперь этот проводник с полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т. е. полость полностью изолирована от влияния внешних электростатических полей. На этом основанаэлектростатическая защи­та — экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплошного проводника для защиты может быть использована густая металлическая сетка, которая, кстати, является эффективной при наличии не только постоянных, но и переменных электрических полей.

Свойство зарядов располагаться на внешней поверхности проводника используется для устройстваэлектростатических генераторов, предназначенных для накопления бо­льших зарядов и достижения разности потенциалов в несколько миллионов вольт. Электростатический генератор, изобретенный американским физиком Р. Ван-де-Граафом (1901—1967), состоит из шарообразного полого проводника 1 (рис. 143), укре­пленного на изоляторах 2. Движущаяся замкнутая лента 3 из прорезиненной ткани заряжается от источника напряжения с помощью системы остриев 4, соединенных с одним из полюсов источника, второй полюс которого заземлен. Заземленная пласти­на 5 усиливает стекание зарядов с остриев на ленту. Другая система остриев 6 снимает заряды с ленты и передает их полому шару, и они переходят на его внешнюю поверхность. Таким образом, сфере передается постепенно большой заряд и удается достичь разности потенциалов в несколько миллионов вольт. Электростатические генераторы применяются в высоковольтных ускорителях заряженных частиц, а также в слаботочной высоковольтной технике.

§ 93. Электрическая емкость уединенного проводника

Рассмотримуединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других провод­ников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно (84.5), прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряжен­ными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину

(93.1)

называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изме­няет его потенциал на единицу.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

Единица электроемкости — фарад (Ф): 1 Ф — емкость такого уединенного провод­ника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Согласно (84.5), потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в однород­ной среде с диэлектрической проницаемостью e, равен

Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара

(93.2)

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в ваку­уме и имеющий радиус R=C/(4pe₀)»9×10⁶км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С»0,7 мФ). Следовательно, фарад — очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической постоянной e₀ — фарад на метр (Ф/м) (см. (78.3)).

§ 94. Конденсаторы

Как видно из § 93, для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, об­ладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили названиеконденсаторов.

Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q будут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т. е. понижают потенци­ал проводника, что приводит (см. (93.1)) к повышению его электроемкости.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми заря­дами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют (см. § 82): 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся наплоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начина­ются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, воз­никающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными заря­дами. Подемкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отноше­нию заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (j₁ —j₂) между его обкладками:

(94.1)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и –Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Его можно рассчитать используя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними, согласно (86.1),

(94.2)

где e — диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя Q=sS, с учетом (94.2) получим выражение для емкости плоского конденсатора:

(94.3)

Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиаль­ных цилиндров с радиусами r₁ и r₂ (r₂ > r₁), вставленных один в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле (86.3) для поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью t =Q/l (l—длина об­кладок). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.4)

Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора:

(94.5)

Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу (86.2) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ (r₂ > r₁) от центра заряженной сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.6)

Подставив (94.6) в (94.1), получим

Если d=r₂—r₁<<r₁, то r₂ » r₁ » r и C=4pe₀er²/d. Так как 4pr² —площадь сферической обкладки, то получаем формулу (94.3). Таким образом, при малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы выражения для емкости сферического а плоского конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для цилиндрического конденсатора: при малом зазоре между цилиндрами по сравнению с их радиусами в формуле (94.5) ln (r₂/r₁) можно разложить в ряд, ограничиваясь только членом первого порядка. В результате опять приходим к формуле (94.3).

Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вытекает, что емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость конденсаторов.

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением — разностью потенциа­лов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой — электричес­кий разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединения.

1. Параллельное соединение конденсаторов (рис. 144). У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j_A – j_B. Если емкости отдельных конденсаторов С₁, С₂, ..., С_n, то, согласно (94.1), их заряды равны

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

т. е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдель­ных конденсаторов.

2. Последовательное соединение конденсаторов (рис. 145). У последовательно соеди­ненных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенци­алов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых конденсаторов Dj_i = Q/С_i. С другой стороны,

откуда

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, об­ратные емкостям. Таким образом, при .последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в ба­тарее.

§ 95. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля

1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Электростатические силы взаимо­действия консервативны (см. § 83); следовательно, система зарядов обладает потенци­альной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точеч­ных зарядов Q₁ и Q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (см. (84.2) и (84.5)):

где j₁₂ и j₂₁ — соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q₂ в точке нахожде­ния заряда Q₁ и зарядом Q₁ в точке нахождения заряда Q₂. Согласно (84.5),

поэтому W₁ = W₂ = W и

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно зарядыQ₃, Q₄, ... , можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(95.1)

где j_i — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i, всеми зарядами, кроме i-го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный провод­ник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С, j. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконеч­ности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j, необходимо совершить работу

(95.2)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совер­шить, чтобы зарядить этот проводник:

(95.3)

Формулу (95.3) можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Пола­гая потенциал проводника равным j, из (95.1) найдем

 

где - заряд проводника.

3. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конден­сатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (95.3) равна

(95.4)

где Q — заряд конденсатора, С — его емкость, Dj — разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Используя выражение (95.4), можно найтимеханическую (пондеромоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется, например, на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу dA=Fdx вследствие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx = — dW, откуда

(95.5)

Подставив в (95.4) выражение (94.3), получим

(95.6)

Производя дифференцирование при конкретном значении энергии (см. (95.5) и (95.6)), найдем искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

4. Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу (95.4), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовав­шись выражением для емкости плоского конденсатора (C=e₀eS/d) и разности потенци­алов между его обкладками (Dj=Ed. Тогда

(95.7)

где V= Sd — объем конденсатора. Формула (95.7) показывает, что энергия конден­сатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, — на­пряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

(95.8)

Выражение (95.8) справедливо только дляизотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение (88.2):Р ={e₀Е.

Формулы (95.4) и (95.7) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализа­ции электростатической энергии и что является ее носителем — заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэтому электростатика ответить на поставленные воп­росы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основ­ное положение теории близкодействия о том, что энергия локализована в поле и что носителем энергии является поле.

Задачи

11.1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускают­ся в керосин плотностью 0,8 г/см³. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же? Диэлектричес­кая проницаемость керосина e=2. [1,6 г/см³]

11.2. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверх­ностной плотностью s =1,5 нКл/см² расположена круглая пластинка. Плоскость пластин­ки составляет с линиями напряженности угол a=45°. Определить поток вектора напря­женности через эту пластинку, если ее радиус r=10 см. [1,88 кВ×м]

11.3. Кольцо радиусом r=10 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной плотностью t =10 нКл/м. Определить напряженность поля на оси, проходящей через центр кольца в точке А. удаленной на расстояние а =20 см от центра кольца. [1 кВ/м]

11.4. Шар радиусом R=10 см заряжен равномерно с объемной плотностью r =5 нКл/м³. Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r₁=2 см от центра шара; 2) на расстоянии r₂=12 см от центра шара. Построить зависимость Е(r). [1) 3,77 В/м; 2) 13,1 В/м]

11.5. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с по­стоянной линейной плотностью t = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, при­близившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r₁=2,5 см до r₂=1,5 см? [18 Мм/с]

11.6. Электростатическое поле создается сферой радиусом R=4 см, равномерно заряжен­ной с поверхностной плотностью s =1 нКл/м². Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r₁=6 см и r₂=10 см. [1,2 В]

11.7. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q =1 нКл с расстояния r₁ =10 см до r₂ = 5 см в направле­нии, перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж. [8 мкКл/м]

11.8. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено парафином (e = 2). Расстояние между пластинами d=8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,05 нКл/см²? [500 В]

11.9. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью r =10 нКл/м³ по шару радиусом R = 5 см из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e=6. Определить напряженности электростатического поля на расстоя­ниях r₁ = 2 см и r₂ = 10 см от центра шара. [E₁=1,25 В/м; E₂=23,5 В/м]

11.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (e = 7). Рас­стояние между пластинами d=5 мм, разность потенциалов U=500 В. Определить энер­гию поляризованной стеклянной пластины, если ее площадь S = 50 см². [6,64 мкДж]

11.11. Плоский воздушный конденсатор емкостью С=10 пФ заряжен до разности потенциа­лов U=1 кВ. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в два раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин. [1) 2 кВ; 2) 5 мкДж]

11.12. Разность потенциалов между пластинами конденсатора U=200 В. Площадь каждой пластины S=100 см², расстояние между пластинами d=1 мм, пространство между ними заполнено парафином (e = 2). Определить силу притяжения пластин друг к другу. [3,54 мН]

Глава 12 Постоянный электрический ток

§ 96. Электрический ток, сила и плотность тока

В электродинамике — разделе учения об электричестве, в котором рассматриваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов или макроско­пических заряженных тел, — важнейшим понятием является понятие электрического тока. Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. В проводнике под действием приложенного электрического поля Е свободные электрические заряды перемещаются: положительные — по полю, отрицательные — против поля (рис. 146, а), т. е. в проводнике возникает электричес­кий ток, называемый током проводимости. Если же упорядоченное движение электрических зарядов осуществляется перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела (рис. 146, б), то возникает так называемый конвекционный ток.

Для возникновения и существования электрического тока необходимо, с одной стороны, наличие свободных носителей тока — заряженных частиц, способных переме­щаться упорядоченно, а с другой — наличие электрического поля, энергия которого, каким-то образом восполняясь, расходовалась бы на их упорядоченное движение. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I скалярная физи­ческая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток называется постоянным. Для постоянного тока

где Q — электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение провод­ника. Единила силы тока — ампер (А).

Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площа­ди поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотностью тока:

Выразим силу и плотность тока через скорость ávñ упорядоченного движения зарядов в проводнике. Если концентрация носителей тока равна n и каждый носитель имеет элементарный заряд е (что не обязательно для ионов), то за время dt через поперечное сечение S проводника переносится заряд dQ=ne ávñ S dt. Сила тока

а плотность тока

(96.1)

Плотность тока — вектор, ориентированный по направлению тока, т. е. направление вектора j совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов. Единица плотности тока — ампер на метр в квадрате (А/м²).

Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора j, т. е.

(96.2)

где dS=ndS (n — единичный вектор нормали к площадке dS, составляющей с век­тором j угол a).

§ 97. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение

Если в цепи на носители тока действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение носителей (они предполагаются положительными) от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Это приведет к выравнива­нию потенциалов во всех точках цепи и к исчезновению электрического поля. Поэтому для существования постоянного тока необходимо наличие в цепи устройства, способ­ного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет работы сил неэлект­ростатического происхождения. Такие устройства называютсяисточниками тока. Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока, называютсясторонними.

Природа сторонних сил может быть различной. Например, в гальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакций между электродами и электролитами; в генераторе — за счет механической энергии вращения ротора генератора и т. п. Роль источника тока в электрической цепи, образно говоря, такая же, как роль насоса, который необходим для перекачивания жидкости в гидравлической системе. Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток.

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физи­ческая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при переме­щении единичного положительного заряда, называетсяэлектродвижущей силой (э.д.с.),действующей в цепи:

(97.1)

Эта работа производятся за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока, поэтому величину можно также называть электродвижущей силой источника тока, включен­ного в цепь. Часто, вместо того чтобы сказать: «в цепи действуют сторонние силы», говорят: «в цепи действует э.д.с.», т. е. термин «электродвижущая сила» употребляет­ся как характеристика сторонних сил. Э.д.с., как и потенциал, выражается в вольтах (ср. (84.9) и (97.1)).

Сторонняя сила F_ст, действующая на заряд Q₀, может быть выражена как

где Е — напряженность поля сторонних сил. Работа же сторонних сил по перемещению заряда Q₀ на замкнутом участке цепи равна

(97.2)

Разделив (97.2) на Q₀, получим выражение для э. д. с., действующей в цепи:

т. е. э.д.с., действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил. Э.д.с., действующая на участке 1—2, равна

(97.3)

На заряд Q₀ помимо сторонних сил действуют также силы электростатического поля F_e=Q₀E. Таким образом, результирующая сила, действующая в цепи на заряд Q₀, равна

Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом Q₀ на участке 1—2, равна

Используя выражения (97.3) и (84.8), можем записать

(97.4)

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю (см. § 83), поэтому в данном случае

Напряжением U на участке 1—2 называется физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторон­них сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи. Таким образом, согласно (97.4),

Понятие напряжения является обобщением понятия разности потенциалов: напря­жение на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не действует Э.д.с., т. е. сторонние силы отсутствуют.

§ 98. Закон Ома. Сопротивление проводников

Немецкий физик Г. Ом (1787;—1854) экспериментально установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т. е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника:

(98.1)

где R — электрическое сопротивление проводника. Уравнение (98.1) выражает закон Ома для участка цепи (не содержащего источника тока): сала тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротив­лению проводника. Формула (98.1) позволяет установить единицу сопротивления — ом (Ом): 1 Ом — сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А. Величина

называется электрической проводимостью проводника. Единица проводимости — сименс (См): 1 См — проводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом.

Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от матери­ала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

(98.2)

где r — коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника и называемыйудельным электрическим сопротивлением. Единица удельного элект­рического сопротивления — ом×метр (Ом×м). Наименьшим удельным сопротивлением обладают серебро (1,6×10^–8 Ом×м) и медь (1,7×10^–8 Ом×м). На практике наряду с медными применяются алюминиевые провода. Хотя алюминий и имеет большее, чем медь, удельное сопротивление (2,6×10^–8 Ом×м), но зато обладает меньшей плотностью по сравнению с медью.

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления (98.2) в закон Ома (98.1), получим

(98.3)

где величина, обратная удельному сопротивлению,

называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника. Ее едини­ца — сименс на метр (См/м). Учитывая, что U/l = Е — напряженность электрического поля в проводнике, I/S = j — плотность тока, формулу (98.3) можно записать в виде

(98.4)

Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направле­нии вектора Е, то направления j и Е совпадают. Поэтому формулу (98.4) можно записать в виде

(98.5)

Выражение (98.5) — закон Ома в дифференциальном форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.

Опыт показывает, что в первом приближении изменение удельного сопротивления, а значит и сопротивления, с температурой описывается линейным законом:

где r и r₀, R и R₀ — соответственно удельные сопротивления и сопротивления провод­ника при t и 0°С, a —температурный коэффициент сопротивления, для чистых металлов (при не очень низких температурах) близкий к 1/273 К^–1. Следовательно, температур­ная зависимость сопротивления может быть представлена в виде

где Т — термодинамическая температура.

Качественный ход температурной зависимости сопротивления металла представлен на рис. 147 (кривая 1). Впоследствии было обнаружено, что сопротивление многих металлов (например, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов при очень низких температурах T_K (0,14—20 К), называемыхкритическими, характерных для каждого вещества, скачко­образно уменьшается до нуля (кривая 2), т. е. металл становится абсолютным провод­ником. Впервые это явление, названное сверхпроводимостью, обнаружено в 1911 г. Г. Камерлинг-Оннесом для ртути. Явление сверхпроводимости объясняется на основе квантовой теории. Практическое использование сверхпроводящих материалов (в об­мотках сверхпроводящих магнитов, в системах памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их низких критических температур. В настоящее время обнаружены и активно исследуют­ся керамические материалы, обладающие сверхпроводимостью при температуре выше 100 К.

На зависимости электрического сопротивления металлов от температуры основано действиетермометров сопротивления, которые позволяют по градуированной взаимо­связи сопротивления от температуры измерять температуру с точностью до 0,003 К. Термометры сопротивления, в которых в качестве рабочего вещества используются полупроводники, изготовленные по специальной технологии, называютсятермисторами. Они позволяют измерять температуры с точностью до миллионных долей кельвин.

§ 99. Работа и мощность тока. Закон Джоуля — Ленца

Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U. За "время dt через сечение проводника переносится заряд dq=Idt. Так как ток представляет собой перемещение заряда dq под действием электрического поля, то, по формуле (84.6), работа тока

(99.1)

Если сопротивление проводника R, то, используя законОма (98.1), получим

(99.2)

Из (99.1) и (99.2) следует, что мощность тока

(99.3)

Если сила тока выражается в амперах, напряжение — в вольтах, сопротивле­ние — в омах, то работа тока выражается в джоулях, а мощность — в ваттах. На практике применяются также внесистемные единицы работы тока: ватт-час (Вт×ч) и киловатт-час (кВт×ч). 1 Вт×ч — работа тока мощностью 1 Вт в течение 1 ч; 1 Вт×ч=3600 Bт×c=3,6×10³ Дж; 1 кВт×ч=10³ Вт×ч= 3,6×10⁶ Дж.

Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии,

(99.4)

Таким образом, используя выражения (99.4), (99.1) и (99.2), получим

(99.5)

Выражение (99.5) представляет собойзакон Джоуля—Ленца, экспериментально уста­новленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э. X. Ленцем.*

* Э. X. Ленц (1804—1865) — русский физик.

 

Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV=dSdl (ось цилин­дра совпадает с направлением тока), сопротивление которого По закону Джоуля — Ленца, за время dt в этом объеме выделится теплота

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна

(99.6)

Используя дифференциальную форму законаОма (j=gЕ) и соотношение r=1/g, получим

(99.7)

Формулы (99.6) и (99.7) являются обобщенным выражениемзакона Джоуля—Ленца в дифференциальной форме, пригодным для любого проводника.

Тепловое действие тока находит широкое применение в технике, которое началось с открытия в 1873 г. русским инженером А. Н. Лодыгиным (1847—1923) лампы накаливания. На нагревании проводников электрическим током основано действие элект­рических муфельных печей, электрической дуги (открыта русским инженером В. В. Петровым (1761—1834)), контактной электросварки, бытовых электронагрева­тельных приборов и т. д.

§ 100. Закон Ома для неоднородного участка цепи

Мы рассматривали закон Ома (см. (98.1)) для однородного участка цепи, т. е. такого, в котором не девствует э.д.с. (не действуют сторонние силы). Теперь рассмотрим неоднородный участок цепи, где действующую э.д.с. на участке 1—2 обозначим через а приложенную на концах участка разность потенциалов — через j₁ —j₂.

Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1—2, то работа А₁₂ всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте, выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении заряда Q₀ на участке 1—2, согласно (97.4),

(100.1)

Э.д.с. как и сила тока I, — величина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если э.д.с. способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении (в направлении 1—2), то > 0. Если э.д.с. препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то < 0. За время t в проводнике выделяется теплота (см. (99.5))

(100.2)

Из формул (100.1) и (100.2) получим

(100.3)

откуда

(100.4)

Выражение (100.3) или (100.4) представляет собойзакон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, который являетсяобобщенным законом Ома.

Если на данном участке цепи источник тока отсутствует (=0), то из (100.4) приходим к закону Ома для однородного участка цепи (98.1):

(при отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка равно разности потенци­алов (см. § 97)). Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 со­впадают, j₁=j₂; тогда из (100.4) получаем закон Ома для замкнутой цепи:

где - э.д.с., действующая в цепи, R — суммарное сопротивление всей цепи. В общем случае R=r+R₁, где r — внутреннее сопротивление источника тока, R₁—со­противление внешней цепи. Поэтому законОма для замкнутой цепи будет иметь вид

Если цепь разомкнута и, следовательно, в ней ток отсутствует (I = 0), то из закона Ома (100.4) получим, что =j₁—j₂, т. е. э.д.с., действующая в разомкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Следовательно, для того чтобы найти э.д.с. источника тока, надо измерить разность потенциалов на егоклеммах при разомкнутой цепи.

§ 101. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Обобщенный закон Ома (см. (100.3)) позволяет рассчитать практически любую слож­ную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколь­ко замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т. д.), довольно сложен. Эта задача решает­ся более просто с помощью двух правил Кирхгофа.*

*Г. Кирхгоф (1824—1887) — немецкий физик.

 

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке провод­ника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с напра­влением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:

Складывая почленно эти уравнения, получим

(101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I_i на сопротивления R_i соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. , встречающихся в этом контуре:

(101.2)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведе­ние IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, считаются поло­жительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматрива­емой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измеритель­ногомоста Уитстона.* Сопротивления R₁, R₂, R₃ и R₄ образуют его «плечи». Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. и сопротивлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением R_G. Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

(101.3)

Для контуров АСВA, ACDA и CBDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

(101.4)

* Ч. Уитстон (1802—1875) — английский физик.

Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R₂, R₃ и R₄, можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (I_G = 0). Тогда из (101.3) найдем

(101.5)

а из (101.4) получим

(101.6)

Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

(101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста (I_G = 0) при определении искомого сопротивления R₁ э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

На практике обычно используетсяреохордный мост Уитстона (рис. 151), где сопротивле­ния R₃ и R₄ представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение R₃/R₄ можно заменить отношением l₃/l₄. Тогда, используя выражение (101.7), можно записать

(101.8)

Длины l₃ и l₄ легко измеряются по шкале, a R₂ всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление R₁.

Задачи

12.1. По медному проводнику сечением 1 мм² течет ток; сила тока 1 А. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см³. [74 мкм/с]

12.2. Определить, во сколько раз возрастет сила тока, проходящего через платиновую печь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от t₁=20°C до t₂=1200°С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным 3,65×10^–3 К^–1. [В 5 раз]

12.3. По медному проводу сечением 0,3 мм² течет ток 0,3 А. Определить силу, действую­щую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление меди 17 нОм×м. [2,72×10^–21 Н]

12.4. Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от I₀=3 А до I=0 за 30 с. Определить выделившееся за это время в проводнике количество теплоты. [900 Дж].

12.5. Плотность электрического тока в алюминиевом проводе равна 5 А/см². Определить удель­ную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 нОм×м. [66 Дж/(м³×с)]

12.6. Определить внутреннее сопротивление r источника тока, если во внешней цепи при силе тока I₁=5 А выделяется мощность P₁=10 Вт, а при силе тока I₂=8 А — мощность P₂=12 Вт. [0,17 Ом]

12.7. Три источника тока с э.д.с. E₁=1,8 В, E₂=1,4 В и E₃=1,1 В соединены накоротко одно­именными полюсами. Внутреннее сопротивление первого источника r₁=0,4 Ом, второ­го — r₂=0,6 Ом. Определить внутреннее сопротивление третьего источника, если через первый источник идет ток I₁=1,13 A. [0,2 Ом]

Глава 13 Электрические токи в металлах, вакууме и газах

§ 102. Элементарная классическая теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т. е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости метал­лов, созданной немецким физиком П. Друде (1863—1906) и разработанной впоследст­вии нидерландским физиком X. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.

Первый из таких опытов —опыт Рикке* (1901), в котором в течение года электрический ток пропускался через три последовательно соединенных с тщательно отшлифованными торцами металлических цилиндра (Сu, Аl, Сu) одинакового радиуса. Несмотря на то что общий заряд, прошедший через эти цилиндры, достигал огромного значения (»3,5×10⁶ Кл), никаких, даже микроскопических, следов переноса вещества не обнаружилось. Это явилось экспериментальным доказательством того, что ионы в металлах не участвуют в переносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется частицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытые в 1897 г. английским физиком Д. Томсоном (1856—1940) электроны.

*К. Рикке (1845—1915) — немецкий физик.

 

Для доказательства этого предположения необходимо было определить знак и ве­личину удельного заряда носителей (отношение заряда носителя к его массе). Идея подобных опытов заключалась в следующем: если в металле имеются подвижные, слабо связанные с решеткой носители тока, то при резком торможении проводника эти частицы должны по инерции смещаться вперед,как смещаются вперед пассажиры, стоящие в вагоне при его торможении. Результатом смещения зарядов должен быть импульс тока; по направлению тока можно определить знак носителей тока, а зная размеры и сопротивление проводника, можно вычислить удельный заряд носителей. Идея этих опытов (1913) и их качественное воплощение принадлежат российским физикам С. Л. Мандельштаму (1879—1944) и Н. Д. Папалекси (1880—1947). Эти опы­ты в 1916 г. были усовершенствованы и проведены американским физиком Р. Толменом (1881—1948) и ранее шотландским физиком Б. Стюартом (1828—1887). Ими экспериментально доказано, что носители тока в металлах имеют отрицательный заряд, а их удельный заряд приблизительно одинаков для всех исследованных метал­лов. По значению удельного заряда носителей электрического тока и по определенному ранее Р. Милликеном элементарному электрическому заряду была определена их масса. Оказалось, что значения удельного заряда и массы носителей тока и электронов, движущихся в вакууме, совпадали. Таким образом, было окончательно доказано, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в результате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атом­ными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электро­ны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной те­ории металлов, свойствами идеального газа.

Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде—Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения,как и молекулы одноатомного газа. Поэтому, применяя выводы молекулярно-кинетической теории (см. (44.3)), можно найти среднюю скорость теплового движения электронов

которая для T=300 К равна 1,1×10⁵ м/с. Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение, т. е. возникает электрический ток. Среднюю скорость ávñ упорядоченного движения электронов мож­но оценить согласно формуле (96.1) для плотности тока: j=пeávñ. Выбрав допустимую плотность тока, например для медных проводов 10⁷ А/м², получим, что при концент­рации носителей тока n = 8×10²⁸м^–3 средняя скорость ávñ упорядоченного движения электронов равна 7,8×10^–4 м/с. Следовательно, ávñ<<áuñ, т. е. даже при очень боль­ших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов, обуслов­ливающего электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения. Поэтому при вычислениях результирующую скорость ávñ + áuñ можно заменять скоростью теплового движения áuñ.

Казалось бы, полученный результат противоречит факту практически мгновенной передачи электрических сигналов на большие расстояния. Дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распространение электрического поля со скоро­стью с (c=3×10⁸м/с). Через время t=l/c (l — длина цепи) вдоль цепи установится стационарное электрическое поле и в ней начнется упорядоченное движение электро­нов. Поэтому электрический ток возникает в цепи практически одновременно с ее замыканием.

§ 103. Вывод основных законов электрического тока в классической теории электропроводности металлов

1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью E=const. Co стороны поля заряд е испытывает действие силы F = eE и приобретает ускорение a=F/m=eE/m. Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

где átñ — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с иона­ми решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядочен­ного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направлен­ного движения электрона

(103.1)

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоро­стям, поэтому среднее время átñ свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега álñ и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной áuñ + ávñ (áuñ — средняя скорость теп­лового движения электронов). В § 102 было показано, что ávñ<<áuñ, поэтому

Подставив значение átñ в формулу (103.1), получим

Плотность тока в металлическом проводнике, по (96.1),

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е. получи­ли закон Ома в дифференциальной форме (ср. с (98.4)). Коэффициент пропорциональ­ности между j и E есть не что иное, как удельная проводимость материала

(103.2)

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

(103.3)

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем ázñ сто­лкновений:

(103.4)

Если n — концентрация электронов, то в единицу времени происходит пázñ столкнове­ний и решетке передается энергия

(103.5)

которая идет на нагревание проводника. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5), получим таким образом энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени,

(103.6)

Величина w является удельной тепловой мощностью тока (см. § 99). Коэффициент пропорциональности между w и E² по (103.2) есть удельная проводимость g; следовате­льно, выражение (103.6)—закон Джоуля—Ленца в дифференциальной форме (ср. с (99.7)).

3. Закон Видемана— Франца. Металлы обладаюткак большой электропровод­ностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы—свободные электроны, которые, перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию хаотического (теплового) движения, т. е. осуществляют перенос теплоты.

Видеманом и Францем в 1853 г. экспериментально установлен закон, согласно которому отношение теплопроводности (l) к удельной проводимости (g) для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорциональ­но термодинамической температуре:

где b — постоянная, не зависящая от рода металла.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов позволила найти значение b: b=3(k/e)², где k—постоянная Больцмана. Это значение хорошо согласуется с опытными данными. Однако, как оказалось впоследствии, это согласие теоретического значения с опытным случайно. Лоренц, применив к электронному газу статистику Максвелла — Больцмана, учтя тем самым распределение электронов по скоростям, получил b=2(k/e)², что привело к резкому расхождению теории с опытом.

Таким образом, классическая теория электропроводности металлов объяснила законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана — Франца. Однако она помимо рассмотренных противоречий в законе Видемана — Франца столкнулась еще с рядом трудностей при объяснении различных опыт­ных данных. Рассмотрим некоторые из них.

Температурная зависимость сопротивления. Из формулы удельной проводимости (103.2) следует, что сопротивление металлов, т. е. величина, обратно пропорциональ­ная g, должна возрастать пропорционально (в (103.2) п и álñ от температуры не зависят, а áuñ~). Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым R~T (см. § 98).

Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах. Чтобы по фор­муле (103.2) получить g, совпадающие с опытными значениями, надо принимать álñ значительно больше истинных, иными словами, предполагать, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде — Лоренца.

Теплоемкость металлов. Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная (т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов. Со­гласно закону Дюлонга и Пти (см. § 73), теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R. Учтем, что теплоемкость одноатомного электронного газа равна ³/₂R. Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5R. Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т. е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классичес­кой электронной теорией.

Указанные расхождения теории с опытом можно объяснить тем, что движение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла — Больцмана, а квантовой статистикой. Поэтому объяснить затруднения элементарной классической теории электропроводности метал­лов можно лишь квантовой теорией, которая будет рассмотрена в дальнейшем. Надо, однако, отметить, что классическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, таккак во многих случаях (например, при малой концент­рации электронов проводимости и высокой температуре) она дает правильные качест­венные результаты и является по сравнению с квантовой теорией простой и нагляд­ной.

§ 104. Работа выхода электронов из металла

Как показывает опыт, свободные электроны при обычных температурах практически не покидают металл. Следовательно, в поверхностном слое металла должно быть задерживающее электрическое поле, препятствующее выходу электронов из металла в окружающий вакуум. Работа, которую нужно затратить для удаления электрона из металла в вакуум, называется работой выхода. Укажем две вероятные причины появле­ния работы выхода:

1. Если электрон по какой-то причине удаляется из металла, то в том месте, которое электрон покинул, возникает избыточный положительный заряд и электрон притягивается к индуцированному им самим положительному заряду.

2. Отдельные электроны, покидая металл, удаляются от него на расстояния порядка атомных и создают тем самым над поверхностью металла «электронное облако», плотность которого быстро убывает с расстоянием. Это облако вместе с наружным слоем положительных ионов решетки образует двойной электрический слой, поле которого подобно полю плоского конденсатора. Толщина этого слоя равна нескольким межатомным расстояниям (10^–10—10^–9 м). Он не создает электрического поля во внешнем пространстве, но препятствует выходу свободных электронов из металла.

Таким образом, электрон при вылете из металла должен преодолеть задержива­ющее его электрическое поле двойного слоя. Разность потенциалов Dj в этом слое, называемая поверхностным скачком потенциала, определяется работой выхода (А) электрона из металла:

где е — заряд электрона. Так как вне двойного слоя электрическое поле отсутствует, то потенциал среды равен нулю, а внутри металла потенциал положителен и равен Dj. Потенциальная энергия свободного электрона внутри металла равна —еDj и является относительно вакуума отрицательной. Исходя из этого можно считать, что весь объем металла для электронов проводимости представляет потенциальную яму с плоским дном, глубина которой равна работе выхода А.

Работа выхода выражается вэлектрон-вольтах (эВ): 1 эВ равен работе, соверша­емой силами поля при перемещении элементарного электрического заряда (заряда, равного заряду электрона) при прохождении им разности потенциалов в 1 В. Так как заряд электрона равен 1,6×10^–19 Кл, то 1 эВ= 1,6×10^–19 Дж.

Работа выхода зависит от химической природы металлов и от чистоты их поверх­ности и колеблется в пределах нескольких электрон-вольт (например, у калия A = 2,2 эВ, у платины A=6,3 эВ). Подобрав определенным образом покрытие поверх­ности, можно значительно уменьшить работу выхода. Например, если нанести на поверхность вольфрама (А = 4,5 эВ) слой оксида щелочно-земельного металла (Са, Sr, Ва), то работа выхода снижается до 2 эВ.

§ 105. Эмиссионные явления и их применение

Если сообщить электронам в металлах энергию, необходимую для преодоления рабо­ты выхода, то часть электронов может покинуть металл, в результате чего наблюдает­ся явление испускания электронов, или электронной эмиссии. В зависимости от способа сообщения электронам энергии различают термоэлектронную, фотоэлектронную, вто­ричную электронную и автоэлектронную эмиссии.

1. Термоэлектронная эмиссия — это испускание электронов нагретыми металлами. Концентрация свободных электронов в металлах достаточно высока, поэтому даже при средних температурах вследствие распределения электронов по скоростям (по энерги­ям) некоторые электроны обладают энергией, достаточной для преодоления потенци­ального барьера на границе металла. С повышением температуры число электронов, кинетическая энергия теплового движения которых больше работы выхода, растет и явление термоэлектронной эмиссии становится заметным.

Исследование закономерностей термоэлектронной эмиссии можно провести с по­мощью простейшей двухэлектродной лампы — вакуумного диода, представляющего собой откачанный баллон, содержащий два электрода: катод K и анод А. В простейшем случае катодом служит нить из тугоплавкого металла (например, вольфрама), накали­ваемая электрическим током. Анод чаще всего имеет форму металлического цилиндра, окружающего катод. Если диод включить в цепь, как это показано на рис. 152, то при накаливании катода и подаче на анод положительного напряжения (относительно катода) в анодной цепи диода возникает ток. Если поменять полярность батареи Б_а, то ток прекращается, как бы сильно катод ни накаливали. Следовательно, катод испускает отрицательные частицы — электроны.

Если поддерживать температуру накаленного катода постоянной и снять зависи­мость анодного тока I_а от анодного напряжения U_а, —вольт-амперную характеристику(рис. 153), то оказывается, что она не является линейной, т. е. для вакуумного диода закон Ома не выполняется. Зависимость термоэлектронного тока I от анодного напряжения в области малых положительных значений U описываетсязаконом трех вторых (установлен русским физиком С. А. Богуславским (1883—1923) и американским физиком И. Ленгмюром (1881—1957)):

где В—коэффициент, зависящий от формы и размеров электродов, а также их взаимного расположения.

При увеличении анодного напряжения ток возрастает до некоторого максималь­ного значения I_нас, называемого током насыщения. Это означает, что почти все электро­ны, покидающие катод, достигают анода, поэтому дальнейшее увеличение напряжен­ности поля не может привести к увеличению термоэлектронного тока. Следовательно, плотность тока насыщения характеризует эмиссионную способность материала катода.

Плотность тока насыщения определяется формулой Ричардсона — Дешмана, выве­денной теоретически на основе квантовой статистики:

где А — работа выхода электронов из катода, T — термодинамическая температура, С — постоянная, теоретически одинаковая доя всех металлов (это не подтверждается экспериментом, что, по-видимому, объясняется поверхностными эффектами). Умень­шение работы выхода приводит к резкому увеличению плотности тока насыщения. Поэтому применяются оксидные катоды (например, никель, покрытый оксидом щелочно-земельного металла), работа выхода которых равна 1—1,5 эВ.

На рис. 153 представлены вольт-амперные характеристики для двух температур катода: Т₁ и T₂, причем Т₂>Т₁. С повышением температуры катода испускание электронов с катода интенсивнее, при этом увеличивается и ток насыщения. При U_а=0 наблюдается анодный ток, т. е. некоторые электроны, эмиттируемые катодом, облада­ют энергией, достаточной для преодоления работы выхода и достижения анода без приложения электрического поля.

Явление термоэлектронной эмиссии используется в приборах, в которых необ­ходимо получить поток электронов в вакууме, например в электронных лампах, рентгеновских трубках, электронных микроскопах и т. д. Электронные лампы широко применяются в электро- и радиотехнике, автоматике и телемеханике для выпрямления переменных токов, усиления электрических сигналов и переменных токов, генерирова­ния электромагнитных колебаний в т. д. В зависимости от назначения в лампах используются дополнительные управляющие электроды.

2. Фотоэлектронная эмиссия — это эмиссия электронов из металла под действием света, а также коротковолнового электромагнитного излучения (например, рентгеновс­кого). Основные закономерности этого явления будут разобраны при рассмотрении фотоэлектрического эффекта.

3. Вторичная электронная эмиссия — это испускание электронов поверхностью ме­таллов, полупроводников или диэлектриков при бомбардировке их пучком электронов. Вторичный электронный поток состоит из электронов, отраженных поверхностью (упруго и неупруго отраженные электроны), и «истинно» вторичных электронов — эле­ктронов, выбитых из металла, полупроводника или диэлектрика первичными электро­нами.

Отношение числа вторичных электронов n₂ к числу первичных n₁, вызвавших эмиссию, называется коэффициентом вторичной электронной эмиссии:

Коэффициент d зависит от природы материала поверхности, энергии бомбардирующих частиц и их угла падения на поверхность. У полупроводников и диэлектриков d боль­ше,чем у металлов. Это объясняется тем, что в металлах, где концентрация электронов проводимости велика, вторичные электроны, часто сталкиваясь с ними, теряют свою энергию и не могут выйти из металла. В полупроводниках и диэлектриках же из-за малой концентрации электронов проводимости столкновения вторичных электронов с ними происходят гораздо реже и вероятность выхода вторичных электронов из эмиттера возрастает в несколько раз.

Для примера на рис. 154 приведена качественная зависимость коэффициента вто­ричной электронной эмиссии d от энергии Е падающих электронов для КСl. С увеличе­нием энергии электронов d возрастает, так как первичные электроны все глубже проникают в кристаллическую решетку и, следовательно, выбивают больше вторичных электронов. Однако при некоторой энергии первичных электронов d начинает умень­шаться. Это связано с тем, что с увеличением глубины проникновения первичных электронов вторичным все труднее вырваться на поверхность. Значение d_max для КCl достигает »12 (для чистых металлов оно не превышает 2).

Явление вторичной электронной эмиссии используется в фотоэлектронных умножителях (ФЭУ), применимых для усиления слабых электрических токов. ФЭУ представ­ляет собой вакуумную трубку с фотокатодом К и анодом А, между которыми расположено несколько электродов — эмиттеров (рис. 155). Электроны, вырванные из фотокатода под действием света, попадают на эмиттер Э₁, пройда ускоряющую разность потенциалов между К и Э₁. Из эмиттера Э₁ выбивается d электронов. Усиленный таким образом электронный поток направляется на эмиттер Э₂, и процесс умножения повторяется на всех последующих эмиттерах. Если ФЭУ содержит n эмит­теров, то на аноде А, называемомколлектором, получается усиленный в dⁿ раз фотоэлектронный ток.

4. Автоэлектронная эмиссия — это эмиссия электронов с поверхности металлов под действием сильного внешнего электрического поля. Эти явления можно наблюдать в откачанной трубке, конфигурация электродов которой (катод — острие, анод — вну­тренняя поверхность трубки) позволяет при напряжениях примерно 10³ В получать электрические поля напряженностью примерно 10⁷ В/м. При постепенном повышении напряжения уже при напряженности поля у поверхности катода примерно 10⁵ —10⁶ В/м возникает слабый ток, обусловленный электронами, испускаемыми катодом. Сила этого тока увеличивается с повышением напряжения на трубке. Токи возникают при холодном катоде, поэтому описанное явление называется такжехолодной эмиссией.Объяснение механизма этого явления возможно лишь на основе квантовой теории.

§ 106. Ионизация газов. Несамостоятельный газовый разряд

Газы при не слишком высоких температурах и при давлениях, близких к атмосфер­ному, являются хорошими изоляторами. Если поместить в сухой атмосферный воздух заряженный электрометр с хорошей изоляцией, то его заряд долго остается неизмен­ным. Это объясняется тем, что газы при обычных условиях состоят из нейтральных атомов и молекул и не содержат свободных зарядов (электронов и ионов). Газ становится проводником электричества, когда некоторая часть его молекул ионизует­ся, т. е. произойдет расщепление нейтральных атомов и молекул на ионы и свободные электроны. Для этого газ надо подвергнуть действию какого-либо ионизатора (напри­мер, поднеся к заряженному электрометру пламя свечи, наблюдаем спад его заряда; здесь электропроводность газа вызвана нагреванием).

При ионизации газов, таким образом, под действием какого-либо ионизатора происходит вырывание из электронной оболочки атома или молекулы одного или нескольких электронов, что приводит к образованию свободных электронов и положи­тельных ионов. Электроны могут присоединяться к нейтральным молекулам и атомам, превращая их в отрицательные ионы. Следовательно, в ионизованном газе имеются положительные и отрицательные ионы и свободные электроны. Прохождение элект­рического тока через газы называется газовым разрядом.

Ионизация газов может происходить под действием различных ионизаторов: силь­ный нагрев (столкновения быстрых молекул становятся настолько сильными, что они разбиваются на ионы), короткое электромагнитное излучение (ультрафиолетовое, рен­тгеновское и g-излучения), корпускулярное излучение (потоки электронов, протонов, a-частиц) и т. д. Для того чтобы выбить из молекулы (атома) один электрон, необ­ходимо затратить определенную энергию, называемуюэнергией ионизации, значения которой для атомов различных веществ лежат в пределах 4¸25 эВ.

Одновременно с процессом ионизации газа всегда идет и обратный процесс —про­цесс рекомбинации: положительные и отрицательные ионы, положительные ионы и эле­ктроны, встречаясь, воссоединяются между собой с образованием нейтральных атомов и молекул. Чем больше ионов возникает под действием ионизатора, тем интенсивнее идет и процесс рекомбинации.

Строго говоря, электропроводность газа нулю не равна никогда, так как в нем всегда имеются свободные заряды, образующиеся в результате действия на газы излучения радиоактивных веществ, имеющихся на поверхности Земли, а также кос­мического излучения. Эта незначительная электропроводность воздуха (интенсивность ионизации под действием указанных факторов невелика) служит причиной утечки зарядов наэлектризованных тел даже при хорошей их изоляции.

Характер газового разряда определяется составом газа, его температурой и давле­нием, размерами, конфигурацией и материалом электродов, приложенным напряжени­ем, плотностью тока.

Рассмотрим цепь, содержащую газовый промежуток (рис. 156), подвергающийся непрерывному, постоянному по интенсивности воздействию ионизатора. В результате действия ионизатора газ приобретает некоторую электропроводность и в цепи потечет ток, зависимость которого от приложенного напряжения дана на рис. 157.

 

На участке кривой ОА сила тока возрастает пропорционально напряжению, т. е. выполняется закон Ома. При дальнейшем увеличении напряжения закон Ома наруша­ется: рост силы тока замедляется (участок AB) и наконец прекращается совсем (участок ВС). Это достигается в том случае, когда ионы и электроны, создаваемые внешним ионизатором за единицу времени, за это же время достигают электродов. В результате получаем ток насыщения (I_нас), значение которого определяется мощностью ионизато­ра. Ток насыщения, таким образом, является мерой ионизирующего действия иониза­тора. Если в режиме ОС прекратить действие ионизатора, то прекращается и разряд. Разряды, существующие только под действием внешних ионизаторов, называются несамостоятельными. При дальнейшем увеличении напряжения между электродами сила тока вначале медленно (участок CD), а затем резко (участок DE) возрастает. Механизм этого явления будет рассмотрен в следующем параграфе.

§ 107. Самостоятельный газовый разряд и его типы

Разряд в газе, сохраняющийся после прекращения действия внешнего ионизатора, называется самостоятельным.

Рассмотрим условия возникновения самостоятельного разряда. Как уже указыва­лось в § 106, при больших напряжениях между электродами газового промежутка (см. рис. 156) ток сильно возрастает (участки CD и DE на рис. 157). При больших напряжениях возникающие под действием внешнего ионизатора электроны, сильно ускоренные электрическим полем, сталкиваясь с нейтральными молекулами газа, ио­низируют их, в результате чего образуются вторичные электроны и положительные ионы (процесс 1 на рис. 158). Положительные ионы движутся к катоду, а электро­ны — к аноду. Вторичные электроны вновь ионизируют молекулы газа, и, следовате­льно, общее количество электронов и ионов будет возрастать по мере продвижения электронов к аноду лавинообразно. Это является причиной увеличения электричес­кого тока на участке CD (см. рис. 157). Описанный процесс называется ударной ионизацией.

Однако ударная ионизация под действием электронов недостаточна для поддержа­ния разряда при удалении внешнего ионизатора. Для этого необходимо, чтобы элект­ронные лавины «воспроизводились», т. е. чтобы в газе под действием каких-то процес­сов возникали новые электроны. Такие процессы схематически показаны на рис. 158: 1) ускоренные полем положительные ионы, ударяясь о катод, выбивают из него электроны (процесс 2); 2) положительные ионы, сталкиваясь с молекулами газа, пере­водят их в возбужденное состояние; переход таких молекул в нормальное состояние сопровождается испусканием фотона (процесс 3); 3) фотон, поглощенный нейтральной молекулой, ионизирует ее, происходит так называемый процесс фотонной ионизации молекул (процесс 4}; 4) выбивание электронов из катода под действием фотонов (процесс 5).

Наконец, при значительных напряжениях между электродами газового промежутка наступает момент, когда положительные ионы, обладающие меньшей длиной свобод­ного пробега, чем электроны, приобретают энергию, достаточную для ионизации молекул газа (процесс 6), в к отрицательной пластине устремляются ионные лавины. Когда возникают кроме электронных лавин еще и ионные, сала тока растет уже практически без увеличения напряжения (участок DE на рис. 157).

В результате описанных процессов (1—6) число ионов и электронов в объеме газа лавинообразно возрастает и разряд становятся самостоятельным, т. е. сохраняется после прекращения действия внешнего ионизатора. Напряжение, при котором возника­ет самостоятельный разряд, называется —напряжением пробоя.

В зависимости от давления газа, конфигурации электродов, параметров внешней цепи можно говорить о четырех типах самостоятельного разряда: тлеющем, искровом, дуговом и коронном.

1. Тлеющий разряд возникает при низких давлениях. Если к электродам, впаянным в стеклянную трубку длиной 30—50 см, приложить постоянное напряжение в несколь­ко сотен вольт, постепенно откачивая из трубки воздух, то при давлении » 5,3 ¸ 6,7 кПа возникает разряд в виде светящегося извилистого шнура красноватого цвета, идущего от катода к аноду. При дальнейшем понижении давления шнур утолщается, и при давлении »13 Па разряд имеет вид, схематически изображенный на рис.159.

Непосредственно к катоду прилегает тонкий светящийся слой 1 —первое катодное свечение, иликатодная пленка, затем следует темный слой 2 —катодное темное про­странство, переходящее в дальнейшем в светящийся слой 3 —тлеющее свечение, име­ющее резкую границу со стороны катода, постепенно исчезающую со стороны анода. Оно возникает из-за рекомбинации электронов с положительными ионами. С тлеющим свечением граничит темный промежуток 4 —фарадеево темное пространство, за кото­рым следует столб ионизированного светящегося газа 5 —положительный столб. По­ложительный столб существенной роли в поддержании разряда не имеет. Например, при уменьшении расстояния между электродами трубки его длина сокращается, в то время как катодные части разряда по форме и величине остаются неизменными. В тлеющем разряде особое значение для его поддержания имеют только две его части: катодное темное пространство и тлеющее свечение. В катодном темном пространстве происходит сильное ускорение электронов и положительных ионов, выбивающих элек­троны с катода (вторичная эмиссия). В области тлеющего свечения же происходит ударная ионизация электронами молекул газа. Образующиеся при этом положитель­ные ионы устремляются к катоду и выбивают из него новые электроны, которые, в свою очередь, опять ионизируют газ и т. д. Таким образом непрерывно поддержива­ется тлеющий разряд.

При дальнейшем откачивании трубки при давлении »1,3 Па свечение газа ослабе­вает и начинают светиться стенки трубки. Электроны, выбиваемые из катода положи­тельными ионами, при таких разрежениях редко сталкиваются с молекулами газа и поэтому, ускоренные полем, ударяясь о стекло, вызывают его свечение, так называ­емуюкатодолюменесценцию. Поток этих электронов исторически получил название катодных лучей. Если в катоде просверлить малые отверстия, то положительные ионы, бомбардирующие катод, пройдя через отверстия проникают в пространство за катодом и образуют резко ограниченный пучок, получивший название каналовых (или положительных) лучей, названных по знаку заряда, который они несут.

Тлеющий разряд широко используется в технике. Так как свечение положительного столба имеет характерный для каждого газа цвет, то его используют в газосветных трубках для светящихся надписей и реклам (например, неоновые газоразрядные трубки дают красное свечение, аргоновые—синевато-зеленое). В лампах дневного света, более экономичных, чем лампы накаливания, излучение тлеющего разряда, проис­ходящее в парах ртути, поглощается нанесенным на внутреннюю поверхность трубки флуоресцирующим веществом (люминофором), начинающим под воздействием погло­щенного излучения светиться. Спектр свечения при соответствующем подборе люми­нофоров близок к спектру солнечного излучения. Тлеющий разряд используется для катодного напыления металлов. Вещество катода в тлеющем разряде вследствие бом­бардировки положительными ионами, сильно нагреваясь, переходит в парообразное состояние. Помещая вблизи катода различные предметы, их можно покрыть равномер­ным слоем металла.

2. Искровой разряд возникает при больших напряженностях электрического поля (»3×10⁶ В/м) в газе, находящемся под давлением порядка атмосферного. Искра имеет вид ярко светящегося тонкого канала, сложным образом изогнутого и разветвленного.

Объяснение искрового разряда дается на основестримерной теория, согласно кото­рой возникновению ярко светящегося канала искры предшествует появление слабосве­тящихся скоплений ионизованного газа —стримеров. Стримеры возникают не только в результате образования электронных лавин посредством ударной ионизации, но и в результате фотонной ионизации газа. Лавины, догоняя друг друга, образуют проводящие мостики из стримеров, по которым в следующие моменты времени и устремляются мощные потоки электронов, образующие каналы искрового разряда. Из-за выделения при рассмотренных процессах большого количества энергии газ в искровом промежутке нагревается до очень высокой температуры (примерно 10⁴ К), что приводит к его свечению. Быстрый нагрев газа ведет к повышению давления и возникновению ударных волн, объясняющих звуковые эффекты при искровом раз­ряде — характерное потрескивание в слабых разрядах и мощные раскаты грома в случае молнии, являющейся примером мощного искрового разряда между грозовым облаком и Землей или между двумя грозовыми облаками.

Искровой разряд используется для воспламенения горючей смеси в двигателях внутреннего сгорания и предохранения электрических линий передачи от перенапряже­нии (искровые разрядники). При малой длине разрядного промежутка искровой разряд вызывает разрушение (эрозию) поверхности металла, поэтому он применяется для электроискровой точной обработки металлов (резание, сверление). Его используют в спектральном анализе для регистрации заряженных частиц (искровые счетчики).

3. Дуговой разряд. Если после зажигания искрового разряда от мощного источника постепенно уменьшать расстояние между электродами, то разряд становится непре­рывным — возникает дуговой разряд. При этом сила тока резко возрастает, достигая сотен ампер, а напряжение на разрядном промежутке падает до нескольких десятков вольт. Дуговой разряд можно получить от источника низкого напряжения минуя стадию искры. Для этого электроды (например, угольные) сближают до соприкоснове­ния, они сильно раскаляются электрическим током, потом их разводят и получают электрическую дугу (именно так она была открыта В. В. Петровым). При атмосфер­ном давлении температура катода приблизительно равна 3900 К. По мере горения дуги угольный катод заостряется, а на аноде образуется углубление — кратер, явля­ющийся наиболее горячим местом дуги.

По современным представлениям, дуговой разряд поддерживается за счет высокой температуры катода из-за интенсивной термоэлектронной эмиссии, а также термичес­кой ионизации молекул, обусловленной высокой температурой газа.

Дуговой разряд находит широкое применение для сварки и резки металлов, получе­ния высококачественных сталей (дуговая печь) и освещения (прожекторы, проекционная аппаратура). Широко применяются также дуговые лампы с ртутными электродами в кварцевых баллонах, где дуговой разряд возникает в ртутном паре при откачанном воздухе. Дуга, возникающая в ртутном паре, является мощным источником ультрафи­олетового излучения и используется в медицине (например, кварцевые лампы). Дуго­вой разряд при низких давлениях в парах ртути используется в ртутных выпрямителях для выпрямления переменного тока.

4. Коронный разряд — высоковольтный электрический разряд при высоком (напри­мер, атмосферном) давлении в резко неоднородном поле вблизи электродов с большой кривизной поверхности (например, острия). Когда напряженность поля вблизи острия достигает 30 кВ/см, то вокруг него возникает свечение, имеющее вид короны, чем и вызвано название этого вида разряда.

В зависимости от знака коронирующего электрода различают отрицательную или положительную корону. В случае отрицательной короны рождение электронов, вызы­вающих ударную ионизацию молекул газа, происходит за счет эмиссии их из катода под действием положительных ионов, в случае положительной — вследствие иониза­ции газа вблизи анода. В естественных условиях корона возникает под влиянием атмосферного электричества у вершин мачт (на этом основано действие молниеотводов), деревьев.* Вредное действие короны вокруг проводов высоковольтных линий передачи проявляется в возникновении вредных токов утечки. Для их снижения прово­да высоковольтных линий делаются толстыми. Коронный разряд, являясь прерывис­тым, становится также источником радиопомех.

* Это явление получило в древности название огней святого Эльма.

 

Используется коронный разряд в электрофильтрах, применяемых для очистки промышленных газов от примесей. Газ, подвергаемый очистке, движется снизу вверх в вертикальном цилиндре, по оси которого расположена коронирующая проволока. Ионы, имеющиеся в большом количестве во внешней части короны, оседают на частицах примеси и увлекаются полем к внешнему некоронирующему электроду и на нем оседают. Коронный разряд применяется также при нанесении порошковых и лако­красочных покрытий.

§ 108. Плазма и ее свойства

Плазмой называется сильно ионизованный газ, в котором концентрации положитель­ных и отрицательных зарядов практически одинаковы. Различают высокотемператур­ную плазму, возникающую при сверхвысоких температурах, и газоразрядную плазму, возникающую при газовом разряде. Плазма характеризуется степенью ионизации a — отношением числа ионизованных частиц к полному их числу в единице объема плазмы. В зависимости от величины a говорят о слабо (a составляет доли процента), умеренно (a — несколько процентов) и полностью (a близко к 100%) ионизованной плазме.

Заряженные частицы (электроны, ионы) газоразрядной плазмы, находясь в ускоря­ющем электрическом поле, обладают различной средней кинетической энергией. Это означает, что температура Т_e электронного газа одна, а ионного T_и, — другая, причем Т_e>T_и. Несоответствие этих температур указывает на то, что газоразрядная плазма является неравновесной, поэтому она называется также неизотермической. Убыль числа заряженных частиц в процессе рекомбинации в газоразрядной плазме восполняется ударной ионизацией электронами, ускоренными электрическим полем. Прекращение действия электрического поля приводит к исчезновению газоразрядной плазмы.

Высокотемпературная плазма является равновесной, или изотермической, т. е. при определенной температуре убыль числа заряженных частиц восполняется в результате термической ионизации. В такой плазме соблюдается равенство средних кинетических энергий составляющих плазму различных частиц. В состоянии подобной плазмы находятся звезды, звездные атмосферы, Солнце. Их температура достигает десятков миллионов градусов.

Условием существования плазмы является некоторая минимальная плотность заря­женных частиц, начиная с которой можно говорить о плазмекак таковой. Эта плотность определяется в физике плазмы из неравенства L>>D, где L—линейный размер системы заряженных частиц, D — так называемый дебаевский радиус экранирования, представляющий собой то расстояние, на котором происходит экранирование кулоновского поля любого заряда плазмы.

Плазма обладает следующими основными свойствами: высокой степенью иониза­ции газа, в пределе — полной ионизацией; равенством нулю результирующего про­странственного заряда (концентрация положительных и отрицательных частиц в плаз­ме практически одинакова); большой электропроводностью, причем ток в плазме создается в основном электронами, как наиболее подвижными частицами; свечением; сильным взаимодействием с электрическим и магнитным полями; колебаниями элект­ронов в плазме с большой частотой (»10⁸ Гц), вызывающими общее вибрационное состояние плазмы; «коллективным» — одновременным взаимодействием громадного числа частиц (в обычных газах частицы взаимодействуют друг с другом попарно). Эти свойства определяют качественное своеобразие плазмы, позволяющее считать ее осо­бым, четвертым, состоянием вещества.

Изучение физических свойств плазмы позволяет, с одной стороны, решать многие проблемы астрофизики, поскольку в космическом пространстве плазма — наиболее распространенное состояние вещества, а с другой — открывает принципиальные воз­можности осуществления управляемого термоядерного синтеза. Основным объектом исследований по управляемому термоядерному синтезу является высокотемпературная плазма (»10⁸ К) из дейтерия и трития (см. § 268).

Низкотемпературная плазма (<10⁵К) применяется в газовых лазерах, в термоэле­ктронных преобразователях и магнитогидродинамических генераторах (МГД-генераторах) — установках для непосредственного преобразования тепловой энергии в элект­рическую, в плазменных ракетных двигателях, весьма перспективных для длительных космических полетов.

Низкотемпературная плазма, получаемая в плазмотронах, используется для резки и сварки металлов, для получения некоторых химических соединений (например, галогенидов инертных газов), которые не удается получить другими способами, и т. д.

Задачи

13.1. Концентрация электронов проводимости в металле равна 2,5×10²² см^–3. Опре­делить среднюю скорость их упорядоченного движения при плотности тока 1 А/мм². [0.25 мм/с]

13.2. Работа выхода электрона из вольфрама составляет 4,5 эВ. Определить, во сколько раз увеличится плотность тока насыщения при повышении температуры от 2000 до 2500 К. [В 290 раз]

13.3. Работа выхода электрона из металла равна 2,5 эВ. Определить скорость вылетающего из металла электрона, если он обладает энергией 10^–18Дж. [1,15 Мм/с]

13.4. Воздух между пластинами плоского конденсатора ионизируется рентгеновским излучени­ем. Сила тока, текущего между пластинами, 10 мкА. Площадь каждой пластины конден­сатора равна 200 см², расстояние между ними 1 см, разность потенциалов 100 В. Подви­жность положительных ионов b₊=1,4 см²/(В×с) и отрицательных b_–=1,9 см²/(В×с); заряд каждого иона равен элементарному заряду. Определить концентрацию пар ионов между пластинами, если ток далек от насыщения. [9,5×10¹⁴м^–3]

13.5. Ток насыщения при несамостоятельном разряде равен 9,6 пА. Определить число пар ионов, создаваемых в 1 с внешним ионизатором. [3×10⁷]

Глава 14 Магнитное поле

§ 109. Магнитное поле и его характеристики

Опыт показывает, что, подобно тому, как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает электростатическое поле, так и в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него провод­ники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориен­тацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током (это явление впервые обнаружено датским физиком X. Эрстедом (1777—1851)).

Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Опыт показы­вает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направ­ления тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмот­реть его действие на определенный ток.

Подобно тому, как при исследовании электростатического поля использовались точечные заряды, при исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в простран­стве определяется направлением нормали к контуру. Направление нормали определя­ется правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направ­лении тока, текущего в рамке (рис. 160).

Опыты показывают, что магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее определенным образом. Этот результат использу­ется для выбора направления магнитного поля. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положитель­ная нормаль к рамке (рис. 161). За направление магнитного поля может быть также принято направление, совпадающее с направлением силы, которая действует на север­ный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку. Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то силы, действующее на оба полюса, равны друг другу. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачи­вающая ее так, чтобы ось стрелки, соединяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля.

Рамкой с током можно воспользоваться также и для количественного описания магнитного поля. Так как рамка с током испытывает ориентирующее действие поля, то на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется формулой

(109.1)

гдеp_m— вектор магнитного момента рамки с током (В —вектор магнитной индукции,количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I

(109.2)

где S — площадь поверхности контура (рамки), n — единичный вектор нормали к по­верхности рамки. Направление р_m совпадает, таким образом, с направлением по­ложительной нормали.

Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты, однако отношение М_max/р_m (М_max — максимальный вращающий момент) для всех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией:

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным момен­том, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Следует отметить, что вектор В может быть выведен также из закона Ампера (см. § 111) и из выражения для силы Лоренца (см. § 114).

Так как магнитное поле является силовым, то его, по аналогии с электрическим, изображают с помощью линий магнитной индукции — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В. Их направление задается правилом правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, враща­ется в направлении линий магнитной индукции.

Линии магнитной индукции можно «проявить» с помощью железных опилок, намагничивающихся в исследуемом поле и ведущих себя подобно маленьким магнит­ным стрелкам. На рис. 162, а показаны линии магнитной индукции поля кругового тока, на рис. 162, б — линии магнитной индукции поля соленоида (соленоид — равно­мерно намотанная на цилиндрическую поверхность проволочная спираль, по которой течет электрический ток).

Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического поля, которые являются разомкнутыми (начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (см. § 79)).

На ряс. 163 изображены линии магнитной индукции полосового магнита; они выходят из северного полюса и входят в южный. Вначале казалось, что здесь наблюдается полная аналогия с линиями напряженности электростатического поля и полюсы магнитов играют роль магнитных «зарядов» (магнитных монополей). Опыты показали, что, разрезая магнит на части, его полюсы разделять нельзя, т. е. в отличие от электрических зарядов свободные магнитные «заряды» не существуют, поэтому линии магнитной индукции не могут обрываться на полюсах. В дальнейшем было установлено, что внутри полосовых магнитов имеется магнитное поле, аналогичное полю внутри соленоида, и линии магнитной индукции этого магнитного поля являются продолжением линий магнитной индукции вне магнита. Таким образом, линии магнитной индукции магнитного поля постоянных магнитов являются также замкнутыми.

До сих пор мы рассматривали макроскопические токи, текущие в проводниках. Однако, согласно предположению французского физика А. Ампера (1775—1836), в лю­бом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи создают свое маг­нитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях макротоков. Например, если вблизи какого-то тела поместить проводник с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле дополнительное магнитное поле. Вектор магнитной индукции В харак­теризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т. е. при одном и том же токе и прочих равных условиях вектор В в различных средах будет иметь разные значения.

П09.3)

Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности Н. Для однород­ной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности следующим соотношением:

где m₀ — магнитная постоянная, m — безразмерная величина — магнитная проницае­мость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усаливается за счет поля микротоков среды.

Сравнивая векторные характеристики электростатического (Е и D) и магнитного (В и Н) полей, укажем, что аналогом вектора напряженности электростатического поля Е является вектор магнитной индукции В, так как векторы Е и В определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды. Аналогом вектора электрического смещения D является вектор напряженности Н магнитного поля.

§ 110. Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде

(110.1)

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r—радиус-вектор, проведанный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление враще­ния головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответ­ствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением

(110.2)

где a — угол между векторами dl и r.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

(110.3)

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную сим­метрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к вам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индук­ция, создаваемая одним элементом проводника, равна

(110.4)

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

(110.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение век­торов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina =1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

§ 111. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов

Магнитное поле (см. § 109) оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током. Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнит­ном поле, равна

(111.1)

где dl—вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током, В — вектор магнитной индукции.

Направление вектора dF может быть найдено, согласно (111.1), по общим правилам векторного произведения, откуда следуетправило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца рас­положить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера (см. (111.1)) вычисляется по формуле

(111.2)

где a —угол между векторами dl и В.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I₁ и I₂; (направления токов указаны на рис. 167), расстояние между которыми равно R. Каждый из провод­ников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой провод­ник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I₁ на элемент dl второго проводника с током I₂. Ток I₁ создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. На­правление вектора B₁ определяется правилом правого винта, его модуль по формуле (110.5) равен

Направление силы dF₁, с которой поле B₁ действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (111.2), с учетом того, что угол a между элементами тока I₂ и вектором B₁ прямой, равен

подставляя значение для В₁, получим

(111.3)

Рассуждая аналогично, можно показать, что сапа dF₂ с которой магнитное поле тока I₂ действует на элемент dl первого проводника с током I₁, направлена в проти­воположную сторону и по модулю равна

(111.4)

Сравнение выражений (111.3) и (111.4) показывает, что

т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

(111.5)

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (111.5).

§ 112. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (m=1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, согласно (111.5), равна

(112.1)

Для нахождения числового значения m₀ воспользуемся определением ампера, согласно

которому =2×10^–7Н/м при I₁ = I₂ = 1 А и R = 1 м. Подставив это значение в фор­мулу (112.1), получим

гдегенри (Гн) — единица индуктивности (см. § 126).

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предполо­жим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера (см. (111.2)) запишется в виде dF=IBdl, откуда

Единица магнитной индукции — тесла (Тл): 1 Тл — магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А:

Так как m₀ = 4p×10^–7 Н/А², а в случае вакуума (m = 1), согласно (109.3), B=m₀H, то для данного случая

Единица напряженности магнитного поля —ампер на метр (А/м): 1 А/м — напря­женность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p×10^–7 Тл.

§ 113. Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле В точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v. Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой

(113.1)

где r — радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М (рис. 168). Согласно выражению (113.1), вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в кото­рой расположены векторы v и r, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к r.

Модуль магнитной индукции (113.1) вычисляется по формуле

(113.2)

где a — угол между векторами v и r.

Сравнивая выражения (110.1) и (113.1), видим, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока:

Приведенные закономерности (113.1) и (113.2) справедливы лишь при малых скоро­стях (v<<с) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.

Формула (113.1) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движу­щегося со скоростью v. Если движется отрицательный заряд, то Q надо заменить на —Q. Скорость v— относительная скорость, т. е. скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависиткак от времени, так и от положения точки М наблюдения. Поэтому следует подчеркнуть относительный харак­тер магнитного поля движущегося заряда.

Впервые поле движущегося заряда удалось обнаружить американскому физику Г. Роуланду (1848—1901). Окончательно этот факт был установлен профессором Мо­сковского университета А. А. Эйхенвальдом (1863—1944), изучившим магнитное поле конвекционного тока, а также магнитное поле связанных зарядов поляризованного диэлектрика. Магнитное поле свободно движущихся зарядов было измерено академи­ком А. Ф. Иоффе, доказавшим эквивалентность, в смысле возбуждения магнитного поля, электронного пучка и тока проводимости.

§ 114. Действие магнитного поля на движущийся заряд

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током (см. § 111), но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается формулой

(114.1)

где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определяется с помощьюправила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v(для Q>0 направления I и v совпадают, для Q<0 — противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд. На рис. 169 показана взаимная ориентация векторов v, В (поле направлено к нам, на рисунке показано точками) и F для положительного заряда. На отрицательный заряд сила действует в противоположном направ­лении. Модуль силы Лоренца (см. (114.1)) равен

где a — угол между v и В.

Отметим еще раз (см. § 109), что магнитное поле не действует на покоящийся электрический заряд. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды.

Так как по действию силы Лоренца можно найти модуль и направление вектора В, то выражение для силы Лоренца может быть использовано (наравне с другими, см. § 109) для определения вектора магнитной индукции В.

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает. Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется.

Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией В действует и электрическое поле с напряженностью Е, то результирующая сила F, приложенная к заряду, равна векторнойсумме сил — силы, действующей со стороны электрического поля, и силы Лоренца:

Это выражение называется формулой Лоренца. Скорость v в этой формуле есть ско­рость заряда относительно магнитного поля.

§ 115. Движение заряженных частиц в магнитном поле

Выражение для силы Лоренца (114.1) позволяет найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Направление силы Лоренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле зависят от знака заряда Q частицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях.

Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное поле однородно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол a между векторами v и В равен 0 или p. Тогда по формуле (114.1) сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно.

Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v, перпен­дикулярной вектору В, то сила Лоренца F=Q[vB] постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает центро­стремительное ускорение. Отсюда следует, что частица будет двигаться по окружности, радиус r которой определяется из условия QvB=mv²/r откуда

(115.1)

Период вращения частицы, т. е. время Т, за которое она совершает один полный оборот,

Подставив сюда выражение (115.1), получим

(115.2)

т. е. период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду (Q/m) частицы, и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости (при v<<c). На этом основано действие циклических ускорителей заряженных частиц (см. § 116).

Если скорость vзаряженной частицы направлена под углом a к вектору В (рис. 170), то ее движение можно представить в виде суперпозиции: 1) равномерного прямолиней­ного движения вдоль поля со скоростью v_||=vcosa ; 2) равномерного движения со скоростью v_^=vsina по окружности в плоскости, перпендикулярной полю. Радиус окружности определяется формулой (115.1) (в данном случае надо заменить v на v_^=vsina). В результате сложения обоих движений возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю (рис. 170). Шаг винтовой линии

Подставив в последнее выражение (115.2), получим

Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы.

Если скорость v заряженной частицы составляет угол a с направлением векто­ра В неоднородного магнитного поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то r и h уменьшаются с ростом В. На этом основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле.

§ 116. Ускорители заряженных частиц

Ускорителями заряженных частиц называются устройства, в которых под действием электрических и магнитных полей создаются и управляются пучки высокоэнергетичных заряженных частиц (электронов, протонов, мезонов и т. д.).

Любой ускоритель характеризуется типом ускоряемых частиц, энергией, сообща­емой частицам, разбросом частиц по энергиям и интенсивностью пучка. Ускорители делятся на непрерывные (из них выходит равномерный по времени пучок) и импульсные (из лих частицы вылетают порциями — импульсами). Последние характеризуются длительностью импульса. По форме траектории и механизму ускорения частиц ускори­тели делятся на линейные, циклические и индукционные. В линейных ускорителях траектории движения частиц близки к прямым линиям, в циклических и индукцион­ных — траекториями частиц являются окружности или спирали.

Рассмотрим некоторые типы ускорителей заряженных частиц.

1. Линейный ускоритель. Ускорение частиц осуществляется электростатическим полем, создаваемым, например, высоковольтным генератором Ван-де-Граафа (см. § 92). Заряженная частица проходит поле однократно: заряд Q, проходя разность потенциалов j₁—j₂, приобретает энергию W=Q(j₁—j₂). Таким способом частицы ускоряются до »10 МэВ. Их дальнейшее ускорение с помощью источников постоян­ного напряжения невозможно из-за утечки зарядов, пробоев и т. д.

2. Линейный резонансный ускоритель. Ускорение заряженных частиц осуществляет­ся переменным электрическим полем сверхвысокой частоты, синхронно изменяющимся с движением частиц. Таким способом протоны ускоряются до энергий порядка десят­ков мегаэлектрон-вольт, электроны — до десятков гигаэлектрон-вольт.

3. Циклотрон — циклический резонансный ускоритель тяжелых частиц (протонов, ионов). Его принципиальная схема приведена на рис. 171. Между полюсами сильного электромагнита помещается вакуумная камера, в которой находятся два электрода (1 и 2) в виде полых металлических полуцилиндров, или дуантов. К дуантам приложено переменное электрическое поле. Магнитное поле, создаваемое электромагнитом, одно­родно и перпендикулярно плоскости дуантов.

Если заряженную частицу ввести в центр зазора между дуантами, то она, ускоря­емая электрическим и отклоняемая магнитным полями, войдя в дуант 1, опишет полуокружность, радиус которой пропорционален скорости частицы (см. (115.1)). К моменту ее выхода из дуанта 1 полярность напряжения изменяется (при соответст­вующем подборе изменения напряжения между дуантами), поэтому частица вновь ускоряется и, переходя в дуант 2, описывает там уже полуокружность большего радиуса и т. д.

Для непрерывного ускорения частицы в циклотроне необходимо выполнить условие синхронизма (условие «резонанса») — периоды вращения частицы в магнитном поле и колебаний электрического поля должны быть равны. При выполнении этого условия частица будет двигаться по раскручивающейся спирали, получая при каждом прохож­дении через зазор дополнительную энергию. На последнем витке, когда энергия частиц и радиус орбиты доведены до максимально допустимых значений, пучок частиц посредством отклоняющего электрического поля выводится из циклотрона.

Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергий примерно 20 МэВ. Даль­нейшее их ускорение в циклотроне ограничивается релятивистским возрастанием мас­сы со скоростью (см. (39.1)), что приводит к увеличению периода обращения (по (115.2) он пропорционален массе), и синхронизм нарушается. Поэтому циклотрон совершенно неприменим для ускорения электронов (при E=0,5 МэВ m=2m₀, при E=10 МэВ m=28m₀ !).

Ускорение релятивистских частиц в циклических ускорителях можно, однако, осу­ществить, если применять предложенный в 1944 г. В. И. Векслером (1907—1966) и в 1945 г. американским физиком Э. Мак-Милланом (р. 1907)принцип автофазировки. Его идея заключается в том, что для компенсации увеличения периода вращения частиц, ведущего к нарушению синхронизма, изменяют либо частоту ускоряющего электрического, либо индукцию магнитного полей, либо то и другое. Принцип автофазировки используется в фазотроне, синхротроне и синхрофазотроне.

4. Фазотрон (синхроциклотрон) — циклический резонансный ускоритель тяжелых заряженных частиц (например, протонов, ионов, a-частиц), в котором управляющее магнитное поле постоянно, а частота ускоряющего электрического поля медленно изменяется с периодом. Движение частиц в фазотроне, как и в циклотроне, происходит по раскручивающейся спирали. Частицы в фазотроне ускоряются до энергий, примерно равных 1 ГэВ (ограничения здесь определяются размерами фазотрона, так как с ро­стом скорости частиц растет радиус их орбиты).

5. Синхротрон — циклический резонансный ускоритель ультрарелятивистских элек­тронов, в котором управляющее магнитное поле изменяется во времени, а частота ускоряющего электрического поля постоянна. Электроны в синхротроне ускоряются до энергий 5—10 ГэВ.

6. Синхрофазотрон — циклический резонансный ускоритель тяжелых заряженных частиц (протонов, ионов), в котором объединяются свойства фазотрона и синхротрона, т. е. управляющее магнитное поле и частота ускоряющего электрического поля одно­временно изменяются во времени так, чтобы радиус равновесной орбиты частиц оставался постоянным. Протоны ускоряются в синхрофазотроне до энергий 500 ГэВ.

7. Бетатрон — циклический индукционный ускоритель электронов, в котором уско­рение осуществляется вихревым электрическим полем (см. § 137), индуцируемым переменным магнитным полем, удерживающим электроны на круговой орбите. В бета­троне в отличие от рассмотренных выше ускорителей не существует проблемы синхро­низации. Электроны в бетатроне ускоряются до энергий 100 МэВ. При W > 100 МэВ режим ускорения в бетатроне нарушается электромагнитным излучением электронов. Особенно распространены бетатроны на энергии 20—50 МэВ.

§ 117. Эффект Холла

Эффект Холла* (1879) — это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j, помещенном в магнитное поле В, электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.

* Э. Холл (1855—1938) — американский физик.

 

Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитное поле В, перпендикулярное j (рис. 172). При данном направлении j скорость носителей тока в металле — электронов — направлена справа налево. Электроны испытывают дейст­вие силы Лоренца (см. § 114), которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего — их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность Е_B этого попереч­ного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновеши­вать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда

где а — ширина пластинки, Dj — поперечная (холловская) разность потенциалов.

Учитывая, что сила тока I=jS=nevS (S — площадь поперечного сечения пластинки толщиной d, п — концентрация электронов, v — средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим

(117.1)

т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. В формуле (117.1) R=1/(en) — постоянная Холла, зависящая от вещества. По измеренному значе­нию постоянной Холла можно: 1) определить концентрацию носителей тока в провод­нике (при известных характере проводимости и заряда носителей); 2) судить о природе проводимости полупроводников (см. § 242, 243), так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда е носителей тока. Эффект Холла поэтому — наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках. Он применяется также для умножения постоянных токов в анало­говых вычислительных машинах, в измерительной технике (датчики Холла) и т. д.

§ 118. Циркуляция вектора В магнитного поля в вакууме

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля (см. § 83) введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданно­му замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B_l=Bcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):

циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим кон­туром:

(118.1)

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 173,

Выражение (118.1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 174). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касатель­ной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектораВ равна

Согласно выражению (118.1), получим В×2pr=m₀I (в вакууме), откуда

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (см. (110.5)).

Сравнивая выражения (83.3) и (118.1) для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростати­ческого поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциаль­ным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара— Лапласа.

§ 119. Магнитные поля соленоида и тороида

Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток (рис. 175). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида (см. рис. 162, б) показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида — неоднородным и очень слабым.

На рис. 175 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее,тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный кон­тур ABCDA, как показано на рис. 175. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, согласно (118.1), равна

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и B_l=0. На участке вне соленоида B=0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

(119.1)

Из (119.1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

(119.2)

Получили, что поле внутри соленоида однородно (краевыми эффектами в областях, прилегающих к торцам соленоида, при расчетах пренебрегают). Однако отметим, что вывод этой формулы не совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл по внешнему участку магнитного поля строго нулю не равен). Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био — Савара — Лапласа; в результате получается та же формула (119.2).

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида — кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. 176). Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симмет­рии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда, по теореме о циркуляции (118.1), B×2pr=m₀NI, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

где N — число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B×2pr=0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).

§ 120. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для поля В

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называ­ется скалярная физическая величина, равная

(120.1)

где B_n=В cos a —проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (a — угол между векторами n и В), dS=dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos a (определяется выбором положительного направления нормали n). Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру нами уже определено (см. § 109): оно связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции Ф_B через произвольную поверхность S равен

(120.2)

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В, B_n=B=const и

Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб — маг­нитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м², расположен­ную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб=1 Тл×м²).

Теорема Гаусса для поля В: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

(120.3)

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Итак, для потоков векторов В и Е сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях получаются различные выражения (см. (120.3), (81.2)).

В качестве примера рассчитаем поток вектора В сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницае­мостью m, согласно (119.2), равна

Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен

а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,

(120.4)

§ 121. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера (см. § 111). Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 177), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпен­дикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера (см. (111.2)), равна

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна

так как ldx=dS — площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в маг­нитном поле, BdS=dФ — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

(121.1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведе­нию силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Получен­ная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным то­ком I в магнитном поле. Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М', изоб­раженное на рис. 178 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж) указано на рисунке. Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: AВС и CDА.

Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении кон­тура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению провод­ников AВС (dA₁) и CDA (dA₂), т. е.

(121.2)

Силы, приложенные к участку CDA контура, образуют с направлением перемеще­ния острые углы, поэтому совершаемая ими работа dA₂>0. .Согласно (121.1), эта работа равна произведению силы тока I в контуре на пересеченный проводником CDA магнитный поток. Проводник CDA пересекает при своем движении поток dФ₀ сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ₂, пронизывающий контур в его конеч­ном положении. Следовательно,

(121.3)

Силы, действующие на участок AВС контура, образуют с направлением перемеще­ния тупые углы, поэтому совершаемая ими работа dA₁<0. Проводник AВС пересекает при своем движении поток dФ₀ сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ₁, пронизывающий контур в начальном положении. Следовательно,

(121.4)

Подставляя (121.3) и (121.4) в (121.2), получим выражение для элементарной работы:

где dФ₂—dФ₁=dФ' — изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом,

(121.5)

Проинтегрировав выражение (121.5), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном .перемещении контура в магнитном поле:

(121.6)

т. е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Формула (121.6) остается справедливой для контура любой формы в про­извольном магнитном поле.

Задачи

14.1. Тонкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 с^–1 от­носительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определить отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса. [251 нКл/кг]

14.2. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоянный ток 3 А. Определить индукцию магнитного поля в Центре квадрата. [5,66 мкТл]

14.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Опреде­лить магнитную индукцию В в точке, удаленной на r₁=30 см от первого и r₂=40 см от второго проводника. [9,5 мкТл]

14.4. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см, по которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра кольца. [10,7 мкТл]

14.5. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми токами, те­кущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 3R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа A=220 нДж. Определить силу тока в проводниках. [10 А]

14.6. Определить напряженность поля, создаваемого прямолинейно равномерно движущимся со скоростью 500 км/с электроном в точке, находящейся от него на расстоянии 20 нм и лежащей на перпендикуляре к скорости, проходящем через мгновенное положение электрона. [15,9 А/м]

14.7. Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, движется по окружности. Определить радиус этой окружности. [3,23 см]

14.8. Определить, при какой скорости лучок заряженных частиц, проходя перпендикулярно область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля с E=10 кВ/м и В= 0,2 Тл, не отклонятся. [50 км/с]

14.9. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определить радиус дуантов циклотрона при индукции магнитного поля 1 Тл. [>47 см]

14.10. Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластинка помещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определить возникающую в пластине поперечную (холловскую) разность потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см³. [1,85 мкВ]

14.11. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, магнитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии 15 см от проводника. [20 мкТл]

14.12. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см. [0,24 мТл; 191 А/м]

14.13. Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечения соленоида (без сер­дечника) Ф=5 мкВб. Длина соленоида l=25 см. Определить магнитный момент p_m этого соленоида. [1 А×м²]

14.14. Круглая рамка с током площадью 20 см² закреплена параллельно магнитному полю (В=0,2 Тл), и на нее действует вращающий момент 0,6 мН×м. Рамку освободили, после поворота на 90° ее угловая скорость стала 20 с^–1. Определить: 1) силу тока, текущего в рамке; 2) момент инерции рамки относительно ее диаметра. [1) 1,5 А; 2) 3×10^–6 кг×м²]

Глава 15 Электромагнитная индукция

§122. Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея)

В гл. 14 было показано, что электрические токи создают вокруг себя магнитное поле. Связь магнитного поля с током привела к многочисленным попыткам возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля. Эта фундаментальная задача была блестяще решена в 1831 г. английским физиком М. Фарадеем, открывшим явление электромаг­нитной индукции. Оно заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного.

Рассмотрим классические опыты Фарадея, с помощью которых было обнаружено явление электромагнитной индукции.

Опыт I (рис. 179, а). Если в замкнутый на гальванометр соленоид вдвигать или выдвигать постоянный магнит, то в моменты его вдвигания или выдвигания наблюдается отклонение стрелки гальванометра (возникает индукционный ток); направления отклонений стрелки при вдвигании и выдвигании магнита противоположны. Отклонение стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость движения магнита относительно катушки. При изменении полюсов магнита направление отклонения стрелки изменится. Для получения индукционного тока магнит можно оставлять неподвижным, тогда нужно относительно магнита передвигать соленоид.

Опыт П.Концы одной из катушек, вставленных одна в другую, присоединяются к галь­ванометру, а через другую катушку пропускается ток. Отклонение стрелки гальванометра наблю­дается в моменты включения или выключения тока, в моменты его увеличения или уменьшения или при перемещении катушек друг относительно друга (рис. 179, б). Направления отклонений стрелки гальванометра также противоположны при включении или выключении тока, его увеличе­нии или уменьшении, сближении или удалении катушек.

Обобщая результаты своих многочисленных опытов, Фарадей пришел к выводу, что индукционный ток возникает всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции. Например, при повороте в однородном магнитном поле замкнутого проводящего контура в нем также возникает индукцион­ный ток. В данном случае индукция магнитного поля вблизи проводника остается постоянной, а меняется только поток магнитной индукции сквозь контур.

Опытным путем было также установлено, что значение индукционного тока совер­шенно не зависит от способа изменения потока магнитной индукции, а определяется лишь скоростью его изменения (в опытах Фарадея также доказывается, что отклонение стрелки гальванометра (сила тока) тем больше, чем больше скорость движения маг­нита, или скорость изменения силы тока, или скорость движения катушек).

Открытие явления электромагнитной индукции имело большое значение, так как была доказана возможность получения электрического тока с помощью магнитного поля. Этим была установлена взаимосвязь между электрическими и магнитными явлениями, что послужило в дальнейшем толчком для разработки теории электромаг­нитного поля.

§ 123. Закон Фарадея и его вывод из закона сохранения энергии

Обобщая результаты своих многочисленных опытов, Фарадей пришел к количествен­ному закону электромагнитной индукции. Он показал, что всякий раз, когда проис­ходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемойэлектродвижущей силой электро­магнитной индукции. Значение индукционного тока, а следовательно, и э.д.с. электро­магнитной индукции определяются только скоростью изменения магнитного потока, т. е.

 

Теперь необходимо выяснить знак . В § 120 было показано, что знак магнитного потока зависит от выбора положительной нормали к контуру. В свою очередь, положительное направление нормали определяется правилом правого винта (см. § 109). Следовательно, выбирая положительное направление нормали, мы определяем как знак потока магнитной индукции, так и направление тока и э.д.с. в контуре. Пользуясь этими представлениями и выводами, можно соответственно прийти к форм­улировке закона электромагнитной индукции Фарадея: какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим кон­туром, возникающая в контуре э. д. с.

(123.2)

Знак минус показывает, что увеличение потока вызывает э. д. с. т. е. поле индукционного тока направлено навстречу потоку; уменьшение потока вызывает т.е. направления потока и поля индукционного тока совпадают. Знак минус в формуле (123.2) определяется правилом Ленца — общим правилом для нахождения направления индукционного тока, выведенного в 1833 г.

Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызва­вшему этот индукционный ток.

Закон Фарадея (см. (123.2)) может быть непосредственно получен из закона со­хранения энергии, как это впервые сделал Г. Гельмгольц. Рассмотрим проводник с током I, который помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоско­сти контура, и может свободно перемещаться (см. рис. 177). Под действием силы Ампера F, направление которой показано на рисунке, проводник перемещается на отрезок dx. Таким образом, сила Ампера производит работу (см. (121.1)) dA=IdФ, где dФ — пересеченный проводником магнитный поток.

Согласно закону сохранения энергии, работа источника тока за время dt () будет складываться из работы на джоулеву теплоту (I²Rdt) и работы по перемещению проводника в магнитном поле (IdФ):

где R — полное сопротивление контура. Тогда

= есть не что иное, как закон Фарадея (см. (123.2)).

Закон Фарадея можно сформулировать еще таким образом: э.д.с. электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. Этот закон является универсальным: э. д. с. не зависит от способа изменения магнитного потока. Э.д.с. электромагнитной индукции выражается в вольтах. Действительно, учитывая, что единицей магнитного потока является вебер (Вб), получим

Какова природа э.д.с. электромагнитной индукции? Если проводник (подвижная перемычка контура на рис. 177) движется в постоянном магнитном поле, то сила Лоренца, действующая на заряды внутри проводника, движущиеся вместе с проводни­ком, будет направлена противоположно току, т. е. она будет создавать в проводнике индукционный ток противоположного направления (за направление электрического тока принимается движение положительных зарядов). Таким образом, возбуждение э.д.с. индукции при движения контура в постоянном магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникающей при движении проводника.

Согласно закону Фарадея, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции воз­можно и в случае неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные заряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение э.д.с. индукции. Максвелл для объяснения э.д.с. индукции в неподвижных проводниках предположил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Циркуляция вектора Е_B этого поля по любому неподвижному контуру L проводника представляет собой э. д. с. электромагнитной индукции:

(123.3)

§ 124. Вращение рамки в магнитном поле

Явление электромагнитной индукции применяется для преобразования механической энергии в энергию электрического тока. Для этой цели используютсягенераторы,принцип действия которых можно рассмотреть на примере плоской рамки, враща­ющейся в однородном магнитном поле (рис. 180).

Предположим, что рамка вращается в однородном магнитном поле (B=const) равномерно с угловой скоростью w=const. Магнитный поток, сцепленный с рамкой площадью S, в любой момент времени t, согласно (120.1), равен

где a = wt — угол поворота рамки в момент времени t (начало отсчета выбрано так, чтобы при t=0 было a=0).

При вращении рамки в ней будет возникать переменная э.д.с. индукции (см. (123.2))

(124.1)

изменяющаяся со временем по гармоническому закону. При sinwt = l э.д.с. мак­симальна, т. е.

(124.2)

Учитывая (124.2), выражение (124.1) можно записать в виде

Таким образом, если в однородном магнитном поле равномерно вращается рамка, то в ней возникает переменная э.д.с., изменяющаяся по гармоническому закону.

Из формулы (124.2) вытекает, что (следовательно, и э.д.с. индукции) находится в прямой зависимости от величин w, B и S. В России принята стандартная частота тока n = w/(2p) = 50 Гц, поэтому возможно лишь увеличение двух остальных величии. Для увеличения В применяют мощные постоянные магниты или в электромагнитах пропу­скают значительный ток, а также внутрь электромагнита помещают сердечники из материалов с большой магнитной проницаемостью m. Если вращать не один, а ряд витков, соединенных последовательно, то тем самым увеличивается S. Переменное напряжение снимается с вращающегося витка с помощью щеток, схематически изображенных на рис. 180.

Процесс превращения механической энергии в электрическую обратим. Если по рамке, помещенной в магнитное доле, пропускать электрический ток, то в соответствии с (109.1) на нее будет действовать вращающий момент и рамка начнет вращаться. На этом принципе основана работа электродвигателей, предназначенных для превращения электрической энергии в механическую.

§ 125. Вихревые токи (токи Фуко)

Индукционный ток возникает не только в линейных проводниках, но и в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи оказыва­ются замкнутыми в толще проводника и поэтому называются вихревыми. Их также называют токами Фуко — по имени первого исследователя.

Токи Фуко, как и индукционные токи в линейных проводниках, подчиняются правилу Ленца: их магнитное поле направлено так, чтобы противодействовать измене­нию магнитного потока, индуцирующему вихревые токи. Например, если между полюсами невключенного электромагнита массивный медный маятник совершает пра­ктически незатухающие колебания (рис. 181), то при включении тока он испытывает сильное торможение и очень быстро останавливается. Это объясняется тем, что возникшие токи Фуко имеют такое направление, что действующие на них со стороны магнитного поля силы тормозят движение маятника. Этот факт используется для успокоения (демпфирования) подвижных частей различных приборов. Если в описан­ном маятнике сделать радиальные вырезы, то вихревые токи ослабляются и торможе­ние почти отсутствует.

Вихревые токи помимо торможения (как правило, нежелательного эффекта) вызы­вают нагревание проводников. Поэтому для уменьшения потерь на нагревание якоря генераторов и сердечники трансформаторов делают не сплошными, а изготовляют из тонких пластин, отделенных одна от другой слоями изолятора, и устанавливают их так, чтобы вихревые токи были направлены поперек пластин. Джоулева теплота, выделяемая токами Фуко, используется в индукционных металлургических печах. Индукционная печь представляет собой тигель, помещаемый внутрь катушки, в кото­рой пропускается ток высокой частоты. В металле возникают интенсивные вихревые токи, способные разогреть его до плавления. Такой способ позволяет плавить металлы в вакууме, в результате чего получаются сверхчистые материалы.

Вихревые токи возникают и в проводах, по которым течет переменный ток. Направление этих токов можно определить по правилу Ленца. На рис. 182, а показано направление вихревых токов при возрастании первичного тока в проводнике, а на рис. 182, б — при его убывании. В обоих случаях направление вихревых токов таково, что они противодействуют изменению первичного тока внутри проводника и способ­ствуют его изменению вблизи поверхности. Таким образом, вследствие возникновения вихревых токов быстропеременный ток оказывается распределенным по сечению про­вода неравномерно — он как бы вытесняется на поверхность проводника. Это явление получило название скин-эффекта (от англ. skin — кожа) или поверхностного эффекта. Так как токи высокой частоты практически текут в тонком поверхностном слое, то провода для них делаются полыми.

Если сплошные проводники нагревать токами высокой частоты, то в результате скин-эффекта происходит нагревание только их поверхностного слоя. На этом основан метод поверхностной закалки металлов. Меняя частоту поля, он позволяет произ­водить закалку на любой требуемой глубине.

§ 126. Индуктивность контура. Самоиндукция

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био — Савара — Лапласа (см. (110.2)), пропорциональ­на току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току I в контуре:

(126.1)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Из выражения (126.1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн — ин­дуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:

Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Согласно (120.4), полный магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равен Подставив это выражение в формулу (126.1), получим

(126.2)

т. е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N, его длины l, площади S и магнитной проницаемости m вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида.

Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура — аналог электричес­кой емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы провод­ника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды (см. § 93).

Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея (см. (123.2)), получим, что э. д. с. самоиндукции

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется (в дальнейшем будет показано, что последнее условие выполняется не всегда), то L = const и

(126.3)

где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктив­ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Если ток со временем возрастает, то т. е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его возрастание. Если ток со временем убывает, то т. е. индукционный ток имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобрета­ет электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

§ 127. Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндук­ции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, все­гда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. , резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент време­ни ток в цепи определяется закономОмаI=_s/R, или

(127.1)

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим Интегрируя это уравнение по I (от I₀ до I) и t (от 0 до t), находим ln (I /I₀) = –Rt/L, или

(127.2)

где t=L/R — постоянная, называемаявременем релаксации. Из (127.2) следует, что t есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше t и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. возникает э. д. с. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, или

Введя новую переменную преобразуем это уравнение к виду

где t — время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и u = –. Следовательно, интегрируя по и (от – до IR–) и t (от 0 до t), находим ln[(IR–)]/–= —t/t, или

(127.3)

где — установившийся ток (при t®¥).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению . Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t=L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индук­тивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R₀ до R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I₀ и t, получим

Э.д.с. самоиндукции

т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R₀>>1), обладающей боль­шой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникнове­ние значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.

§ 128. Взаимная индукция

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), расположенных достаточно близко друг от друга (рис. 184). Если в контуре 1 течет ток I₁, то магнитный поток, создаваемый этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными лини­ями), пропорционален I₁. Обозначим через Ф₂₁ ту часть потока, которая пронизывает контур 2. Тогда

(128.1)

где L₁₂ — коэффициент пропорциональности.

Если ток I₁ изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. , которая по закону Фарадея (см. (123.2)) равна и противоположна по знаку скорости изменения магнит­ного потока Ф₂₁, созданного током в первом контуре и пронизывающего второй:

Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I₂ магнитный поток (его поле изображено на рис. 184 штриховыми линиями) пронизывает первый контур. Если Ф₁₂ — часть этого потока, пронизывающего контур 1, то

Если ток I₂ изменяется, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. , которая равна и проти­воположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф₁₂, созданного током во втором контуре и пронизывающего первый:

Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L₂₁ и L₁₂ называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что L₂₁ и L₁₂ равны друг другу, т. е.

(128.2)

Коэффициенты L₁₂ и L₂₁ зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности, — генри (Гн).

Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий торо­идальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 185). Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой с числом витков N₁, током I₁ и магнитной проницаемостью m сердечника, согласно (119.2), где l — длина сердечника по средней линии. Магнитный поток сквозь один виток второй катушки

Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содержащую N₂ витков,

 

Поток Y создается током I₁, поэтому, согласно (128.1), получаем

(128.3)

Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой 2 сквозь катушку 1, то для L₁₂ получим выражение в соответствии с формулой (128.3). Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник,

§ 129. Трансформаторы

Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Впервые трансформаторы были сконструированы и введены в практику русским электротехни­ком П.Н. Яблочковым (1847—1894) и русским физиком И.Ф. Усагиным (1855—1919). Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 186. Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно N₁ и N₂ витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Так как концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения с э.д.с. , то в ней возникает переменный ток I₁, создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в железном сердечнике и, следовательно, почти целиком пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторич­ной обмотке появление э.д.с. взаимной индукции, а в первичной — э.д.с. самоиндукции.

Ток I₁ первичной обмотки определяется согласно закону Ома:

(129.1)

где R₁ — сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I₁R₁ на сопротивле­нии R₁ при быстропеременных полях мало2 по сравнению с каждой из двух э.д.с., поэтому

(129.2)

Э.д.с. взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,

(129.3)

Сравнивая выражения (129.1) и (129.2), получим, что э.д.с., возникающая во вторичной обмотке,

где знак минус показывает, что э.д.с. в первичной и вторичной обмотках проти­воположны по фазе.

Отношение числа витков N₂/N₁, показывающее, во сколько раз э.д.с. во вторичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, называется коэффициентом трансформации.

Пренебрегая потерями энергии, которые в современных трансформаторах не пре­вышают 2% и связаны в основном с выделением в обмотках джоулевой теплоты и появлением вихревых токов, и применяя закон сохранения энергии, можем записать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практически одинаковы:

откуда, учитывая соотношение (129.3), найдем

т. е. токи в обмотках обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках.

Если N₂/N₁>1, тоимеем дело сповышающим трансформатором, увеличивающим переменную э.д.с. и понижающим ток (применяются, например, для передачи электро­энергии на большие расстояния, так как в данном случае потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квадрату силы тока, снижаются); если N₂/N₁<1, то имеем дело с понижающим трансформатором, уменьшающим э.д.с. и повышающим ток (применя­ются, например, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении).

Мы рассматривали трансформаторы, имеющие только две обмотки. Однако транс­форматоры, используемые в радиоустройствах, имеют 4—5 обмоток, обладающих разными рабочими напряжениями. Трансформатор, состоящий из одной обмотки, называется автотрансформатором. В случае повышающего автотрансформатора э.д.с. подводится к части обмотки, а вторичная э.д.с. снимается со всей обмотки. В понижа­ющем автотрансформаторе напряжение сети подается на всю обмотку, а вторичная э.д.с. снимается с части обмотки.

§ 130. Энергия магнитного поля

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезнове­нием тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затра­чивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I. С данным кон­туром сцеплен магнитный поток (см. (126.1)) Ф=LI, причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ=LdI. Однако для изменения магнитного потока на величину dФ (см. § 121) необходимо совершить работу dА=IdФ=LIdI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,

(130.1)

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризу­ющих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный слу­чай — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (130.1) выражение (126.2), получим

Так как I=Bl/(m₀mN) (см. (119.2)) и В=m₀mH (см. (109.3)), то

(130.2)

где Sl = V — объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (см. (130.2)) заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью

(130.3)

Выражение (130.3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (95.8) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднород­ных полей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам (см. § 132).

Задачи

15.1. Кольцо из алюминиевого провода (r=26 нОм×м) помещено в магнитное поле перпен­дикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм. Определить скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А. [0,33 Тл/с]

15.2. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, равномерно с частотой 300 мин^–1 вращается катушка, содержащая 200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь поперечного сечения катушки 100 см². Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определить максимальную э.д.с., индуцируемую в катушке. [31,4 В]

15.3. Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром 0,3 мм с изоляцией ничтожно малой толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГн. [3040]

15.4. Определить, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,98 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 0,4 Гн. [0,16 с]

15.5. Два соленоида (индуктивность одного L₁=0,36 Гн, второго L₂=0,64 Гн) одинаковой длины и практически равного сечения вставлены один в другой. Определить взаимную индуктивность соленоидов. [0,48 Гн]

15.6. Автотрансформатор, понижающий напряжение с U₁=5,5 кВ до U₂=220 В, содержит в первичной обмотке N₁=1500 витков. Сопротивление вторичной обмотки R₂=2 Ом. Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R=13 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определить число витков во вторичной обмотке трансформатора. [68]

Глава 16 Магнитные свойства вещества

§ 131. Магнитные моменты электронов и атомов

Рассматривая действие магнитного поля на проводники с током и на движущиеся заряды, мы не интересовались процессами, происходящими в веществе. Свойства среды учитывались формально с помощью магнитной проницаемости m. Для того чтобы разобраться в магнитных свойствах сред и их влиянии на магнитную индукцию, необходимо рассмотреть действие магнитного поля на атомы и молекулы вещества.

Опыт показывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничива­ются. Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения атомов и молекул, положив в основу гипотезу Ампера (см. § 109), согласно которой в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.

Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточным приближением можно считать, что электрон движется в атоме по круговым орбитам. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладаеторбитальным магнитным моментом (см. (109.2)) p_m=ISn, модуль которого

(131.1)

где I=en — сила тока, n — частота вращения электрона по орбите, S — площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке (рис. 187), то ток направлен против часовой стрелки и вектор р_m (в соответствии с правилом правого винта) направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона, как указано на рисунке.

С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механическим момен­том импульса L_e, модуль которого, согласно (19.1),

(131.2)

где v = 2pn, pr² = S. Вектор L_e (его направление также определяется по правилу правого винта) называется орбитальным механическим моментом электрона.

Из рис. 187 следует, что направления р_m и L_e, противоположны, поэтому, учитывая выражения (131.1) и (131.2), получим

(131.3)

где величина

(131.4)

называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов (общепринято писать со знаком «–», указывающим на то, что направления моментов противоположны). Это отношение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой ор­биты, хотя для разных орбит значения v и r различны. Формула (131.4) выведена для круговой орбиты, но она справедлива и для эллиптических орбит.

Экспериментальное определение гиромагнитного отношения проведено в опытах Эйнштейна и де Гааза* (1915), которые наблюдали поворот свободно подвешенного на тончайшей кварцевой нити железного стержня при его намагничении во внешнем магнитном поле (по обмотке соленоида пропускался переменный ток с частотой, равной частоте крутильных колебаний стержня). При исследовании вынужденных крутильных колебаний стержня определялось гиромагнитное отношение, которое ока­залось равным –(e/m). Таким образом, знак носителей, обусловливающих молекуляр­ные токи, совпадал со знаком заряда электрона, а гиромагнитное отношение оказалось в два раза бо2льшим, чем введенная ранее величина g (см. (131.4)). Для объяснения этого результата, имевшего большое значение для дальнейшего развития физики, было предположено, а впоследствии доказано, что кроме орбитальных моментов (см. (131.1) и (131.2)) электрон обладает собственным механическим моментом импульса L_es, называ­емым спином. Считалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси, что привело к целому ряду противоречий. В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона L_es, соответствует собственный (сотовый) магнитный момент р_ms, пропорци­ональный L_es и направленный в противоположную сторону:

(131.5)

*В. И. де Гааз (1878—1960) — нидерландский физик.

 

Величина g_s называетсягиромагнитным отношением спиновых моментов.

Проекция собственного магнитного момента на направление вектора В может принимать только одно из следующих двух значений:

где ħ=h/(2p) (h—постоянная Планка), m_b—магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона.

В общем случае магнитный момент электрона складывается из орбитального и спинового магнитных моментов. Магнитный момент атома, следовательно, складывается из магнитных моментов входящих в его состав электронов и магнитного момента ядра (обусловлен магнитными моментами входящих в ядро протонов и ней­тронов). Однако магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше магнитных моментов электронов, поэтому ими пренебрегают. Таким образом, общий магнитный момент атома (молекулы) p_a равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов:

(131.6)

Еще раз обратим внимание на то, что при рассмотрении магнитных моментов электронов и атомов мы пользовались классической теорией, не учитывая ограничений, накладываемых на движение электронов законами квантовой механики. Однако это не противоречит полученным результатам, так как для дальнейшего объяснения намаг­ничивания веществ существенно лишь то, что атомы обладают магнитными момен­тами.

§ 132. Диа- и парамагнетизм

Всякое вещество является магнетиком, т. е. оно способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Для понимания механизма этого явления необходимо рассмотреть действие магнитного поля на движущиеся в атоме электроны.

Ради простоты предположим, что электрон в атоме движется по круговой орбите. Если орбита электрона ориентирована относительно вектора В произвольным об­разом, составляя с ним угол a (рис. 188), то можно доказать, что она приходит в такое движение вокруг В, при котором вектор магнитного момента р_m, сохраняя постоянным угол a, вращается вокруг вектора В с некоторой угловой скоростью. Такое движение в механике называется прецессией. Прецессию вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры, совершает, например, диск волчка при замедлении движения.

Таким образом, электронные орбиты атома под действием внешнего магнитного поля совершают прецессионное движение, которое эквивалентно круговому току. Так как этот микроток индуцирован внешним магнитным полем, то, согласно правилу Ленца, у атома появляется составляющая магнитного поля, направленная проти­воположно внешнему полю. Наведенные составляющие магнитных полей атомов (молекул) складываются и образуют собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект получил название диамагнитного эффекта, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетиками.

В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетик немагнитен, поскольку в дан­ном случае магнитные моменты электронов взаимно компенсируются, и суммарный магнитный момент атома (он равен векторной сумме магнитных моментов (орбиталь­ных и спиновых) составляющих атом электронов) равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (например, Bi, Ag, Au, Сu), большинство органических соединений, смолы, углерод и т. д.

Так как диамагнитный эффект обусловлен действием внешнего магнитного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойствен всем веществам. Однако наряду с диамагнитными веществами существуют и парамагнитные — вещества, нама­гничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля.

У парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (молекулы) парамаг­нетиков всегда обладают магнитным моментом. Однако вследствие теплового движе­ния молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно, поэтому парамаг­нитные вещества магнитными свойствами не обладают. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное маг­нитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным. При ослаблении внешнего магнитного поля да нуля ориентация магнитных моментов вследствие теплового движения нарушается и парамагнетик размагничивается. К парамагнетикам относятся редкоземельные эле­менты, Pt, Аl и т.д. Диамагнитный эффект наблюдается и в парамагнетиках, но он значительно слабее парамагнитного и поэтому остается незаметным.

Из рассмотрения явления парамагнетизма следует, что его объяснение совпадает с объяснением ориентационной (дипольной) поляризации диэлектриков с полярными молекулами (см. § 87), только электрический момент атомов в случае поляризации надо заменить магнитным моментом атомов в случае намагничения.

Подводя итог качественному рассмотрению диа- и парамагнетизма, еще раз от­метим, что атомы всех веществ являются носителями диамагнитных свойств. Если магнитный момент атомов велик, то парамагнитные свойства преобладают над диама­гнитными и вещество является парамагнетиком; если магнитный момент атомов мал, то преобладают диамагнитные свойства и вещество является диамагнетиком.

§ 133. Намагниченность. Магнитное поле в веществе

Подобно тому, как для количественного описания поляризации диэлектриков вводи­лась поляризованность (см. § 88), для количественного описания намагничения магнетиков вводят векторную величину — намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:

где — магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул (см. (131.6)).

Рассматривая характеристики магнитного поля (см. § 109), мы вводили вектор магнитной индукции В, характеризующий результирующее магнитное поле, создава­емое всеми макро- и микротоками, и вектор напряженности Н, характеризующий магнитное поле макротоков. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагничен­ным веществом. Тогда можем записать, что вектор магнитной индукции результирующего магнитного ноля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля В₀ (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме) и поля микротоков В' (поля, создаваемого молекулярными токами):

(133.1)

где В₀=m₀Н (см. (109.3)).

Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рассмотрим магнетик в виде кругового цилиндра сечения S и длины l, внесенного в однородное внешнее магнитное поде с индукцией В₀. Возникающее в магнетике магнитное поле молекуляр­ных токов будет направлено противоположно внешнему полю для диамагнетиков и совпадать с ним по направлению для парамагнетиков. Плоскости всех молекулярных токов расположатся перпендикулярно вектору В₀, так как векторы их магнитных моментовp_m антипараллельны вектору В₀ (для диамагнетиков) и параллельны В₀ (для парамагнетиков). Если рассмотреть любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутренних участках сечения магнетика молекулярные токи соседних атомов направлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются (рис. 189). Нескомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра.

Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соленоиде и созда­ет внутри него поле, магнитную индукцию В' которого можно вычислить, учитывая формулу (119.2) для N = 1 (соленоид из одного витка):

(133.2)

где I' — сила молекулярного тока, l — длина рассматриваемого цилиндра, а магнит­ная проницаемость m принята равной единице.

С другой стороны, I'/l — ток, приходящийся на единицу длины цилиндра, или его линейная плотность, поэтому магнитный момент этого тока p = I'lS/l = I'V/l, где V — объем магнетика. Если Р — магнитный момент магнетика объемом V, то намаг­ниченность магнетика

(133.3)

Сопоставляя (133.2) и (133.3), получим, что

или в векторной форме

Подставив выражения дляВ₀и В'в (133.1), получим

(133.4)

или

(133.5)

Как показывает опыт, в несильных полях намагниченность прямо пропорциональ­на напряженности поля, вызывающего намагничение, т. е.

(133.6)

где c — безразмерная величина, называемаямагнитной восприимчивостью вещества.Для диамагнстихов c отрицательна (поле молекулярных токов противоположно вне­шнему), для парамагнетиков — положительна (поле молекулярных токов совпадает с внешним).

Используя формулу (133.6), выражение (133.4) можно записать в виде

(133.7)

откуда

Безразмерная величина

(133.8)

представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив (133.8) в (133.7), придем к соотношению (109.3) В=m₀mН, которое ранее постулировалось.

Так как абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- и парамаг­нетиков очень мало (порядка 10^–4 —10^–6), то для них m незначительно отличается от единицы. Это просто понять, так как магнитное поле молекулярных токов значительно слабее намагничивающего поля. Таким образом, для диамагнетиков c<0 и m<1, для парамагнетиков c>0 и m>1.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В)является обобщением закона (118.1):

где I и I' — соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым кон­туром L. Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции В по произволь­ному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молеку­лярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Вектор В, таким образом, характеризует результирующее поле, созданное как мак­роскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопичес­кими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции В не имеют источников и являются замкнутыми.

Из теории известно, что циркуляция намагниченности J по произвольному замкну­тому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром:

Тогда закон полного тока для магнитного поля в веществе можно записать также в виде

(133.9)

где I, подчеркнем это еще раз, есть алгебраическая сумма токов проводимости.

Выражение, стоящее в скобках в (133.9), согласно (133.5), есть не что иное, как введенный ранее вектор H напряженности магнитного поля. Итак, циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром:

(133.10)

Выражение (133.10) представляет собой теорему о циркуляции вектора Н.

§ 134. Условия на границе раздела двух магнетиков

Установим связь для векторов В и Н на границе раздела двух однородных магнетиков (магнитные проницаемости m₁ и m₂) при отсутствии на границе тока проводимости.

Построим вблизи границы раздела магнетиков 1 и 2 прямой цилиндр ничтожно малой высоты, одно основание которого находится в первом магнетике, другое — во втором (рис. 190). Основания DS настолько малы, что в пределах каждого из них вектор В одинаков. Согласно теореме Гаусса (120.3),

(нормалиnиn'к основаниям цилиндра направлены противоположно). Поэтому

(134.1)

Заменив, согласно B = m₀mH, проекции вектора В проекциями вектора Н, умножен­ными на m₀m, получим

(134.2)

Вблизи границы раздела двух магнетиков 1 и 2 построим небольшой замкнутый прямоугольный контур ABCDA длиной l, ориентировав его так, как показано на рис.191. Согласно теореме (133.10) о циркуляции вектора Н,

(токов проводимости на границе раздела нет), откуда

(знаки интегралов по AВ и CD разные, так как пути интегрирования противоположны, а интегралы по участкам BC и DA ничтожно малы). Поэтому

(134.3)

Заменив, согласно В=m₀mH, проекции вектора Н проекциями вектора В, деленными на m₀m, получим

(134.4)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая вектора В (В_n) и тангенциальная составляющая вектора Н (Н_t) изменя­ются непрерывно (не претерпевают скачка), а тангенциальная составляющая вектора В (B_t) и нормальная составляющая вектора Н (H_n) претерпевают скачок.

Из полученных условий (134.1)—(134.4) для составляющих векторов В и Н следует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Как и в случае диэлект­риков (см. § 90), можно найти закон преломления линий В (а значит, и линий Н):

(134.5)

Из этой формулы следует, что, входя в магнетик с большей магнитной проница­емостью, линии В и Н удаляются от нормали.

§ 135. Ферромагнетики и их свойства

Помимо рассмотренных двух классов веществ — диа- и парамагнетиков, называемых слабомагнитными веществами, существуют еще сильномагнитные вещества — ферромагнетики — вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, т. е. они намагниче­ны даже при отсутствии внешнего магнитного поля. К ферромагнетикам кроме основ­ного их представителя — железа (от него и идет название «ферромагнетизм») — от­носятся, например, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения.

Ферромагнетики помимо способности сильно намагничиваться обладают еще и другими свойствами, существенно отличающими их от диа- и парамагнетиков. Если для слабомагнитных веществ зависимость J от Н линейна (см. (133.6) и рис. 192), то для ферромагнетиков эта зависимость, впервые изученная в 1878 г. методом баллистичес­кого гальванометра для железа русским физиком А.Г. Столетовым (1839—1896), является довольно сложной. По мере возрастания Н намагниченность J сначала растет быстро, затем медленнее и, наконец, достигается так называемоемагнитное насыщениеJ_нас, уже не зависящее от напряженности поля. Подобный характер зависимости J от Н можно объяснить тем, что по мере увеличения намагничивающего поля увеличивает­ся степень ориентации молекулярных магнитных моментов по полю, однако этот процесс начнет замедляться, когда остается все меньше и меньше неориентированных моментов, и, наконец, когда все моменты будут ориентированы по полю, дальнейшее увеличение J прекращается и наступает магнитное насыщение.

Магнитная индукция B= m₀ (H+J) (см. (133.4)) в слабых полях растет быстро с ростом H вследствие увеличения J, а в сильных полях, поскольку второе слагаемое постоянно (J=J_нас), В растет с увеличением Н по линейному закону (рис. 193).

Существенная особенность ферромагнетиков — не только большие значения m (на­пример, для железа — 5000, для сплава супермаллоя — 800 000!), но и зависимость m от Н (рис. 194). Вначале m растет с увеличением Н, затем, достигая максимума, начинает уменьшаться, стремясь в случае сильных полей к 1 (m = B/(m₀H) = 1 + J/H, поэтому при J = J_нас = const с ростом Н отношение J/H ® 0, m ® 1).

Характерная особенность ферромагнетиков состоит также в том, что для них зависимость J от H (а следовательно, и В от Н) определяется предысторией намагниче­ния ферромагнетика. Это явление получило название магнитного гистерезиса. Если намагнитить ферромагнетик до насыщения (точка 1, рис. 195), а затем начать умень­шать напряженность Н намагничивающего поля, то, как показывает опыт, умень­шение J описывается кривой 1—2, лежащей выше кривой 1—0. При Н = 0 J отличается от нуля, т. е. в ферромагнетике наблюдается остаточное намагничение J_ос. С наличием остаточного намагничения связано существованиепостоянных магнитов. Намагничение обращается в нуль под действием поля Нс, имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничение. Напряженность Нс называется коэрцитивной силой.

При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3—4), и при Н = –H_нас достигается насыщение (точка 4). Затем фер­ромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4—5—6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6—7).

Таким образом, при действии на ферромагнетик переменного магнитного поля намагниченность J изменяется в соответствии с кривой 1—2—3—4—5—6—1, которая называетсяпетлей гистерезиса (от греч. «запаздывание»). Гистерезис приводит к тому, что намагничение ферромагнетика не является однозначной функцией Н, т.е. одному и тому же значению Н соответствует несколько значений J.

Различные ферромагнетики дают разные гистерезисные петли. Ферромагнетики с малой (в пределах от нескольких тысячных до 1—2 А/см) коэрцитивной силой Нс (с узкой петлей гистерезиса) называются мягкими, с большой (от нескольких десятков до нескольких тысяч ампер на сантиметр) коэрцитивной силой (с широкой петлей гистерезиса) — жесткими. Величины Нс, J_ос и m_max определяют применимость фер­ромагнетиков для тех или иных практических целей. Taк, жесткие ферромагнетики (например, углеродистые и вольфрамовые стали) применяются для изготовления постоянных магнитов, а мягкие (например, мягкое железо, сплав железа с нике­лем) — для изготовления сердечников трансформаторов.

Ферромагнетики обладают еще одной существенной особенностью: для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точкой Кюри, при которой он теряет свои магнитные свойства. При нагревании образца выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик. Переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное, происходящий в точке Кюри, не со­провождается поглощением или выделением теплоты, т.е. в точке Кюри происходит фазовый переход II рода (см. § 75).

Наконец, процесс намагничения ферромагнетиков сопровождается изменением его линейных размеров и объема. Это явление получило название магнитострикции. Величина и знак эффекта зависят от напряженности Н намагничивающего поля, от природы ферромагнетика и ориентации кристаллографических осей по отношению к полю.

§ 136. Природа ферромагнетизма

Рассматривая магнитные свойства ферромагнетиков, мы не вскрывали физическую природу этого явления. Описательная теория ферромагнетизма была разработана французским физиком П. Вейссом (1865—1940). Последовательная количественная теория на основе квантовой механики развита Я. И. Френкелем и немецким физиком В. Гейзенбергом (1901—1976).

Согласно представлениям Вейсса, ферромагнетики при температурах ниже точки Кюри обладают спонтанной намагниченностью независимо от наличия внешнего намагничивающего поля. Спонтанное намагничение, однако, находится в кажущемся противоречии с тем, что многие ферромагнитные материалы даже при температурах ниже точки Кюри не намагничены. Для устранения этого противоречия Вейсс ввел гипотезу, согласно которой ферромагнетик ниже точки Кюри разбивается на большое число малых макроскопических областей — доменов, самопроизвольно намагниченных до насыщения.

При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных до­менов ориентированы хаотически и компенсируют друг друга, поэтому результиру­ющий магнитный момент ферромагнетика равен нулю и ферромагнетик не намаг­ничен. Внешнее магнитное поле ориентирует по полю магнитные моменты не отдель­ных атомов, как это имеет место в случае парамагнетиков, а целых областей спонтан­ной намагниченности. Поэтому с ростом Н намагниченность J (см. рис. 192) и магнит­ная индукции В (см. рис. 193) уже в довольно слабых полях растут очень быстро. Этим объясняется также увеличение m ферромагнетиков до максимального значения в слабых полях (см. рис. 194). Эксперименты показали, что зависимость B от H не является такой плавной, а имеет ступенчатый вид, как показано на рис. 193. Это свидетельствует о том, что внутри ферромагнетика домены поворачиваются по полю скачком.

При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ферромагнетики сохраняют остаточное намагничение, так как тепловое движение не в состоянии быстро дезориен­тировать магнитные моменты столь крупных образований, какими являются домены. Поэтому и наблюдается явление магнитного гистерезиса (рис. 195). Для того чтобы ферромагнетик размагнитить, необходимо приложить коэрцитивную силу; размаг­ничиванию способствуют также встряхивание и нагревание ферромагнетика. Точка Кюри оказывается той температурой, выше которой происходит разрушение доменной структуры.

Существование доменов в ферромагнетиках доказано экспериментально. Прямым экспериментальным методом их наблюдения является метод порошковых фигур. На тщательно отполированную поверхность ферромагнетика наносится водная суспензия мелкого ферромагнитного порошка (например, магнетита). Частицы оседают преиму­щественно в местах максимальной неоднородности магнитного поля, т. е. на границах между доменами. Поэтому осевший порошок очерчивает границы доменов и подобную картину можно сфотографировать под микроскопом. Линейные размеры доменов оказались равными 10^–4 — 10^–2 см.

Дальнейшее развитие теории ферромагнетизма Френкелем и Гейзенбергом, а также ряд экспериментальных фактов позволили выяснить природу элементарных носителей ферромагнетизма. В настоящее время установлено, что магнитные свойства ферромагнетиков определяются спиновыми магнитными моментами элект­ронов (прямым экспериментальным указанием этого служит опыт Эйнштейна и де Гааза, см. § 131). Установлено также, что ферромагнитными свойствами могут обладать только кристаллические вещества, в атомах которых имеются недостроен­ные внутренние электронные оболочки с нескомпенсированными спинами. В подо­бных кристаллах могут возникать силы, которые вынуждают спиновые магнитные моменты электронов ориентироваться параллельно друг другу, что и приводит к возникновению областей спонтанного намагничения. Эти силы, называемые обменными силами, имеют квантовую природу — они обусловлены волновыми свойствами электронов.

Так как ферромагнетизм наблюдается только в кристаллах, а они обладают анизотропией (см. § 70), то в монокристаллах ферромагнетиков должна иметь место анизотропия магнитных свойств (их зависимость от направления в кристалле). Дейст­вительно, опыт показывает, что в одних направлениях в кристалле его намагничен­ность при данном значении напряженности магнитного поля наибольшая (направление легчайшего намагничения), в других — наименьшая (направление трудного намагничения). Из рассмотрения магнитных свойств ферромагнетиков следует, что они похожи на сегнетоэлектрики (см. § 91).

Существуют вещества, в которых обменные силы вызывают антипараллельную ориентацию спиновых магнитных моментов электронов. Такие тела называются антиферромагнетиками. Их существование теоретически было предсказано Л.Д. Лан­дау. Антиферромагнетиками являются некоторые соединения марганца (MnO, MnF₂), железа (FeO, FeCl₂) и многих других элементов. Для них также существует антиферромагнитная точка Кюри (точка Нееля*), при которой магнитное упорядочение спиновых магнитных моментов нарушается и антиферромагнетик превращается в парамагнетик, претерпевая фазовый переход II рода (см. § 75).

* Л. Неель (род. 1904) — французский физик.

 

В последнее время большое значение приобрели полупроводниковые ферромаг­нетики — ферриты, химические соединения типа МeО×Fе₂О₃, где Me — ион двухва­лентного металла (Mn, Co, Ni, Сu, Mg, Zn, Cd, Fe). Они отличаются заметными ферромагнитными свойствами и большим удельным электрическим сопротивлением (в миллиарды раз большим, чем у металлов). Ферриты применяются для изготовления постоянных магнитов, ферритовых антенн, сердечников радиочастотных контуров, элементов оперативной памяти в вычислительной технике, для покрытия пленок в магнитофонах и видеомагнитофонах и т. д.

Задачи

16.1. Напряженность однородного магнитного поля в меди равна 10 А/м. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого молекулярными токами, если диамагнитная восприимчи­вость меди |c|=8,8×10^–8. [1.11 пТл]

16.2. По круговому контуру радиусом 50 см, погруженному в жидкий кислород, течет ток 1,5 А. Определить намагниченность в центре этого контура, если магнитная восприимчивость жидкого кислорода 3,4×10^–3. [5,1 мА/м]

16.3. По обмотке соленоида индуктивностью 1 мГн, находящегося в диамагнитной среде, течет ток 2 А. Соленоид имеет длину 20 см, площадь поперечного сечения 10 см² и 400 витков. Определить внутри соленоида: 1) магнитную индукцию; 2) намагниченность. [1) 5 мТл; 2) 20 А/м]

16.4. Алюминиевый шарик радиусом 0,5 см помещен в однородное магнитное поле (B₀ = 1 Тл). Определить магнитный момент, приобретенный шариком, если магнитная восприимчи­вость алюминия 2,1×10^–5. [8,75 мкА×м²]

Глава 17 Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

§ 137. Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея (см. (123.2)) =–dФ/dt следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Следовательно, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре,находящемся в переменном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы — силы неэлектростатического происхождения (см. § 97). Поэтому встает вопрос о природе сторонних сил в данном случае.

Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с хи­мическими процессами в контуре; их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем простран­стве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появляется э.д.с., играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаружи­вающим это поле.

Итак, по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает элект­рическое поле Е_B, циркуляция которого, по (123.3),

(137.1)

где Е_Bl — проекция вектора Е_B на направление dl.

Подставив в формулу (137.1) выражение (см. (120.2)), получим

Если поверхность и контур неподвижны, то операции дифференцирования и интег­рирования можно поменять местами. Следовательно,

(137.2)

где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл BdS является функцией только от времени.

Согласно (83.3), циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его E_Q) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

(137.3)

Сравнивая выражения (137.1) и (137.3), видим, что между рассматриваемыми полями (E_B и Е_Q) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора E_B в отличие от циркуляции вектора E_Q не равна нулю. Следовательно, электрическое поле E_B, возбуж­даемое магнитным полем, как и само магнитное поле (см. § 118), является вихревым.

§ 138. Ток смещения

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружа­ющем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнит­ным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 196). Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.

Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим и вызываемым им магнитным полями. По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обклад­ками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (I) и смещения (I_см) равны: I_см =I.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора

(138.1)

(поверхностная плотность заряда s на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе (см. (92.1)). Подынтегральное выражение в (138.1) можно рассматривать как частный случай скалярного произведения когда и dS взаимно параллельны. Поэтому для общего случая можно записать

Сравнивая это выражение с (см. (96.2)), имеем

(138.2)

Выражение (138.2) и было названо Максвеллом плотностью тока смещения.

Рассмотрим, каково же направление векторов плотностей токов проводимости и смещения j и j_см. При зарядке конденсатора (рис. 197, а) через проводник, соединя­ющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой; поле в конденсаторе усиливается; следовательно, >0, т. е. вектор направлен в ту же сторону, что и D. Из рисунка видно, что направления векторов и j совпадают. При разрядке конденсатора (рис. 197, б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой; поле в конденсаторе ослабляется; следовательно, <0, т. е. вектор направлен противоположно вектору D. Однако вектор направлен опять так же, как и вектор j. Из разобранных примеров следует, что направление вектора j, а следовательно, и вектора j_см, совпадает с направлением вектора , как это и следует из формулы (138.2).

Подчеркнем, что из всех физических свойств, присущих току проводимости, Макс­велл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем пространстве магнитное поле (линии индукции магнитных полей токов смещения при зарядке и разрядке конденсатора показаны на рис. 197 штриховыми линиями).

В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как, согласно (89.2), D=e₀E+P, где Е – напряженность электростатического поля, а Р — поляризованность (см. § 88), то плотность тока смещения

(138.3)

где e₀— плотность тока смещения в вакууме, — плотность тока поляризации — тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в ди­электрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в поляр­ных молекулах). Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости. Однако то, что и другая часть плотности тока смещения , не связанная с движением зарядов, а обусловленная только изменением электрического поля во времени, также возбуждает магнитное поле, является принципиально новым утверждением Максвелла. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля приводит к возник­новению в окружающем пространстве магнитного поля.

Следует отметить, что название «ток смещения» является условным, а точ­нее — исторически сложившимся, так как ток смещения по своей сути — это изменя­ющееся со временем электрическое поле. Ток смещения поэтому существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток. Однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие токов смещения подтверждено экспериментально А.А. Эйхенвальдом, изучавшим магнитное поле тока поляризации, который, как следует из (138.3), является частью тока смещения.

Максвелл ввел понятие полного тока,равного сумме токов проводимости (а также конвекционных токов) и смещения.Плотность полного тока

Введя понятия тока смещения и полного тока, Максвелл по-новому подошел к рас­смотрению замкнутости цепей переменного тока. Полный ток в них всегда… Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора Н (см. (133.10)), введя в ее… (138.4)

Амплитуда затухающих колебаний, а А0 — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис. 208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называетсявременем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периодакак промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затуха­ющих колебаний с учетом формулы (146.4) равен

Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называетсядекрементом затухания, а его логарифм

(146.7)

— логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — по­стоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятиемдобротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

(146.8)

(так как затухание мало (), то T принято равным Т₀).

Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маят­ника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= —kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные напра­вления силы трения и скорости

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

(146.9)

Используя формулу w₀=(см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания

(146.10)

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих коле­баний маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону

где частота (см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника, согласно (146.8) и (146.10), Q=/r.

2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Диф­ференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R¹0) имеет вид (см. (143.2))

Учитывая выражение (143.4) и принимая коэффициент затухания

(146.11)

дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению (146.1) виде

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону

(146.12)

с частотой, согласно (146.4),

(146.13)

меньшей собственной частоты контура w₀ (см. (143.4)). При R=0 формула (146.13) переходит в (143.4).

Логарифмический декремент затухания определяется формулой (146.7), а добротность колебательного контура (см. (146.8))

(146.14)

В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания d период затухающих колебании растет и при d=w₀ обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптоти­чески приближается к нулю, когда t®¥. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колеба­ния незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний опре­деляются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний (см. § 147), происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энер­гии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опуска­ющегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струёй.

Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т. д.

§ 147. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуж­дающая сила

(147.1)

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде

Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению

(147.2)

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

(147.3)

Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению

(147.4)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическимии вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференци­альному уравнению

(147.5)

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физичес­кой природы (x₀ в случае механических колебаний равно F₀/m, в случае электромагнит­ных — U_m/L).

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного урав­нения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х₀:

(147.6)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных в уравнение (147.6), получаем

(147.7)

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h=w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:

где

(147.8)

(147.9)

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна

(147.10)

где А и j задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид

(147.11)

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения

(147.12)

(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являют­ся гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от w.

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что (см. (143.4)) и (см. (146.11)):

(147.13)

Продифференцировав Q=Q_mcos(wt–a) по t, найдем силу тока в контуре при устано­вившихся колебаниях:

(147.14)

где

(147.15)

Выражение (147.14) может быть записано в ввде

где j=a – p/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)

(147.16)

Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (j>0), если wL>1/(wС), и опережает напряжение (j<0), если wL<1/(wС).

Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграм­мы. Это сделано в §149 для переменных токов.

§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных). Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту w_рез, — частоту, при которой амплитуда А сме­щения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выражение по w и приравняв его нулю, получим условие, определяющее w_рез :

Это равенство выполняется при w=0, ±, у которых только лишь положи­тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

(148.1)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственномеханическим илиэлектрическим). При значение w_рез практически совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы. Подста­вляя (148.1) в формулу (147.8), получим

(148.2)

На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от часто­ты при различных значениях d. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше d, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w® 0, то все кривые (см. также (147.8)) достигают одного в того же, отличного от нуля, предельного значения , которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний , в случае электромагнитных – U_m/(L). Если w®¥, то вое кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании () резонансная амплитуда смещения (заряда)

где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)), — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше А_рез.

На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока)

максимальна при w_рез=w₀ и равна , т. е. чем больше коэффициент затухания d, тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна

а амплитуда тока при электрическом резонансе

Из выражения tgj = (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (d=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (прило­женное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях j ¹0.

Зависимость j от w при разных коэффициентах d графически представлена на рис. 212, из которого следует, что при изменении w изменяется и сдвиг фаз j. Из формулы (147.9) вытекает, что при w=0 j=0, а при w=w₀ независимо от значения коэффициента затухания j = p/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на p/2. При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрастает и при w>>w₀ j ® p, т. е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собствен­ная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разруше­ния. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

§ 148. Переменный ток

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания (см. § 147) можно рас­сматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока.Переменный ток можно считатьквазистационарным,т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, таккак их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнит­ные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытека­ющие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к пере­менным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содер­жащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к концам которого приложено переменное напряжение

(149.1)

где U_m — амплитуда напряжения.

1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (L®0, C®0) (рис. 213, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор опреде­ляется законом Ома:

где амплитуда силы тока I_m= U_m/R.

Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряже­ниями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис. 213, б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока I_m и напряжения U_m на резисторе (сдвиг фаз между I_m и U_m равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L (R®0, C®0) (рис. 214, а). Если в цепи приложено переменное напряжение (149.1), то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции (см. (126.3)) . Тогда закон Ома (см. (100.3)) для рассматриваемого участка цепи имеет вид

откуда

(149.2)

Таккак внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

(149.3)

есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (149.2) следует, что

после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим

(149.4)

где I_m= U_m/(wL). Величина

(149.5)

называетсяреактивным индуктивным сопротивлением (илииндуктивным сопротивлени­ем). Из выражения (149.5) вытекает, что для постоянного тока (w = 0) катушка индук­тивности не имеет сопротивления. Подстановка значения U_m=wLI_m в выражение (149.2) с учетом (149.3) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

(149.6)

Сравнение выражений (149.4) и (149.6) приводит к выводу, что падение напряжения U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на p/2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 214, б).

3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R®0, L®0) (рис. 215, в). Если переменное напряжение (149.1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренеб­речь, то

Сила тока

(149.7)

где

Величина

называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопротивлением). Для постоянного тока (w = 0) R_С = ¥, т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе

(149.8)

Сравнение выражений (149.7) и (149.8) приводит к выводу, что падение напряжения U_С отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на p/2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 215, б).

4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, ка­тушку индуктивности и конденсатор. На рис. 216, а представлен участок цепи, содер­жащий резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор ем­костью С, к концам которого приложено переменное напряжение (149.1). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения U_R, U_L и U_C. На рис. 216, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R), катушке (U_L) и конденсаторе (U_C). Амплитуда U_m приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амп­литуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 216, б, угол j определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (см. также формулу (147.16))

(149.9)

Из прямоугольного треугольника получаем откуда ам­плитуда силы тока имеет значение

(149.10)

совпадающее с (147.15).

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону U = U_m cos w t, то в цепи течет ток

(149.11)

где j и I_m определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10). Величина

(149.12)

называется полным сопротивлением цепи, а величина

– реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений U_R и U_L в сумме равны приложенному напряжению U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 217, из которого следует, что

(149.13)

Выражения (149.9) и (149.10) совпадают с (149.13), если в них 1/(wC)=0, т.е. С=¥. Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С=¥, а не С=0. Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим цепь, в которой конденсатор отсутствует (расстоя­ние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бесконечности; см. (94.3)).

§ 150. Резонанс напряжений

Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные конденсатор, катушку индуктивности и резистор (см. рис. 216),

(150.1)

то угол сдвига фаз между током и напряжением (149.9) обращается в нуль (j=0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (150.1) удовлетворяет частота

(150.2)

В данном случае полное сопротивление цепи Z (149.12) становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивле­нием, принимая максимальные (возможные при данном U_m) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, прило­женному к цепи (U_R =U), а падения напряжений на конденсаторе (U_C) и катушке индуктивности (U_L) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называетсярезонансом напряжений (последовательным резонансом), а частота (150.2) —резонансной частотой. Векторная диаграмма для резонанса напряжений при­ведена на рис. 218, а зависимость амплитуды силы тока от w уже была дана на рис. 211.

В случае резонанса напряжений

подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим

где Q — добротность контура, определяемая выражением (146.14). Так как доброт­ность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонан­са на конденсаторе можно получить напряжение с амплитудой QU_m (Q в данном случае—добротность контура, которая может быть значительно больше U_m). Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонанс­ной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции элект­рических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.

§ 151. Резонанс токов

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конден­сатор емкостью С и катушку индуктивностью L (рис. 219). Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренебречь. Если приложенное напряжение изменяется по закону U= U_m сos w t (см. (149.1)), то, согласно формуле (149.11),в ветви 1С2 течет ток

амплитуда которого определяется из выражения (149.10) при условии R=0 и L=0:

Начальная фаза j₁ этого тока по формуле (149.9) определяется равенством

(151.1)

Аналогично, сила тока в ветви 1L2

амплитуда которого определяется из (149.10) при условии R=0 и С=¥ (условие отсутствия емкости в цепи, см. § 149):

Начальная фаза j₂ этого тока (см. (149.9))

(151.2)

Из сравнения выражений (151.1) и (151.2) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 н 1L2 равна j₁—j₂=p, т. е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

Если w = w_рез = , то I_m1=I_m2и I_m=0. Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катуш­ку индуктивности, при приближении частоты w приложенного напряжения к резонанс­ной частоте w_рез называется резонансом токов (параллельным резонансом). В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений (см. § 150).

Амплитуда силы тока I_m оказалась равна нулю потому, что активным сопротивле­нием контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R, то разность фаз j₁—j₂ будет равна p, поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока I_m будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов во внешней цепи токи I₁ и I₂ компенсируются и сила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I₁ и I₂ могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с ча­стотой, близкой к резонансной. Поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах, где нагревание металлов производится вихревыми токами (см. § 125). В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирает­ся так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводя­щих проводах.

§ 152. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

где U(t)=U_mcoswt, I(t)=I_mcos(wt – j) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрыв cos(wt – j), получим

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что ácos² w tñ= ¹/₂, ásin w t cos w tñ = 0, получим

(152.1)

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что U_m сos j = RI_m. Поэтому

Такую же мощность развивает постоянный ток .

Величины

называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно запасать в виде

(152.2)

где множитель соs j называетсякоэффициентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cosj =1 и P=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cosj=0 и средняя мощ­ность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cosj имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить соsj, наименьшее допустимое значение которого для промышленных уста­новок составляет примерно 0,85.

Задачи

18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой n =2 Гц, в мо­мент времени t=0 проходит положение, определяемое координатой х₀—6 см, со скоро­стью v₀=14 см/с. Определить амплитуду колебания. [6,1 см]

18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза p/3. [x=0,04cos(pt+p/3)]

18.1. При подвешивании грузов массами m₁ = 500 г и m₂ = 400 г к свободным пружинам пос­ледние удлинились одинаково (Dl =15 см). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]

18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. [7,2 см]

18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на Dl = 16 см, совершают за одно и то же время: один n₁=10 колебаний, другой n₂= 6 колебаний. Определить длины маятников l₁ и l₂. [l₁=9 см, l₂=25 см]

18.6. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, индук­тивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2 нФ. Максимальное напряжение на обклад­ках конденсатора составляет 150 В. Определить максимальный магнитный поток, прони­зывающий катушку. [0,3 мкВб]

18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового пе­риода, равного 8 с, и одинаковой амплитуды 2 см составляет p/4. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю. [х=0,037 соs (pt/4+p/8)]

18.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями х=cospt и y=cospt/2. Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба. [2y²–х=1]

18.9. За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, амплитуда уменьшается в три раза. Определить добротность системы. [286]

18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Заряд на обкладках конденсатора Q_m=1 мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсато­ра от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,06; 3) U=100e^–20tcos636pt]

18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Ом и конденсатор под­ключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Оказа­лось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между током и внешним напряжением. [60°]

18.12.В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 10 см², содержащая 3000 витков. Определить активное сопротивле­ние катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]

18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряжения равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определить амп­литудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом. [119 кВ]

18.14. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГн и конденсатор емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контуре незатухающих гармонических колеба­ний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить добротность данного контура. [100]

Глава 19 Упругие волны

§ 153. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообраз­ной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колеба­ний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерыв­но распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым про­цессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и попереч­ные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распростране­ния волны.

Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 220 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смещением x частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t. Приведенный график функции x(x, t) похож на график гармонического колебания, однако они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний — зависимость смещения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l (рис. 220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

или, учитывая, что T= 1/n, где n — частота колебаний,

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а колеблется совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т. е. волна, распространяясь от источника колебаний, охва­тывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в про­стейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.

§ 154. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуетсявектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называетсявектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова (1846—1915), решившего задачу о распространении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Для вывода уравнения бегущей волны — зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распрост­ранения волны (рис. 220). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то сме­щение x будет зависеть только от x и t, т. е. x = x (x, t).

На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу В среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией x(0, t) = A cos wt, то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на t, так как для прохождения волной расстояния х требуется время t = x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

(154.1)

откуда следует, что x(х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) естьуравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

В общем случаеуравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положитель­ного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

(154.2)

где А = const —амплитуда волны,w— циклическая частота, j₀ — начальная фаза вол­ны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [w (t—x/v)+ j₀] —фаза плоской волны.

Для характеристики волн используетсяволновое число

(154.3)

Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид

(154.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде

где физический смысл имеет лишь действительная часть (см. § 140). Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.

(154.5)

Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на w, получим откуда

(154.6)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентричес­ких сфер, записывается как

(154.7)

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (154.7) справед­ливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость

(154.8)

Если фазовая скорость воли в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных

или

(154.9)

где v — фазовая скорость, — оператор Лапласа. Решением урав­нения (154.9) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сферическая волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

(154.10)

§ 155. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье (см. (144.5)) любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн.Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем dw <<w и dk<<k. Тогда

Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t.

За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что tdw —xdk = const, получим

(155.1)

Скорость и естьгрупповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Выражение (155.1) получено для волнового пакета из двух составля­ющих, однако можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае.

Рассмотрим связь между групповой (см. (155.1)) и фазовой v=w /k (см. (154.8)) скоростями. Учитывая, что k=2p/l (см. (154.3)), получим

или

(155.2)

Из формулы (155.2) вытекает, что u может быть как меньше, так и больше v в зависи­мости от знака dv/dl. В недиспергирующей среде dv/dl=0 и групповая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т. д. В теории относительности доказывается, что групповая скорость u<<с, в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

§ 156. Интерференция волн

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связывают с понятиемкогерентности. Волны называютсякогерент­ными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Очевидно, что когерент­ными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При наложении в про­странстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих воли. Это явление называетсяинтерференцией волн.

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точеч­ными источниками S₁ и S₂ (рис. 221), колеблющимися с одинаковыми амплитудой А₀ и частотой w и постоянной разностью фаз. Согласно (154.7),

где r₁ и r₂ — расстояния от источников волн до рассматриваемой точки В, k — волно­вое число, j₁ и j₂ — начальные фазы обеих накладывающихся сферических волн. Амплитуда результирующей волны в точке В по (144.2) равна

Так как для когерентных источников разность начальных фаз (j₁ – j₂) = const, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины D = r₁ – r₂, называемойразностью хода волн.

В точках, где

(156.1)

наблюдается интерференционный максимум:амплитуда результирующего колебания А=A₀/r₁ + A₀/r₂. В точках, где

(156.2)

наблюдаетсяинтерференционный минимум:амплитуда результирующего колебания А=|A₀/r₁+A₀/r₂|; m=0, 1, 2, ..., называется соответственно порядком нтерференционного максимума или минимума.

Условия (156.1) в (156.2) сводятся к тому, что

(156.3)

Выражение (156.3) представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точках S₁ и S₂. Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет собой семейство гипербол (рис. 221), отвечающих условию (j₁ – j₂)=0. Между двумя интерференционными мак­симумами (на рис. 221 сплошные линии) находятся интерференционные минимумы (на рис. 221 штриховые линии).

§ 157. Стоячие волны

Особым случаем интерференции являютсястоячее волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих воли, распространяющихся навстречу друг другу с оди­наковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны рас­пространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид

(157.1)

Сложив эти уравнения и учитывая, что k=2v/X (см. (154.3)), получимуравнение стоячей волны:

(157.2)

Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты w с амплитудой A_ст=|2А cos (2pх/l)|, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где

(157.3)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где

(157.4)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (А_ст=2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A_ст=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (157.3) и (157.4) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

(157.5)

(157.6)

Из формул (157.5) и (157.6) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны l/2. Расстояние между сосед­ними пучностью и узлом стоячей волны равно l/4.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (157.1) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (в уравнении (157.2) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х). При переходе через узел множитель 2Acos(2px/l) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае возникает узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соот­ношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (рис. 222, а), если более плот­ная — узел (рис. 222, б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у гра­ницы колебания складываются с одинаковыми фазами — образуется пучность.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения перено­сится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превра­щения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

§ 158. Звуковые волны

Звуковыми (или акустическими) волнами называются распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16—20 000 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука. Волны с n < 16 Гц (инфразвуковые) и n > 20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.

Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия (растяжения). В твердых телах звуковые волны могут быть как продольными, так и поперечными, так как твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия (рас­тяжения) и сдвига.

Интенсивностью звука (или силой звука) называется величина, определяемая сред­ней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

Единица интенсивности звука в СИ —ватт на метр в квадрате (Вт/м²).

Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсив­ностью, но если эта интенсивность превышает определенный предел, то звук не слышен и вызывает только болевое ощущение. Таким образом, для каждой частоты колебаний существуют наименьшая(порог слышимости)и наибольшая(порог болевого ощущения)интенсивности звука, которые способны вызвать звуковое восприятие. На рис. 223 представлены зависимости порогов слышимости и болевого ощущения от частоты звука. Область, расположенная между этими двумя кривыми, являетсяобластью слышимости.

Если интенсивность звука является величиной, объективно характеризующей вол­новой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсив­ностью, является громкость звука, зависящая от частоты. Согласно физиологическому закону Вебера — Фехнера, с ростом интенсивности звука громкость возрастает по логарифмическому закону. На этом основании вводят объективную оценку громкости звука по измеренному значению его интенсивности:

где I₀ — интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая для всех звуков равной 10^–12 Вт/м². Величина L называетсяуровнем интенсивности звука и выражается в белах (в честь изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются единицами, в 10 раз меньшими, — децибелами (дБ).

Физиологической характеристикой звука является уровень громкости, который вы­ражается в фонах (фон). Громкость для звука в 1000 Гц (частота стандартного чистого тона) равна 1 фон, если его уровень интенсивности равен 1 дБ. Например, шум в вагоне метро при большой скорости соответствует »90 фон, а шепот на расстоянии 1м — »20 фон.

Реальный звук является наложением гармонических колебаний с большим набором частот, т. е. звук обладает акустическим спектром, который может быть сплошным (в некотором интервале присутствуют колебания всех частот) и линейчатым (присутству­ют колебания отделенных друг от друга определенных частот).

Звук характеризуетсяпомимо громкости еще высотой и тембром.Высота зву­ка — качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее от частоты звука. С ростом частоты высота звука увеличивается, т. е. звук становится «выше». Характер акустического спектра и распределения энергии между определен­ными частотами определяет своеобразие звукового ощущения, называемоетембром звука. Так, различные певцы, берущие одну и ту же ноту, имеют различный акустичес­кий спектр, т. е. их голоса имеют различный тембр.

Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде со звуковой частотой (например, в струнных инструментах источником звука является струна, соединенная с корпусом инструмента).

Совершая колебания, тело вызывает колебания прилегающих к нему частиц среды с такой же частотой. Состояние колебательного движения последовательно передается к все более удаленным от тела частицам среды, т. е. в среде распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источника, и с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды. Скорость распространения звуковых волн в газах вычисляется по формуле

(158.1)

где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса, g=С_р/С_V — отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, Т — термодинами­ческая температура. Из формулы (158.1) вытекает, что скорость звука в газе не зависит от давления р газа, но возрастает с повышением температуры. Чем больше молярная масса газа, тем меньше в нем скорость звука. Например, при T=273 К скорость звука в воздухе (M=29×10^–3 кг/моль) v=331 м/с, в водороде (M=2×10^–3 кг/моль) v=1260 м/с. Выражение (158.1) соответствует опытным данным.

При распространении звука в атмосфере необходимо учитывать целый ряд фак­торов: скорость и направление ветра, влажность воздуха, молекулярную структуру газовой среды, явления преломления и отражения звука на границе двух сред. Кроме того, любая реальная среда обладает вязкостью, поэтому наблюдается затухание звука, т. е. уменьшение его амплитуды и, следовательно, интенсивности звуковой волны по мере ее распространения. Затухание звука обусловлено в значительной мере его поглощением в среде, связанным с необратимым переходом звуковой энергии в другие формы энергии (в основном в тепловую).

Для акустики помещений большое значение имеет реверберация звука — процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после выключения его источ­ника. Если помещения пустые, то происходит медленное затухание звука и создается «гулкость» помещения. Если звуки затухают быстро (при применении звукопоглоща­ющих материалов), то они воспринимаются приглушенными. Время реверберации — это время, в течение которого интенсивность звука в помещении ослабляется в миллион раз, а его уровень — на 60 дБ. Помещение обладает хорошей акустикой, если время реверберации составляет 0,5—1,5 с.

S 159. Эффект Доплере в акустике

Эффектом Доплера* называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых коле­баний.

* X. Доплер (1803—1853) — австрийский физик, математик и астроном.

 

Для рассмотрения эффекта Доплера предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; v_ист и v_пр — соответственно скорости движе­ния источника и приемника, причем они положительны, если источник (приемник) приближается к приемнику (источнику), и отрицательны, если удаляется. Частота колебаний источника равна v₀.

1. Источник и приемник покоятся относительно среды, т. е. v_ист = v_пр=0. Если v — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среда, то длина волны l=vT=v/v₀. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой

Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте v₀, с которой звуковая волна излучается источником.

2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится, т. е. v_пр>0, v_ист=0. В данном случае скорость распространения волны относительно приемника станет равной v + v_пр. Так как длина волны при этом не меняется, то

т. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (v+v_пр)/v раз больше частоты колебаний источника.

3. Источник приближается к преемнику, а приемник покоится, т. е. v_ист >0, v_пр=0.

Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направле­нии к приемнику расстояние vT (равное длине волны l) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении волны расстояние v_истT (рис. 224), т. е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной l'=l—v_истТ=(v—v_ист)T, тогда

т. е. частота n колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в v/(v – v_ист) раз. В случаях 2 и 3, если v_ист<0 и v_пр<0, знак будет обратным.

4. Источник и приемник движутся относительно друг друга.Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых приемником:

(159.1)

причем верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зависимости от того, движется ли источник или приемник. Если направления скоростей v_пр и v_ист не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (159.1) надо брать их проекции на направление этой прямой.

§ 160. Ультразвук и его применение

По своей природе ультразвук представляет собой упругие волны, и в этом он не отличается от звука (см. § 158). Однако ультразвук, обладая высокими частотами (n>20 кГц) и, следовательно, малыми длинами волн, характеризуется особыми свойствами, что позволяет выделить его в отдельный класс явлений. Из-за малых длин волн ультразвуко­вые волны, как и свет, могут быть получены в виде строго направленных пучков. Для генерации ультразвука используются в основном два явления. Обратный пьезоэлектрический эффект (см. также § 91) — это возникновение дефор­мации в вырезанной определенным образом кварцевой пластинке (в последнее время вместо кварца применяется титанат бария) под действием электрического поля. Если такую пластинку поместить в высокочастотное переменное поле, то можно вызвать ее вынужденные колебания. При резонансе на собственной частоте пластинки получают большие амплитуды колебаний и, следовательно, большие интенсивности излучаемой ультразвуковой волны. Идея кварцевого ультразвукового генератора принадлежит французскому физику П. Ланжевену (1872—1946).

Магнитострикция — это возникновение деформации в ферромагнетиках под дейст­вием магнитного поля. Поместив ферромагнитный стержень (например, из никеля или железа) в быстропеременное магнитное поле, возбуждают его механические колебания, амплитуда которых максимальна в случае резонанса.

Ультразвуки широко используются в технике, например для направленной подводкой сигнализации, обнаружения подводных предметов и определения глубин (гидролока­тор, эхолот). Например, в эхолоте от пьезокварцевого генератора, укрепленного на судне, посылаются направленные ультразвуковые сигналы, которые, достигнув дна, отражаются от него и возвращаются обратно. Зная скорость их распространения в воде и определяя время прохождения (от подачи до возвращения) ультразвукового сигнала, можно вычислить глубину. Прием эха также производится с помощью пьезокварца. Звуковые колебания, дойдя да пьезокварца, вызывают в нем упругие колебания, в результате чего на противоположных поверхностях кварца возникают электрические заряды, которые измеряются.

Если пропускать ультразвуковой сигнал через исследуемую деталь, то можно обнаружить в ней дефекты по характерному рассеянию пучка и по появлению ультра­звуковой тени. На этом принципе создана целая отрасль техники —ультразвуковая дефектоскопия, начало которой положено С. Я. Соколовым (1897—1957). Применение ультразвука легло также в основу новой области акустики —акустоэлектроники, по­зволяющей на ее основе разрабатывать приборы для обработки сигнальной инфор­мации в микрорадиоэлектронике.

Ультразвук применяют для воздействия на различные процессы (кристаллизацию, диффузию, тепло- и массообмен в металлургии и т. д.) и биологические объекты (повышение интенсивности процессов обмена и т. д.), для изучения физических свойств веществ (поглощения, структуры вещества и т. д.). Ультразвук используется также для механической обработки очень твердых и очень хрупких тел, в медицине (диагностика, ультразвуковая хирургия, микромассаж тканей) и т. д.

Задачи

19.1. Плоская гармоническая волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положи­тельным направлением оси х в среде, не поглощающей энергию, со скоростью v=12 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x₁=7 м и x₂=12 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз Dj = ⁵/₆p. Амплитуда волны А = 6 см. Опреде­лить: 1) длину волны l; 2) уравнение волны; 3) смещение x₂ второй точки в момент времени t = 3 с. [1) 12 см; 2) x(х, t) = 0,06 cos (2pt – pх/6); 3) 6 см]

19.2. Два динамика расположены на расстоянии 2 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте 1000 Гц. Приемник находится на расстоянии 4 м от центра динамиков. Принимая скорость звука 340 м/с, определить, на какое расстояние от центра­льной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он зафиксировал первый интерференционный минимум. [0,34 м]

19.3. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса исполь­зуется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Расстоя­ние между соседними положениями поршня, при котором наблюдается резонанс на частоте 1700 Гц, составляет 10 см. Определить скорость звука в воздухе. [340 м/с]

19.4. Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при некоторых условиях составляет 461 м/с. Определить скорость распространения звука при тех же условиях. [315 м/с]

19.5. Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного приемника и подает звуковой сигнал. Приемник воспринимает скачок частоты Dn = 54 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определить частоту тона звукового сигнала гудка поезда. [611 Гц]

Глава 20 Электромагнитные волны

§ 161. Экспериментальное получение электромагнитных волн

Существованиеэлектромагнитных волн — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью, — вытекает из уравнений Максвелла (см. § 139). Уравнения Максвелла сформулированы в 1865 г. на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Как уже указы­валось, решающую роль для утверждения максвелловской теории сыграли опыты Герца (1888), доказавшие, что электрические и магнитные поля действительно рас­пространяются в виде воли, поведение которых полностью описывается уравнениями Максвелла.

Источником электромагнитных волн в действительности может быть любой элект­рический колебательный контур ила проводник, по которому течет переменный элект­рический ток, таккак для возбуждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменное электрическое поле (ток смещения) или соответственно переменное магнитное поле. Однако излучающая способность источника определяется его формой, размерами и частотой колебаний. Чтобы излучение играло заметную роль, необходимо увеличить объем пространства, в котором переменное электромаг­нитное поле создается. Поэтому для получения электромагнитных волн непригодны закрытые колебательные контуры, так как в них электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное — внутри катушки индуктивности.

Герц в своих опытах, уменьшая число витков катушки и площадь пластин конден­сатора, а также раздвигая их (рис. 225, а, б), совершил переход от закрытого колеба­тельного контуракоткрытому колебательному контуру (вибратору Герца), представ­ляющему собой два стрежня, разделенных искровым промежутком (рис. 225, в). Если в закрытом колебательном контуре переменное электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора (рис. 225, а), то в открытом оно заполняет окружающее контур пространство (рис. 255, в), что существенно повышает интенсивность электромагнит­ного излучения. Колебания в такой системе поддерживаются за счет источника э.д.с., подключенного к обкладкам конденсатора, а искровой промежуток применяется для того, чтобы увеличить разность потенциалов, до которой первоначально заряжаются обкладки.

Для возбуждения электромагнитных воли вибратор Герца В подключался к индуктору И (рис. 226). Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробивного значения, возникала искра, закорачивающая обе половины вибратора, и в нем воз­никали свободные затухающие колебания. При исчезновении искры контур размыкался и колебания прекращались. Затем индуктор снова заряжал конденсатор, возникала искра и в контуре опять наблюдались колебания и т. д. Для регистрации электромаг­нитных воли Герц пользовался вторым вибратором, называемым резонатором Р, имеющим такую же частоту собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т. е. настроенным в резонанс с вибратором. Когда электромагнитные волны достигали резонатора, то в его зазоре проскакивала электрическая искра.

С помощью описанного вибратора Герц экспериментировал с электромагнитными волнами, длина волны которых составляла примерно 3 м. П. Н. Лебедев, применяя миниатюрный вибратор из тонких платиновых стерженьков, получил миллиметровые электромагнитные волны с l = 6 – 4 мм. Дальнейшее развитие методики эксперимен­та в этом направлении позволило в 1923 г. российскому физику А. А. Глаголе­вой-Аркадьевой (1884—1945) сконструировать массовый излучатель, в котором корот­кие электромагнитные волны, возбуждаемые колебаниями электрических зарядов в атомах и молекулах, генерировались с помощью искр, проскакиваемых между металлическими опилками, взвешенными в масле. Так были получены волны с l от 50 мм до 80 мкм. Тем самым было доказано существование волн, перекрывающих интервал между радиоволнами и инфракрасным излучением.

Недостатком вибраторов Герца и Лебедева и массового излучателя Глаголе­вой-Аркадьевой являлось то, что свободные колебания в них быстро затухали и об­ладали малой мощностью. Для получения незатухающих колебаний необходимо со­здать автоколебательную систему (см. § 146), которая обеспечивала бы подачу энергии с частотой, равной частоте собственных колебаний контура. Поэтому в 20-х годах нашего столетия перешли к генерированию электромагнитных волн с помощью элект­ронных ламп. Ламповые генераторы позволяют получать колебания заданной (прак­тически любой) мощности и синусоидальной формы.

Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (или длин волн l=c/n, где с — скорость электромагнитных волн в вакууме), отличаются друг от друга по способам их генерации и регистрации, а также по своим свойствам. Поэтому электромагнитные волны делятся на несколько видов: радиоволны, световые волны, рентгеновское и g-излучения (табл.5). Следует отметить, что границы между различ­ными видами электромагнитных волн довольно условны.

Таблица 5

Продолжение табл. 5

§ 162. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

Как уже указывалось (см. § 161), одним из важнейших следствий уравнений Максвелла (см. § 139) является существование электромагнитных воли. Можно показать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа (154.9):

(162.1)

(162.2)

где — оператор Лапласа, v — фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описывает некото­рую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных воли определяет­ся выражением

(162.3)

где с = , и — соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при e=1 и m=l) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как em > 1, то скорость распространения электромагнит­ных воли в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (162.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость e и m от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (162.3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представ­ляет собой электромагнитные волны.

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: век­торы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотография» плоской электро­магнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости рас­пространения волны, причем векторы Е, Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Н все­гда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 227), причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением

(162.4)

Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обраща­ются в нуль и т. д. От уравнений (162.1) и (162.2) можно перейти к уравнениям

(162.5)

(162.6)

где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей y и z.

Уравнениям (162.5) и (162.6) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

(162.7)

(162.8)

где E₀ и Н₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей волны, w — круговая частота волны, k=w/v — волновое число, j — на­чальные фазы колебаний в точках с координатой х=0. В уравнениях (162.7) и (162.8) j одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромаг­нитной волне происходят в одинаковых фазах.

§ 163. Энергия электромагнитных волн. Импульс электромагнитного поля

Возможность обнаружения электромагнитных воли указывает на то, что они переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей w_эл (см. (95.8)) и w_м, (см. (130.3)) электрического и магнитного полей:

Учитывая выражение (162.4), получим, что плотности энергии электрического и маг­нитного полей в каждый момент времени одинаковы, т. е. w_эл = w_м. Поэтому

Умножив плотность энергии w на скорость v распространения волны в среде (см. (162.3)), получим модуль плотности потока энергии:

Tax как векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [ЕН] совпада­ет с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН.Вектор плотности потока электромагнитной энергии называетсявектором Умова — Пойнтинга:

Вектор S направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Г. Герца), то из теории Максвелла следует, что электромаг­нитные волны должны оказывать на тела давление. Давление электромагнитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля волны действию сил Лоренца. Однако значение этого давления ничтожно мало. Можно оценить, что при средней мощности солнечного излучения, приходящего на Землю, давление для абсолютно поглощающей поверхности составляет примерно 5 мкПа. В исключительно тонких экспериментах, ставших классическими, П. Н. Лебе­дев в 1899 г. доказал существование светового давления на твердые тела, а в 1910 г. — на газы. Опыты Лебедева имели огромное значение для утверждения выводов теории Максвелла о том, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Существование давления электромагнитных воли приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс. Импульс электрома­гнитного поля

где W — энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как р=тс (поле в ваку­уме распространяется со скоростью с), получим р=тс= W/c, откуда

(163.1)

Это соотношение между массой и энергией электромагнитного поля является универ­сальным законом природы (см. также § 40). Согласно специальной теории относитель­ности, выражение (163.1) имеет общее значение и справедливо для любых тел независи­мо от их внутреннего строения.

Таким образом, рассмотренные свойства электромагнитных волн, определяемые теорией Максвелла, полностью подтверждаются опытами Герца, Лебедева и выводами специальной теории относительности, сыгравшими решающую роль для подтвержде­ния и быстрого признания этой теории.

§ 164. Излучение диполя. Применение электромагнитных волн

Простейшим излучателем электромагнитных волн является электрический диполь, электрический момент которого изменяется во времени по гармоническому закону

где р₀ — амплитуда вектора р. Примером подобного диполя может служить система, состоящая из покоящегося положительного заряда +Q и отрицательного заряда –Q, гармонически колеблющегося вдоль направления р с частотой w.

Задача об излучении диполя имеет в теории излучающих систем важное значение, так как всякую реальную излучающую систему (например, антенну) можно рассчиты­вать рассматривая излучение диполя. Кроме того, многие вопросы взаимодействия излучения с веществом можно объяснить на основе классической теории, рассматривая атомы как системы зарядов, в которых электроны совершают гармонические колеба­ния около их положений равновесия.

Характер электромагнитного поля диполя зависит от выбора рассматриваемой точки. Особый интерес представляет так называемая волновая зона диполя — точки пространства, отстоящие от диполя на расстояниях r, значительно превышающих длину волны (r>>l), — так как в ней картина электромагнитного поля диполя сильно упрощается. Это связано с тем, что в волновой зоне диполя практически остаются только «отпочковавшиеся» от диполя, свободно распространяющиеся поля, в то время как поля, колеблющиеся вместе с диполем и имеющие более сложную структуру, сосредоточены в области расстояний r < l.

Если волна распространяется в однородной изотропной среде, то время прохожде­ния волны до точек, удаленных от диполя на расстояние r, одинаково. Поэтому во всех точках сферы, центр которой совпадает с диполем, фаза колебаний одинакова, т. е. в волновой зоне волновой фронт будет сферическим и, следовательно, волна, излуча­емая диполем, есть сферическая волна.

В каждой точке векторы Е и Н колеблются по закону cos(wt—kr), амплитуды этих векторов пропорциональны (1/r) sinq (для вакуума), т. е. зависят от расстояния r до излучателя и угла q между направлением радиуса-вектора и осью диполя. Отсюда следует, что интенсивность излучения диполя в волновой зоне

(164.1)

Зависимость (164.1) I от q при заданном значении r, приводимая в полярных коор­динатах (рис. 228), называется диаграммой направленности излучения диполя. Как видно из выражения (164.1) и приведенной диаграммы, диполь сильнее всего излучает в на­правлениях, перпендикулярных его оси (q = p/2). Вдоль своей оси (q =0 и q =p) диполь не излучает вообще. Диаграмма направленности излучения диполя позволяет фор­мировать излучение с определенными характеристиками и используется при констру­ировании антенн.

Впервые электромагнитные волны были использованы через семь лет после опытов Герца. 7 мая 1895 г. преподаватель физики офицерских минных классов А. С. Попов (1859—1906) на заседании Русского физико-химического общества продемонстрировал первый в мире радиоприемник, открывший возможность практического использования электромагнитных волн для беспроволочной связи, преобразившей жизнь человечест­ва. Первая переданная в мире радиограмма содержала лишь два слова: «Генрих Герц». Изобретение радио Поповым сыграло огромную роль для распространения и развития теории Максвелла.

Электромагнитные волны сантиметрового и миллиметрового диапазонов, встречая на своем пути преграды, отражаются от них. Это явление лежит в основе радиолока­ции — обнаружения предметов (например, самолетов, кораблей и т. д.) на больших расстояниях и точного определения их положения. Помимо этого, методы радиолока­ции используются для наблюдения прохождения и образования облаков, движения метеоритов в верхних слоях атмосферы и т. д.

Для электромагнитных волн характерно явление дифракции — огибания волнами различных препятствий. Именно благодаря дифракции радиоволн возможна устой­чивая радиосвязь между удаленными пунктами, разделенными между собой выпук­лостью Земли. Длинные волны (сотни и тысячи метров) применяются в фототеле­графии, короткие волны (несколько метров и меньше) применяются в телевидении для передачи изображений на небольшие расстояния (немногим больше пределов прямой видимости). Электромагнитные волны используются также в радиогеодезии для очень точного определения расстояний с помощью радиосигналов, в радиоастрономии для исследования радиоизлучения небесных тел и т. д. Полное описание применения электромагнитных волн дать практически невозможно, так как нет областей науки и техники, где бы они не использовались.

Задачи

20.1. Электромагнитная волна с частотой 4 МГц переходит из немагнитной среды с диэлект­рической проницаемостью e =3 в вакуум. Определить приращение ее длины волны. [31,7 м]

20.2. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, а другие индуктивно соединены с генератором электромагнитных колебаний, погружены в спирт. При соответ­ствующем подборе частоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя узлами стоячих волн на проводах равно 0,5 м. Принимая диэлектрическую проницаемость спирта e = 26, а его магнитную проницаемость m =1, определить частоту колебаний генератора. [58,8 МГц]

20.3. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 18,8 В/м. Определить интенсив­ность волны, т.е. среднюю энергию, приходящуюся за единицу времени на единицу площади, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны. [0,47 Вт/м²]

 

5 ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ

Глава 21 Элементы геометрической и электронной оптики

§ 165. Основные законы оптики. Полное отражение

Еще до установления природы света были известны следующие основные законы оптики: закон прямолинейного распространения света в оптически однородной среде; закон независимости световых пучков (справедлив только в линейной оптике); закон отражения света; закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно.

Доказательством этого закона является наличие тени с резкими границами от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света (источники, размеры которых значительно меньше освещаемого предмета и расстояния до него). Тщательные эксперименты показали, однако, что этот закон нарушается, если свет проходит сквозь очень малые отверстия, причем отклонение от прямолинейности распространения тем больше, чем меньше отверстия.

Закон независимости световых пучков: эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диа­фрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.

Если свет падает на границу раздела двух сред (двух прозрачных веществ), то падающий луч I (рис. 229) разделяется на два — отраженный II и преломленный III, направления которых задаются законами отражения и преломления.

Закон отражения: отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; угол i'₁ отражения равен углу i₁ падения:

Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведен­ный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред:

(165.1)

где n₂₁ —относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Индексы в обозначениях углов i₁, i'₁, i₂ указывают, в какой среде (первой или второй) идет луч.

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолют­ных показателей преломления:

(165.2)

Абсолютным показателем преломлениясреды называется величина n, равная от­ношению скорости c электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости v в среде:

(165.3)

Сравнение с формулой (162.3) дает, что , где e и m — соответственно электри­ческая и магнитная проницаемости среды. Учитывая (165.2), закон преломления (165.1) можно записать в виде

(165.4)

Из симметрии выражения (165.4) вытекает обратимость световых лучей. Если обратить луч III (рис.229), заставив его падать на границу раздела под углом i₂, то преломлен­ный луч в первой среде будет распространяться под углом i₁, т. е. пойдет в обратном направлении вдоль луча I.

Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления n₁ (оп­тически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления n₂ (оптически менее плотную) (n₁>n₂), например из стекла в воду, то, согласно (165.4),

Отсюда следует, что преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления i₂ больше,чем угол падения i₁ (рис. 230, а). С увеличением угла падения увеличивается угол преломления (рис. 230, б, в) до тех пор, пока при некотором угле падения (i₁= i_пр) угол преломления не окажется равным p/2. Угол i_пр называетсяпредельным углом. При углах падения i₁> i_пр весь падающий свет полностью отражается (рис. 230, г).

По мере приближения угла падения к предельному интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного — растет (рис. 230, а—в). Если i₁=i_пр, то интенсив­ность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего (рис. 230, г). Таким образом, при углах падения в пределах от i_пр до p/2 луч не преломляется, а полностью отражается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы. Это явление называется полным отражением.

Предельный угол i_пр определим из формулы (165.4) при подстановке в нее i₂=p/2.

Тогда

(165.5)

Уравнение (165.5) удовлетворяет значениям угла i_пр при n₂ £ n₁. Следовательно, явление полного отражения имеет место только при падении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.

Явление полного отражения используется в призмах полного отражения Показатель прелом­ления стекла равен n »1,5, поэтому предельный угол для границы стекло — воздух равен i_пр=arcsin(1/1,5)=42°. Поэтому при падении света на границу стекло—воздух при i > 42° всегда будет иметь место полное отражение. На рис. 231, а—в показаны призмы полного отражения, позволяющие: а) повернуть луч на 90°; б) повернуть изображение; в) обернуть лучи. Такие призмы применяются в оптических приборах (например, в биноклях, перископах), а также в рефрактометрах, позволяющих определять показатели преломления тел (по закону преломле­ния, измеряя i_пр, находим относительный показатель преломления двух сред, а также абсолютный показатель преломления одной из сред, если показатель преломления другой среды известен).

Явление полного отражения используется также в световодах (светопроводах), представля­ющих собой тонкие, произвольным образом изогнутые нити (волокна) из оптически прозрачного материала. В волоконных деталях применяют стеклянное волокно, световедущая жила (сердцеви­на) которого окружается стеклом — оболочкой из другого стекла с меньшим показателем прело­мления. Свет, падающий на торец световода под углами, большими предельного, претерпевает на поверхности раздела сердцевины и оболочки полное отражение н распространяется только по световедущей жиле.

Таким образом, с помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Диаметр световедущих жил лежит в пределах от нескольких микрометров до нескольких мил­лиметров. Для передачи изображений, как правило, применяются многожильные световоды. Вопросы передачи световых волн и изображений изучаются в специальном разделе опти­ки — волоконной оптике, возникшей в 50-е годы XX столетия. Световоды используются в элект­ронно-лучевых трубках, в электронно-счетных машинах, для кодирования информации, в медици­не (например, диагностика желудка), для целей интегральной оптики и т. д.

§ 166. Тонкие линзы. Изображение предметов с помощью линз

Раздел оптики, в котором законы распространения света рассматриваются на основе представления о световых лучах, называется геометрической оптикой. Под световыми лучами понимают нормальные к волновым поверхностям линии, вдоль которых рас­пространяется поток световой энергии. Геометрическая оптика, оставаясь приближен­ным методом построения изображений в оптических системах, позволяет разобрать основные явления, связанные с прохождением через них света, и является поэтому основой теории оптических приборов.

Линзы представляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя поверхностями (одна из них обычно сферическая, иногда цилиндрическая, а вторая — сферическая или плоская), преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изоб­ражения предметов. Материалом для линз служат стекло, кварц, кристаллы, пластмас­сы и т. п. По внешней форме (рис. 232) линзы делятся на: 1) двояковыпуклые; 2) плосковыпуклые; 3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6) вогнуто-выпуклые. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и рассеивающие.

Линза называетсятонкой, если ее толщина (расстояние между ограничивающими поверхностями) значительно меньше по сравнению с радиусами поверхностей, ограни­чивающих линзу. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называетсяглавной оптической осью. Для всякой линзы существует точка, называемая оптическим центром линзы, лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи проходят сквозь нее не преломляясь. Оптический центр О линзы для простоты будем считать совпадающим с геометрическим центром средней части линзы (это справедливо только для двояковыпуклой и двояковогнутой линз с оди­наковыми радиусами кривизны обеих поверхностей; для плосковыпуклых и плосковогнутых линз оптический центр О лежит на пересечении главной оптической оси со сферической поверхностью).

Для вывода формулы тонкой линзы — соотношения, связывающего радиусы кри­визны R₁ и R₂ поверхностей линзы с расстояниями а и b от линзы до предмета и его изображения, — воспользуемся принципом Ферма,* или принципом наименьшего вре­мени: действительный путь распространения света (траектория светового луча) есть путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с любым другим мыслимым путем между теми же точками.

* П. Ферма (1601—1665) — французский математик и физик.

 

Рассмотрим два световых луча (рис. 233) — луч, соединяющий точки А и В (луч АОВ), и луч, проходящий через край линзы (луч АСВ), — воспользовавшись условием равенства времени прохождения света вдоль АОВ и АСВ. Время прохождения света вдоль АОВ

где N = n/n₁ — относительный показатель преломления (п и n₁ — соответственно аб­солютные показатели преломления линзы и окружающей среды). Время прохождения света вдоль АСВ равно

Так как t₁= t₂, то

(166.1)

Рассмотрим параксиальные (приосевые) лучи, т. е. лучи, образующие с оптической осью малые углы. Только при использовании параксиальных лучей получается стиг­матическое изображение, т. е. все лучи параксиального пучка, исходящего из точки А, пересекают оптическую ось в одной и той же точке В. Тогда h<<(a+e), h<<(b+d) и

Аналогично,

Подставив найденные выражения в (166.1), получим

(166.2)

Для тонкой линзы е<<а и d<<b, поэтому (166.2) можно представить в виде

Учитывая, чтои соответственно d=h²/(2R₁), получим

(166.3)

Выражение (166.3) представляет собой формулу тонкой линзы. Радиус кривизны выпук­лой поверхности линзы считается положительным, вогнутой — отрицательным.

Если а=¥, т. е. лучи падают на линзу параллельным пучком (рис. 234, а), то

Соответствующее этому случаю расстояние b=OF=f называетсяфокусным расстоянием линзы, определяемым по формуле

Оно зависит от относительного показателя преломления и радиусов кривизны.

Если b=¥, т. е. изображение находится в бесконечности и, следовательно, лучи выходят из линзы параллельным пучком (рис. 234, б), то a=OF=f. Таким образом, фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих сторон одинаковой средой, равны. Точки F, лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называют­ся фокусами линзы. Фокус — это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.

Величина

(166.4)

называетсяоптической силой линзы. Ее единица — диоптрия (дптр). Диоптрия — оп­тическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м: 1 дптр = 1/м.

Линзы с положительной оптической силой являются собирающими, с отрицатель­ной — рассевающими. Плоскости, проходящие через фокусы линзы перпендикулярно ее главной оптической оси, называются фокальными плоскостями. В отличие от собира­ющей рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые продолжения лучей, падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси (рис. 235).

Учитывая (166.4), формулу линзы (166.3) можно записать в виде

Для рассеивающей линзы расстояния f и b надо считать отрицательными.

Построение изображения предмета в линзах осуществляется с помощью следу­ющих лучей:

1) луча, проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего направления;

2) луча, идущего параллельно главной оптической оси; после преломления в линзе этот луч (или его продолжение) проходит через второй фокус линзы;

3) луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы; после преломления в ней он выходит из линзы параллельно ее главной оптической оси.

Для примера приведены построения изображений в собирающей (рис. 236) и в рас­сеивающей (рис. 237) линзах: действительное (рис. 236, а) и мнимое (рис. 236, б) изображения — в собирающей линзе, мнимое — в рассеивающей.

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным увеличением линзы. Отрицательным значениям линейного увеличения соответствует действительное изображение (оно перевернутое), положительным — мнимое изобра­жение (оно прямое). Комбинации собирающих и рассеивающих линз применяются в оптических приборах, используемых для решения различных научных и технических задач.

 

§ 187. Аберрации (погрешности) оптических систем

Рассматривая прохождение света через тонкие линзы, мы ограничивались паракси­альными лучами (см. § 166). Показатель преломления материала линзы считали не зависящим от длины волны падающего света, а падающий свет — монохромати­ческим. Так как в реальных оптических системах эти условия не выполняются, то в них возникают искажения изображения, называемые аберрация» (или погреш­ностями).

1. Сферическая аберрация. Если расходящийся пучок света падает на линзу, то параксиальные лучи после преломления пересекаются в точке S' (на расстоянии OS' от оптического центра линзы), а лучи, более удаленные от оптической оси, — в точке S", ближе к линзе (рис. 238). В результате изображение светящейся точки на экране, перпендикулярном оптической оси, будет в виде расплывчатого пятна. Этот вид погрешности, связанный со сферичностью преломляющих поверхностей, называется сферической аберрацией. Количественной мерой сферической аберрации является от­резок d = OS'' – OS'. Применяя диафрагмы (ограничиваясь параксиальными лучами), можно сферическую аберрацию уменьшить, однако при этом уменьшается светосила линзы. Сферическую аберрацию можно практически устранить, составляя системы из собирающих (d <0) и рассеивающих (d >0) линз. Сферическая аберрация является частным случаем астигматизма.

2. Кома. Если через оптическую систему проходит широкий пучок от светящейся точки, расположенной не на оптической оси, то получаемое изображение этой точки будет в виде освещенного пятнышка, напоминающего кометный хвост. Такая погреш­ность называется поэтому комой. Устранение комы производится теми же приемами, что и сферической аберрации.

3. Дисторсия. Погрешность, при которой при больших углах падения лучей на линзу линейное увеличение для точек предмета, находящихся на разных расстояниях от главной оптической оси, несколько различается, называется дисторсией. В результате нарушается геометрическое подобие между предметом (прямоугольная сетка, рис. 239, а) и его изображением (рис. 239, б — подушкообразная дисторсия, рис. 239, в — бочкообразная дисторсия). Дисторсия особенно опасна в тех случаях, когда оптические системы применяются для съемок, например при аэрофотосъемке, в микро­скопии и т.д. Дисторсию исправляют соответствующим подбором составляющих частей оптической системы.

4. Хроматическая аберрация. До сих пор мы предполагали, что коэффициенты преломления оптической системы постоянны. Однако это утверждение справедливо лишь для освещения оптической системы монохроматическим светом (l = const); при сложном составе света необходимо учитывать зависимость коэффициента преломления вещества линзы (и окружающей среды, если это не воздух) от длины волны (явление дисперсии). При падении на оптическую систему белого света отдельные составляющие его монохроматические лучи фокусируются в разных точках (наибольшее фокусное расстояние имеют красные лучи, наименьшее — фиолетовые), поэтому изображение размыто и по краям окрашено. Это явление называется хроматической аберрацией. Так как разные сорта стекол обладают различной дисперсией, то, комбинируя собира­ющие и рассеивающие линзы из различных стекол, можно совместить фокусы двух (ахроматы) и трех (апохроматы) различных цветов, устранив тем самым хроматичес­кую аберрацию. Системы, исправленные на сферическую и хроматическую аберрации, называются апланатами.

5. Астигматизм. Погрешность, обусловленная неодинаковостью кривизны оптичес­кой поверхности в разных плоскостях сечения падающего на нее светового пучка, называется астигматизмом. Так, изображение точки, удаленной от главной оптической оси, наблюдается на экране в виде расплывчатого пятна эллиптической формы. Это пятно в зависимости от расстояния экрана до оптического центра линзы вырождается либо в вертикальную, либо в горизонтальную прямую. Астигматизм исправляется подбором радиусов кривизны преломляющих поверхностей и их фокусных расстояний. Системы, исправленные на сферическую и хроматическую аберрации и астигматизм, называются анастигматами.

Устранение аберраций возможно лишь подбором специально рассчитанных слож­ных оптических систем. Одновременное исправление всех погрешностей—задача крайне сложная, а иногда даже неразрешимая. Поэтому обычно устраняются полно­стью лишь те погрешности, которые в том или ином случае особенно вредны.

§ 168. Основные фотометрические величины и их единицы

Фотометрия — раздел оптики, занимающийся вопросами измерения интенсивности света и его источников. В фотометрии используются следующие величины:

1) энергетические — характеризуют энергетические параметры оптического излуче­ния безотносительно к его действию на приемники излучения;

2) световые — характеризуют физиологические действия света и оцениваются по воздействию на глаз (исходят из так называемой средней чувствительности глаза) или другие приемники излучения.

1. Энергетические величины. Поток излучения Ф_е — величина, равная отношению энергии W излучения ко времени t, за которое излучение произошло:

Единица потока излучения — ватт (Вт).

Энергетическая светимость (излучательность) R_e — величина, равная отношению потока излучения Ф_e, испускаемого поверхностью, к площади S сечения, сквозь которое этот поток проходит:

т. е. представляет собой поверхностную плотность потока излучения.

Единица энергетической светимости —ватт на метр в квадрате (Вт/м²).

Энергетическая сила света (сила излучения) I_e определяется с помощью понятия о точечном источнике света — источнике, размерами которого по сравнению с рассто­янием до места наблюдения можно пренебречь. Энергетическая сила света I_e — величина, равная отношению потока излучения Ф_e источника к телесному углу w, в пределах которого это излучение распространяется:

Единица энергетической силы света — ватт на стерадиан (Вт/ср).

Энергетическая яркость (лучистость) B_e — величина, равная отношению энергети­ческой силы света DI_e, элемента излучающей поверхности к площади DS проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную направлению наблюдения:

Единица энергетической яркости —ватт на стерадиан-метр в квадрате (Вт/(ср × м²)).

Энергетическая освещенность (облученность) Е_е характеризует величину потока из­лучения, падающего на единицу освещаемой поверхности. Единица энергетической освещенности совпадает с единицей энергетической светимости (Вт/м²).

2. Световые величины. При оптических измерениях используются различные при­емники излучения (например, глаз, фотоэлементы, фотоумножители), которые не об­ладают одинаковой чувствительностью к энергии различных длин волн, являясь, таким образом,селективными (избирательными). Каждый приемник излучения характеризует­ся своей кривой чувствительности к свету различных длин волн. Поэтому световые измерения, являясь субъективными, отличаются от объективных, энергетических и для них вводятся световые единицы, используемые только для видимого света. Основной световой единицей в СИ является единица силы света —кандела (кд), определение которой дано выше (см. Введение). Определение световых единиц аналогично энергетическим.

Световой поток Ф определяется как мощность оптического излучения по вызыва­емому им световому ощущению (по его действию на селективный приемник света с заданной спектральной чувствительностью).

Единица светового потока —люмен (лм): 1 лм — световой поток, испускаемый точечным источником силой света в 1 кд внутри телесного угла в 1 ср (при равномер­ности поля излучения внутри телесного угла) (1 лм = 1 кд × ср).

Светимость R определяется соотношением

Единица светимости —люмен на метр в квадрате (лм/м²).

Яркость В_j светящейся поверхности в некотором направлении j есть величина, равная отношению силы света I в этом направлении к площади S проекции светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную данному направлению:

Единица яркости —кандела на метр в квадрате (кд/м²).

Освещенность Е — величина, равная отношению светового потока Ф, падающего на поверхность, к площади S этой поверхности:

Единила освещенности —люкс (лк): 1 лк — освещенность поверхности, на 1 м² которой падает световой поток в 1 лм (1 лк= 1 лм/м²).

§ 189. Элементы электронной оптики

Область физики и техники, в которой изучаются вопросы формирования, фокусировки и отклонения пучков заряженных частиц и получения с их помощью изображений под действием электрических и магнитных полей в вакууме, называется электронной оптикой. Комбинируя различные электронно-оптические элементы — электронные линзы, зеркала, призмы, — создают электронно-оптические приборы, например электрон­но-лучевую трубку, электронный микроскоп, электронно-оптический преобразователь.

1. Электронные линзы представляют собой устройства, с помощью электрических и магнитных полей которых формируются и фокусируются пучки заряженных частиц. Существуют электростатические и магнитные линзы. В качестве электростатической линзы может быть использовано электрическое поле с вогнутыми и выпуклыми эквипотенциальными поверхностями, например в системах металлических электродов и диафрагм, обладающих осевой симметрией. На рис. 240 изображена простейшая собирающая электростатическая линза, где А — точка предмета, В — ее изображение, пунктиром изображены линии напряженности поля.

Магнитная линза обычно представляет собой соленоид с сильным магнитным полем, коаксиальным пучку электронов. Чтобы магнитное поле сконцентрировать на оси симметрии, соленоид помещают в железный кожух с узким внутренним кольцевым разрезом.

Если расходящийся пучок заряженных частиц попадает в однородное магнитное поле, направ­ленное вдоль оси пучка, то скорость каждой частицы можно разложить на два компонента: поперечный и продольный. Первый из них определит равномерное движение по окружности в плоскости, перпендикулярной направлению поля (см. § 115), второй — равномерное прямолинейное движение вдоль поля. Результирующее движение частицы будет происходить по спирали, ось которой совпадает с направлением поля. Для электронов, испускаемых под различными углами, нормальные составляющие скоростей будут различны, т. е. будут различны и радиусы описываемых ими спиралей. Однако отношение нормальных составляющих скорости к радиусам спиралей за период вращения (см. § 115) будет для всех электронов одинаково; следовательно, через один оборот все электроны сфокусируются в одной и той же точке на оси магнитной линзы.

«Преломление» электростатических и магнитных линз зависит от их фокусных расстояний, которые определяются устройством линзы, скоростью электронов, раз­ностью потенциалов, приложенной к электродам (электростатическая линза), и индук­цией магнитного поля (магнитная линза). Изменяя разность потенциалов или регули­руя ток в катушке, можно изменить фокусное расстояние линз. Стигматическое изоб­ражение предметов в электронных линзах получается только для параксиальных электронных пучков. Как и в оптических системах (см. § 167), в электронно-оптических элементах также имеют место погрешности: сферическая аберрация, кома, дисторсия, астигматизм. При разбросе скоростей электронов в пучке наблюдается также и хрома­тическая аберрация. Аберрации ухудшают разрешающую способность и качество изображения, а поэтому в каждом конкретном случае необходимо их устранять.

Электронный микроскоп —устройство, предназначенное для получения изображения микрообъектов; в нем в отличие от оптического микроскопа вместо световых лучей используют ускоренные до больших энергий (30—100 кэВ и более) в условиях глубокого вакуума (примерно 0,1 мПа) электронные пучки, а вместо обычных линз — электронные линзы. В электронных микроскопах предметы рассматриваются либо в проходящем, либо в отраженном потоке электронов, поэтому различают просвечивающие и отражательные электронные микроскопы.

На рис. 241 приведена принципиальная схема просвечивающего электронного микроскопа. Электронный пучок, формируемый электронной пушкой 1, попадает в область действия конденсорной линзы 2, которая фокусирует на объекте 3 элект­ронный пучок необходимого сечения и интенсивности. Пройдя объект и испытав в нем отклонения, электроны проходят вторую магнитную линзу — объектив 4 — и собира­ются ею в промежуточное изображение 5. Затем с помощью проекционной линзы 6 на флуоресцирующем экране достигается окончательное изображение 7.

Разрешающая способность электронного микроскопа ограничивается, с одной сто­роны, волновыми свойствами (дифракцией) электронов, с другой — аберрациями элек­тронных линз. Согласно теории, разрешающая способность микроскопа пропорци­ональна длине волны, а так как длина волны применяемых электронных пучков (примерно 1 пм) в тысячи раз меньше длины волны световых лучей, то разрешение электронных микроскопов соответственно больше и составляет 0,01 — 0,0001 мкм (для оптических микроскопов приблизительно равно 0,2 — 0,3 мкм). С помощью электронных микроскопов можно добиться значительно больших увеличений (до 10⁶ раз), что позволяет наблюдать детали структур размерами 0,1 нм.

3. Электронно-оптический преобразователь — это устройство, предназначенное для усиления яркости светового изображения и преобразования невидимого глазом изоб­ражения объекта (например, в инфракрасных или ультрафиолетовых лучах) в видимое. Схема простейшего электронно-оптического преобразователя приведена на рис. 242. Изображение предмета А с помощью оптической линзы 1 проецируется на фото­катод 2. Излучение от объекта вызывает с поверхности фотокатода фотоэлектронную эмиссию, пропорциональную распределению яркости проецированного на него изоб­ражения. Фотоэлектроны, ускоренные электрическим полем (3 — ускоряющий элект­род), фокусируются с помощью электронной линзы 4 на флуоресцирующий экран 5, где электронное изображение преобразуется в световое (получается окончательное изоб­ражение А"). Электронная часть преобразователя находится в высоковакуумном сосуде 6.

Из оптики известно, что всякое увеличение изображения связано с уменьшением его освещенности. Достоинство электронно-оптических преобразователей заключается в том, что в них можно получить увеличенное изображение А" даже большей освещен­ности, чем сам предмет А, так как освещенность определяется энергией электронов, создающих изображение на флуоресцирующем экране. Разрешающая способность каскадных (нескольких последовательно соединенных) электронно-оптических преоб­разователей составляет 25—60 штрихов на 1 мм. Коэффициент преобразования — от­ношение излучаемого экраном светового потока к потоку, падающему от объекта на фотокатод, — у каскадных электронно-оптических преобразователей достигает »10⁶. Недостаток этих приборов — малая разрешающая способность и довольно высокий темновой фон, что влияет на качество изображения.

Задачи

21.1. На плоскопараллельную стеклянную пластинку (n =1,5) толщиной 6 см падает под углом 35° луч света. Определить боковое смещение луча, прошедшего сквозь эту пластинку. [1,41 см]

21.2. Необходимо изготовить плосковыпуклую линзу с оптической силой 6 дптр. Определить радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если показатель преломления материала линзы равен 1,6. [10 см]

21.3. Определить, на какую высоту необходимо повесить лампочку мощностью 300 Вт, чтобы освещенность расположенной под ней доски была равна 50 лк. Наклон доски составляет 35°, а световая отдача лампочки равна 15 лм/Вт. Принять, что полный световой поток, испускаемый изотропным точечным источником света, Ф₀ = 4pI. [2,42 м]

Глава 22 Интерференция света

§ 170. Развитие представлений о природе света

Основные законы оптики известны еще с древних веков. Так, Платон (430 г. до н. э.) установил закон прямолинейного распространения и закон отражения света. Аристо­тель (350 г. до н. э.) и Птоломей изучали преломление света. Первые представления о природе света возникли у древних греков и египтян, которые в дальнейшем, по мере изобретения и усовершенствования различных оптических инструментов, например параболических зеркал (XIII в.), фотоаппарата и микроскопа (XVI в.), зрительной трубы (XVII в.), развивались и трансформировались. В конце XVII в. на основе многовекового опыта и развития представлений о свете возниклидве теории света: корпускулярная (И. Ньютон) и волновая (Р. Гук и X. Гюйгенс).

Согласно корпускулярной теории (теории истечения), свет представляет собой поток частиц (корпускул), испускаемых светящимися телами и летящих по прямолиней­ным траекториям. Движение световых корпускул Ньютон подчинил сформулирован­ным им законам механики. Так, отражение света понималось аналогично отражению упругого шарика при ударе о плоскость, где также соблюдается закон равенства углов падения в отражения. Преломление света Ньютон объяснял притяжением корпускул преломляющей средой, в результате чего скорость корпускул меняется при переходе из одной среды в другую. Из теории Ньютона следовало постоянство синуса угла падения i₁ к синусу угла преломления i₂:

(170.1)

где с — скорость распространения света в вакууме, v — скорость распространения света в среде. Так как n в среде всегда больше единицы, то, по теории Ньютона, v>c, т. е. скорость распространения света в среде должна быть всегда больше скоро­сти его распространения в вакууме.

Согласно волновой теории, развитой на основе аналогии оптических и акустических явлений, свет представляет собой упругую волну, распространяющуюся в особой среде — эфире. Эфир заполняет все мировое пространство, пронизывает все тела и обладает механическими свойствами — упругостью и плотностью. Согласно Гюй­генсу, большая скорость распространения света обусловлена особыми свойствами эфира.

Волновая теория основывается на принципе Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих воли дает положе­ние волнового фронта в следующий момент времени. Напомним, что волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Принцип Гюйгенса позволяет анализировать распространение света и вывести законы отражения и преломления.

Выведем законы отражения и преломления света, исходя из принципа Гюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред падает плоская волна (фронт волны — плоскость AВ), распространя­ющаяся вдоль направления I (рис. 243). Когда фронт волны достигнет отражающей поверхности в точке A, эта точка начнет излучать вторичную волну. Для прохождения волной расстояния ВС требуется время Dt=BC/v. За это же время фронт вторичной волны достигнет точек полусферы, радиус AD которой равен vDt=BC. Положение фронта отраженной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление распространения этой волны — лучом II. Из равенства треугольников AВС и ADС вытекает закон отражения: угол отражения i’₁, равен углу падения i₁.

Для вывода закона преломления предположим, что плоская волна (фронт волны — плоскость AВ), распространяющаяся в вакууме вдоль направления I со скоростью света с, падает на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна v (рис. 244). Пусть время прохождения волной пути ВС равно Dt. Тогда BC=cDt. За это же время фронт волны, возбужда­емый точкой A в среде со скоростью v, достигнет точек полусферы, радиус которой AD=vDt. Положение фронта преломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление ее распространения — лучом III. Из рис. 244 следует, что AC=BC/sini₁=AD/sini₂, т. е. cDt/sini₁=vDt/sini₂c, откуда

(170.2)

Сравнивая выражения (170.2) и (170.1), видим, что волновая теория приводит к выводу, отличному от вывода теории Ньютона. По теории Гюйгенса, v<c, т. е. скорость распространения света в среде должна быть всегда меньше скорости его распространения в вакууме.

Таким образом, к началу XVIII в. существовало два противоположных подхода к объяснению природы света: корпускулярная теория Ньютона и волновая теория Гюйгенса. Обе эти теории объясняли прямолинейное распространение света, законы отражения и преломления. XVIII век стал веком борьбы этих теорий. Эксперименталь­ное доказательство справедливости волновой теории было получено в 1851 г., когда Э. Фуко (и независимо от него А. Физо) измерил скорость распространения света в воде и получил значение, соответствующее формуле (170.2). К началу XIX столетия корпускулярная теория была полностью отвергнута и восторжествовала волновая теория. Большая заслуга в этом отношении принадлежит английскому физику Т. Юнгу, исследовавшему явления дифракции и интерференции, и французскому физи­ку О. Френелю (1788—1827), дополнившему принцип Гюйгенса и объяснившему эти явления.

Несмотря на признание волновой теории, она обладала целым рядом недостатков. Например, явления интерференции, дифракции и поляризации могли быть объяснены только в том случае, если световые волны считать поперечными. С другой стороны, если световые волны — поперечные, то их носитель — эфир — должен обладать свой­ствами твердых тел. Попытка же наделить эфир свойствами твердого тела успеха не имела, так как эфир не оказывает заметного воздействия на движущиеся в нем тела. Далее эксперименты показали, что скорость распространения света в разных средах различна, поэтому эфир должен обладать в разных средах различными свойствами. Теория Гюйгенса не могла объяснить также физической природы наличия разных цветов.

Наука о свете накапливала экспериментальные данные, свидетельствующие о взаимосвязи световых, электрических и магнитных явлений, что позволило Максвеллу в 70-х годах прошлого столетия создать электромагнитную теорию света (см. § 139). Согласно электромагнитной теории Максвелла (см. (162.3)),

где с и v — соответственно скорости распространения света в вакууме и в среде с диэлектрической проницаемостью e и магнитной проницаемостью m. Это соотноше­ние связывает оптические, электрические и магнитные постоянные вещества. По Макс­веллу, e и m — величины, не зависящие от длины волны света, поэтому электромагнит­ная теория не могла объяснить явление дисперсии (зависимость показателя преломле­ния от длины волны). Эта трудность была преодолена в конце XIXв. Лоренцем, предложившим электронную теорию, согласно которой диэлектрическая проницае­мость e зависит от длины волны падающего света. Теория Лоренца ввела представле­ние об электронах, колеблющихся внутри атома, и позволила объяснить явления испускания и поглощения света веществом.

Несмотря на огромные успехи электромагнитной теории Максвелла и электронной теории Лоренца, они были несколько противоречивы и при их применении встречался ряд затруднений. Обе теории основывались на гипотезе об эфире, только «упругий эфир» был заменен «эфиром электромагнитным» (теория Максвелла) или «неподвижным эфиром» (теория Лоренца). Теория Максвелла не смогла объ­яснить процессов испускания и поглощения света, фотоэлектрического эффекта, комптоновского рассеяния и т. д. Теория Лоренца, в свою очередь, не смогла объяснить многие явления, связанные с взаимодействием света с веществом, в ча­стности вопрос о распределении энергии по длинам волн при тепловом излучении черного тела.

Перечисленные затруднения и противоречия были преодолены благодаря смелой гипотезе (1900) немецкого физика М. Планка (1858—1947), согласно которой излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а дискретно, т. е. определенными порциями (квантами), энергия которых определяется частотой n:

(170.3)

где h — постоянная Планка.

Теория Планка не нуждалась в понятии об эфире. Она объяснила тепловое излуче­ние черного тела. Эйнштейн в 1905 г. создал квантовую теорию света, согласно которой не только излучение света, но и его распространение происходит в виде потока световых квантов — фотонов, энергия которых определяется соотношением (170.3), а масса

(170.4)

Квантовые представления о свете хорошо согласуются с законами излучения и поглощения света, законами взаимодействия света с веществом. Однако как с помо­щью этих представлений объяснить такие хорошо изученные явления, как интерферен­ция, дифракция и поляризация света? Эти явления легко объясняются на основе волновых представлений. Все многообразие изученных свойств и законов распрост­ранения света, его взаимодействия с веществом показывает, что свет имеет сложную природу. Он представляет собой единство противоположных видов движения — корпускулярного (квантового) и волнового (электромагнитного). Длительный путь развития привел к современным представлениям о двойственной корпускулярно-волновой природе света. Выражения (170.3) и (170.4) связывают корпускулярные характеристики излуче­ния — массу и энергию кванта — с волновыми — частотой колебаний и длиной вол­ны. Таким образом, свет представляет собой единство дискретности и непрерыв­ности.

§ 171. Когерентность и монохроматичность световых волн

Интерференцию света можно объяснить, рассматривая интерференцию волн (см. § 156). Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, т. е. согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны — не­ограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Taк как ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, то волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, всегда некогерентны. Поэтому на опыте не наблюдается интерференция света от независимых источников, например от двух электрических лампочек.

Понять физическую причину немонохроматичности, а следовательно, и некогерентности волн, испускаемых двумя независимыми источниками света, можно исходя из самого механизма испускания света атомами. В двух самостоятельных источниках света атомы излучают независимо друг от друга. В каждом из таких атомов процесс излучения конечен и длится очень короткое время (t » 10^–8с). За это время возбужден­ный атом возвращается в нормальное состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать световые волны, но уже с новой начальной фазой. Так как разность фаз между излучением двух таких независимых атомов изменяется при каждом новом акте испускания, то волны, спонтанно излуча­емые атомами любого источника света, некогерентны. Таким образом, волны, испуска­емые атомами, лишь в течение интервала времени 10^–8с имеют приблизительно постоянные амплитуду и фазу колебаний, тогда как за больший промежуток времени и амплитуда, и фаза изменяются. Прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов называется волновым цугом.

Описанная модель испускания света справедлива и для любого макроскопического источника, так как атомы светящегося тела излучают свет также независимо друг от друга. Это означает, что начальные фазы соответствующих им волновых цугов не связаны между собой. Помимо этого, даже для одного и того же атома начальные фазы разных цугов отличаются для двух последующих актов излучения. Следователь­но, свет, испускаемый макроскопическим источником, некогерентен.

Любой немонохроматический свет можно представить в виде совокупности сменя­ющих друг друга независимых гармонических цугов. Средняя продолжительность одного цуга t_ког называетсявременем когерентности. Когерентность существует только в пределах одного цуга, и время когерентности не может превышать время излучения, т. е. t_ког < t. Прибор обнаружит четкую интерференционную картину лишь тогда, когда время разрешения прибора значительно меньше времени когерентности накладыва­емых световых волн.

Если волна распространяется в однородной среде, то фаза колебаний в определен­ной точке пространства сохраняется только в течение времени когерентности t_ког. За это время волна распространяется в вакууме на расстояние l_ког =сt_ког, называемое длиной когерентности (илидлиной цуга). Таким образом, длина когерентности есть расстояние, при прохождении которого две или несколько волн утрачивают когерент­ность. Отсюда следует, что наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях хода, меньших длины когерентности для используемого источ­ника света.

Чем ближе волна к монохроматической, тем меньше ширина Dw спектра ее частот и, как можно показать, больше ее время когерентности t_ког, а следовательно, и длина когерентности l_ког. Когерентность колебаний, которые совершаются в одной и той же точке пространства, определяемая степенью монохроматичности волн, называется временнóй когерентностью.

Наряду с временнóй когерентностью для описания когерентных свойств волн в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, вводится понятие пространственной когерентности. Два источника, размеры и взаимное расположение которых позволяют (при необходимой степени монохроматичности света) наблюдать интерференцию, называютсяпространственно-когерентными. Радиусом когерентности(илидлиной пространственной когерентности) называется максимальное поперечное направлению распространения волны расстояние, на котором возможно проявление интерференции. Таким образом, пространственная когерентность определяется ради­усом когерентности. Радиус когерентности

где l — длина волны света, j — угловой размер источника. Так, минимально возмож­ный радиус когерентности для солнечных лучей (при угловом размере Солнца на Земле j » 10^–2 рад и l » 0,5 мкм) составляет » 0,05 мм. При таком малом радиусе когерент­ности невозможно непосредственно наблюдать интерференцию солнечных лучей, по­скольку разрешающая способность человеческого глаза на расстоянии наилучшего зрения составляет лишь 0,1 мм. Отметим, что первое наблюдение интерференции провел в 1802 г. Т. Юнг именно с солнечным светом, для чего он предварительно пропускал солнечные лучи через очень малое отверстие в непрозрачном экране (при этом на несколько порядков уменьшался угловой размер источника света и тем самым резко увеличивался радиус когерентности (или длина пространственной когерентно­сти)).

§ 172. Интерференция света

Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направ­ления: х₁=А₁ cos(w t + j₁) и x₂ = A₂ cos(w t + j₂). Под х понимают напряженность элект­рического Е или магнитного Н полей волны; векторы Е и Н колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. § 162). Напряженности электрического и магнит­ного полей подчиняются принципу суперпозиции (см. § 80 и 110). Амплитуда резуль­тирующего колебания в данной точке (см. 144.2)). Так как волны когерентны, то cos(j₂ — j₁) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение, поэтому интенсивность результирующей волны (I ~ А²)

(172.1)

В точках пространства, где cos(j₂—j₁)>0, интенсивность I>I₁+I₂, где cos(j₂—j₁)<0, интенсивность I<I₁+I₂. Следовательно, при наложении двух (или нескольких) коге­рентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других — мини­мумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.

Для некогерентных волн разность j₂—j₁ непрерывно изменяется, поэтому среднее во времени значение cos(j₂—j₁) равно нулю, и интенсивность результирующей волны всюду одинакова и при I₁=I₂ равна 2I₁ (для когерентных волн при данном условии в максимумах I=4I₁, в минимумах I=0).

Как можно создать условия, необходимые для возникновения интерференции свето­вых волн? Для получения когерентных световых волн применяют метод разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга, и наблюдается интерференци­онная картина.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определенной точке О. До точки M, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна в среде с показателем преломления п₁ прошла путь s₁, вторая — в среде с показателем преломления n₂ — путь s₂. Если в точке О фаза колебаний равна wt, то в точке М первая волна возбудит колебание A₁cos(t–s₁/v₁), вторая волна — колебание A₂cos(t–s₂/v₂), где v₁=c/n₁, v₂=c/n₂ — соответственно фазовая скорость первой и второй волны. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке М, равна

(учли, что w /с = 2pn/с = 2p/l₀, где l₀ — длина волны в вакууме). Произведение геомет­рической длины s пути световой волны в данной среде на показатель n преломления этой среды называетсяоптической длиной пути L, a D = L₂ – L₁ — разность оптических длин проходимых волнами путей — называетсяоптической разностью хода.Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

(172.2)

то d = ±2тp, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут проис­ходить в одинаковой фазе. Следовательно, (172.2) является условием интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода

(172.3)

то d = ±2(т+1)p, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (172.3) является условием интерференционного минимума.

§ 173. Методы наблюдения интерференции света

Для осуществления интерференции света необходимо получить когерентные световые пучки, для чего применяются различные приемы. До появления лазеров (см. § 233) во всех приборах для наблюдения интерференции света когерентные пучки получали разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника. Практически это можно осуществить с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел. Рассмотрим некоторые из этих методов.

1. Метод Юнга. Источником света служит ярко освещенная щель S (рис. 245), от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S₁ и S₂, параллель­ные щели S. Таким образом, щели S₁ и S₂ играют роль когерентных источников.

Интерференционная картина (область ВС) наблюдается на экране (Э), расположенном на некотором расстоянии параллельно S₁ и S₂. Как уже указывалось (см. § 171), Т. Юнгу принадлежит первое наблюдение явления интерференции.

2. Зеркала Френеля. Свет от источника S (рис. 246) падает расходящимся пучком на два плоских зеркала А₁О и А₂О, расположенных относительно друг друга под углом, лишь немного отличающимся от 180° (угол j мал). Используя правила построения изображения в плоских зеркалах, можно показать, что и источник, и его изображения S₁ и S₂ (угловое расстояние между которыми равно 2j) лежат на одной и той же окружности радиуса r с центром в О (точка соприкосновения зеркал).

Световые пучки, отразившиеся от обоих зеркал, можно считать выходящими из мнимых источников S₁ и S₂, являющихся мнимыми изображениями S в зеркалах. Мнимые источники S₁ и S₂ взаимно когерентны, и исходящие из них световые пучки, встречаясь друг с другом, интерферируют в области взаимного перекрывания (на рис. 246 она заштрихована). Можно показать, что максимальный угол расхожде­ния перекрывающихся пучков не может быть больше 2j. Интерференционная карти­на наблюдается на экране (Э), защищенном от прямого попадания света заслон­кой (З).

3. Бипризма Френеля. Она состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S (рис. 247) преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников S₁ и S₂, являющихся когерентными. Таким образом, на поверхности экрана (в заштрихованной области) происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.

Расчет интерференционной картины от двух источников. Расчет интерференционной картины для рассмотренных выше методов наблюдения интерференции света можно провести, используя две узкие параллельные щели, расположенные достаточно близко друг к другу (рис. 248). Щели S₁ и S₂ находятся на расстоянии d друг от друга и являются когерентными (реальными или мнимыми изображениями источника S в ка­кой-то оптической системе) источниками света. Интерференция наблюдается в произ­вольной точке А экрана, параллельного обеим щелям и расположенного от них на расстоянии l, причем l>>d. Начало отсчета выбрано в точке О, симметричной от­носительно щелей.

Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей на расстоянии х от О, определяется оптической разностью хода D=s₂—s₁ (см. § 172). Из рис. 248 имеем

откуда , или

Из условия l >> d следует, что s₁ + s₂ » 2l, поэтому

(173.1)

Подставив найденное значение D (173.1) в условия (172.2) и (172.3), получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться в случае, если

(173.2)

а минимумы — в случае, если

(173.3)

Расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами), называемое шириной интерференционной полосы, равно

(173.4)

Dx не зависит от порядка интерференции (величины т) и является постоянной для данных l, d и l₀. Согласно формуле (173.4), Dx обратно пропорционально d; следовате­льно, при большом расстоянии между источниками, например при d»l, отдельные полосы становятся неразличимыми. Для видимого света l₀»10^–7 м, поэтому четкая, доступная для визуального наблюдения интерференционная картина имеет место при l>>d (это условие и принималось при расчете). По измеренным значениям l, d и Dх, используя (173.4), можно экспериментально определить длину волны света. Из выраже­ний (173.2) и (173.3) следует, таким образом, что интерференционная картина, создава­емая на экране двумя когерентными источниками света, представляет собой чередова­ние светлых и темных полос, параллельных друг другу. Главный максимум, соответст­вующий т=0, проходит через точку О. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы (минимумы) первого (т= 1), второго (т =2) порядков и т.д.

Описанная картина, однако, справедлива лишь при освещении монохроматическим светом (l₀=const). Если использовать белый свет, представляющий собой непрерыв­ный набор длин воли от 0,39мкм (фиолетовая граница спектра) до 0,75мкм (красная граница спектра), то интерференционные максимумы для каждой длины волны будут, согласно формуле (173.4), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m=0 максимумы всех длин воли совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться белая полоса, по обе стороны которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т. д. (ближе к белой полосе будут находиться зоны фиолетового цвета, дальше — зоны красного цвета).

§ 174. Интерференция света в тонких пленках

В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри, оксидные пленка на металлах), возникающее в ре­зультате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки.

Пусть на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления п и толщиной d под углом i (рис. 249) падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассмотрим один луч). На поверхности пленки в точке О луч разделится на два: частично отразится от верхней поверхности пленки, а частично преломится. Преломленный луч, дойдя до точки С, частично преломится в воздух (п₀=1), а частич­но отразится и пойдет к точке В. Здесь он опять частично отразится (этот ход луча в дальнейшем из-за малой интенсивности не рассматриваем) и преломится, выходя в воздух под углом i. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны, если оптическая разность их хода мала по сравнению с длиной когерентности падающей волны. Если на их пути поставить собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек Р фокальной плоскости линзы. В результате возникает интерференционная картина, которая опреде­ляется оптической разностью хода между интерферирующими лучами.

Оптическая разность хода, возникающая между двумя интерферирующими лучами от точки О до плоскости АВ,

где показатель преломления окружающей пленку среды принят равным 1, а член ± l₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. Если п>n₀, то потеря полуволны произойдет в точке О и вышеупомянутый член будет иметь знак минус; если же п<n₀, то потеря полуволны произойдет в точке С и l₀/2 будет иметь знак плюс. Согласно рис. 249, OC=CB=d/cosr, OA = OB sin i = 2d tg r sin i. Учитывая для данного случая закон преломления sin i = n sin r, получим

С учетом потери полуволны для оптической разности хода получим

(174.1)

Для случая, изображенного на рис. 249 (п>n₀),

В точке Р будет интерференционный максимум, если (см. (172.2))

(174.2)

и минимум, если (см. (172.3))

(174.3)

Интерференция, как известно, наблюдается, только если удвоенная толщина пластинки меньше длины когерентности падающей волны.

Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллельной пластинки). Из выражений (174.2) и (174.3) следует, что интерференционная картина в плоскопараллельных пластинках (пленках) определяется величинами l0, d, п и i. Для данных l0, d, и n каждому наклону i лучей соответствует своя интерференционная полоса. Ин­терференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называютсяполосами равного наклона.

Лучи 1' и 1", отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки (рис. 250), параллельны друг другу, так как пластинка плоскопараллельна. Следовательно, ин­терферирующие лучи 1' и 1" «пересекаются» только в бесконечности, поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Для их наблюдения исполь­зуют собирающую линзу и экран (Э), расположенный в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи 1' и 1" соберутся в фокусе F линзы (на рис. 250 ее оптическая ось параллельна лучам 1' и 1"), в эту же точку придут и другие лучи (на рис. 250 – луч 2), параллельные лучу 1, в результате чего увеличивается общая интенсивность. Лучи 3, наклоненные под другим углом, соберутся в другой точке Р фокальной плоскости линзы. Легко показать, что если оптическая ось линзы перпендикулярна поверхности пластинки, то полосы равного наклона будут иметь вид концентрических колец с цент­ром в фокусе линзы.

Полосы равной толщины (интерференция от пластинки переменной толщины).Пусть на клин (угол a между боковыми гранями мал) падает плоская волна, направле­ние распространения которой совпадает с параллельными лучами 1 и 2 (рис. 251). Из всех лучей, на которые разделяется падающий луч 1, рассмотрим лучи 1' и 1", отразившиеся от верхней и нижней поверхностей клина. При определенном взаимном положении клина и линзы лучи 1' и 1" пересекутся в некоторой точке А, являющейся изображением точки В. Так как лучи 1' и 1" когерентны, они будут интерферировать. Если источник расположен довольно далеко от поверхности клина и угол a ничтожно мал, то оптическая разность хода между интерферирующими лучами 1' и 1" может быть с достаточной степенью точности вычислена по формуле (174.1), где d — тол­щина клина в месте падения на него луча. Лучи 2' и 2", образовавшиеся при делении луча 2, падающего в другую точку клина, собираются линзой в точке А'. Оптическая разность хода уже определяется толщиной d'. Таким образом, на экране возникает система интерференционных полос. Каждая из полос возникает при отражении от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину (в общем случае толщина пластинки может изменяться произвольно). Интерференционные полосы, возникающие в резуль­тате интерференции от мест одинаковой толщины, называются полосами равной толщины.

Так как верхняя и нижняя грани клина не параллельны между собой, то лучи 1' и 1" (2' и 2") пересекаются вблизи пластинки, в изображенном на рис. 251 случае — над ней (при другой конфигурации клина они могут пересекаться и под пластинкой). Таким образом, полосы равной толщины локализованы вблизи поверхности клина. Если свет падает на пластинку нормально, то полосы равной толщины локализуются на верхней поверхности клина.

3. Кольца Ньютона. Кольца Ньютона, являющиеся классическим примером полос равной толщины, наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны (рис. 252). Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины, при нормальном падения света имеющие вид концентрических окружностей.

В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом потери полуволны при отражении), согласно (174.1), при условии, что показатель преломления воздуха n=1, а i=0,

где d—ширина зазора. Из рис. 252 следует, что , где R—радиус кривизны линзы, r — радиус кривизны окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор d. Учитывая, что d мало, получим d=r²/(2R). Следовательно,

(174.4)

Приравняв (174.4) к условиям максимума (172.2) и минимума (172.3), получим выражения для радиусов m-го светлого кольца и m-го темного кольца соответственно

Измеряя радиусы соответствующих колец, можно (зная радиус кривизны линзы R) определить l₀ и, наоборот, по известной l₀ найти радиус кривизны R линзы.

Как для полос равного наклона, так и для полос равной толщины положение максимумов зависит от длины волны l₀ (см. (174.2)). Поэтому система светлых и темных полос получается только при освещении монохроматическим светом. При наблюдении в белом свете получается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных длин волн, и интерференционная картина приобретает радужную окраску. Все рассуждения были проведены для отраженного света. Интерференцию можно наблюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потери полуволны. Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличается на l₀/2, т.е. максимумам интерфере­нции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот.

§ 175. Применение интерференции света

Явление интерференции обусловлено волновой природой света; его количественные закономерности зависят от длины волны l₀. Поэтому это явление применяется для подтверждения волновой природы света и для измерения длин волн(интерференционная спектроскопия).

Явление интерференции применяется также для улучшения качества оптических приборов (просветление оптики) и получения высокоотражающих покрытий. Прохожде­ние света через каждую преломляющую поверхность линзы, например через границу стекло–воздух, сопровождается отражением »4% падающего потока (при показа­теле преломления стекла »1,5). Так как современные объективы содержат большое количество линз, то число отражений в них велико, а поэтому велики и потери светового потока. Таким образом, интенсивность прошедшего света ослабляется и све­тосила оптического прибора уменьшается. Кроме того, отражения от поверхностей линз приводят к возникновению бликов, что часто (например, в военной технике) демаскирует положение прибора.

Для устранения указанных недостатков осуществляют так называемое просветле­ние оптики. Для этого на свободные поверхности линз наносят тонкие пленки с показа­телем преломления, меньшим, чем у материала линзы. При отражении света от границ раздела воздух–пленка и пленка–стекло возникает интерференция когерентных лучей 1' и 2' (рис. 253). Толщину пленки d и показатели преломления стекла n_с и пленки n можно подобрать так, чтобы волны, отраженные от обеих поверхностей пленки, гасили друг друга. Для этого их амплитуды должны быть равны, а оптическая разность хода равна (см. (172.3)). Расчет показывает, что амплитуды от­раженных лучей равны, если

(175.1)

Так как n_с, n и показатель преломления воздуха n₀ удовлетворяют условиям n_с >n>n₀, то потеря полуволны происходит на обеих поверхностях; следовательно, условие минимума (предполагаем, что свет падает нормально, т. е. i=0)

где nd —оптическая толщина пленки. Обычно принимают m=0, тогда

Таким образом, если выполняется условие (175.1) и оптическая толщина плевки равна l₀/4, то в результате интерференции наблюдается гашение отраженных лучей. Taк как добиться одновременного гашения для всех длин воли невозможно, то это обычно делается для наиболее восприимчивой глазом длины волны l₀»0,55 мкм. Поэтому объективы с просветленной оптикой имеют синевато-красный оттенок.

Создание высокоотражающих покрытий стало возможным лишь на основемноголучевой интерференции. В отличие от двухлучевой интерференции, которую мы рас­сматривали до сих пор, многолучевая интерференция возникает при наложении боль­шого числа когерентных световых пучков. Распределение интенсивности в интерферен­ционной картине существенно различается; интерференционные максимумы значитель­но уже и ярче,чем при наложении двух когерентных световых пучков. Так, резуль­тирующая амплитуда световых колебаний одинаковой амплитуды в максимумах ин­тенсивности, где сложение происходит в одинаковой фазе, в N раз больше, а интенсив­ность в N² раз больше, чем от одного пучка (N — число интерферирующих пучков). Отметим, что для нахождения результирующей амплитуды удобно пользоваться гра­фическим методом, используя метод вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Многолучевая интерференция осуществляется в дифракционной решетке (см. § 180).

Многолучевую интерференцию можно осуществить в многослойной системе чере­дующихся пленок с разными показателями преломления (но одинаковой оптической толщиной, равной l₀/4), нанесенных на отражающую поверхность (рис. 254). Можно показать, что на границе раздела пленок (между двумя слоями ZnS с большим показателем преломления п₁ находится пленка криолита с меньшим показателем преломления n₂) возникает большое число отраженных интерферирующих лучей, кото­рые при оптической толщине пленок l₀/4 будут взаимно усиливаться, т. е. коэффициент отражения возрастает. Характерной особенностью такой высокоотражательной систе­мы является то, что она действует в очень узкой спектральной области, причем чем больше коэффициент отражения, тем уже эта область. Например, системаиз семипленок для области 0,5мкм дает коэффициент отражения r»96% (при коэффициенте пропускания »3,5% и коэффициенте поглощения <0,5%). Подобные отражатели применяются в лазерной технике, а также используются для создания интерференцион­ных светофильтров (узкополосных оптических фильтров).

Явление интерференции также применяется в очень точных измерительных прибо­рах, называемых интерферометрами. Все интерферометры основаны на одном и том же принципе и различаются лишь конструкционно. На рис. 255 представлена упрощенная схема интерферометра Майкельсона. Монохроматический свет от источника S падает под углом 45° на плоскопараллельную пластинку P₁. Сторона пластинки, удаленная от S, посеребренная и полупрозрачная, разделяет луч на две части: луч 1 (отражается от посеребренного слоя) в луч 2 (проходит через него). Луч 1 отражается от зеркала M₁ и, возвращаясь обратно, вновь проходит через пластинку P₁ (луч 1'). Луч 2 идет к зеркалу М₂, отражается от него, возвращается обратно и отражается от пластинки Р₁ (луч 2'). Так как первый из лучей проходит сквозь пластинку Р₁ дважды, то для компенсации возникающей разности хода на пути второго луча ставится пластинка Р₂ (точно такая же, как и Р₁, только не покрытая слоем серебра).

Лучи 1' и 2' когерентны; следовательно, будет наблюдаться интерференция, резуль­тат которой зависит от оптической разности хода луча 1 от точки О до зеркала М₁ и луча 2 от точки О до зеркала M₂. При перемещении одного из зеркал на расстояние l₀/4 разность хода обоих лучей увеличится на l₀/2 и произойдет смена освещенности зрительного поля. Следовательно, по незначительному смещению ин­терференционной картины можно судить о малом перемещении одного из зеркал и использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10^–7 м) измерения длин (измерения длины тел, длины волны света, изменения длины тела при изменении температуры (интерференционный дилатометр)).

Российский физик В. П. Линник (1889—1984) использовал принцип действия ин­терферометра Майкельсона для создания микроинтерферометра (комбинация интерфе­рометра и микроскопа), служащего для контроля чистоты обработки поверхности.

Интерферометры — очень чувствительные оптические приборы, позволяющие определять незначительные изменения показателя преломления прозрачных тел (газов, жидких и твердых тел) в зависимости от давления, температуры, примесей и т. д. Такие интерферометры получили название интерференционных рефрактометров. На пути ин­терферирующих лучей располагаются две одинаковые кюветы длиной l, одна из которых заполнена, например, газом с известным (n₀), а другая — с неизвестным (n_x) показателями преломления. Возникшая между интерферирующими лучами дополни­тельная оптическая разность хода D=(n_x—n₀)l . Изменение разности хода приведет к сдвигу интерференционных полос. Этот сдвиг можно характеризовать величиной

где m₀ показывает, на какую часть ширины интерференционной полосы сместилась интерференционная картина. Измеряя величину m₀ при известных l, n₀ и l, можно вычислять n_x или изменение n_x–n₀. Например, при смещении интерференционной картины на ¹/₅ полосы при l=10 см и l=0,5 мкм n_x–n₀ = 10^–6, т.е. интерференцион­ные рефрактометры позволяют измерять изменение показателя преломления с очень высокой точностью (до 1/1 000 000).

Применение интерферометров очень многообразно. Кроме перечисленного, они применяются для изучения качества изготовления оптических деталей, измерения углов, исследования быстропротекающих процессов, происходящих в воздухе, об­текающем летательные аппараты, и т. д. Применяя интерферометр, Майкельсон впер­вые провел сравнение международного эталона метра с длиной стандартной световой волны. С помощью интерферометров исследовалось также распространение света в движущихся телах, что привело к фундаментальным изменениям представлений о пространстве и времени.

Задачи

22.1. Определить, какую длину пути s₁ пройдет фронт волны монохроматического света в ваку­уме за то же время, за которое он проходит путь s₂=1,5 мм в стекле с показателем преломления n₂=1,5. [2,25 мм]

22.2. В опыте Юнга щели, расположенные на расстоянии 0,3 мм, освещались монохромати­ческим светом с длиной волны 0,6 мкм. Определить расстояние от щелей до экрана, если ширина интерференционных полос равна 1 мм. [0,5 м]

22.3. На стеклянный клин (n=1,5) нормально падает монохроматический свет (l=698 нм). Определить угол между поверхностями клина, если расстояние между двумя соседними интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мм. [0,4']

22.4. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, пада­ющим нормально. При заполнении пространства между линзой и стеклянной пластинкой прозрачной жидкостью радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,21 раза. Определить показатель преломления жидкости. [1,46]

22.5. На линзу с показателем преломления 1,55 нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,55 мкм. Для устранения потерь отраженного света на линзу наносится тонкая пленка. Определить: 1) оптимальный показатель преломления пленки; 2) толщину пленки. [1) 1,24; 2) 0,111 мкм]

22.6. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интерференционной картины на 450 полос зеркало пришлось переместить на расстояние 0,135 мм. Определить длину волны падающего света. [0,6 мкм]

22.7. На пути одного из лучей интерференционного рефрактометра поместили откачанную трубку длиной 10 см. При заполнении трубки хлором интерференционная картина смести­лась на 131 полосу. Определить показатель преломления хлора, если наблюдение произ­водится с монохроматическим светом с длиной волны 0,59 мкм. [1,000773]

Глава 23 Дифракция света

§ 176. Принцип Гюйгенса — Френеля

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятст­вий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т. е. звуковая волна его огибает.

Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса (см. § 170), соглас­но которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рис. 256). Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента време­ни, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия.

Явление дифракции характерно для волновых процессов. Поэтому если свет являет­ся волновым процессом, то для него должна наблюдаться дифракция, т. е. световая волна, падающая на границу какого-либо непрозрачного тела, должна огибать его (проникать в область геометрической тени). Из опыта, однако, известно, что предметы, освещаемые светом, идущим от точечного источника, дают резкую тень и, следовате­льно, лучи не отклоняются от их прямолинейного распространения. Почему же воз­никает резкая тень, если свет имеет волновую природу? К сожалению, теория Гюйгенса ответить на этот вопрос не могла.

Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласнопринципу Гюйгенса — Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-ли­бо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверх­ностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех коге­рентных вторичных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т. е. определить закономерности распространения света. В общем случае расчет интерфере­нции вторичных волн довольно сложный и громоздкий, однако, как будет показано ниже, для некоторых случаев нахождение амплитуды результирующего колебания осуществляется алгебраическим суммированием.

§ 177. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света

Принцип Гюйгенса — Френеля в рамках волновой теории должен был ответить на вопрос о прямолинейном распространении света. Френель решил эту задачу, рассмот­рев взаимную интерференцию вторичных волн и применив прием, получивший назва­ние метода зон Френеля.

Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 257). Согласно принципу Гюйген­са — Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S). Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались на l/2, т. е. Р₁М – Р₀М = Р₂М – Р₁М = Р₃М – Р₂М = ... = l/2. Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точ­ке М сферы радиусами b + , b + 2, b + 3, ... . Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на l/2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

(177.1)

где А₁, А₂, ... — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, ..., т-й зонами.

Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля. Пусть внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты h_m (рис. 258). Обозначив площадь этого сегмента через s_m, найдем, что площадь m-й зоны Френеля равна Ds_m = s_m – s_m–1, где s_m–1 —площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей (m – 1)-й зоны. Из рисунка следует, что

(177.2)

После элементарных преобразований, учитывая, что l<<a и l<<b, получим

(177.3)

Площадь сферического сегмента и площадь т-й зоны Френеля соответственно равны

(177.4)

Выражение (177.4) не зависит от т, следовательно, при не слишком больших т площа­ди зон Френеля одинаковы. Таким образом, построение зон Френеля разбивает волно­вую поверхность сферической волны на равные зоны.

Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол j_т (рис. 258) между нормалью n к поверхности зоны и направлением на М, т. е. действие зон постепенно убывает от центральной (около Р₀) к периферичес­ким. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом т и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фактора, можем записать

Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико; например при а=b=10 см и l=0,5мкм Поэтому в качестве допустимо­го приближения можно считать, что амплитуда колебания А_m от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т. е.

(177.5)

Тогда выражение (177.1) можно записать в виде

(177.6)

так как выражения, стоящие в скобках, согласно (177.5), равны нулю, а оставшаяся часть от амплитуды последней зоны ±А_m/2 ничтожно мала.

Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке М определяется как бы действием только половины центральной зоны Френеля. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны.

Если в выражении (177.2) положим, что высота сегмента h<<а (при не слишком больших т), тогда . Подставив сюда значение (177.3), найдем радиус внешней границы т-й зоны Френеля:

(177.7)

При а=b=10 см и l=0,5 мкм радиус первой (центральной) зоны r₁ = 0,158 мм. Сле­довательно, распространение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса — Френеля позволяет объяснить прямолинейное распро­странение света в однородной среде.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экс­периментально. Для этого используютсязонные пластинки —в простейшем случае стеклянные пластинки, состоящие из системы чередующихся прозрачных и непрозрач­ных концентрических колец, построенных по принципу расположения зон Френеля, т. е. с радиусами r_m зон Френеля, определяемыми выражением (177.7) для заданных значений а, b и l (т = 0, 2, 4,... для прозрачных и т = 1, 3, 5,... для непрозрачных колец). Если поместить зонную пластинку в строго определенном месте (на расстоянии а от точечного источника и на расстоянии b от точки наблюдения на линии, соединяющей эти две точки), то для света длиной волны l она перекроет четные зоны и оставит свободными нечетные начиная с центральной. В результате этого результирующая амплитуда A=A₁+A₃+A₅+... должна быть больше, чем при полностью открытом волновом фронте. Опыт подтверждает эти выводы: зонная пластинка увеличивает освещенность в точке М, действуя подобно собирающей линзе.

§ 178. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске

Рассмотримдифракцию в сходящихся лучах, илидифракцию Френеля, осуществляемую в том случае, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию.

1. Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифрак­ционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия (рис. 259). Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (177.1) и (177.6)),

где знак плюс соответствует нечетным m и минус — четным т.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсив­ность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке В амплитуда А=А₁, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием (см. § 177). Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если т четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное — то светлое кольцо), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непроз­рачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.

Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от его диаметра. Если он большой, тоА_m<<A₁ и результирующая амплитуда A=A₁/2, т. е. такая же,как и при полностью открытом волновом фронте. Никакой дифракционной картины не наблю­дается, свет распространяется,как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.

2. Дифракция на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска (рис. 260). В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна

или

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий поло­вине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в мак­симумах убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и увеличивается угол j_т (см. рис. 258) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распрост­раняющимся прямолинейно.

Отметим, что дифракция на круглом отверстии и дифракция на диске впервые рассмотрены Френелем.

§ 178. Дифракция Фраунгофера на одной щели

Немецкий физик И. Фраунгофер (1787—1826) рассмотрел дифракцию плоских световых волн,илидифракцию в параллельных лучах. Дифракция Фраунгофера,имеющая боль­шое практическое значение, наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели (для этого практически достаточно, чтобы длина щели была значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной а (рис. 261, а). Оптическая разность хода между крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направлении j,

(179.1)

где F — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на луч ND.

Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели. Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна l/2, т. е. всего на ширине щели уместится D:l/2 зон. Так как свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с волновым фронтом; следовательно, все точки волнового фронта в плоскости щели будут колебаться в одинаковой фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как выбранные зоны Френеля имеют оди­наковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения.

Из выражения (179.1) вытекает, что число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла j. От числа зон Френеля, в свою очередь, зависит результат наложения всех вторичных волн. Из приведенного построения следует, что при интерференции света от каждой пары соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как колебания от каждой пары соседних зон взаимно гасят друг друга. Следовательно, если число зон Френеля четное, то

(179.2)

и в точке В наблюдаетсядифракционный минимум(полная темнота), если же число зон Френеля нечетное, то

(179.3)

и наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной нескомпенсированной зоны Френеля. Отметим, что в направлении j=0 щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интен­сивностью, т. е. в точке В₀ наблюдается центральный дифракционный максимум.

Из условий (179.2) и (179.3) можно найти направления на точки экрана, в которых амплитуда (а следовательно, и интенсивность) равна нулю (sinj_min = ± ml/a) или максимальна (sinj_max = ±(2m+1)l/(2a)). Распределение интенсивности на экране, полу­чаемое вследствие дифракции(дифракционный спектр), приведено на рис. 261, б. Рас­четы показывают, что интенсивности в центральном и последующих максимумах относятся как 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : .... т.е. основная часть световой энергии со­средоточена в центральном максимуме. Из опыта и соответствующих расчетов следу­ет, что сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а интенсивность уменьшается (это, естественно, относится и к другим максимумам). Наоборот, чем щель шире (а>l), тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше. При а>>l в центре получается резкое изображение источника света, т. е. имеет место прямолинейное распространение света.

Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны l, поэтому рассмотренная выше дифракционная картина имеет место лишь для монохроматичес­кого света. При освещении щели белым светом центральный максимум наблюдается в виде белой полоски; он общий для всех длин волн (при j =0 разность хода равна нулю для всех l). Боковые максимумы радужно окрашены, так как условие максимума при любых т различно для разных l. Таким образом, справа и слева от центрального максимума наблюдаются максимумы первого (m=1), второго (т=2) и других поряд­ков, обращенные фиолетовым краем к центру дифракционной картины. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

§ 180. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через одномерную дифракционную решетку — систему параллельных щелей рав­ной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непроз­рачными промежутками. Рассматривая дифракцию Фраунгофера на щели, мы видели, что распределение интенсивности на экране определяется направлением дифрагированных лучей. Это означает, что перемещение щели параллельно самой себе влево или вправо не изменит дифракционной картины. Следовательно, если перейти от одной щели ко многим (к дифракционной решетке), то дифракционные картины, создаваемые каждой щелью в отдельности, будут одинаковыми.

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной ин­терференции волн, идущих от всех щелей, т. е. в дифракционной решетке осуществля­ется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, иду­щих от всех щелей.

Рассмотрим дифракционную решетку. На рис. 262 для наглядности показаны только две соседние щели MN и CD. Если ширина каждой щели равна а, а ширина непрозрачных участков между щелями b, то величина d=a+b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления j одинаковы в пределах всей дифракционной решетки:

(180.1)

Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, т. е. прежние (главные) миниму­мы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (179.2):

(180.2)

Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т. е. возникнут дополнительные минимумы. Очевидно, что эти дополнительные минимумы будут на­блюдаться в тех направлениях, которым соответствует разность хода лучей l/2, 3l/2, ..., посылаемых, например, от крайних левых точек М и С обеих щелей. Таким образом, с учетом (180.1) условие дополнительных минимумов:

Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие другой, если

(180.3)

т. е. выражение (180.3) задает условиеглавных максимумов.

Таким образом, полная дифракционная картина, для двух щелей определяется из условий:

т. е. между двумя главными максимумами располагается один дополнительный мини­мум. Аналогично можно показать, что между каждыми двумя главными максимумами при трех щелях располагается два дополнительных минимума, при четырех ще­лях — три и т. д.

Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных минимумов является условие (180.2), условием главных максимумов — условие (180.3), а условием дополнительных минимумов

(180.4)

где т' может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, .... т. е. кроме тех, при которых условие (180.4) переходит в (180.3). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается N–1 дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими весьма слабый фон.

Чем больше щелей N, тем большее количество световой энергии пройдет через решетку, тем больше минимумов образуется между соседними главными максимума­ми, тем, следовательно, более интенсивными и более острыми будут максимумы. На рис. 263 качественно представлена дифракционная картина от восьми щелей. Так как модуль sin j не может быть больше единицы, то из (180.3) следует, что число главных максимумов

т. е. определяется отношением периода решетки к длине волны.

Положение главных максимумов зависит от длины волны l (см. (180.3)). Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального (т=0), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная — наружу. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т. е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор.

Дифракционные решетки, используемые в различных областях спектра, отличаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой (от 6000 до 0,25 штрих/мм, что позволяет перекрывать область спектра от ультрафи­олетовой его части до инфракрасной). Например, ступенчатый профиль решетки позволяет концентрировать основную часть падающей энергии в направлении одного определенного ненулевого порядка.

§ 181. Пространственная решетка. Рассеяние света

Дифракция света наблюдается не только на плоскойодномерной решетке (штрихи нанесены перпендикулярно некоторой прямой линии), но и надвумерной решетке(штрихи нанесены во взаимно перпендикулярных направлениях в одной и той же плоскости). Большой интерес представляет также дифракция напространственных (трехмерных) решетках — пространственных образованиях, в которых элементы струк­туры подобны по форме, имеют геометрически правильное и периодически повторя­ющееся расположение, а также постоянные (периоды) решеток, соизмеримые с длиной волны электромагнитного излучения. Иными словами, подобные пространственные образования должны иметь периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. В качестве пространственных дифракционных решеток могут быть использованы кристаллические тела, так как в них неоднородности (атомы, молекулы, ионы) регулярно повторяются в трех направлениях.

Дифракция света может происходить также в так называемых мутных сре­дах — средах с явно выраженными оптическими неоднородностями. К мутным средам относятся аэрозоли (облака, дым, туман), эмульсия, коллоидные растворы и т. д., т. е. такие среды, в которых взвешено множество очень мелких частиц инородных веществ. Свет, проходя через мутную среду, дифрагирует от беспорядоч­но расположенных микронеоднородностей, давая равномерное распределение интенсивностей по всем направлениям, не создавая какой-либо определенной дифракцион­ной картины. Происходит так называемое рассеяние света в мутной среде. Это явление можно наблюдать, например, когда узкий пучок солнечных лучей, проходя через запыленный воздух, рассеивается на пылинках и тем самым становится видимым.

Рассеяние света (как правило, слабое) наблюдается также и в чистых средах, не содержащих посторонних частиц. Л. И. Мандельштам объяснил рассеяние света в средах нарушением их оптической однородности, при котором показатель преломления среды не постоянен, а меняется от точки к точке. В дальнейшем польский физик М. Смолуховский (1872—1917) указал, что причиной рассеяния света могут быть также флуктуации плотности, возникающие в процессе хаотического (теплового) движения молекул среды. Рассеяние света в чистых средах, обусловленное флуктуациями плот­ности, анизотропии или концентрации, называетсямолекулярным рассеянием.

Молекулярным рассеянием объясняется, например, голубой цвет неба. Согласно закону Д. Рэлея, интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвер­той степени длины волны (I~l^–4), поэтому голубые и синие лучи рассеиваются сильнее, чем желтые и красные, обусловливая тем самым голубой цвет неба. По этой же причине свет, прошедший через значительную толщу атмосферы, оказывается обогащенным более длинноволновой частью спектра (сине-фиолетовая часть спектра полностью рассеивается) и поэтому при закате и восходе Солнце кажется красным. Флуктуации плотности и интенсивность рассеяния света возрастают с увеличением температуры. Поэтому в ясный летний день цвет неба является более насыщенным по сравнению с таким же зимним днем.

§ 182. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа — Брэггов

Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была того же порядка, что и длина волны падающего излучения (см. (180.3)). Кристал­лы, являясь трехмерными пространственными решетками (см. § 181), имеют постоян­ную порядка 10^–10 м и, следовательно, непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете (l » 5×10^–7 м). Эти факты позволили немецкому физику М. Лауэ (1879—1960) прийти к выводу, что в качестве естественных дифракционных решеток для рентгеновского излучения можно использовать кристаллы, поскольку расстояние между атомами в кристаллах одного порядка с l рентгеновского излучения (»10^–12¸10^–8 м).

Простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристаллической решетки предложен независимо друг от друга Г. В. Вульфом (1863—1925) и английс­кими физиками Г. и Л. Брэггами (отец (1862—1942) и сын (1890—1971)). Они пред­положили, что дифракция рентгеновского излучения является результатом его отраже­ния от системы параллельных кристаллографических плоскостей (плоскостей, в кото­рых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки).

Представим кристаллы в виде совокупности параллельных кристаллографических плоскостей (рис. 264), отстоящих друг от друга на расстоянии d. Пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей (1, 2) падает подуглом скольжения q (угол между направлением падающих лучей и кристаллографической плоскостью) и возбуж­дает атомы кристаллической решетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1' и 2', интерферирующих между собой, подобно вторичным волнам, от щелей дифракционной решетки. Максимумы интенсивности (дифракционные мак­симумы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлет­воряютформуле Вульфа — Брэггов

(182.1)

т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристалло­графических плоскостей, кратной целому числу длин волн А, наблюдается дифракцион­ный максимум.

При произвольном направлении падения монохроматического рентгеновского излучения на кристалл дифракция не возникает. Чтобы ее наблюдать, надо, повора­чивая кристалл, найти угол скольжения. Дифракционная картина может быть получена и при произвольном положении кристалла, для чего нужно пользоваться непрерывным рентгеновским спектром, испускаемым рентгеновской трубкой. Тогда для таких условий опыта всегда найдутся длины волн l, удовлетворяющие условию (182.1).

Формула Вульфа — Брэггов используется при решении двух важных задач:

1. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на кристал­лической структуре неизвестного строения и измеряя q и т, можно найти межплоскост­ное расстояние (d), т.е. определить структуру вещества. Этот метод лежит в основе рентгеноструктурного анализа. Формула Вульфа — Брэггов остается справедливой и при дифракции электронов и нейтронов. Методы исследования структуры вещества, основанные на дифракции электронов и нейтронов, называются соответственно электронографией и нейтронографией.

2. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей неизвестной длины волны на кри­сталлической структуре при известном d и измеряя q и т, можно найти длину волны падающего рентгеновского излучения. Этот метод лежит в основе рентгеновской спек­троскопии.

§ 183. Разрешающая способность оптических приборов

Используя даже идеальную оптическую систему (такую, для которой отсутствуют дефекты и аберрации), невозможно получить стигматическое изображение точечного источника, что объясняется волновой природой света. Изображение любой светящейся точки в монохроматическом свете представляет собой дифракционную картину, т. е. точечный источник отображается в виде центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.

Согласнокритерию Рэлея, изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и одинаковыми симметричными контурами разрешимы (разделены для восприятия), если центральный максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого (рис. 265, а). При выполнении критерия Рэлея интенсивность «провала» между максимумами составляет 80% интенсивности в максимуме, что является достаточным для разрешения линий l₁ и l₂. Если критерий Рэлея нарушен, то наблюдается одна линия (рис. 265, б).

1. Разрешающая способность объектива. Если на объектив падает свет от двух удаленных точечных источников S₁ и S₂ (например, звезд) с некоторым угловым расстоянием dy, то вследствие дифракции световых волн на краях диафрагмы, ограни­чивающей объектив, в его фокальной плоскости вместо двух точек наблюдаются максимумы, окруженные чередующимися темными и светлыми кольцами (рис. 266). Можно доказать, что две близлежащие звезды, наблюдаемые в объективе в монохро­матическом свете, разрешимы, если угловое расстояние между ними

(183.1)

где l — длина волны света, D — диаметр объектива.

Разрешающей способностью (разрешающей силой) объектива называется величина

где dy — наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще оптическим прибором разрешаются.

Согласно критерию Рэлея, изображения двух одинаковых точек разрешимы, когда центральный максимум дифракционной картины для одной точки совпадает с первым минимумом дифракционной картины для другой (рис. 266). Из рисунка следует, что при выполнении критерия Рэлея угловое расстояние dy между точками должно быть равно j, т. е. с учетом (183.1)

Следовательно, разрешающая способность объектива

(183.2)

т. е. зависит от его диаметра и длины волны света.

Из формулы (183.2) видно, что для увеличения разрешающей способности оптичес­ких приборов нужно либо увеличить диаметр объектива, либо уменьшить длину волны. Поэтому для наблюдения более мелких деталей предмета используют ультрафиолето­вое излучение, а полученное изображение в данном случае наблюдается с помощью флуоресцирующего экрана либо фиксируется на фотопластинке. Еще большую раз­решающую способность можно было бы получить с помощью рентгеновского излуче­ния, но оно обладает большой проникающей способностью и проходит через вещество не преломляясь; следовательно, в данном случае невозможно создать преломляющие линзы. Потоки электронов (при определенных энергиях) обладают примерно такой же длиной волны, как и рентгеновское излучение. Поэтому электронный микроскоп имеет очень высокую разрешающую способность (см. § 169).

Разрешающей способностью спектрального прибора называют безразмерную ве­личину

(183.3)

где dl — абсолютное значение минимальной разности длин волн двух соседних спект­ральных линий, при которой эти линии регистрируются раздельно.

2. Разрешающая способность дифракционной решетки.Пусть максимум т-го поряд­ка для длины волны l₂ наблюдается под углом j, т. е., согласно (180.3), dsinj=ml₂. При переходе от максимума к соседнему минимуму разность хода меняется на l/N (см. (180.4)), где N — число щелей решетки. Следовательно,минимум l₁, наблюдаемый под углом j_min, удовлетворяет условию dsinj_min=ml₁+l₁/N. По критерию Рэлея, j =j_min, т. е. ml₂=ml₁+l₁/N или l₂/(l₂–l₁)=mN. Tax как l₁ и l₂ близки между собой, т. е. l₂–l₁=dl то, согласно (183.3),

Таким образом, разрешающая способность дифракционной решетки пропорциональна порядку m спектра и числу N щелей, т. е. при заданном числе щелей увеличивается при переходе к большим значениям порядка m интерференции. Современные дифракцион­ные решетки обладают довольно высокой разрешающей способностью (до 2×10⁵).

§ 184. Понятие о голографии

Голография (от греч. «полная запись») — особый способ записи и последующего восстановления волнового поля, основанный на регистрации интерференционной кар­тины. Она обязана своим возникновением законам волновой оптики — законам ин­терференции и дифракции.

Этот принципиально новый способ фиксирования и воспроизведения пространст­венного изображения предметов изобретен английским физиком Д. Габором (1900—1979) в 1947 г. (Нобелевская премия 1971 г.). Экспериментальное воплощение и дальнейшая разработка этого способа (Ю. Н. Денисюком в 1962 г. и американскими физиками Э. Лейтом и Ю. Упатниексом в 1963 г.) стали возможными после появле­ния в 1960 г. источников света высокой степени когерентности — лазеров (см. § 233).

Рассмотрим элементарные основы принципа голографии, т.е. регистрации и вос­становления информации о предмете. Для регистрации и восстановления волны необ­ходимо уметь регистрировать и восстанавливать амплитуду и фазу идущей от пред­мета волны. В самом деле, согласно формуле (144.2), учитывая, что I ~ А², распределе­ние интенсивности в интерференционной картине определяется как амплитудой ин­терферирующих волн, так и разностью их фаз. Поэтому для регистрации как фазовой, так и амплитудной информации кроме волны, идущей от предмета (так называемой предметной волны), используют еще когерентную с ней волну, идущую от источника света (так называемуюопорную волну). Идея голографирования состоит в том, что фотографируется распределение интенсивности в интерференционной картине, воз­никающей при суперпозиции волнового поля объекта и когерентной ему опорной волны известной фазы. Последующая дифракция света на зарегистрированном рас­пределении почернений в фотослое восстанавливает волновое поле объекта и допускает изучение этого поля при отсутствии объекта.

Практически эта идея может быть осуществлена с помощью принципиальной схемы, показанной на рис. 267, а. Лазерный пучок делится на две части, причем одна его часть отражается зеркалом на фотопластинку (опорная волна), а вторая попадает на фотопластинку, отразившись от предмета (предметная волна). Опорная и предмет­ная волны, являясь когерентными и накладываясь друг на друга, образуют на фотопла­стинке интерференционную картину. После проявления фотопластинки и получается голограмма — зарегистрированная на фотопластинке интерференционная картина, об­разованная при сложении опорной и предметной волн.

Для восстановления изображения (рис. 267, б) голограмма помещается в то же самое положение, где она находилась до регистрации. Ее освещают опорным пучком того же лазера (вторая часть лазерного пучка перекрывается диафрагмой). В резуль­тате дифракции света на интерференционной структуре голограммы восстанавливается копия предметной волны, образующая объемное (со всеми присущими предмету свойствами) мнимое изображение предмета, расположенное в том месте, где предмет находился при голографировании. Оно кажется настолько реальным, что его хочется потрогать. Кроме того, восстанавливается еще действительное изображение предмета, имеющее рельеф, обратный рельефу предмета, т. е. выпуклые места заменены вогну­тыми, и наоборот (если наблюдение ведется справа от голограммы).

Обычно пользуются мнимым голографическим изображением, которое по зритель­ному восприятию создает полную иллюзию существования реального предмета. Рас­сматривая из разных положений объемное изображение предмета, даваемое голограммой, можно увидеть более удаленные предметы, закрытые более близкими из них (заглянуть за ближние предметы). Это объясняется тем, что, перемещая голову в сто­рону, мы воспринимаем изображение, восстановленное от периферической части голог­раммы, на которую при экспонировании падали также и лучи, отраженные от скрытых предметов. Голограмму можно расколоть на несколько кусков. Но даже малая часть голограммы восстанавливает полное изображение. Однако уменьшение размеров голо­граммы приводит к ухудшению четкости получаемого изображения. Это объясняется тем, что голограмма для опорного пучка служит дифракционной решеткой, а при уменьшении числа штрихов дифракционной решетки (при уменьшении размеров голог­раммы) ее разрешающая способность уменьшается.

Методы голографии (запись голограммы в трехмерных средах, цветное и панорам­ное голографирование и т. д.) находят все большее развитие. Применения голографии разнообразны, но наиболее важными, приобретающими все большее значение, являют­ся запись и хранение информации. Методы голографии позволяют записывать в сотни раз больше страниц печатного текста, чем методы обычной микрофотографии. По подсчетам, на фотопластинку размером 32´32 мм можно записать 1024 голограммы (площадь каждой из них 1 мм²), т. е. на одной фотопластинке можно «разместить» книгу объемом свыше тысячи страниц. В качестве будущих разработок могут служить ЭВМ с голографической памятью, голографический электронный микроскоп, голографические кино в телевидение, голографическая интерферометрия и т. д.

Задачи

23.1. Плоская световая волна с длиной волны 0,6 мкм падает нормально на диафрагму с круг­лым отверстием диаметром 1 см. Определить расстояние от точки наблюдения до отвер­стия, если отверстие открывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля. [1) 20,8 м; 2) 13,9 м]

23.2. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохро­матического света (l=0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Определить радиус отверстия, при котором центр дифракционной картины на экране будет наиболее темным. [0,5 мм]

23.3. На щель шириной 0,2 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны 0,5 мкм. Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен параллель­но щели на расстоянии 1 м. Определить расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума. [5 мм]

23.4. Определить число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу p/2 соответствует максимум пятого порядка для монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм. [400 мм^–1]

23.5. Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на грань кристалла с расстоянием 0,28 нм между его атомными плоскостями. Определить длину волны рентгеновского излучения, если под углом 30° к плоскости грани наблюдается дифракционный максимум второго порядка. [140 пм]

23.6. Определить постоянную дифракционной решетки, если она в первом порядке разрешает две спектральные линии калия (l₁=578 нм и l₂=580 нм). Длина решетки 1 см. [34,6 мкм]

Глава 24 Взаимодействие электромагнитных волн с веществом

§ 185. Дисперсия света

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты n (длины волны l) света или зависимость фазовой скорости v световых волн (см. § 154) от его частоты n. Дисперсия света представляется в виде зависимости

(185.1)

Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму. Первые экспериментальные наблюдения дисперсии света принад­лежат И. Ньютону (1672 г.).

Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с преломляющим углом А и показателем преломления п (рис. 268) под углом a₁. После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол j. Из рисунка следует, что

(185.2)

Предположим, что углы А и a₁ малы, тогда углы a₂, b₁ и b₂ будут также малы и вместо синусов этих углов можно воспользоватьсяих значениями. Поэтому a₁/b₁=n, b₂/a₂=1/n, а таккак b₁+b₂=А, то a₂=b₂n=n(A–b₁)=n (A–a₁/n)=nA–a₁, откуда

(185.3)

Из выражений (185.3) и (185.2) следует, что

(185.4)

т. е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы.

Из выражения (185.4) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от величины n–1, а n — функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклоненными на разные углы, т. е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и наблюдалось И. Ньютоном. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решетки, разлагая свет в спектр, можно определить его спектральный состав.

Рассмотрим различия в дифракционном и призматическом спектрах.

1. Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по длинам воли (см. (180.3)), поэтому по измеренным углам (по направлениям соответствующих максимумов) можно вычислить длину волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показателя преломления, поэтому для определения длины волны света надо знать зависимость n=f(l) (185.1).

2. Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагаются различно. Из (180.3) следует, что в дифракционной решетке синус угла отклонения пропорционален длине волны. Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее. Призма же разлагает лучи в спектр по значениям показателя преломления, который для всех прозрачных веществ с увеличением длины волны уменьшается (рис. 269). Поэтому красные лучи отклоняются призмой слабее, чем фиолетовые.

Величина

называемая дисперсией вещества, показывает, как быстро изменяется показатель прело­мления с длиной волны. Из рис. 269 следует, что показатель преломления для прозрач­ных веществ с уменьшением длины волны увеличивается; следовательно, величина dn/dl по модулю также увеличивается с уменьшением l. Такая дисперсия называется нормальной. Как будет показано ниже, ход кривой n(l) — кривой дисперсии — вблизи линий и полос поглощения будет иным: n уменьшается с уменьшением l. Такой ход зависимости n от l называется аномальной дисперсией.

На явлении нормальной дисперсии основано действие призменных спектрографов. Несмотря на их некоторые недостатки (например, необходимость градуировки, различ­ная дисперсия в разных участках спектра) при определении спектрального состава света, призменные спектрографы находят широкое применение в спектральном анали­зе. Это объясняется тем, что изготовление хороших призм значительно проще, чем изготовление хороших дифракционных решеток. В призменных спектрографах также легче получить большую светосилу.

§ 186. Электронная теория дисперсии светя

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

где e — диэлектрическая проницаемость среды, m — магнитная проницаемость. В оп­тической области спектра для всех веществ m»1, поэтому

(186.1)

Из формулы (186.1) выявляются некоторые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной (см. § 185), остается в то же время равной определенной постоян­ной . Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения элект­ромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромаг­нитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающи­ми вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости e от частоты w световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества, по определению (см. (88.6) и (88.2)), равна

где { — диэлектрическая восприимчивость среды, e₀ — электрическая постоянная, Р — мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

(186.2)

т.е. зависит от Р. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т.е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока (n » 10¹⁵ Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны —оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р=ех, где е — заряд электрона, х — смещение электрона под действием элект­рического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна n₀, то мгновенное значение поляризованности

(186.3)

Из (186.2) и (186.3) получим

(186.4)

Следовательно, задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего поля Е. Поле световой волны будем считать функцией частоты w, т. е. изменяющимся по гармоническому закону: Е = Е₀ cos w t.

Уравнение вынужденных колебаний электрона (см. §147) для простейшего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде

(186.5)

где F₀ = еЕ₀ — амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, — собственная частота колебаний электрона, т — масса электрона. Решив уравнение (186.5), найдем e = n² в зависимости от констант атома (е, т, w₀) и частоты w внешнего поля, т.е. решим задачу дисперсии. Решение уравнения (186.5) можно записать в виде

(186.6)

где

(186.7)

в чем легко убедиться подстановкой (см. (147.8)). Подставляя (186.6) и (186.7) в (186.4), получим

(186.8)

Если в веществе имеются различные заряды е_i, совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами w_0i, то

(186.9)

где т, — масса i-го заряда.

Из выражений (186.8) и (186.9) вытекает, что показатель преломления n зависит от частоты w внешнего поля, т. е. полученные зависимости действительно подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, которые в даль­нейшем надо устранить. Из выражений (186.8) и (186.9) следует, что в области от w = 0 до w = w₀ n² больше единицы и возрастает с увеличением w (нормальная дисперсия); при w = w₀ n² = ±¥; в области от w = w₀ до w = ¥ n² меньше единицы и возрастает от –¥ до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя от n² к n, получим, что график зависимости n от w имеет вид, изображенный на рис. 270. Такое поведение n вблизи w₀ — результат допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электро­нов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции n(w) вблизи w₀ задастся штриховой линией АВ. Область АВ — область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании w), остальные участки зависимости n от w описывают нормальную дисперсию (n возрастает с возрастанием w).

Российскому физику Д. С. Рождественскому (1876—1940) принадлежит классичес­кая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал ин­терференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула (186.9) правильно характеризует зависи­мость n от w, а также ввел в нее поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов.

§ 187. Поглощение (абсорбция) света

Поглощением (абсорбцией) света называется явление уменьшения энергии световой волны при ее распространении в веществе вследствие преобразования энергии волны в другие виды энергии. В результате поглощения интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.

Поглощение света в веществе описывается законом Бугера*:

(187.1)

где I₀ и I — интенсивности плоской монохроматической световой волны на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, a —коэффициент поглощения, зависящий от длины волны света, химической природы и состояния вещества и не зависящий от интенсивности света. При х=1/a интенсивность света I по сравнению с I₀ уменьшается в е раз.

* П. Бугер (1698—1758) — французский ученый.

 

Коэффициент поглощения зависит от длины волны l (или частоты w) и для различных веществ различен. Например, одноатомные газы и пары металлов (т.е. вещества, в которых атомы расположены на значительных расстояниях друг от друга и их можно считать изолированными) обладают близким к нулю коэффициентом поглощения и лишь для очень узких спектральных областей (примерно 10^–12—10^–11 м) наблюдаются резкие максимумы (так называемый линейчатый спектр поглощения). Эти линии соответствуют частотам собственных колебаний электронов в атомах. Спектр поглощения молекул, определяемый колебаниями атомов в молеку­лах, характеризуется полосами поглощения (примерно 10^–10—10^–7 м).

Коэффициент поглощения для диэлектриков невелик (примерно 10^–3—10^–5 см^–1), однако у них наблюдается селективное поглощение света в определенных интервалах длин волн, когда a резко возрастает, и наблюдаются сравнительно широкие полосы поглощения, т.е. диэлектрики имеютсплошной спектр поглощения. Это связано с тем, что в диэлектриках нет свободных электронов и поглощение света обусловлено явлени­ем резонанса при вынужденных колебаниях электронов в атомах и атомов в молекулах диэлектрика.

Коэффициент поглощения для металлов имеет большие значения (примерно 10³—10⁵ см^–1) и поэтому металлы являются непрозрачными для света. В металлах из-за наличия свободных электронов, движущихся под действием электрического поля световой волны, возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением джоулевой теплоты. Поэтому энергия световой волны быстро уменьшается, превраща­ясь во внутреннюю энергию металла. Чем выше проводимость металла, тем сильнее в нем поглощение света.

На рис. 271 представлены типичная зависимость коэффициента поглощения a от длины волны света l и зависимость показателя преломления n от l в области полосы поглощения. Из рисунка следует, что внутри полосы поглощения наблюдается ано­мальная дисперсия (n убывает с уменьшением l). Однако поглощение вещества должно быть значительным, чтобы повлиять на ход показателя преломления.

Зависимостью коэффициента поглощения от длины волны объясняется окрашенность поглощающих тел. Например, стекло, слабо поглощающее красные и оранжевые лучи и сильно поглощающее зеленые и синие, при освещении белым светом будет казаться красным. Если на такое стекло направить зеленый и синий свет, то из-за сильного поглощения света этих длин волн стекло будет казаться черным. Это явление используется для изготовлениясветофильтров, которые в зависимости от химического состава (стекла с присадками различных солей, пленки из пластмасс, содержащие красители, растворы красителей и т. д.) пропускают свет только определенных длин волн, поглощая остальные. Разнообразие пределов селективного (избирательного) поглощения у различных веществ объясняет разнообразие и богатство цветов и красок, наблюдающееся в окружающем мире.

Явление поглощения широко используется в абсорбционном спектральном анализе смеси газов, основанном на измерениях спектров частот и интенсивностей линий (полос) поглощения. Структура спектров поглощения определяется составом и стро­ением молекул, поэтому изучение спектров поглощения является одним из основных методов количественного и качественного исследования веществ.

§ 188. Эффект Доплера

Эффект Доплера в акустике (см. § 159) объясняется тем, что частота колебаний, воспринимаемых приемником, определяется скоростями движения источника колеба­ний и приемника относительно среды, в которой происходит распространение звуко­вых волн. Эффект Доплера наблюдается также и при движении относительно друг друга источника и приемника электромагнитных волн. Таккак особой среды, служащей носителем электромагнитных волн, не существует, то частота световых волн, вос­принимаемых приемником (наблюдателем), определяется только относительной ско­ростью источника и приемника (наблюдателя). Закономерности эффекта Доплера для электромагнитных волн устанавливаются на основе специальной теории относитель­ности.

Согласно принципу относительности Эйнштейна (см. § 35), уравнение световой волны во всех инерциальных системах отсчета одинаково по форме. Используя преоб­разования Лоренца (см. § 36), можно получить уравнение волны, посылаемой источни­ком, в направлении приемника в другой инерциальной системе отсчета, а следователь­но, и связать частоты световых воли, излучаемых источником (n₀) и воспринимаемых приемником (n). Теория относительности приводит к следующей формуле, описыва­ющейэффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме:

(188.1)

где v — скорость источника света относительно приемника, с — скорость света в ваку­уме, b=v/c, q — угол между вектором скорости v и направлением наблюдения, из­меряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем. Из выражения (188.1) следует, что при q = 0

(188.2)

Формула (188.2) определяет так называемый продольный эффект Доплера, наблюда­емый при движении приемника вдоль линии, соединяющей его с источником. При малых относительных скоростях v (v<<c), разлагая (188.2) в ряд по степеням b и пpeнeбрегая членом порядка b², получим

(188.3)

Следовательно, при удалении источника и приемника друг от друга (при их положительной относительной скорости) наблюдается сдвиг в более длинноволновую область (n<n₀, l>l₀) — так называемоекрасное смещение. При сближении же ис­точника и приемника (при их отрицательной относительной скорости) наблюдается сдвиг в более коротковолновую область ((n>n₀, l<l₀) — так называемоефиолетовое смещение.

Если q=p/2, то выражение (188.1) примет вид

(188.4)

Формула (188.4) определяет так называемый поперечный эффект Доплера, наблю­даемый при движении приемника перпендикулярно линии, соединяющей его с источником.

Из выражения (188.4) следует, что поперечный эффект Доплера зависит от b², т.е. при малых b является эффектом второго порядка малости по сравнению с продольным эффектом, зависящим от b (см. (188.3)). Поэтому обнаружение поперечного эффекта Доплера связано с большими трудностями. Поперечный эффект, хотя и много меньше продольного, имеет принципиальное значение, так как не наблюдается в акустике (при v<<с из (188.4) следует, что n = n₀!), и является, следовательно, релятивистским эффек­том. Он связан с замедлением течения времени движущегося наблюдателя. Экс­периментальное обнаружение поперечного эффекта Доплера явилось еще одним под­тверждением справедливости теории относительности; он был обнаружен в 1938 г. в опытах американского физика Г. Айвса.

Продольный эффект Доплера был впервые обнаружен в 1900 г. в лабораторных условиях русским астрофизиком А. А. Белопольским (1854—1934) и повторен в 1907 г. русским физиком Б. Б. Голицыным (1862—1919). Продольный эффект Доплера ис­пользуется при исследовании атомов, молекул, а также космических тел, так как по смещению частоты световых колебаний, которое проявляется в виде смещения или уширения спектральных линий, определяется характер движения излучающих частиц или излучающих тел. Эффект Доплера получил широкое распространение в радиотех­нике и радиолокации, например в радиолокационных измерениях расстояний до движу­щихся объектов.

§ 189. Излучение Вавилова — Черенкова

Российский физик П. А. Черенков (1904—1990), работавший под руководством Вави­лова, показал, что при движении релятивистских заряженных частиц в среде с постоян­ной скоростью v, превышающей фазовую скорость света в этой среде, т. е. при условии v>c/n (n—показатель преломления среды), возникает электромагнитное излучение, названное впоследствииизлучением (эффектом) Вавилова — Черенкова. Природа дан­ного излучения, обнаруженного для разнообразных веществ, в том числе и для чистых жидкостей, подробно изучалась С. И. Вавиловым. Он показал, что данное свечение не является люминесценцией (см. § 245), как считалось ранее, и высказал предположение, что оно связано с движением свободных электронов сквозь вещество.

Излучение Вавилова — Черенкова в 1937 г. было теоретически объяснено российс­кими учеными И. Е. Таммом (1895—1971) и И. М. Франком (р. 1908) (Черенков, Тамм и Франк в 1958 г. удостоены Нобелевской премии).

Согласно электромагнитной теории, заряженная частица (например, электрон) излучает электромагнитные волны лишь при движении с ускорением. Тамм и Франк показали, что это утверждение справедливо только до тех пор, пока скорость заряжен­ной частицы не превышает фазовой скорости с/n электромагнитных волн в среде, в которой частица движется. Если частица обладает скоростью v>c/n, то, даже двигаясь равномерно, она будет излучать электромагнитные волны. Таким образом, согласно теории Тамма и Франка, электрон, движущийся в прозрачной среде со скоростью, превышающей фазовую скорость света в данной среде, должен сам излу­чать свет.

Отличительной особенностью излучения Вавилова — Черенкова является его рас­пространение не по всем направлениям, а лишь по направлениям, составляющим острый угол q c траекторией частицы, т. е. вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с направлением скорости частицы. Определим угол q:

(189.1)

Возникновение излучения Вавилова — Черенкова и его направленность истолкованы Франком и Таммом на основе представлений об интерференции света с использовани­ем принципа Гюйгенса.

На основе излучения Вавилова — Черенкова разработаны широко используемые экспериментальные методы для регистрация частиц высоких энергий и определения их свойств (направление движения, величина и знак заряда, энергия). Счетчики для регистрации заряженных частиц, в которых используется излучение Вавилова — Чере­нкова, получили название черенковских счетчиков. В этих счетчиках частица регист­рируется практически мгновенно (при движении заряженной частицы в среде со скоро­стью, превышающей фазовую скорость света в данной среде, возникает световая вспышка, преобразуемая с помощью фотоэлектронного умножителя (см. § 105) в им­пульс тока). Это позволило в 1955 г. итальянскому физику Э. Сегре (р. 1905) открыть в черенковском счетчике короткоживущую античастицу — антипротон.

Задачи

24.1. На грань стеклянной призмы (n =1,5) нормально падает луч света. Определить угол отклонения луча призмой, если ее преломляющий угол равен 25°. [14°21’]

24.2. При прохождении света в некотором веществе пути х его интенсивность уменьшилась в два раза. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении им пути 4х. [В 16 раз]

24.3. Источник монохроматического света с длиной волны l₀=0,6 мкм движется по направле­нию к наблюдателю со скоростью v=0,15 с (с — скорость света в вакууме). Определить длину волны l, которую зарегистрирует приемник. [516 нм]

24.4.Определить минимальную кинетическую энергию (в мегаэлектрон-вольтах), которой дол­жен обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления п =1,5 возникло излучение Вавилова — Черенкова. [0,17 МэВ]

Глава 25 Поляризация света

§ 190. Естественный и поляризованный свет

Следствием теории Максвелла (см. § 162) является поперечность световых волн: векторы напряженностей электрического Е и магнитного Н полей волны взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости v распространения волны (перпендикулярно лучу). Поэтому для описания закономерностей поляризации света достаточно знать поведение лишь одного из векторов. Обычно все рассуждения ведутся относительно светового вектора — вектора напряженности Е электрического поля (это название обусловлено тем, что при действии света на вещество основное значение имеет электрическая составляющая поля волны, действующая на электроны в атомах вещества).

Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Атомы же излучают световые волны независимо друг от друга, поэтому световая волна, излучаемая телом в целом, характеризуется всевозможными равнове­роятными колебаниями светового вектора (рис. 272, а; луч перпендикулярен плоскости рисунка). В данном случае равномерное распределение векторов Е объясняется боль­шим числом атомарных излучателей, а равенство амплитудных значений векторов Е — одинаковой (в среднем) интенсивностью излучения каждого из атомов. Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора Е (и, следовательно, Н) называется естественным.

Свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то образом упорядочены, называется поляризованным. Так, если в результате каких-либо внешних воздействий появляется преимущественное (но не исключительное!) направление коле­баний вектора Е (рис. 272, б), то имеем дело с частично поляризованным светом. Свет, в котором вектор Е (и, следовательно, Н) колеблется только в одном направлении, перпендикулярном лучу (рис. 272, в), называется плоскополяризованным (линейно поляризованным).

Плоскость, проходящая через направление колебаний светового вектора плоскополяризованной волны и направление распространения этой волны, называется плоско­стью поляризации. Плоскополяризованный свет является предельным случаем эллиптически поляризованного света — света, для которого вектор Е (вектор Н) изменяется со временем так, что его конец описывает эллипс, лежащий в плоскости, перпен­дикулярной лучу. Если эллипс поляризации вырождается (см. § 145) в прямую (при разности фаз j, равной нулю или p), то имеем дело с рассмотренным выше плоскополяризованным светом, если в окружность (при j = ±p/2 и равенстве амплитуд склады­ваемых волн), то имеем дело с циркулярно поляризованным (поляризованным по кругу) светом.

Степенью поляризации называется величина

где I_max, и I_min — соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором. Для естественного света I_max=I_min и Р=0, для плоскополяризованного I_min =0 и Р=1.

Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный, используя так называемые поляризаторы, пропускающие колебания только определенного направле­ния (например, пропускающие колебания, параллельные главной плоскости поляриза­тора, и полностью задерживающие колебания, перпендикулярные этой плоскости). В качестве поляризаторов могут быть использованы среды, анизотропные в отношении колебаний вектора Е, например кристаллы (их анизотропия известна, см. § 70). Из природных кристаллов, давно используемых в качестве поляризатора, следует от­метить турмалин.

Рассмотрим классические опыты с турмалином (рис. 273). Направим естественный свет перпендикулярно пластинке турмалина T₁, вырезанной параллельно так называ­емой оптической оси ОО' (см. § 192). Вращая кристалл T₁ вокруг направления луча, никаких изменений интенсивности прошедшего через турмалин света не наблюдаем. Если на пути луча поставить вторую пластинку турмалина T₂ и вращать ее вокруг направления луча, то интенсивность света, прошедшего через пластинки, меняется в зависимости от угла к между оптическими осями кристалловпо закону Малюса*:

(190.1)

где I₀ и I — соответственно интенсивности света, падающего на второй кристалл и вышедшего из него.

* Э. Малюс (1775—1812) — французский физик.

 

Следовательно, интенсивность прошедшего через пластинки света изменится от минимума (полное гашение света) при a=p/2 (оптические оси пластинок перпендикулярны) да максимума при a=0 (оптические оси пластинок парал­лельны). Однако, как это следует из рис. 274, амплитуда Е световых колебаний, прошедших через пластинку Т₂, будет меньше амплитуды световых колебаний Е₀, падающих на пластинку T₂.

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то и получается выражение (190.1).

Результаты опытов с кристаллами турмалина объясняются довольно просто, если исходить из изложенных выше условий пропускания света поляризатором. Первая пластинка турмалина пропускает колебания только определенного направления (на рис. 273 это направление показано стрелкой AВ), т. е. преобразует естественный свет в плоскополяризованный. Вторая же пластинка турмалина в зависимости от ее ориен­тации из поляризованного света пропускает большую или меньшую его часть, которая соответствует компоненту Е, параллельному оси второго турмалина. На рис. 273 обе пластинки расположены так, что направления пропускаемых ими колебаний АВ и А'В' перпендикулярны друг другу. В данном случае Т₁ пропускает колебания, направленные по АВ, а Т₂ их полностью гасит, т.е. за вторую пластинку турмалина свет не проходит.

Пластинка Т₁, преобразующая естественный свет в плоскополяризованный, являет­сяполяризатором. Пластинка Т₂, служащая для анализа степени поляризации света, называется анализатором. Обе пластинки совершенно одинаковы (их можно поменять местами).

Если пропустить естественный свет через два поляризатора, главные плоскости которых образуют угол a, то из первого выйдет плоскополяризованный свет, интенсив­ность которого I₀=¹/₂I_ест, из второго, согласно (190.1), выйдет свет интенсивностью I=I₀cos²a . Следовательно, интенсивность света, прошедшего через два поляризатора,

откуда I₀=¹/₂I_ест (поляризаторы параллельны) и I_min = 0 (поляризаторы скрещены).

§ 191. Поляризация света при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков

Если естественный свет падает на границу раздела двух диэлектриков (например, воздуха и стекла), то часть его отражается, а часть преломляется в распространяется во второй среде. Устанавливая на пути отраженного и преломленного лучей анализатор (например, турмалин), убеждаемся в том, что отраженный и преломленный лучи частично поляризованы: при поворачивании анализатора вокруг лучей интенсивность света периодически усаливается и ослабевает (полного гашения не наблюдается!). Дальнейшие исследования показали, что в отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения (на рис. 275 они обозначены точками), в прелом­ленном — колебания, параллельные плоскости падения (изображены стрелками).

Степень поляризации (степень выделения световых волн с определенной ориентаци­ей электрического (и магнитного) вектора) зависит от угла падения лучей и показателя преломления. Шотландский физик Д. Брюстер (1781—1868) установил закон, согласно которому при угле падения i_B (угол Брюстера), определяемого соотношением

(n₂₁ — показатель преломления второй среды относительно первой), отраженный луч является плоскополяризованным (содержит только колебания, перпендикулярные плос­кости падения) (рис. 276). Преломленный же луч при угле падения i_B поляризуется максимально, но не полностью.

Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженный и прело­мленный лучи взаимно перпендикулярны (tgi_B = sini_B/cosi_B, n₂₁=sini_B/sini₂ (i₂ — угол преломления), откуда cosi_B=sini₂). Следовательно, i_B + i₂ = p/2, но i’_B = i_B (закон от­ражения), поэтому i’_B + i₂ = p/2.

Степень поляризации отраженного и преломленного света при различных углах падения можно рассчитать из уравнений Максвелла, если учесть граничные условия для электромагнитного поля на границе раздела двух изотропных диэлектриков (так называемыеформулы Френеля).

Степень поляризации преломленного света может быть значительно повышена (многократным преломлением при условии падения света каждый раз на границу раздела под углом Брюстера). Если, например, для стекла (п= 1,53) степень поляриза­ции преломленного луча составляет »15%, то после преломления на 8—10 наложен­ных друг на друга стеклянных пластинок вышедший из такой системы свет будет практически полностью поляризованным. Такая совокупность пластинок называется стопой. Стопа может служить для анализа поляризованного света как при его отраже­нии, так и при его преломлении.

§ 192. Двойное лучепреломление

Все прозрачные кристаллы (кроме кристаллов кубической системы, которые оптически изотропны) обладают способностью двойного лучепреломления, т. е. раздваивания каждого падающего на них светового пучка. Это явление, в 1669 г. впервые обнаружен­ное датским ученым Э. Бартолином (1625—1698) для исландского шпата (разновид­ность кальцита СаСОз), объясняется особенностями распространения света в анизот­ропных средах и непосредственно вытекает из уравнений Максвелла.

Если на толстый кристалл исландского шпата направить узкий пучок света, то из кристалла выйдут два пространственно разделенных луча, параллельных друг другу и падающему лучу (рис. 277). Даже в том случае, когда первичный пучок падает на кристалл нормально, преломленный пучок разделяется на два, причем один из них является продолжением первичного, а второй отклоняется (рис. 278). Второй из этих лучей получил название необыкновенного (e), а первый — обыкновенного (о).

В кристалле исландского шпата имеется единственное направление, вдоль которого двойное лучепреломление не наблюдается. Направление в оптически анизотропном кристалле, по которому луч света распространяется, не испытывая двойного луче­преломления, называется оптической осью кристалла. В данном случае речь идет именно о направлении, а не о прямой линии, проходящей через какую-то точку кристалла. Любая прямая, проходящая параллельно данному направлению, является оптической осью кристалла. Кристаллы в зависимости от типа их симметрии бывают одноосные и двуосные, т.е. имеют одну или две оптические оси (к первым и относится исландский шпат).

Исследования показывают, что вышедшие из кристалла лучи плоскополяризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Плоскость, проходящая через направление луча света и оптическую ось кристалла, называется главной плоскостью (или главным сечением кристалла). Колебания светового вектора (вектора напряженности Е элект­рического поля) в обыкновенном луче происходят перпендикулярно главной плоскости, в необыкновенном — в главной плоскости (рис. 278).

Неодинаковое преломление обыкновенного и необыкновенного лучей указывает на различие для них показателей преломления. Очевидно, что при любом направлении обыкновенного луча колебания светового вектора перпендикулярны оптической оси кристалла, поэтому обыкновенный луч распространяется по всем направлениям с оди­наковой скоростью и, следовательно, показатель преломления n_o для него есть вели­чина постоянная. Для необыкновенного же луча угол между направлением колебаний светового вектора и оптической осью отличен от прямого и зависит от направления луча, поэтому необыкновенные лучи распространяются по различным направлениям с разными скоростями. Следовательно, показатель преломления п_e необыкновенного луча является переменной величиной, зависящей от направления луча. Таким образом, обыкновенный луч подчиняется закону преломления (отсюда и название «обыкновен­ный»), а для необыкновенного луча этот закон не выполняется. После выхода из кристалла, если не принимать во внимание поляризацию во взаимно перпендикуляр­ных плоскостях, эти два луча ничем друг от друга не отличаются.

Как уже рассматривалось, обыкновенные лучи распространяются в кристалле по всем направлениям с одинаковой скоростью v_o=c/n_o, а необыкновенные — с разной скоростью v_e=с/п_e (в зависимости от угла между вектором Е и оптической осью). Для луча, распространяющегося вдоль оптической оси, n_o=n_e, v_o=v_e, т.е. вдоль оптической оси существует только одна скорость распространения света. Различие в v_e и v_o для всех направлений, кроме направления оптической оси, и обусловливает явление двойного лучепреломления света в одноосных кристаллах.

Допустим, что в точке S внутри одноосного кристалла находится точечный источ­ник света. На рис. 279 показано распространение обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле (главная плоскость совпадает с плоскостью чертежа, OO' — направ­ление оптической оси). Волновой поверхностью обыкновенного луча (он распространя­ется с v_o=const) является сфера, необыкновенного луча (v_e¹const) — эллипсоид враще­ния. Наибольшее расхождение волновых поверхностей обыкновенного и необыкновен­ного лучей наблюдается в направлении, перпендикулярном оптической оси. Эллипсоид и сфера касаются друг друга в точках их пересечения с оптической осью OO'. Если v_e<v_o (n_e>n_o), то эллипсоид необыкновенного луча вписан в сферу обыкновенного луча (эллипсоид скоростей вытянут относительно оптической оси) иодноосный кристаллназываетсяположительным (рис. 279, а). Если v_e>v_o (n_e<n_o), то эллипсоид описан вокруг сферы (эллипсоид скоростей растянут в направлении, перпендикулярном оп­тической оси) и одноосный кристалл называется отрицательным (рис. 279, б). Рассмот­ренный выше исландский шпат относится к отрицательным кристаллам.

В качестве примера построения обыкновенного и необыкновенного лучей рассмот­рим преломление плоской волны на границе анизотропной среды, например положи­тельной (рис. 280). Пусть свет падает нормально к преломляющей грани кристалла, а оптическая ось OO' составляет с нею некоторый угол. С центрами в точках А и В по­строим сферические волновые поверхности, соответствующие обыкновенному лучу, и эллипсоидальные — необыкновенному лучу. В точке, лежащей на OO', эти поверх­ности соприкасаются. Согласно принципу Гюйгенса, поверхность, касательная к сфе­рам, будет фронтом (а—а) обыкновенной волны, поверхность, касательная к эллипсо­идам, — фронтом (b—b) необыкновенной волны. Проведя к точкам касания прямые, получим направления распространения обыкновенного (о) и необыкновенного (е) лу­чей. Таким образом, в данном случае обыкновенный луч пойдет вдоль первоначаль­ного направления, необыкновенный же отклонится от первоначального направления.

§ 193. Поляризационные призмы и поляроиды

В основе работы поляризационных приспособлений, служащих для получения поляри­зованного света, лежит явление двойного лучепреломления. Наиболее часто для этого применяютсяпризмыиполяроиды. Призмы делятся на два класса:

1) призмы, дающие только плоскополяризованный луч(поляризационные призмы);

2) призмы, дающие два поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях луча (двоякопреломляющие призмы).

Поляризационные призмы построены по принципу полного отражения (см. § 165) одного из лучей (например, обыкновенного) от границы раздела, в то время как другой луч с другим показателем преломления проходит через эту границу. Типичным пред­ставителем поляризационных призм является призма Ни2коля*, называемая часто ни2колем. Призма Николя (рис. 281) представляет собой двойную призму из исландс­кого шпата, склеенную вдоль линии АВ канадским бальзамом с п=1,55. Оптическая ось ОО' призмы составляет с входной гранью угол 48°. На передней грани призмы естественный луч, параллельный ребру СВ, раздваивается на два луча: обыкновенный (n_о=1,66) и необыкновенный (n_e=1,51). При соответствующем подборе угла падения, равного или большего предельного, обыкновенный луч испытывает полное отражение (канадский бальзам для него является средой оптически менее плотной), а затем поглощается зачерненной боковой поверхностью СВ. Необыкновенный луч выходит из кристалла параллельно падающему лучу, незначительно смещенному относительно него (ввиду преломления на наклонных гранях АС и BD).

* У. Николь (1768—1851) — шотландский ученый.

 

Двоякопреломляющие призмы используют различие в показателях преломления обыкновенного и необыкновенного лучей, чтобы развести их возможно дальше друг от друга. Примером двоякопреломляющих призм могут служить призмы из исландского шпата и стекла, призмы, составленные из двух призм из исландского пшата со взаимно перпендикулярными оптическими осями. Для первых призм (рис. 282) обыкновенный луч преломляется в шпате и стекле два раза и, следовательно, сильно отклоняется, необыкновенный же луч при соответствующем подборе показателя преломления стекла n (n»n_e) проходит призму почти без отклонения. Для вторых призм различие в ориентировке оптических осей влияет на угол расхождения между обыкновенным и необыкновенным лучами.

Двоякопреломляющие кристаллы обладают свойством дихроизма, т. е. различного поглощения света в зависимости от ориентации электрического вектора световой волны, и называются дихроичными кристаллами. Примером сильно дихроичного кри­сталла является турмалин, в котором из-за сильного селективного поглощения обык­новенного луча уже при толщине пластинки 1 мм из нее выходит только необыкновен­ный луч. Такое различие в поглощении, зависящее, кроме того, от длины волны, приводит к тому, что при освещении дихроичного кристалла белым светом кристалл по разным направлениям оказывается различно окрашенным.

Дихроичиые кристаллы приобрели еще более важное значение в связи с изобретени­ем поляроидов. Примером поляроида может служить тонкая пленка из целлулоида, в которую вкраплены кристаллики герапатита (сернокислого иод-хинина). Герапатит — двоякопреломляющее вещество с очень сильно выраженным дихроизмом в об­ласти видимого света. Установлено, что такая пленка уже при толщине »0,1 мм полностью поглощает обыкновенные лучи видимой области спектра, являясь в таком тонком слое совершенным поляризатором. Преимущество поляроидов перед призмами — возможность изготовлять их с площадями поверхностей до нескольких квадрат­ных метров. Однако степень поляризации в них сильнее зависит от l, чем в призмах. Кроме того, их меньшая по сравнению с призмами прозрачность (приблизительно 30%) в сочетании с небольшой термостойкостью не позволяет использовать поляро­иды в мощных световых потоках. Поляроиды применяются, например, для защиты от ослепляющего действия солнечных лучей и фар встречного автотранспорта.

Разные кристаллы создают различное по значению и направлению двойное луче­преломление, поэтому, пропуская через них поляризованный свет и измеряя изменение его интенсивности после прохождения кристаллов, можно определить их оптические характеристики и производить минералогический анализ. Для этой цели используются поляризационные микроскопы.

§ 194. Анализ поляризованного света

Пусть на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, нор­мально падает плоскополяризованный свет (рис. 283). Внутри пластинки он разбивает­ся на обыкновенный (о) и необыкновенный (е) лучи, которые в кристалле пространст­венно не разделены (но движутся с разными скоростями), а на выходе из кристалла складываются.

Так как в обыкновенном и необыкновенном лучах колебания светового вектора совершаются во взаимно перпендикулярных направлениях, то на выходе из пластинки в результате сложения этих колебаний возникают световые волны, вектор Е (а следо­вательно, и Н) в которых меняется со временем так, что его конец описывает эллипс, ориентированный произвольно относительно координатных осей. Уравнение этого эллипса (см. (145.2)):

(194.1)

где Е_o и Е_e — соответственно составляющие напряженности электрического поля вол­ны в обыкновенном и необыкновенном лучах, j — разность фаз колебаний. Таким образом, в результате прохождения через кристаллическую пластинку плоскополяризованный свет превращается в эллиптически поляризованный.

Между обыкновенным и необыкновенным лучами в пластинке возникает оптичес­кая разность хода

или разность фаз

где d — толщина пластинки, l₀ — длина волны света в вакууме.

Если D = (n_o– n_e) d = l/4, j = ±p/2, то уравнение (194.1) примет вид

т. е. эллипс ориентирован относительно главных осей кристалла. При E_o=Е_e, (если световой вектор в падающем на пластинку плоскополяризованном свете составляет угол a = 45° с направлением оптической оси пластинки)

т. е. на выходе из пластинки свет оказывается циркулярно поляризованным.

Вырезанная параллельно оптической оси пластинка, для которой оптическая раз­ность хода

называетсяпластинкой в четверть волны (пластинкой l/4). Знак плюс соответствует отрицательным кристаллам, минус — положительным. Плоскополяризованный свет, пройдя пластинку l/4, на выходе превращается в эллиптически поляризованный (в частном случае циркулярно поляризованный). Конечный результат, как уже рассматри­вали, определяется разностью фаз j и углом a. Пластинка, для которой

называетсяпластинкой в полволныи т. д.

В циркулярно поляризованном свете разность фаз j между любыми двумя взаимно перпендикулярными колебаниями равна ±p/2. Если на пути такого света поставить пластинку l/4, то она внесет дополнительную разность фаз ±p/2. Результирующая разность фаз станет равной 0 или p. Следовательно (см. (194.1)), циркулярно поляризо­ванный свет, пройдя пластинку l/4, становится плоскополяризованным. Если теперь на пути луча поставить поляризатор, то можно добиться полного его гашения. Если же падающий свет естественный, то он при прохождении пластинки l/4 таковым и оста­нется (ни при каком положении пластинки и поляризатора погашения луча не достичь).

Таким образом, если при вращении поляризатора при любом положении пластинки интенсивность не меняется, то падающий свет естественный. Если интенсивность меняется и можно достичь полного гашения луча, то падающий свет циркулярно поляризованный; если полного гашения не достичь, то падающий свет представляет смесь естественного и циркулярно поляризованного.

Если на пути эллиптически поляризованного света поместить пластинку l/4, оп­тическая ось которой ориентирована параллельно одной из осей эллипса, то она внесет дополнительную разность фаз ±p/2. Результирующая разность фаз станет равной нулю или p. Следовательно, эллиптически поляризованный свет, пройдя пластинку l/4, повернутую определенным образом, превращается в плоскополяризованный и может быть погашен поворотом поляризатора. Этим методом можно отличить эллиптически поляризованный свет от частично поляризованного или циркулярно поляризованный свет от естественного.

§ 195. Искусственная оптическая анизотропия

Двойное лучепреломление имеет место в естественных анизотропных средах (см. § 192). Существуют, однако, различные способы получения искусственной оптической анизотропии, т. е. сообщения оптической анизотропии естественно изотропным веществам.

Оптически изотропные вещества становятся оптически анизотропными под дейст­вием: 1) одностороннего сжатия или растяжения (кристаллы кубической системы, стекла и др.); 2) электрического поля (эффект Керра*; жидкости, аморфные тела, газы); 3) магнитного поля (жидкости, стекла, коллоиды). В перечисленных случаях вещество приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого со­впадает с направлением деформации, электрического или магнитного полей соответст­венно указанным выше воздействиям.

* Д. Керр (1824—1904) — шотландский физик.

 

Мерой возникающей оптической анизотропии служит разность показателей прело­мления обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси:

(195.1)

где k₁, k₂, k₃ — постоянные, характеризующие вещество, s — нормальное напряжение (см. § 21), Е и Н — соответственно напряженность электрического и магнитного полей.

На рис. 284 приведена установка для наблюдения эффекта Керра в жидкостях (установки для изучения рассмотренных явлений однотипны). Ячейка Керра — кювета с жидкостью (например, нитробензолом), в которую введены пластины конденсатора, помещается между скрещенными поляризатором Р и анализатором А. При отсутствии электрического поля свет через систему не проходит. При наложении электрического поля жидкость становится двоякопреломляющей; при изменении разности потенци­алов между электродами меняется степень анизотропии вещества, а следовательно, и интенсивность света, прошедшего через анализатор. На пути l между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает оптическая разность хода

(с учетом формулы (195.1)) или соответственно разность фаз

где B=k₂/l — постоянная Керра.

Эффект Керра — оптическая анизотропия веществ под действием электрического поля — объясняется различной поляризуемостью молекул жидкости по разным напра­влениям. Это явление практически безынерционно, т. е. время перехода вещества из изотропного состояния в анизотропное при включении поля (и обратно) составляет приблизительно 10^–10 с. Поэтому ячейка Керра служит идеальным световым затво­ром и применяется в быстропротекающих процессах (звукозапись, воспроизводство звука, скоростная фото- и киносъемка, изучение скорости распространения света и т. д.), в оптической локации, в оптической телефонии и т. д.

Искусственная анизотропия под действием механических воздействий позволяет исследовать напряжения, возникающие в прозрачных телах. В данном случае о степени деформации отдельных участков изделия (например, остаточных деформаций в стекле при закалке) судят по распределению в нем окраски. Так как применяемые обычно в технике материалы (металлы) непрозрачны, то исследование напряжений производят на прозрачных моделях, а потом делают соответствующий пересчет на проектируемую конструкцию.

§ 196. Вращение плоскости поляризации

Некоторые вещества (например, из твердых тел — кварц, сахар, киноварь, из жид­костей — водный раствор сахара, винная кислота, скипидар), называемыеоптически активными, обладают способностью вращать плоскость поляризации.

Вращение плоскости поляризации можно наблюдать на следующем опыте (рис. 285). Если между скрещенными поляризатором Р и анализатором А, дающими темное поле зрения, поместить оптически активное вещество (например, кювету с раствором сахара), то поле зрения анализатора просветляется. При повороте анализатора на некоторый угол j можно вновь получить темное поле зрения. Угол j и есть угол, на который оптически активное вещество поворачивает плоскость поляризации света, прошедшего через поляризатор. Так как поворотом анализатора можно получить темное поле зрения, то свет, прошедший через оптически активное вещество, является плоскополяризованным.

Опыт показывает, что угол поворота плоскости поляризации для оптически актив­ных кристаллов и чистых жидкостей

для оптически активных растворов

(196.1)

где d — расстояние, пройденное светом в оптически активном веществе, a([a]) — так называемое удельное вращение, численно равное углу поворота плоскости поляризации света слоем оптически активного вещества единичной толщины (единичной концент­рации — для растворов), С — массовая концентрация оптически активного вещества в растворе, кг/м³. Удельное вращение зависит от природы вещества, температуры и длины волны света в вакууме.

Опыт показывает, что все вещества, оптически активные в жидком состоянии, обладают таким же свойством и в кристаллическом состоянии. Однако если вещества активны в кристаллическом состоянии, то не всегда активны в жидком (например, расплавленный кварц). Следовательно, оптическая активность обусловливается как строением молекул вещества (их асимметрией), так и особенностями расположения частиц в кристаллической решетке.

Оптически активные вещества в зависимости от направления вращения плоскости поляризации разделяются на право- и левовращающие. В первом случае плоскость поляризации, если смотреть навстречу лучу, вращается вправо (по часовой стрелке), во втором — влево (против часовой стрелки). Вращение плоскости поляризации объяс­нено О. Френелем (1817 г.). Согласно теории Френеля, скорость распространения света в оптически активных веществах различна для лучей, поляризованных по кругу вправо и влево.

Явление вращения плоскости поляризации и, в частности, формула (196.1) лежат в основе точного метода определения концентрации растворов оптически активных веществ, называемого поляриметрией (сахариметрией). Для этого используется установ­ка, показанная на рис. 285. По найденному углу поворота плоскости поляризации j и известному значению [a] из (196.1) находится концентрация растворенного вещества.

Впоследствии М. Фарадеем было обнаружено вращение плоскости поляризации в оптически неактивных телах, возникающее под действием магнитного поля. Это явление получило название эффект Фарадея (или магнитного вращения плоскости поляризации). Оно имело огромное значение для науки, так как было первым явлением, в котором обнаружилась связь между оптическими и электромагнитными процессами.

 

Глава 26 Квантовая природа излучения

§ 197. Тепловое излучение и его характеристики

Тела, нагретые до достаточно высоких температур, светятся. Свечение тел, обусловлен­ное нагреванием, называется тепловым (температурным) излучением. Тепловое излуче­ние, являясь самым распространенным в природе, совершается за счет энергии тепло­вого движения атомов и молекул вещества (т. е. за счет его внутренней энергии) и свойственно всем телам при температуре выше 0 К. Тепловое излучение характеризу­ется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) элект­ромагнитные волны, при низких — преимущественно длинные (инфракрасные).

Тепловое излучение — практически единственный вид излучения, который может быть равновесным. Предположим, что нагретое (излучающее) тело помещено в по­лость, ограниченную идеально отражающей оболочкой. С течением времени, в резуль­тате непрерывного обмена энергией между телом и излучением, наступит равновесие, т. е. тело в единицу времени будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать. Допустим, что равновесие между телом и излучением по какой-либо причине нарушено и тело излучает энергии больше, чем поглощает. Если в единицу времени тело больше излучает, чем поглощает (или наоборот), то температура тела начнет понижаться (или повышаться). В результате будет ослабляться (или возрастать) количество излучаемой телом энергии, пока, наконец, не установится равновесие. Все другие виды излучения неравновесны.

Количественной характеристикой теплового излучения служит спектральная плот­ность энергетической светимости (излучательности) тела — мощность излучения с еди­ницы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины:

где d— энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу време­ни (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в интервале частот от n до n+dn.

Единица спектральной плотности энергетической светимости (R_n,T) —джоуль на метр в квадрате (Дж/м²).

Записанную формулу можно представить в виде функции длины волны:

Так как c=ln, то

где знак минус указывает на то, что с возрастанием одной из величин (n или l) другая величина убывает. Поэтому в дальнейшем знак минус будем опускать. Таким образом,

(197.1)

С помощью формулы (197.1) можно перейти от R_n,T к R_l,T и наоборот.

Зная спектральную плотность энергетической светимости, можно вычислить интег­ральную энергетическую светимость (интегральную излучательность) (ее называют про­сто энергетической светимостью тела), просуммировав по всем частотам:

(197.2)

Способность тел поглощать падающее на них излучение характеризуется спект­ральной поглощательной способностью

показывающей, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волнами с частота­ми от n до n+dn, поглощается телом. Спектральная поглощательная способ­ность — величина безразмерная. Величины R_n,T и А_n,T зависят от природы тела, его термодинамической температуры и при этом различаются для излучений с различными частотами. Поэтому эти величины относят к определенным Т и n (вернее, к достаточно узкому интервалу частот от n до n+dn).

Тело, способное поглощать полностью при любой температуре все падающее на него излучение любой частоты, называется черным. Следовательно, спектральная поглощательная способность черного тела для всех частот и температур тождественно равна единице (). Абсолютно черных тел в природе нет, однако такие тела, как сажа, платиновая чернь, черный бархат и некоторые другие, в определенном интервале частот по своим свойствам близки к ним.

Идеальной моделью черного тела является замкнутая полость с небольшим отвер­стием О, внутренняя поверхность которой зачернена (рис. 286). Луч света, попавший внутрь такой полости, испытывает многократные отражения от стенок, в результате чего интенсивность вышедшего излучения оказывается практически равной нулю. Опыт показывает, что при размере отверстия, меньшего 0,1 диаметра полости, пада­ющее излучение всех частот полностью поглощается. Вследствие этого открытые окна домов со стороны улицы кажутся черными, хотя внутри комнат достаточно светло из-за отражения света от стен.

Наряду с понятием черного тела используют понятие серого тела — тела, поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зави­сит только от температуры, материала и состояния поверхности тела. Таким образом, для серого тела =A_T = const<l.

Исследование теплового излучения сыграло важную роль в создании квантовой теории света, поэтому необходимо рассмотреть законы, которым оно подчиняется.

§ 188. Закон Кирхгофа

Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновес­ного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной поглощательной способностью тел. Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры (закон Кирхгофа):

(198.1)

Для черного тела , поэтому из закона Кирхгофа (см. (198.1)) вытекает, что R_n,T для черного тела равна r_n,T. Таким образом,универсальная функция Кирхгофа r_n,T есть не что иное,как спектральная плотность энергетической светимости черного тела. Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости черного тела при той же температуре и частоте.

Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимо­сти любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости черного тела (при тех же значениях Т и n), так как А_n,T< 1 и поэтому R_n,T <r_n,T. Кроме того, из (198.1) вытекает, что если тело при данной температуре Т не поглощает электромагнитные волны в интервале частот от n до n+dn, то оно их в этом интервале частот при температуре T и не излучает, так как при А_n,T =0

R_n,T =0.

Используя закон Кирхгофа, выражение для энергетической светимости тела (197.2) можно записать в виде

Для серого тела

(198.2)

где

— энергетически светимость черного тела (зависит только от температуры).

Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настолько харак­терным для него, что может служить надежным критерием для определения природы излучения. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется, не является тепловым.

§ 199. Законы Стефана — Больцмана и смещения Вина

Из закона Кирхгофа (см. (198.1)) следует, что спектральная плотность энергетическое светимости черного тела является универсальное функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории тепло­вого излучения.

Австрийский физик И. Стефан (1835—1893), анализируя экспериментальные дан­ные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости R_e от тем­пературы. Согласно закону Стефана — Больцмана,

(199.1)

т.е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры; s — постоянная Стефана — Больцмана: ее экспери­ментальное значение равно 5,67×10^–8 Вт/(м² × К⁴).

Закон Стефана — Больцмана, определяя зависимость R_е от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из эксперимен­тальных кривых зависимости функции r_l,T от длины волны l при различных температурах (рис. 287) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости r_l,T от l и осью абсцисс, пропорциональна энер­гетической светимости R_e черного тела и, следовательно, по закону Стефана — Больц­мана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик В. Вин (1864—1928), опираясь на законы термо- и электродинами­ки, установил зависимость длины волны l_max, соответствующей максимуму функции r_l,T, от температуры Т. Согласно закону смещения Вина,

(199.2)

т. е. длина волны l_max, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости r_l,T черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, b — постоянная Вина; ее экспериментальное значе­ние равно 2,9×10^–3 м×К. Выражение (199.2) потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума функции r_l,T по мере возрастания температуры в область коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинновол­новое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла).

§ 200. Формулы Рэлея — Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамичес­кий подход к решению задача о нахождении универсальной функции Кирхгофа r_n,T не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зави­симости r_n,T принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877—1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, восполь­зовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

(200.1)

 

где áeñ=kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой n. Для осцил­лятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы (см. § 50), поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы áeñ=kT .

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефа­на — Больцмана (см. (199.1)) из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду. Дейст­вительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела (см. (198.3))

в то времякак по закону Стефана — Больцмана R_е пропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катаст­рофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображений:

где r_n,T —спектральная плотность энергетической светимости черного тела, С и А — постоянные величины. В современных обозначениях с использованием постоянной Планка, которая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть записан в виде

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося поло­жения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изме­няться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

(200.2)

где h= 6,625×10^–34 Дж×с —постоянная Планка. Так как излучение испускается порци­ями, то энергия осциллятора e может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e₀:

В данном случае среднюю энергию áeñ осциллятора нельзя принимать равной kT. В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана (§ 45), средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

(200.3)

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседа­нии Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

В области малых частот, т. е. при hn<<kT (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка (200.3) совпадает с формулой Рэлея — Джинса (200.1). Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (200.3), найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея — Джинса (200.1).

Из формулы Планка можно получить закон Стефана—Больцмана. Согласно (198.3) и (200.3),

Введем безразмерную переменную x=hn/(kt); dx=hdn/(kT); dn=kTdx/h. Формула для R_e преоб­разуется к виду

(200.4)

где так как Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить закон Стефана — Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подстановка числовых значений k, с и h дает для постоянной Стефана — Больцмана значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Закон смещения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):

откуда

Значение l_max, при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту произ­водную. Тогда, введя x=hc/(kTl_max), получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает x=4,965. Следовательно, hc/(kTl_max)=4,965, откуда

т. е. получили закон смещения Вина (см. (199.2)).

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана — Больцмана s и Вина b. С другой стороны, зная эксперимен­тальные значения s и b, можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с эксперименталь­ными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революцион­ной квантовой гипотезе Планка.

§ 201. Оптическая пирометрия. Тепловые источники света

Законы теплового излучения используются для измерения температуры раскаленных и самосветящихся тел (например, звезд). Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости или интегральной энергетической светимости тел от температуры, называются оптической пирометрией. Приборы для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называются пирометрами. В зави­симости от того, какой закон теплового излучения используется при измерении тем­пературы тел, различают радиационную, цветовую и яркостную температуры.

1. Радиационная температура — это такая температура черного тела, при которой его энергетическая светимость R_e (см. (198.3)) равна энергетической светимости R_T (см. (197.2)) исследуемого тела. В данном случае регистрируется энергетическая светимость исследуемого тела и по закону Стефана — Больцмана (199.1) вычисляется его радиаци­онная температура:

Радиационная температура T_р тела всегда меньше его истинной температуры Т. Для доказательства этого предположим, что исследуемое тело является серым. Тогда, используя (199.1) и (198.2), можно записать

С другой стороны,

Из сравнения этих выражений вытекает, что

Так как А_T< 1, то T_р< T, т. е. истинная температура тела всегда выше радиационной.

2. Цветовая температура. Для серых тел (или тел, близких к ним по свойствам) спектральная плотность энергетической светимости

где A_T=const<1. Следовательно, распределение энергии в спектре излучения серого тела такое же, как и в спектре черного тела, имеющего ту же температуру, поэтому к серым телам применим закон смещения Вина (см. (199.2)). Зная длину волны l_max, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости R_l,T исследуемого тела, можно определить его температуру

которая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Для тел, которые сильно отличаются от серых (например, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой температуры теряет смысл. Таким способом определяется температура на поверхности Солнца (T_ц»6500 К) и звезд.

3. Яркостная температуря Т_я —это температура черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, т. е.

(201.1)

где Т— истинная температура тела. По закону Кирхгофа (см. (198.1)), для исследу­емого тела при длине волны l

(201.2)

или, учитывая (201.1),

Taк как для нечерных тел А<1, то r_l,Tя<r_l,T и, следовательно, T_я<Т, т. е. истинная температура тела всегда выше яркостной.

В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с исчезающей нитью. Накал нити пирометра подбирается таким, чтобы выполнялось условие (201.1). В данном случае изображение нити пирометра становится неразличимым на фоне поверхности раскаленного тела, т. е. нить как бы «исчезает». Используя проградуированный по черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную тем­пературу.

Зная поглощательную способность А_l,Т тела при той же длине волны, по яркостной температуре можно определить истинную. Переписав формулу Планка (200.3) в виде

и учитывая это в (201.2), получим

т. е. при известных А_l,Т и l можно определить истинную температуру исследуемого тела.

4. Тепловые источники света. Свечение раскаленных тел используется для создания источников света, первые из которых — лампы накаливания и дуговые лампы — были соответственно изобретены русскими учеными Л. Н. Лодыгиным в 1873 г. и П. Н. Яблочковым в 1876 г.

На первый взгляд кажется, что черные тела должны быть наилучшими тепловыми источниками света, так как их спектральная плотность энергетической светимости для любой длины волны больше спектральной плотности энергетической светимости нечерных тел, взятых при одинаковых температурах. Однако оказывается, что для некоторых тел (например, вольфрама), обладающих селективностью теплового излуче­ния, доля энергии, приходящаяся на излучение в видимой области спектра, значительно больше, чем для черного тела, нагретого до той же температуры. Поэтому вольфрам, обладая еще и высокой температурой плавления, является наилучшим материалом для изготовления нитей ламп.

Температура вольфрамовой нити в вакуумных лампах не должна превышать 2450 К, поскольку при более высоких температурах происходит ее сильное распыление. Максимум излучения при этой температуре соответствует длине волны »1,1 мкм, т. е. очень далек от максимума чувствительности человеческого глаза (»0,55 мкм). Напол­нение баллонов ламп инертными газами (например, смесью криптона и ксенона с добавлением азота) при давлении »50 кПа позволяет увеличить температуру нити до 3000 К, что приводит к улучшению спектрального состава излучения. Однако светоотдача при этом не увеличивается, так как возникают дополнительные потери энергии из-за теплообмена между нитью и газом вследствие теплопроводности и кон­векции. Для уменьшения потерь энергии за счет теплообмена и повышения светоотдачи газонаполненных ламп нить изготовляют в виде спирали, отдельные витки которой обогревают друг друга. При высокой температуре вокруг этой спирали образуется неподвижный слой газа и исключается теплообмен вследствие конвекции. Энергетичес­кий к.п.д. ламп накаливания в настоящее время не превосходит 5%.

§ 202. Виды фотоэлектрического эффекта. Законы внешнего фотоэффекта

Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения черного тела, получила подтверждение и дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта — явле­ния, открытие и исследование которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный. Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения. Внешний фотоэффект наблюдается в тве­рдых телах (металлах, полупроводниках, диэлектриках), а также в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация). Фотоэффект обнаружен (1887 г.) Г. Герцем, наблюдавшим усиление процесса разряда при облучении искрового промежутка уль­трафиолетовым излучением.

Первые фундаментальные исследования фотоэффекта выполнены русским ученым А. Г. Столетовым. Принципиальная схема для исследования фотоэффекта приведена на рис. 289. Два электрода (катод К из исследуемого металла и анод А — в схеме Столетова применялась металлическая сетка) в вакуумной трубке подключены к бата­рее так, что с помощью потенциометра R можно изменять не только значение, но и знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим светом (через кварцевое окошко), измеряется включенным в цепь миллиамперметром. Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил следующие закономерности, не утратившие своего значения до нашего времени: 1) на­иболее эффективное действие оказывает ультрафиолетовое излучение; 2) под действи­ем света вещество теряет только отрицательные заряды; 3) сила тока, возникающего под действием света, прямо пропорциональна его интенсивности.

Дж. Дж. Томсон в 1898 г. измерил удельный заряд испускаемых под действием света частиц (по отклонению в электрическом и магнитном полях). Эти измерения показали, что под действием света вырываются электроны.

Внутренний фотоэффект — это вызванные электромагнитным излучением переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свобод­ные без вылета наружу. В результате концентрация носителей тока внутри тела увеличивается, что приводит к возникновениюфотопроводимости (повышению электропроводности полупроводника или диэлектрика при его освещении) или к возникнове­нию э.д.с.

Вентильный фотоэффект, являющийся разновидностью внутреннего фотоэффек­та, — возникновение э.д.с. (фото-э.д.с.) при освещении контакта двух разных полупро­водников или полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического поля). Вентильный фотоэффект открывает, таким образом, пути для прямого преоб­разования солнечной энергии в электрическую.

На рис. 289 приведена экспериментальная установка для исследованиявольт-ампер­ной характеристики фотоэффекта — зависимости фототока I, образуемого потоком электронов, испускаемых катодом под действием света, от напряжения U между электродами. Такая зависимость, соответствующая двум различным освещенностям Е, катода (частота света в обоих случаях одинакова), приведена на рис. 290. По мере увеличения U фототок постепенно возрастает, т. е. все большее число фотоэлектронов достигает анода. Пологий характер кривых показывает, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Максимальное значение тока I_нас —фототок насы­щения — определяется таким значением U, при котором все электроны, испускаемые катодом, достигают анода:

где n — число электронов, испускаемых катодом в 1 с.

(202.1)

Из вольт-амперной характеристики следует, что при U=0 фототок не исчезает. Следовательно, электроны, выбитые светом из катода, обладают некоторой начальной скоростью v, а значит, и отличной от нуля кинетической энергией и могут достигнуть анода без внешнего поля. Для того чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложитьзадерживающее напряжение U₀. При U=U₀ ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максимальной скоростью v_max, не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. Следовательно,

т. е., измерив задерживающее напряжение U₀, можно определить максимальные значе­ния скорости и кинетической энергии фотоэлектронов.

При изучении вольт-амперных характеристик разнообразных материалов (важна чистота поверхности, поэтому измерения проводятся в вакууме и на свежих поверх­ностях) при различных частотах падающего на катод излучения и различных энер­гетических освещенностях катода и обобщения полученных данных были установлены следующиетри закона внешнего фотоэффекта.

I. Закон Столетова: при фиксированной частоте падающего света число фотоэлект­ронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещенности Е_е ка­тода).

II. Максимальная начальная скорость (максимальная начальная кинетическая энер­гия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой n.

III. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е. мини­мальная частота n₀ света (зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.

Качественное объяснение фотоэффекта с волновой точки зрения на первый взгляд не должно было бы представлять трудностей. Действительно, под действием поля световой волны в металле возникают вынужденные колебания электронов, амплитуда которых (например, при резонансе) может быть достаточной для того, чтобы электро­ны покинули металл; тогда и наблюдается фотоэффект. Кинетическая энергия вырыва­емого из металла электрона должна была бы зависеть от интенсивности падающего света, так как с увеличением последней электрону передавалась бы большая энергия. Однако этот вывод противоречит II закону фотоэффекта. Так как, по волновой теории, энергия, передаваемая электронам, пропорциональна интенсивности света, то свет любой частоты, но достаточно большой интенсивности должен был бы вырывать электроны из металла; иными словами, красной границы фотоэффекта не должно быть, что противоречит III закону фотоэффекта. Кроме того, волновая теория не смогла объяснить безынерционность фотоэффекта, установленную опытами. Таким образом, фотоэффект необъясним с точки зрения волновой теории света.

§ 203. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Экспериментальное подтверждение квантовых свойств света

А. Эйнштейн в 1905 г. показал, что явление фотоэффекта и его закономерности могут быть объяснены на основе предложенной им квантовой теории фотоэффекта. Соглас­но Эйнштейну, свет частотой n не только испускается, как это предполагал Планк (см. § 200), но и распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых e₀=hn. Таким образом, распространение света нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализован­ных в пространстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью с рас­пространения света в вакууме. Кванты электромагнитного излучения получили назва­ние фотонов.

По Эйнштейну, каждый квант поглощается только одним электроном. Поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорционально интенсивности света (I закон фотоэффекта). Безынерционность фотоэффекта объясняется тем, что передача энергии при столкновении фотона с электроном происходит почти мгновенно.

Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы вы­хода А из металла (см. § 104) и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетичес­кой энергии mv²_max/2. По закону сохранения энергии,

(203.1)

Уравнение (203.1) называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить II и III законы фотоэффекта. Из (203.1) непосредственно следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона ли­нейно возрастает с увеличением частоты падающего излучения и не зависит от его интенсивности (числа фотонов), так как ни А, ни n от интенсивности света не зависят (II закон фотоэффекта). Так как с уменьшением частоты света кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшается (для данного металла А=const), то при некоторой достаточно малой частоте n=n₀ кинетическая энергия фотоэлектронов станет равной нулю и фотоэффект прекратится (III закон фотоэффекта). Согласно изложенному, из (203.1) получим, что

(203.2)

и есть красная граница фотоэффекта для данного металла. Она зависит лишь от работы выхода электрона, т. е. от химической природы вещества и состояния его поверхности.

Выражение (203.1) можно записать, используя (202.1) и (203.2), в виде

Уравнение Эйнштейна было подтверждено опытами Милликена. В его приборе (1916 г.) поверхность исследуемого металла подвергалась очистке в вакууме. Ис­следовалась зависимость максимальной кинетической энергии фотоэлектронов (изме­нялось задерживающее напряжение U₀ (см. (202.1)) от частоты n и определялась постоянная Планка. В 1926 г. российские физики П. И. Лукирский (1894—1954) и С. С. Прилежаев для исследования фотоэффекта применили метод вакуумного сферического конденсатора. Анодом в их установке служили посеребренные стенки стеклян­ного сферического баллона, а катодом — шарик (R »1,5 см) из исследуемого металла, помещенный в центр сферы. В остальном схема принципиально не отличается от описанной на рис. 289. Такая форма электродов позволила увеличить наклон вольт-амперных характеристик и тем самым более точно определять задерживающее напряжение U₀ (а следовательно, и h). Значение h, полученное из данных опытов, согласуется со значениями, найденными другими методами (по излучению черного тела (§ 200) и по коротковолновой границе сплошного рентгеновского спектра (§ 299)). Все это является доказательством правильности уравнения Эйнштейна, а вместе с тем и его квантовой теории фотоэффекта.

Если интенсивность света очень большая (лазерные пучки; см. § 233), то возможен многофотонный (нелинейный) фотоэффект, при котором электрон, испускаемый метал­лом, может одновременно получить энергию не от одного, а от N фотонов (N=2¸7). Уравнение Эйнштейна для многофотонного фотоэффекта

В опытах с фокусируемыми лазерными пучками плотность фотонов очень большая, поэтому электрон может поглотить не одни, а несколько фотонов. При этом электрон может приобрести энергию, необходимую для выхода из вещества, даже под действием света с частотой, меньшей красной границы — порога однофотонного фотоэффекта. В результате красная граница смещается в сторону более длинных волн.

Идея Эйнштейна о распространении света в виде потока отдельных фотонов и квантовом характере взаимодействия электромагнитного излучения с веществом подтверждена в 1922 г. опытами А. Ф. Иоффе и H. И. Добронравова. В электричес­ком поле плоского конденсатора уравновешивалась заряженная пылинка из висмута. Нижняя обкладка конденсатора изготовлялась из тончайшей алюминиевой фольги, которая являлась одновременно анодом миниатюрной рентгеновской трубки. Анод бомбардировался ускоренными до 12 кВ фотоэлектронами, испускаемыми катодом под действием ультрафиолетового излучения. Освещенность катода подбиралась столь слабой, чтобы из него в 1 с вырывалось лишь 1000 фотоэлектронов, а следовательно, и число рентгеновских импульсов было 1000 в 1 с. Опыт показал, что в среднем через каждые 30 мин уравновешенная пылинка выходила из равновесия, т. е. рентгеновское излучение освобождало из нее фотоэлектрон.

Если бы рентгеновское излучение распространялось в виде сферических волн, а не отдельных фотонов, то каждый рентгеновский импульс отдавал бы пылинке очень малую часть своей энергии, которая распределялась бы, в свою очередь, между огромным числом электронов, содержащихся в пылинке. Поэтому при таком механиз­ме трудно вообразить, что один из электронов за такое короткое время, как 30 мин, может накопить энергию, достаточную для преодоления работы выхода из пылинки. Напротив, с точки зрения корпускулярной теории это возможно. Так, если рентгеновс­кое излучение распространяется в виде потока дискретных фотонов, то электрон выбивается из пылинки только тогда, когда в нее попадает фотон. Элементарный расчет для выбранных условий дает, что в среднем в пылинку попадает один фотон из 1,8×10⁶. Так как в 1 с вылетает 1000 фотонов, то в среднем в пылинку будет попадать один фотон в 30 мин, что согласуется с результатами опыта.

Если свет представляет собой поток фотонов, то каждый фотон, попадая в регист­рирующий прибор (глаз, фотоэлемент), должен вызывать то или иное действие незави­симо от других фотонов. Это же означает, что при регистрации слабых световых потоков должны наблюдаться флуктуации их интенсивности. Эти флуктуации слабых потоков видимого света действительно наблюдались С. И. Вавиловым. Наблюдения проводились визуально. Глаз, адаптированный к темноте, обладает довольно резким порогом зрительного ощущения, т. е. воспринимает свет, интенсивность которого не меньше некоторого порога. Для света с l=525 нм порог зрительного ощущения соответствует у разных людей примерно 100—400 фотонам, падающим на сетчатку за 1 с. С. И. Вавилов наблюдал периодически повторяющиеся вспышки света одинако­вой длительности. С уменьшением светового потока некоторые вспышки уже не воспринимались глазом, причем чем слабее был световой поток, тем больше было пропусков вспышек. Это объясняется флуктуациями интенсивности света, т. е. число фотонов оказывалось по случайным причинам меньше порогового значения. Таким образом, опыт Вавилова явился наглядным подтверждением квантовых свойств света.

§ 204. Применение фотоэффекта

На явлении фотоэффекта основано действие фотоэлектронных приборов, получивших разнообразное применение в различных областях науки и техники. В настоящее время практически невозможно указать отрасли производства, где бы не использовались фотоэлементы — приемники излучения, работающие на основе фотоэффекта и преоб­разующие энергию излучения в электрическую.

Простейшим фотоэлементом с внешним фотоэффектом являетсявакуумный фото­элемент. Он представляет собой откачанный стеклянный баллон, внутренняя поверх­ность которого (за исключением окошка для доступа излучения) покрыта фоточувстви­тельным слоем, служащим фотокатодом. В качестве анода обычно используется кольцо или сетка, помещаемая в центре баллона. Фотоэлемент включается в цепь батареи, э.д.с. которой выбирается такой, чтобы обеспечить фототок насыщения. Выбор материала фотокатода определяется рабочей областью спектра: для регистрации видимого света и инфракрасного излучения используется кислородно-цезиевый катод, для регистрации ультрафиолетового излучения и коротковолновой части видимого света — сурьмяно-цезиевый. Вакуумные фотоэлементы безынерционны, и для них наблюдается строгая пропорциональность фототока интенсивности излучения. Эти свойства позволяют использовать вакуумные фотоэлементы в качестве фотометрических приборов, напри­мер фотоэлектрический экспонометр, люксметр (измеритель освещенности) и т. д.

Для увеличения интегральной чувствительности вакуумных фотоэлементов (фототок насыщения, приходящийся на 1 лм светового потока) баллон заполняется раз­реженным инертным газом (Аr или Ne при давлении »1,3¸13 Па). Фототок в таком элементе, называемомгазонаполненным, усиливается вследствие ударной ионизации молекул газа фотоэлектронами. Интегральная чувствительность газонаполненных фо­тоэлементов (» 1 мА/лм) гораздо выше, чем для вакуумных (20—150 мкА/лм), но они обладают по сравнению с последними большей инерционностью (менее строгой про­порциональностью фототока интенсивности излучения), что приводит к ограничению области их применения.

Для усиления фототока применяются уже рассмотренные выше (см. рис. 155) фотоэлектронные умножители, в которых наряду с фотоэффектом используется явление вторичной электронной эмиссии (см. § 105). Размеры фотоэлектронных умножителей немного превышают размеры обычной радиолампы, общий коэффициент усиления составляет »10⁷ (при напряжении питания 1—1,5 кВ), а их интегральная чувствительность может достигать 10 А/лм. Поэтому фотоэлектронные умножители начинают вытеснять фотоэлементы, правда, их применение связано с использованием высоко­вольтных стабилизированных источников питания, что несколько неудобно.

Фотоэлементы с внутренним фотоэффектом, называемыеполупроводниковыми фотоэлементами илифотосопротивлениями (фоторезисторами), обладают гораздо большей интегральной чувствительностью,чем вакуумные. Для их изготовления используются PbS, CdS, PbSe и некоторые другие полупроводники. Если фотокатоды вакуумных фотоэлементов и фотоэлектронных умножителей имеют красную границу фотоэффекта не выше 1,1мкм, то применение фотосопротивлений позволяет производить измере­ния в далекой инфракрасной области спектра (3¸4 мкм), а также в областях рент­геновского и гамма-излучений. Кроме того, они малогабаритны и имеют низкое напряжение питания. Недостаток фотосопротивлений — их заметная инерционность, поэтому они непригодны для регистрации быстропеременных световых потоков.

Фотоэлементы с вентильным фотоэффектом, называемыевентильными фотоэлемен­тами (фотоэлементами с запирающим слоем), обладая, подобно элементам с внешним фотоэффектом, строгой пропорциональностью фототока интенсивности излучения, имеют большую по сравнению с ними интегральную чувствительность (примерно 2—30 мА/лм) и не нуждаются во внешнем источнике э.д.с. К числу вентильных фотоэлементов относятся германиевые, кремниевые, селеновые, купроксные, серни­сто-серебряные и др.

Кремниевые и другие вентильные фотоэлементы применяются для создания со­лнечных батарей, непосредственно преобразующих световую энергию в электрическую. Эти батареи уже в течение многих лет работают на космических спутниках и кораблях. К.п.д. этих батарей составляет »10% и, как показывают теоретические расчеты, может быть доведен до »22%, что открывает широкие перспективы их использования в качестве источников электроэнергии для бытовых и производственных нужд.

Рассмотренные виды фотоэффекта используются также в производстве для конт­роля, управления и автоматизации различных процессов, в военной технике для сигнализации и локации невидимым излучением, в технике звукового кино, в различ­ных системах связи и т. д.

§ 205. Масса и импульс фотона. Давление света

Согласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет испускается, поглощается и рас­пространяется дискретными порциями (квантами), названнымифотонами. Энергия фотона e₀=hn. Его масса находится из закона взаимосвязи массы и энергии (см. (40.8)):

(205.1)

Фотон — элементарная частица, которая всегда (в любой среде!) движется со скоро­стью света с и имеет массу покоя, равную нулю. Следовательно, масса фотона отличается от массы таких элементарных частиц, как электрон, протон и нейтрон, которые обладают отличной от нуля массой покоя и могут находиться в состоянии покоя.

Импульс фотона р_g получим, если в общей формуле (40.7) теории относительности

положим массу покоя фотона = 0:

(205.2)

Из приведенных рассуждений следует, что фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом. Выражения (205.1), (205.2) и (200.2) связывают корпускулярные характеристики фотона — массу, импульс и энергию — с волновой характеристикой света — его частотой n.

Если фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление. Согласно квантовой теории, давление света на поверхность обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с поверхностью передает ей свой импульс.

Рассчитаем с точки зрения квантовой теории световое давление, оказываемое на поверхность тела потоком монохроматического излучения (частота n), падающего перпендикулярно поверхности. Если в единицу времени на единицу площади поверх­ности тела падает N фотонов, то при коэффициенте отражения r света от поверхности тела rN фотонов отразится, а (1–r)N — поглотится. Каждый поглощенный фотон передаст поверхности импульс p_g=hn/c, а каждый отраженный — 2p_g=2hn/c (при от­ражении импульс фотона изменяется на –p_g). Давление света на поверхность равно импульсу, который передают поверхности в 1 с N фотонов:

Nhn=E_e есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, т. е. энергетическая освещенность поверхности (см. § 168), a E_e/c=w — объ­емная плотность энергии излучения. Поэтому давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность,

(205.3)

Формула (205.3), выведенная на основе квантовых представлений, совпадает с выра­жением, получаемым из электромагнитной (волновой) теории Максвелла (см. § 163). Таким образом, давление света одинаково успешно объясняется и волновой, и кван­товой теорией. Как уже говорилось (см. § 163), экспериментальное доказательство существования светового давления на твердые тела и газы дано в опытах П. И. Лебедева, сыгравших в свое время большую роль в утверждении теории Макс­велла. Лебедев использовал легкий подвес на тонкой нити, по краям которого прикреп­лены легкие крылышки, одни из которых зачернены, а поверхности других зеркальные. Для исключения конвекции и радиометрического эффекта (см. § 49) использовалась подвижная система зеркал, позволяющая направлять свет на обе поверхности крылы­шек, подвес помещался в откачанный баллон, крылышки подбиралась очень тонкими (чтобы температура обеих поверхностей была одинакова). Световое давление на кры­лышки определялось по углу закручивания нити подвеса и совпадало с теоретически рассчитанным. В частности оказалось, что давление света на зеркальную поверхность вдвое больше, чем на зачерненную (см. (205.3)).

§ 206. Эффект Комптона и его элементарная теория

Наиболее полно корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Компто­на. Американский физик А. Комптон (1892—1962), исследуя в 1923 г. рассеяние мо­нохроматического рентгеновского излучения веществами с легкими атомами (пара­фин, бор), обнаружил, что в составе рассеянного излучения наряду с излучением первоначальной длины волны наблюдается также более длинноволновое излучение. Опыты показали, что разность Dl=l'–l не зависит от длины волны l падающего излучения и природы рассеивающего вещества, а определяется только углом рассея­ния q:

(206.1)

где l' — длина волны рассеянного излучения, l_С —комптоновская длина волны (при рассеянии фотона на электроне l_С= 2,426 пм).

Эффектом Комптона называется упругое рассеяние коротковолнового электромаг­нитного излучения (рентгеновского и g-излучений) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны. Этот эффект не укладывается в рамки волновой теории, согласно которой длина волны при рассеянии изменяться не должна: под действием периодического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает рассеянные волны той же частоты.

Объяснение эффекта Комптона дано на основе квантовых представлений о природе света. Если считать, как это делает квантовая теория, что излучение имеет кор­пускулярную природу, т. е. представляет собой поток фотонов, то эффект Комп­тона — результат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными элек­тронами вещества (для легких атомов электроны слабо связаны с ядрами атомов, поэтому их можно считать свободными). В процессе этого столкновения фотон переда­ет электрону часть своих энергии и импульса в соответствии с законами их сохранения.

Рассмотрим упругое столкновение двух частиц (рис. 291) — налетающего фотона, обладающего импульсом p_g = hn/c и энергией e_g=hn, с покоящимся свободным электро­ном (энергия покоя W₀=m₀c²; т₀—масса покоя электрона). Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть своей энергии и импульса и изменяет направление движения (рассеивается). Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины волны рассеянного излучения. При каждом столкновении выполняются законы со­хранения энергии и импульса.

Согласно закону сохранения энергии,

(206.2)

а согласно закону сохранения импульса,

(206.3)

где W₀=m₀c² — энергия электрона до столкновения, e_g=hn — энергия налетающего фотона, W=— энергия электрона после столкновения (используется релятивистская формула, так как скорость электрона отдачи в общем случае значитель­на), — энергия рассеянного фотона. Подставив в выражение (206.2) значения величин и представив (206.3) в соответствии с рис. 291, получим

(206.4)

(206.5)

Решая уравнения (206.4) и (206.5) совместно, получим

Поскольку n = c/l, n ' = c/l' и Dl = l' – l, получим

(206.6)

Выражение (206.6) есть не что иное, как полученная экспериментально Комптоном формула (206.1). Подстановка в нее значений h, m₀ и с дает комптоновскую длину волны электрона l_C = h/(m₀c) = 2,426 пм.

Наличие в составе рассеянного излучения несмещенной линии (излучения первона­чальной длины волны) можно объяснить следующим образом. При рассмотрении механизма рассеяния предполагалось, что фотон соударяется лишь со свободным электроном. Однако если электрон сильно связан с атомом, как это имеет место для внутренних электронов (особенно в тяжелых атомах), то фотон обменивается энергией и импульсом с атомом в целом. Так как масса атома по сравнению с массой электрона очень велика, то атому передается лишь ничтожная часть энергии фотона. Поэтому в данном случае длина волны l' рассеянного излучения практически не будет отличать­ся от длины волны l падающего излучения.

Из приведенных рассуждений следует также, что эффект Комптона не может наблюдаться в видимой области спектра, поскольку энергия фотона видимого света сравнима с энергией связи электрона с атомом, при этом даже внешний электрон нельзя считать свободным.

Эффект Комптона наблюдается не только на электронах, но и на других заряжен­ных частицах, например протонах, однако из-за большой массы протона его отдача «просматривается» лишь при рассеянии фотонов очень высоких энергий.

Как эффект Комптона, так и фотоэффект на основе квантовых представлений обусловлены взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассе­ивается, во втором — поглощается. Рассеяние происходит при взаимодействии фотона со свободным электроном, а фотоэффект — со связанными электронами. Можно показать, что при столкновении фотона со свободным электроном не может произойти поглощения фотона, так как это находится в противоречии с законами сохранения импульса и энергии. Поэтому при взаимодействии фотонов со свободными электрона­ми может наблюдаться только их рассеяние, т. е. эффект Комптона.

§ 207. Единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения

Рассмотренные в этой главе явления — излучение черного тела, фотоэффект, эффект Комптона — служат доказательством квантовых (корпускулярных) представлений о свете как о потоке фотонов. С другой стороны, такие явления,как интерференция, дифракция и поляризация света, убедительно подтверждают волновую (электромаг­нитную) природу света. Наконец, давление и преломление света объясняются как волновой, так и квантовой теориями. Таким образом, электромагнитное излучение обнаруживает удивительное единство, казалось бы, взаимоисключающих свойств — непрерывных (волны) и дискретных (фотоны), которые взаимно дополняют друг друга.

Основные уравнения (см. § 205), связывающие корпускулярные свойства электрома­гнитного излучения (энергия и импульс фотона) с волновыми свойствами (частота или длина волны):

Более детальное рассмотрение оптических явлений приводит к выводу, что свойст­ва непрерывности, характерные для электромагнитного поля световой волны, не следует противопоставлять свойствам дискретности, характерным для фотонов. Свет, обладая одновременно корпускулярными и волновыми свойствами, обнаруживает опре­деленные закономерности в их проявлении. Так, волновые свойства света проявляются в закономерностях его распространения, интерференции, дифракции, поляризации, а корпускулярные — в процессах взаимодействия света с веществом. Чем больше длина волны, тем меньше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются квантовые свойства света (с этим связано, например, существование красной границы фотоэффекта). Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются волновые свойства света (например, волновые свойства (дифракция) рентгеновского излучения обнаружены лишь после применения в качестве дифракционной решетки кристаллов).

Взаимосвязь между двойственными корпускулярно-волновыми свойствами света можно объяснить, если использовать, как это делает квантовая оптика, статистичес­кий подход к рассмотрению закономерностей распространения света. Например, диф­ракция света на щели состоит в том, что при прохождении света через щель происходит перераспределение фотонов в пространстве. Так как вероятность попадания фотонов в различные точки экрана неодинакова, то и возникает дифракционная картина. Освещенность экрана пропорциональна вероятности попадания фотонов на единицу площади экрана. С другой стороны, по волновой теории, освещенность пропорци­ональна квадрату амплитуды световой волны в той же точке экрана. Следовательно, квадрат амплитуды световой волны в данной точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в данную точку.

 

6 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Глава 27 Теория атома водорода по Бору

§ 208. Модели атома Томсона и Резерфорда

Представление об атомах как неделимых мельчайших частицах вещества («атомос» — неразложимый) возникло еще в античные времена (Демокрит, Эпикур, Лукреций). В средние века, во времена безграничного господства церкви, учение об атомах, будучи материалистическим, естественно, не могло получить признания, а тем более дальнейшего развития. К началу XVIII в. атомистическая теория приобретает все большую популярность, так как к этому времени в работах А. Лавуазье (1743—1794, французский химик), М. В. Ломоносова и Д. Дальтона была доказана реальность существования атомов. Однако в это время вопрос о внутреннем строении атомов даже не возникал, так как атомы по-прежнему считались неделимыми.

Большую роль в развитии атомистической теории сыграл Д. И. Менделеев, раз­работавший в 1869 г. Периодическую систему элементов, в которой впервые на научной основе был поставлен вопрос о единой природе атомов. Во второй половине XIX в. экспериментально было доказано, что электрон является одной из основных составных частей любого вещества. Эти выводы, а также многочисленные эксперимен­тальные данные привели к тому, что в начале XX в. серьезно встал вопрос о строении атома.

Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных данных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой модели, атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка 10^–10 м, внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны; суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заря­ду шара, поэтому атом в целом нейтрален. Через несколько лет было доказано, что представление о непрерывно распределенном внутри атома положительном заряде ошибочно.

В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английского физика Э. Резерфорда (1871—1937) по рассеянию a-частиц в веществе. Альфа-частицы возникают при радиоактивных превращениях; они являются положительно заряжен­ными частицами с зарядом 2е и массой, примерно в 7300 раз большей массы электрона. Пучки a-частиц обладают высокой монохроматичностью (для данного превращения имеют практически одну и ту же скорость (порядка 10⁷ м/с)).

Резерфорд, исследуя прохождение a-частиц в веществе (через золотую фольгу толщиной примерно 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначитель­ные отклонения, но некоторые a-частицы (примерно одна из 20 000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180°). Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, как a-частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение a-частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие a-частицы; следователь­но, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.

На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Zе (Z — порядковый номер элемента в системе Менделеева, е — элементарный заряд), размер 10^–15—10^–14 м и массу, практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10^–10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.

Для простоты предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r. При этом кулоновская сила взаимодействия между ядром и электро­ном сообщает электрону центростремительное ускорение. Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновской силы, имеет вид

(208.1)

где т_e, и v — масса и скорость электрона на орбите радиуса r, e₀ — электрическая постоянная.

Уравнение (208.1) содержит два неизвестных: r и v. Следовательно, существует бесчисленное множество значений радиуса и соответствующих ему значений скорости (а значит, и энергии), удовлетворяющих этому уравнению. Поэтому величины r, v (следовательно, и Е) могут меняться непрерывно, т. е. может испускаться любая, а не вполне определенная порция энергии. Тогда спектры атомов должны быть сплошными. В действительности же опыт показывает, что атомы имеют линейчатый спектр. Из выражения (208.1) следует, что при r»10^–10 м скорость движения электронов v = 10⁶ м/с, а ускорение v²/r =10²² м/с². Согласно классической электродинамике, уско­ренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и в конце концов упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что опять-таки противоречит действительности.

Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху: модель Томсона была опровергнута опытами Резерфорда, ядерная же модель оказалась неустойчивой электродинамически и противоречила опытным данным. Пре­одоление возникших трудностей потребовало создания качественно новой — кванто­вой — теории атома.

§ 209. Линейчатый спектр атома водорода

Исследования спектров излучения разреженных газов (т. е. спектров излучения отдель­ных атомов) показали, что каждому газу присущ определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий. Самым изученным является спектр наиболее простого атома — атома водорода.

Швейцарский ученый И. Бальмер (1825—1898) подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:

(209.1)

где R'=1,10×10⁷ м^–1 — постоянная Ридберга.* Taк как n = c/l, то формула (209.1) может быть переписана для частот:

(209.2)

где R=R'c=3,29×10¹⁵ с^–1 — также постоянная Ридберга.

* И. Ридберг (1854—1919) — шведский ученый, специалист в области спектроскопии.

 

Из выражений (209.1) и (209.2) вытекает, что спектральные линии, отличающиеся различными значениями п, образуют группу или серию линий, называемую серией Бальмера. С увеличением n линии серии сближаются; значение n = ¥ определяет границу серии, к которой со стороны больших частот примыкает сплошной спектр.

В дальнейшем (в начале XX в.) в спектре атома водорода было обнаружено еще несколько серий. В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана:

В инфракрасной области спектра были также обнаружены:

Все приведенные выше серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной формулой, называемой обобщенном формулой Бальмера:

(209.3)

где т имеет в каждой данной серии постоянное значение, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (определяет серию), п принимает целочисленные значения начиная с т+1 (определяет отдельные линии этой серии).

Исследование более сложных спектров — спектров паров щелочных металлов (на­пример, Li, Na, К) — показало, что они представляются набором незакономерно расположенных линий. Ридбергу удалось разделить их на три серии, каждая из которых располагается подобно линиям бальмеровской серии.

Приведенные выше сериальные формулы подобраны эмпирически и долгое время не имели теоретического обоснования, хотя и были подтверждены экспериментально с очень большой точностью. Приведенный выше вид сериальных формул, удивитель­ная повторяемость в них целых чисел, универсальность постоянной Ридберга свиде­тельствуют о глубоком физическом смысле найденных закономерностей, вскрыть который в рамках классической физики оказалось невозможным.

§ 210. Постулаты Бора

Первая попытка построить качественно новую — квантовую — теорию атома была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором (1885—1962). Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и погло­щения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний):в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

(210.1)

где т_е — масса электрона, v — его скорость по n-й орбите радиуса r_n, ћ = h/(2p).

Втором постулат Бора (правило частот):при переходе электрона с одной стационар­ной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

(210.2)

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Е_n и E_m — соот­ветственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглоще­ния)). При Е_m<Е_n происходит излучение фотона (переход атома из состояния с боль­шей энергией в состояние с меньшей энергией, т. е. переход электрона с более удален­ной от ядра орбиты на более близлежащую), при Е_m>Е_n — его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот n = (E_n—E_m)/h квантовых перехо­дов и определяет линейчатый спектр атома.

§ 211. Опыты Франка и Герца

Изучая методом задерживающего потенциала столкновения электронов с атомами газов (1913), Д. Франк и Г. Герц экспериментально доказали дискретность значений энергии атомов. Принципиальная схема их установки приведена на рис. 292. Вакуумная трубка, заполненная парами ртути (давление приблизительно равно 13 Па), содержала катод (К), две сетки (C₁ и С₂) и анод (А). Электроны, эмиттируемые катодом, ускорялись разностью потенциалов, приложенной между катодом и сеткой C₁. Между сеткой С₂ и анодом приложен небольшой (примерно 0,5 В) задерживающий потенциал.

Электроны, ускоренные в области 1, попадают в область 2 между сетками, где испытывают соударения с атомами паров ртути. Электроны, которые после соударе­ний имеют достаточную энергию для преодоления задерживающего потенциала в об­ласти 3, достигают анода. При неупругих соударениях электронов с атомами ртути последние могут возбуждаться. Согласно боровской теории, каждый из атомов ртути может получить лишь вполне определенную энергию, переходя при этом в одно из возбужденных состояний. Поэтому если в атомах действительно существуют стационарные состояния, то электроны, сталкиваясь с атомами ртути, должны терять энергию дискретно, определенными порциями, равными разности энергий соответству­ющих стационарных состояний атома.

Из опыта следует (рис. 293), что при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 4,86 В анодный ток возрастает монотонно, его значение проходит через максимум (4,86 В), затем резко уменьшается и возрастает вновь. Дальнейшие максимумы наблю­даются при 2×4,86 и 3×4,86 В.

Ближайшим к основному, невозбужденному, состоянию атома ртути является возбужденное состояние, отстоящее от основного по шкале энергий на 4,86 эВ. Пока разность потенциалов между катодом и сеткой меньше 4,86 В, электроны, встречая на своем пути атомы ртути, испытывают с ними только упругие соударения. При еj = 4,86 эВ энергия электрона становится достаточной, чтобы вызвать неупругий удар, при котором электрон отдает атому ртути всю кинетическую энергию, возбуждая переход одного из электронов атома из нормального энергетического состояния на возбужденный энергетический уровень. Электроны, потерявшие свою кинетическую энергию, уже не смогут преодолеть тормозящего поля и достигнуть анода. Этим и объясняется первое резкое падание анодного тока при еj = 4,86 эВ. При значениях энергии, кратных 4,86 эВ, электроны могут испытать с атомами ртути 2, 3, ... неуп­ругих соударения, потеряв при этом полностью свою энергию, и не достигнуть анода, т. е. должно наблюдаться резкое падение анодного тока. Это действительно наблюда­ется на опыте (рис. 293).

Таким образом, опыты Франка и Герца показали, что электроны при столкновении с атомами ртути передают атомам только определенные порции энергии, причем 4,86 эВ — наименьшая возможная порция энергии (наименьший квант энергии), кото­рая может быть поглощена атомом ртути в основном энергетическом состоянии. Следовательно, идея Бора о существовании в атомах стационарных состояний блестя­ще выдержала экспериментальную проверку.

Атомы ртути, получившие при соударении с электронами энергию DE, переходят в возбужденное состояние и должны возвратиться в основное, излучая при этом, согласно второму постулату Бора (см. (210.2)), световой квант с частотой n = DE/h. По известному значению DE = 4,86 эВ можно вычислить длину волны излучения: l = hc/DE » 255 нм. Таким образом, если теория верна, то атомы ртути, бомбардиру­емые электронами с энергией 4,86 эВ, должны являться источником ультрафиолетово­го излучения с l » 255 нм. Опыт действительно обнаруживает одну ультрафиолетовую линию с l » 254 нм. Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтвердили не только первый, но и второй постулат Бора. Эти опыты сыграли огромное значение в развитии атомной физики.

§ 212. Спектр атома водорода по Бору

Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем — систем, состоящих из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы Не⁺, Li²⁺), а также теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, огра­ничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение (208.1) , предложенное Резерфордом, и уравнение (210.1), получим выраже­ние для радиуса n-й стационарной орбиты:

(212.1)

где n = 1, 2, 3, ... . Из выражения (212.1) следует, что радиусы орбит растут пропорци­онально квадратам целых чисел.

Для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты электрона при n = 1, называемый первым боровоским радиусом (а), равен

(212.2)

что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов. Так как радиусы стационарных орбит измерить невозможно, то для проверки теории необходимо обратиться к таким величинам, которые могут быть измерены экспериментально. Такой величиной является энергия, излучаемая и поглощаемая атомами водорода.

Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из его кине­тической энергии (т_ev²/2) и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра (–Ze²/(4pe₀r)):

(учли, что ; см. (208.1)). Учитывая квантованные для радиуса n-й стационарной орбиты значения (212.1), получим, что энергия электрона может прини­мать только следующие дозволенные дискретные значения:

(212.3)

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.

Из формулы (212.3) следует, что энергетические состояния атома образуют после­довательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения n. Целое число n в выражении (212.3), определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с n=1 является основным (нормальным) состоянием; состояния с n > 1 являются возбужденными. Энер­гетический уровень, соответствующий основному состоянию атома, называется основ­ным (нормальным) уровнем; все остальные уровни являются возбужденными.

Придавая n различные целочисленные значения, получим для атома водорода (Z = 1), согласно формуле (212.3), возможные уровни энергии, схематически представ­ленные на рис. 294. Энергия атома водорода с увеличением n возрастает и энергетичес­кие уровни сближаются к границе, соответствующей значению n = ¥. Атом водорода обладает, таким образом, минимальной энергией (E₁ = –13,55 эВ) при n = 1 и мак­симальной (Е_¥ = 0) при n = ¥. Следовательно, значение Е_¥ = 0 соответствуетионизацииатома (отрыву от него электрона). Согласно второму постулату Бора (см. (210.2)), при переходе атома водорода (Z= 1) из стационарного состояния л в стационарное состоя­ние т с меньшей энергией испускается квант

откуда частота излучения

(212.4)

где R = m_ee⁴/(8h³).

Воспользовавшись при вычислении R современными значениями универсальных постоянных, получим величину, совпадающую с экспериментальным значением посто­янной Ридберга в эмпирических формулах для атома водорода (см. § 209). Это совпадение убедительно доказывает правильность полученной Бором формулы (212.3) для энергетических уровней водородоподобной системы.

Подставляя, например, в формулу (212.4) т=1 и п=2, 3, 4, ..., получим группу линий, образующих серию Лаймана (см. § 209) и соответствующих переходам электро­нов с возбужденных уровней (n = 2, 3, 4, ...) на основной (m = l). Аналогично, при подстановке m = 2, 3, 4, 5, 6 и соответствующих им значений n получим серии Бальмера, Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри (часть из них схематически представлена на рис. 294), описанные в § 209. Следовательно, по теории Бора, количественно объяснив­шей спектр атома водорода, спектральные серии соответствуют излучению, возника­ющему в результате перехода атома в данное состояние из возбужденных состояний, расположенных выше данного.

Спектр поглощения атома водорода является линейчатым, но содержит при нормальных условиях только серию Лаймана. Он также объясняется теорией Бора. Так как свободные атомы водорода обычно находятся в основном состоянии (стационарное состояние с наименьшей энергией при n = 1), то при сообщении атомам извне опреде­ленной энергии могут наблюдаться лишь переходы атомов из основного состояния в возбужденные (возникает серия Лаймана).

Теория Бора была крупным шагом в развитии атомной физики и явилась важным этапом в создании квантовой механики. Однако эта теория обладает внутренними противоречиями (с одной стороны, применяет законы классической физики, а с дру­гой — основывается на квантовых постулатах). В теории Бора рассмотрены спектры атома водорода и водородоподобных систем и вычислены частоты спектральных линий, однако эта теория не смогла объяснить интенсивности спектральных линий и ответить на вопрос: почему совершаются те или иные переходы? Серьезным недо­статком теории Бора была невозможность описания с ее помощью спектра атома гелия — одного из простейших атомов, непосредственно следующего за атомом водо­рода.

 

Глава 28 Элементы квантовой механики

§ 213. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества

Французский ученый Луи де Бройль (1892—1987), осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой приро­де света, выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.

Итак, согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной сторо­ны, корпускулярные характеристики — энергия Е и импульс p, а с другой — волновые характеристики — частота n и длина волны l. Количественные соотношения, связыва­ющие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

(213.1)

Смелость гипотезы де Бройля заключалась именно в том, что соотношение (213.1) постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочастиц, в частности для таких, которые обладают массой покоя. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемойпо формуле де Бройля:

(213.2)

Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р.

Вскоре гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. амери­канские физики К. Дэвиссон (1881—1958) и Л. Джермер (1896—1971) обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки — кри­сталла никеля, — дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные макси­мумы соответствовали формуле Вульфа — Брэггов (182.1), а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле (213.2). В даль­нейшем формула де Бройля была подтверждена опытами П. С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (энергия »50 кэВ) через металлическую фольгу (толщиной »1 мкм).

Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, то необ­ходимо было доказать, что волновые свойства присущи не только потоку большой совокупности электронов, но и каждому электрону в отдельности. Это удалось экс­периментально подтвердить в 1948 г. российскому физику В. А. Фабриканту (р. 1907). Он показал, что даже в случае столь слабого электронного пучка, когда каждый электрон проходит через прибор независимо от других (промежуток времени между двумя электронами в 10⁴ раз больше времени прохождения электроном прибора), возникающая при длительной экспозиции дифракционная картина не отличается от дифракционных картин, получаемых при короткой экспозиции для потоков электро­нов, в десятки миллионов раз более интенсивных. Следовательно, волновые свойства частиц не являются свойством их коллектива, а присущи каждой частице в отдель­ности.

Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством нали­чия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рас­считываемой по формуле де Бройля (213.2). Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры веществ, таких,как электронография и нейтронография (см. § 182), а также к возникновению новой отрасли науки — электронной оптики (см. § 169).

Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц приве­ло к выводу о том, что перед нами универсальное явление, общее свойство материи. Но тогда волновые свойства должны быть присущи и макроскопическим телам. Почему же они не обнаружены экспериментально? Например, частице массой 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с l = 6,62×10^–31 м. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области (периодических структур с периодом d»10^–31 м не существует). Поэтому считается, что макроскопические тела проявляют только одну сторону своих свойств — корпускулярную — и не проявляют волновую.

Представление о двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества углубляется еще тем, что на частицы вещества переносится связь между полной энергией частицы e и частотой n волн де Бройля:

(213.3)

Это свидетельствует о том, что соотношение между энергией и частотой в формуле (213.3) имеет характер универсального соотношения, справедливогокак для фотонов, так и для любых других микрочастиц. Справедливость же соотношения (213.3) вытека­ет из согласия с опытом тех теоретических результатов, которые получены с его помощью в квантовой механике, атомной и ядерной физике.

Подтвержденная экспериментально гипотеза да Бройля о корпускулярно-волновом дуализме свойств вещества коренным образом изменила представления о свойствах микрообъектов. Всем микрообъектам присущи и корпускулярные, и волновые свойст­ва; в то же время любую из микрочастиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. Современная трактовка корпускулярно-волнового дуализ­ма может быть выражена словами академика В. А. Фока (1898—1974): «Можно ска­зать, что для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна—частица. Всякое иное, более буквальное, понимание этого дуализма в вида какой-нибудь модели неправильно.» (в сб.: Философские вопросы современной физики. — М.: Изд-во АН СССР, 1959).

§ 214. Некоторые свойства волн да Бройля

Рассмотрим свободно движущуюся со скоростью v частицу массой т. Вычислим для нее фазовую и групповую скорости волн да Бройля. Фазовая скорость, согласно (154.8),

(214.1)

(E=ћw и p=ћk, где k=2p/l—волновое число). Так как c>v, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (фазовая скорость волн может быть как меньше, так и больше с в отличие от групповой скорости волн (см. § 155)). Групповая скорость, согласно (155.1),

Для свободной частицы (см. (40.7)) и

Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.

Групповая скорость фотона т. е. равна скорости самого фотона.

Волны да Бройля испытывают дисперсию (см. § 154). Действительно, подставив в выражение (214.1) v_фаз=E/p формулу (40.7) Е=, увидим, что скорость волн де Бройля зависит от длины волны. Это обстоятельство сыграло в свое время большую роль в развитии положений квантовой механики. После установления корпускулярно-волнового дуализма делались попытки связать корпускулярные свойства частиц с волновыми и рассматривать частицы как «узкие» волновые пакеты (см. § 155), «составленные» из волн де Бройля. Это позволяло как бы отойти от двойственности свойств частиц. Такая гипотеза соответствовала локализации частицы в данный мо­мент времени в определенной ограниченной области пространства. Аргументом в пользу этой гипотезы являлось и то, что скорость распространения центра пакета (групповая скорость) оказалась, как показано выше, равной скорости частицы. Однако подобное представление частицы в виде волнового пакета (группы волн де Бройля) оказалось несостоятельным из-за сильной дисперсии волн де Бройля, приводящей к «быстрому расплыванию» (примерно 10^–26 с!) волнового пакета или даже разделе­нию его на несколько пакетов.

§ 215. Соотношение неопределенностей

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описа­ния микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. По­этому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микроча­стицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движе­нии микрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить об одновре­менных точных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма. Так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физичес­кого смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны (см. (213.1)), то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс является полностью неопределенным.

В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью харак­теризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определен­ную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, p_у, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям

(215.1)

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Из соотношения неопределенностей (215.1) следует, что, например, если микроча­стица находится в состоянии с точным значением координаты (Dx = 0), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопреде­ленной (Dp_x ® ¥), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.

Поясним, что соотношение неопределенностей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной Dх, расположенную перпендикулярно направлению их движения (рис. 295). Так как электроны обладают волновыми свойствами, то при их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Бройля l электрона, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране (Э), характеризуется главным максимумом, расположенным симметрично оси Y, и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем, таккак основная доля интенсив­ности приходится на главный максимум).

До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси Y, поэтому составляющая импульса р_х=0, так что Dp_x=0, а координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направлении оси Х определяется с точностью до ширины щели, т. е. с точностью Dх. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2j (j — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Следовательно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси X, которая, как следует из рис. 295 и формулы (213.1), равна

(215.2)

Для простоты ограничимся рассмотрением только тех электронов, которые попадают на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции (см. § 179) известно, что первый минимум соответствует углу j, удовлетворяющему условию

(215.3)

где Dх — ширина щели, а l — длина волны де Бройля. Из формул (215.2) и (215.3) получим

где учтено, что для некоторой, хотя и незначительной, части электронов, попадающих за пределы главного максимума, величина Dр_x ³ рsin j. Следовательно, получаем выражение

т. е. соотношение неопределенностей (215.1).

Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую проекцию импульса не связана с несовершенством методов измерения или измеритель­ных приборов, а является следствием специфики микрообъектов, отражающей особен­ности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой приро­ды. Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей, отражая специфику физики микрочастиц, позво­ляет оценить, например, в какой мере можно применять понятия классической меха­ники к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (215.1) в виде

(215.4)

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределен­ности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой 10^–12 кг и линейными размерами 10^–6 м, координата которой определена с точ­ностью до 0,01 ее размеров (Dх = 10^–8 м), неопределенность скорости, по (215.4), Dv_x = 6,62×10^–34/(10^–8×10^–12) м/с = 6,62×10^–14 м/с, т. е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться. Таким образом, для макроскопичес­ких тел их волновые свойства не играют никакой роли; координата и скорость макротел могут быть одновременно измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

Предположим, пучок электронов движется вдоль оси х со скоростью v=10⁸ м/с, определяемой с точностью до 0,01% (Dv_x»10⁴ м/с). Какова точность определения координаты электрона? По формуле (215.4),

т. е. положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории, иными словами, описывать их движение законами классической механики.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона Dx»10^–10 м (по­рядка размеров самого атома, т. е. можно считать, что электрон принадлежит дан­ному атому). Тогда, согласно (215.4), Dv_x=6,62×10^–34/(9,11×10^–31 ×10^–10) = 7,27×10⁶ м/с. Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса »0,5×10^–10 м его скорость v » 2,3×10⁶ м/с. Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории, иными словами, для описания движе­ния электрона в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т. е. неопределенности этих величии удовлетворяют условию

(215.5)

Подчеркнем, что DЕ — неопределенность энергии некоторого состояния системы, Dt — промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, систе­ма, имеющая среднее время жизни Dt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии DE=h/Dt возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (215.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность Dn = DE/h, т. е. линии спектра должны характеризо­ваться частотой, равной n ± DE/h..Опыт действительно показывает, что все спектраль­ные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

§ 216. Волновая функция и ее статистический смысл

Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречие целого ряда экспериментов с применяемыми в начале XX в. теориями привели к новому этапу развития квантовой теории — созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы; см. § 200) до 20-х годов XX в.; оно связано прежде всего с работами австрийского физика Э. Шредингера (1887—1961), немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака (1902—1984).

На данном этапе развития возникли новые принципиальные проблемы, в частности проблема физической природы волн де Бройля. Для выяснения этой проблемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина, наблюдаемая для световых волн, характеризуется тем, что в результате наложения дифрагирующих волн друг на друга в различных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний. Согласно волновым представлениям о природе света, интенсив­ность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку.

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных или отраженных по различным направлениям, — в одних направлениях наблюдается большее число ча­стиц, чем в других. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсив­ности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц, т. е. интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частил, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистичес­кой (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важ­нейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т. е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн (1882—1970) в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая Y(х, у, z, t). Эту величину называют также волновой функцией (или Y-функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

(216.1)

(|Y|²=YY*, Y* — функция, комплексно сопряженная с Y). Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеетстатистический, вероят­ностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент време­ни t в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому — с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна

(216.2)

Величина

(квадрат модуля Y-функции) имеет смыслплотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с коор­динатами х, у, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Y-функция, а квадрат ее модуля |Y|², которым задается интенсивность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна

Так как |Y|²dV определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Y нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей

(216.3)

где данный интеграл (216.3) вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у, z от –¥ до ¥. Таким образом, условие (216.3) говорит об объективном существовании частицы в пространстве.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микро­частиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Y, харак­теризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяетпринципу суперпозиции: если система может нахо­диться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Y₁, Y₂,..., Y_n,... то она также может находиться в состоянии Y, описываемом линейной комбинацией этих функций:

где С_n (n=1, 2, ...)—произвольные, вообще говоря, комплексные числа. Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квад­ратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Волновая функция Y, являясь основной характеристикой состояния микрообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние árñ электрона от ядра вычисляют по формуле

где интегрирование производится, как и в случае (216.3).

§ 217. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределен­ностей Гейзенберга (см. § 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Y(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Y|², определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz. Taк как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвел­ла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль­татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредин­гера имеет вид

(217.1)

где ћ=h/(2p), т—масса частицы, D—оператор Лапласа i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Y(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные должны быть непрерывны; 3) функция |Y|² должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) , или в комплексной записи . Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид

(217.2)

(учтено, что w = E/ћ, k=p/ћ). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Y|², то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

откуда

(217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р (E=p²/(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U=0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р (для данного случая p²/(2m)=E–U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость Y от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

(217.4)

где Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию y:

(217.5)

Уравнение (217.5) называетсяуравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчис­ленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями y. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называютсясобствен­ными. Решения же, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называют­сясобственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре.

§ 218. Принцип причинности в квинтовой механике

Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике, согласно принципу причинности — принципу классического детерминизма, по известному состоянию системы в неко­торый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние в любой последующий момент. Следовательно, классическая физика ос­новывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причи­на, а ее состояние в последующий момент — следствие.

С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задаются соот­ношением неопределенностей (215.1)), поэтому и делается вывод о том, что в началь­ный момент времени состояние системы точно не определяется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. нарушается принцип причинности.

Однако никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъ­ектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. В кванто­вой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией Y(x, у, z, t), квадрат модуля которой |Y(x, у, z, t)|² задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z.

В свою очередь, волновая функция Y(х, у, z, t) удовлетворяет уравнению Шредингера (217.1), содержащему первую производную функции Y по времени. Это же означает, что задание функции Y₀ (для момента времени t₀) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние Y₀ есть причина, а состояние Y в последующий момент — следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т. е. задание функции Y₀ предопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшест­вующего состояния, как того требует принцип причинности.

§ 219. Движение свободной частицы

Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенци­альная энергия частицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний примет вид

(219.1)

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция y(х) = Ае^ikx , где А = const и k = const, с собственным значением энергии

(219.2)

Функция представляет собой только координатную часть волновой функции Y(x, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция, согласно (217.4),

(219.3)

(здесь и ). Функция (219.3) представляет собой плоскую монохромати­ческую волну де Бройля (см. (217.2)).

Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может прини­мать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохромати­ческой волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

§ 220. Частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к ча­стице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296).

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

(220.1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные усло­вия в данном случае имеют вид

(220.2)

В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

или

(220.3)

где

(220.4)

Общее решение дифференциального уравнения (220.3):

Так как по (220.2) y(0)=0, то В=0. Тогда

(220.5)

Условие (220.2) y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

(220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

(220.7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потен­циальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е_n, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е_n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения,т.е.квантуется. Квантованные значения энергии Е_n называютсяуровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называетсяглавным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «по­тенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е_n, или, как говорят, частица находится в кван­товом состоянии n.

Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим А =, а собственные функции будут иметь вид

(220.8)

Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (220.7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 297,а. На рис. 297,6 изображена плотность вероят­ности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |y_n(х)|² = y_n(х)y*_n(х) для n=1,2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то времякакодинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя сосед­ними уровнями равен

(220.9)

Например, для электрона при размерах ямы l=10^–1 м (свободные электроны в метал­ле) DE_n » 10^–35n Дж » 10^–16n эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l»10^–10 м), то для электрона DE_n » 10^–17n Дж » 10²n эВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким об­разом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконеч­но высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выво­ду, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная . Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Dх частицы в «яме» шириной l рав­на Dx=l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Dp»h/l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия E_min»(Dp)²/(2m) = h²/(2ml²). Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превыша­ющую это минимальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах (n>>1) DE_n/E_n»2/n<<1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последователь­ности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в со­временной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных пре­дельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и дина­мики специальной теории относительности переходят при v<<с в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.

§ 221. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 298, а) для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямо­угольной формы высоты U и ширины lможем записать

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо бес­препятственно пройдет над барьером (при Е>U), либо отразится от него (при Е<U) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при Е>U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E<U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х>1, т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микро­частицы при условиях данной задачи.

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний для каждой из выде­ленных на рис. 298, а области имеет вид

(221.1)

Общие решения этих дифференциальных уравнений:

(221.2)

(221.3)

В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), будет иметь вид

(221.4)

В этом выражении первый член представляет собой плоскую волну типа (219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует частице, движущейся в сторону барьера), а второй — волну, распространяющуюся в проти­воположном направлении, т. е. отраженную от барьера (соответствует частице, движу­щейся от барьера налево).

Решение (221.3) содержит также волны (после умножения на временной множи­тель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффици­ент B₃ в формуле (221.3) следует принять равным нулю.

В области 2 решение зависит от соотношений Е>U или Е<U. Физический интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, поскольку при Е<U законы классической физика однозначно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. В данном случае, согласно (221.1), q=ib — мнимое число, где

Учитывая значение q и B₃=0, получим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

(221.5)

В области 2 функция (221.5) уже не соответствует плоским волнам, распространя­ющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент не мнимые, а дейст­вительные. Можно показать, что для частного случая высокого и широкого барьера, когда bl >>1, B₂»0.

Качественный характер функций y₁(х), y₂(х) и y₃(x) иллюстрируется на рис. 298, б, откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нудя вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфи­ческому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в резуль­тате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятиекоэффициента прозрач­ности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Можно показать, что

Для того чтобы найти отношение |А₃/А₁|², необходимо воспользоваться условиями непрерывности y и y' на границах барьера х=0 и х=l (рис. 298):

(221.6)

Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты A₂, A₃, В₁ и В₂ через А₁. Совместное решение уравнений (221.6) для прямоугольного потенциального барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей)

(221.7)

где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барьера, D₀ — постоянный множитель, который можно приравнять единице. Из выражения (221.7) следует, что D сильно зависит от массы т частицы, ширины l барьера и от (U—E); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 299), удовлетворяющей условиям так называемого квазиклассического приближения (достаточно гладкая форма кривой), имеем

где U=U(x).

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при Е<U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специ­фическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса Dр на отрезке Dх=l составляет Dp>h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (Dр)²/(2m) может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (1903—1981). Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, a-распад, протекание термоядерных реакций).

§ 222. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, — является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории (см. § 142). Пружинный, физический и мате­матический маятники — примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора (см. (141.5)) равна

(222.1)

где w₀ — собственная частота колебаний осциллятора, т — масса частицы. Зависи­мость (222.1) имеет вид параболы (рис. 300), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.

Амплитуда малых колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 16). В точках с координатами ±x_max полная энергия Е равна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (–x_max, +x_max). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна. Таким образом, классический осциллятор находится в «потенци­альной яме» с координатами – x_max <х< x_max «без права выхода» из нее.

Гармонический осциллятор в квантовой механике —квантовый осциллятор — опи­сывается уравнением Шредингера (217.5), учитывающим выражение (222.1) для потен­циальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определя­ются уравнением Шредингера вида

(222.2)

 

где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений до­казывается, что уравнение (222.2) решается только при собственных значениях энергии

(222.3)

Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. § 220), минималь­ным значением энергии E₀=¹/₂ћw₀^. Существование минимальной энергии — она назы­вается энергией нулевых колебаний — является типичной для квантовых систем и пред­ставляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме».

Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осциллятора противоре­чит выводам классической теории, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоящейся в положении равно­весия частице). Например, классическая физика приводит к выводу, что при Т=0 энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов. Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при Т®0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтверждением наличия нулевых колебаний.

Из формулы (222.3) также следует, что уровни энергии линейного гармонического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 300), а имен­но расстояние между соседними энергетическими уровнями равно ћw₀, причем мини­мальное значение энергии E₀=¹/₂ћw₀.

Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к одному значи­тельному отличию от классического рассмотрения. Квантово-механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области |x|£x_max (см. рис. 16), в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области (–x_max, +x_max). Таким образом, имеется отличная от нуля вероят­ность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной. Этот результат (без его вывода) демонстрируется на рис. 301, где приводится кван­товая плотность вероятности w обнаружения осциллятора для состояния п=1. Из рисунка следует, что для квантового осциллятора действительно плотность вероятности w имеет конечные значения за пределами классически дозволенной области |x|£x_max, т.е. имеется конечная (но небольшая) вероятность обнаружить частицу в области за пределами «потенциальной ямы». Существование отличных от нуля значений w за пределами «потенциальной ямы» объясняется возможностью прохожде­ния микрочастиц сквозь потенциальный барьер (см. § 221).

 

Глава 29 Элементы современной физики атомов и молекул

§ 223. Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелияНе⁺, двукратно ионизованного лития Li⁺⁺ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),

(223.1)

где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображена жирной кривой на рис. 302. U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1):

(223.2)

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (223.2) обычно используют сферическую систему координат: r, q, j. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важней­ших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конеч­ности и непрерывности волновой функции y, только при собственных значениях энергии

(223.3)

т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Таким образом,как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. § 220) и гармонического осциллятора (см. § 222), решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е₁, E₂, Е₃,... показаны на рис. 302 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е₁, отвечающий минимальной возможной энер­гии, —основной, все остальные (Е_n >Е₁, n = 2, 3, ...) —возбужденные (см. § 212). При Е<0 движение электрона являетсясвязанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n=¥ E_¥ = 0. При Е>0 движение электрона являетсясвободным; область непрерывного спектра Е>0 (заштри­хована на рис. 302) соответствуетионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

Выражение (223.3) совпадает с формулой (212.3), полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следстви­ем самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным т_l.

Главное квантовое число n, согласно (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с еди­ницы:

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

(223.4)

где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения

(223.5)

т. е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L_l момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_lx на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ћ:

(223.6)

где т_l — магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

(223.7)

т. е. всего 2l+1 значений. Таким образом,магнитное квантовое число m_l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентации.

Наличие квантового числа m_l должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом п на 2l+1 подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Действительно, расщеп­ление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено в 1896 г. голландс­ким физиком П. Зееманом (1865—1945) и получило названиеэффекта Зеемана. Расщеп­ление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное эксперимен­тально, называетсяэффектом Штарка*.

* И. Штарк (1874—1957) — немецкий физик.

 

Хотя энергия электрона (223.3) и зависит только от главного квантового числа п, но каждому собственному значению Е_n (кроме Е₁) соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями l и m_l. Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном п орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до п–1 (см. (223.5)), а каждому значению l соответствует 2l+1 различных значений m_l (223.7), то число различных состояний, соответствующих данному п, равно

(223.8)

Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнений Шредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию y. Кроме того, так как при движении электрона в атоме существенны волновые свойства электрона, то квантовая механика вообще отказывается от клас­сического представления об электронных орбитах. Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в единице объема.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в раз­личных точках объема атома. Квантовые числа п и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m_l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, харак­теризующееся квантовыми числами l=0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном), l=1 — p-состоянием, l=2 — d-состоянием, l=3 — f-состоянием и т. д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электроны в состояниях n=2 и l=0 и 1 обозначаются соответственно символами 2s и 2р.

На рис. 303 для примера приведено распределение электронной плотности (формы электронного облака) для состояний атома водорода при n=1 и п=2, определяемое ||². Как видно из рисунка, оно зависит от n, l и m_l. Так, при l=0 электронная плотность отлична от нуля в центре и не зависит от направления (сферически-симмет­рична), а для остальных состояний в центре равна нулю и зависит от направления.

3. Спектр. Квантовые числа n, l и m_l позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора (см. рис. 294).

В квантовой механике вводятсяправила отбора, ограничивающие число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света. Те­оретически доказано и экспериментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие переходы, для которых: 1) изменение орбитального квантового числа Dl удовлетворяет условию

(223.9)

2) изменение магнитного квантового числа Dm_l удовлетворяет условию

В оптических спектрах указанные правила отбора в основном выполняются. Одна­ко в принципе могут наблюдаться и слабые «запрещенные» линии, например воз­никающие при переходах с Dl = 2. Появление этих линий объясняется тем, что строгая теория, запрещая дипольные переходы, разрешает переходы, соответствующие излуче­нию более сложных систем зарядов, например квадруполей. Вероятность же квадрупольных переходов (переходы с Dl=2) во много раз меньше вероятности дипольных переходов, поэтому «запрещенные» линии и являются слабыми.

Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и правило отбора (223.9), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 304): серии Лаймана соответствуют переходы

серии Бальмера —

и т. д.

Переход электрона из основного состояния в возбужденное обусловлен увеличени­ем энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как поглощающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам 1s®np (n = 2, 3, ...), что находится в полном согласии с опытом.

§ 224. 1s-Состояние электрона в атоме водорода

1s-Состояние электрона в атоме водорода является сферически-симметричным, т. е. не зависит от углов q и j. Волновая функция y электрона в этом состоянии определяется только расстоянием r электрона от ядра, т. е. y = y₁₀₀(r), где цифры в индексе соответ­ственно указывают, что п=1, l=0 и m_l=0. Уравнению Шредингера для 1s-состояния электрона в атоме водорода удовлетворяет функция вида

(224.1)

где, как можно показать, — величина, совпадающая с первым боровским радиусом а (см. (212.2)) для атома водорода, С — некоторая постоянная, опреде­ляемая из условия нормировки вероятностей (216.3).

Благодаря сферической симметрии y-функции вероятность обнаружения электрона на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV, отвечающий одинаковой плотности вероятности, обычно представляют в виде объема сферического слоя радиусом r и толщиной dr: dV=4pr²dr. Тогда, согласно условию нормировки вероятностей (216.3) с учетом (224.1),

После интегрирования получим

(224.2)

Подставив выражение (224.2) в формулу (224.1), определим нормированную волновую функцию, отвечающую 1s-состоянию электрона в атоме водорода:

(224.3)

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема (см. (216.2)) равна

Подставив в эту формулу волновую функцию (224.3), получим

Вычислим те расстояния r_max от ядра, на которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью. Исследуя выражение dW/dr на максимум, получим, что r_max=a. Следовательно, электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу, т. е. имеется равная и наибольшая вероятность обнаружения электрона во всех точках, расположенных на сферах радиуса а с центром в ядре атома. Казалось бы, квантово-механический расчет дает полное согласие с теорией Бора. Однако, согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь при r=а достигает максимума, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве (рис. 305). Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероятным расстоянием от электрона до ядра является расстояние, равное боровскому радиусу. В этом заключается квантово-механический смысл боровского радиуса.

§ 225. Спин электрона. Спиновое квантовое число

О. Штерн и В. Герлах, проводя прямые измерения магнитных моментов (см. § 131), обнаружили в 1922 г., что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю (см. (223.4)). Магнитный момент атома, связанный с орбитальным движением электрона, пропорционален механичес­кому моменту (см. (131.3)), поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состоянии, т. е. расщеп­ления быть не должно. Однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру (являются дублетами) даже в отсутствие магнитного поля.

Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда других трудностей в атомной физике американские физики Д. Уленбек (1900—1974) и С. Гаудсмит (1902—1979) предположили, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, спином (см. §131).

Спин электрона (и всех других микрочастиц) — квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) L_s, то ему соответствует собственный магнитный момент р_ms. Согласно общим выво­дам квантовой механики, спин квантуется по закону

где s — спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция L_sz спина квантуется так, что вектор L_s может принимать 2s+1 ориентации. Так как в опытах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s+1=2, откуда s= ½ . Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением, аналогичным (223.6):

где т_s — магнитное спиновое квантовое число; оно может иметь только два значения: m_s = ± ½ .

Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризовать элект­роны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описания состояния электрона в атоме необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами задавать еще магнитное спиновое квантовое число.

§ 226. Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства — массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики — принципе неразличимости тож­дественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тож­дественные частицы.

В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положе­нию в пространстве и импульсам. Если частицы в какой-то момент времени пронуме­ровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них. Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытека­ет, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микроча­стицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|y|²) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно лишь говорить о вероятности нахождения в данной области одной из тождест­венных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полно­стью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчерк­нуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следстви­ем вероятностной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, который, как уже указывалось, является фундаментальным.

Принимая во внимание физический смысл величины |y|², принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

(226.1)

где x₁ и х₂ — соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (226.1) вытекает, что возможны два случая:

т. е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется cимметричной, если меняет — антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физичес­кий смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это же является доказательством того, что свойство симметрии или антисиммет­рии — признак данного типа микрочастиц.

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются ан­тисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми — Дира­ка; эти частицы называютсяфермионами. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, p-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функ­циями и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна; эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спив — полуцелый), а из четно­го — бозонами (суммарный спин целый).

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули (1900—1958), что явилось еще одним доказательством того, что спин является фун­даментальной характеристикой микрочастиц.

§ 227. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям

Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметрич­ной. Обобщая опытные данные, В. Паули сформулировал принцип, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых ан­тисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).

Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, который может быть использован в его простейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел п, l, m_l и т_s т. е.

где Z(п, l, m_l, т_s) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описыва­емом набором четырех квантовых чисел: п, l, m_l, т_s. Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно формуле (223.8), данному n соответствует n² различных состояний, от­личающихся значениями l и m_l. Квантовое число т_s может принимать лишь два значения (± ½). Поэтому максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются поподоболочкам, соответствующим данному l. Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n–1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке опреде­ляется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l+1). Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 6.

Таблица 6

§ 228. Периодическая система элементов Менделеева

Принцип Паули, лежащий в основе систематики заполнения электронных состояний в атомах, позволяет объяснитьПериодическую систему элементов Д. И. Менделеева (1869) —фундаментального закона природы, являющегося основой современной химии, атомной и ядерной физики.

Д. И. Менделеев ввел понятие порядкового номера Z химического элемента, рав­ного числу протонов в ядре и соответственно общему числу электронов в электронной оболочке атома. Расположив химические элементы по мере возрастания порядковых номеров, он получил периодичность в изменении химических свойств элементов. Однако для известных в то время 64 химических элементов некоторые клетки таблицы оказались незаполненными, так как соответствующие им элементы (например, Ga, Se, Ос) тогда еще не были известны. Д. И. Менделеев, таким образом, не только правиль­но расположил известные элементы, но и предсказал существование новых, еще не открытых элементов и их основные свойства. Кроме того, Д. И. Менделееву удалось уточнить атомные веса некоторых элементов. Например, атомные веса Be и U, вычисленные на основе таблицы Менделеева, оказались правильными, а полученные ранее экспериментально — ошибочными.

Так как химические и некоторые физические свойства элементов объясняются внешними (валентными) электронами в атомах, то периодичность свойств химических элементов должна быть связана с определенной периодичностью в расположении электронов в атомах. Поэтому для объяснения таблицы будем считать, что каждый последующий элемент образован из предыдущего прибавлением к ядру одного прото­на и соответственно прибавлением одного электрона в электронной оболочке атома. Взаимодействием электронов пренебрегаем, внося, где это необходимо, соответст­вующие поправки. Рассмотрим атомы химических элементов, находящиеся в основном состоянии.

Единственный электрон атома водорода находится в состоянии 1s, характеризу­емом квантовыми числами п=1 , l=0, m_l=0 и m_s=± ½; (ориентация его спина произвольна). Оба электрона атома Не находятся в состоянии 1s, но с антипараллельной ориентацией спина. Электронная конфигурация для атома Не записывается как 1s²(два 1s-электрона). На атоме Не заканчивается заполнение K-оболочки, что соответствует завершению I периода Периодической системы элементов Менделеева (табл. 7).

Таблица 7

Третий электрон атома Li (Z=3), согласно принципу Паули, уже не может раз­меститься в целиком заполненной K-оболочке и занимает наинизшее энергетическое состояние с n=2 (L-оболочка), т.е. 2s-состояние. Электронная конфигурация для атома Li: 1s²2s. Атомом Li начинается II период Периодической системы элементов. Четвертым электроном Be (Z=4) заканчивается заполнение подоболочки 2s. У следу­ющих шести элементов от В (Z=5) до Ne (Z=10) идет заполнение подоболочки 2р (табл. 7). II период Периодической системы заканчивается неоном — инертным газом, для которого подоболочка 2р целиком заполнена.

Одиннадцатый электрон Na (Z=11) размещается в М-оболочке (n=3), занимая наинизшее состояние 3s. Электронная конфигурация имеет вид 1s²2s²2p⁶3s. 3s-Электрон (как и 2s-электрон Li) является валентным электроном, поэтому оптические свойства Na подобны свойствам Li. С Z=12 идет последовательное заполнение M-оболочки. Аr (Z=18) оказывается подобным Не и Ne: в его наружной оболочке все s- и p-состояния заполнены. Аr является химически инертным и завершает III период Периодической системы.

Девятнадцатый электрон К (Z=19) должен был бы занять 3d-состоянис в M-оболочке. Однако и в оптическом, и в химическом отношениях атом К схож с атомами Li и Na, которые имеют внешний валентный электрон в s-состоянии. Поэтому 19-й валентный электрон К должен также находиться в s-состоянии, но это может быть только s-состояние новой оболочки (N-оболочки), т. е. заполнение N-обо­лочки для К начинается при незаполненной M-оболочке. Это означает, что в резуль­тате взаимодействия электронов состояние n=4, l=0 имеет меньшую энергию, чем состояние n=3, l=2. Спектроскопические и химические свойства Са (Z=20) показыва­ют, что его 20-й электрон также находится в 4s-состоянии N-оболочки. В последующих элементах происходит заполнение M-оболочки (от Sc (Z=21) до Zn (Z=30)). Далее N-оболочка заполняется до Кr (Z=36), у которого опять-таки, как и в случае Ne и Аr,

s- и p-состояния наружной оболочки заполнены целиком. Криптоном заканчивается IV период Периодической системы. Подобные рассуждения применимы и к остальным элементам таблицы Менделеева, однако эти данные можно найти в справочниках. Отметим лишь, что и начальные элементы последующих периодов Rb, Cs, Fr являются щелочными металлами, а их последний электрон находится в s-состоянии. Кроме того, атомы инертных газов (Не, Ne, Ar, Кr, Хе, Rn) занимают в таблице особое положе­ние — в каждом из них s- и p-состояния наружной оболочки целиком заполнены и ими завершаются очередные периоды Периодической системы.

Каждую из двух групп элементов — лантаниды (от лантана (Z=57) до лютеция (Z=71)) и актиниды (от актиния (Z=89) до лоуренсия (Z=103)) — приходится поме­щать в одну клетку таблицы, таккак химические свойства элементов в пределах этих групп очень близки. Это объясняется тем, что для лантанидов заполнение подоболочки 4f, которая может содержать 14 электронов, начинается лишь после того, как целиком заполнятся подоболочки 5s, 5p и 6s. Поэтому для этих элементов внешняя P-оболочка (6s²) оказывается одинаковой. Аналогично, одинаковой для актинидов является Q-оболочка (7s²).

Таким образом, открытая Менделеевым периодичность в химических свойствах элементов объясняется повторяемостью в структуре внешних оболочек у атомов родственных элементов. Так, инертные газы имеют одинаковые внешние оболочки из 8 электронов (заполненные s- и p-состояния); во внешней оболочке щелочных металлов (Li, Na, К, Rb, Cs, Fr) имеется лишь один s-электрон; во внешней оболочке щелочноземельных металлов (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) имеется два s-электрона; галоиды (F, О, Br, I, At) имеют внешние оболочки, в которых недостает одного электрона до оболочки инертного газа, и т. д.

§ 229. Рентгеновские спектры

Большую роль в выяснении строения атома, а именно распределения электронов по оболочкам, сыграло излучение, открытое в 1895 г. немецким физиком В. Рентгеном (1845—1923) и названноерентгеновским. Самым распространенным источником рент­геновского излучения является рентгеновская трубка, в которой сильно ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют анод (металлическая мишень из тяже­лых металлов, например W или Pt), испытывая на нем резкое торможение. При этом возникает рентгеновское излучение, представляющее собой электромагнитные волны с длиной волны примерно 10^–12—10^–8 м. Волновая природа рентгеновского излучения доказана опытами по его дифракции, рассмотренными в § 182.

Исследование спектрального состава рентгеновского излучения показывает, что его спектр имеет сложную структуру (рис. 306) и зависит как от энергии электронов, так и от материала анода. Спектр представляет собой наложение сплошного спектра, ограниченного со стороны коротких длин волн некоторой границей l_min, называемой границей сплошного спектра, и линейчатого спектра — совокупности отдельных линий, появляющихся на фоне сплошного спектра.

Исследования показали, что характер сплошного спектра совершенно не зависит от материала анода, а определяется только энергией бомбардирующих анод электронов. Детальное исследование свойств этого излучения показало, что оно испускается бомбардирующими анод электронами в результате их торможения при взаимодействии с атомами мишени. Сплошной рентгеновский спектр поэтому называют тормозным спектром. Этот вывод находится в согласии с классической теорией излучения, так как при торможении движущихся зарядов должно действительно возникать излучение со сплошным спектром.

Из классической теории, однако, не вытекает существование коротковолновой границы сплошного спектра. Из опытов следует, чточем больше кинетическая энергия электронов, вызывающих тормозное рентгеновское излучение, тем меньше l_min. Это обстоятельство, а также наличие самой границы объясняются квантовой теорией. Очевидно, что предельная энергия кванта соответствует такому случаю торможения, при котором вся кинетическая энергия электрона переходит в энергию кванта, т. е.

где U—разность потенциалов, за счет которой электрону сообщается энергия Е_max, n_max — частота, соответствующая границе сплошного спектра. Отсюда граничная дли­на волны

(229.1)

что полностью соответствует экспериментальным данным. Измеряя границу рент­геновского сплошного спектра, по формуле (229.1) можно определить эксперименталь­ное значение постоянной Планка h, которое наиболее точно совпадает с современными данными.

При достаточно большой энергии бомбардирующих анод электронов на фоне сплошного спектра появляются отдельные резкие линии — линейчатый спектр, опреде­ляемый материалом анода и называемый характеристическим рентгеновским спектром (излучением).

По сравнению с оптическими спектрами характеристические рентгеновские спектры элементов совершенно однотипны и состоят из нескольких серий, обозначаемых К, L, М, и O. Каждая серия, в свою очередь, содержит небольшой набор отдельных линий, обозначаемых в порядке убывания длины волны индексами a, b, g,... (К_a, К_b, К_g,.... L_a, L_b, L_g, ...). При переходе от легких элементов к тяжелым структура характеристичес­кого спектра не изменяется, лишь весь спектр смещается в сторону коротких волн. Особенность этих спектров заключается в том, что атомы каждого химического элемента, независимо от того, находятся ли они в свободном состоянии или входят в химическое соединение, обладают определенным, присущим только данному элемен­ту линейчатым спектром характеристического излучения. Так, если анод состоит из нескольких элементов, то и характеристическое рентгеновское излучение представляет собой наложение спектров этих элементов.

Рассмотрение структуры и особенностей характеристических рентгеновских спек­тров приводит к выводу, что их возникновение связано с процессами, происходящими во внутренних, застроенных электронных оболочках атомов, которые имеют сходное строение.

Разберем механизм возникновения рентгеновских серий, который схематически показан на рис. 307. Предположим, что под влиянием внешнего электрона или высокоэнергетического фотона вырывается один из двух электронов K-оболочки атома. Тогда на его место может перейти электрон с более удаленных от ядра оболочек L, M, N,.... Такие переходы сопровождаются испусканием рентгеновских квантов и возникновени­ем спектральных линий К-серии: К_a (L®K), K_b (M®K), K_g (N®K) и т. д. Самой длинно­волновой линией К-серии является линия K_a. Частоты линий возрастают в ряду K_a ® K_b ® K_g, поскольку энергия, высвобождаемая при переходе электрона на K-оболочку с более удаленных оболочек, увеличивается. Наоборот, интенсивности линий в ряду K_a ® K_b ® K_g убывают, так как вероятность переходов электронов с L-оболочки на K-оболочку больше,чем с более удаленных оболочек М и N. К-серия сопровождается обязательно другими сериями, так как при испускании ее линий появляются вакансии в оболочках L, M,..., которые будут заполняться электронами, находящимися на более высоких уровнях.

Аналогично возникают и другие серии, наблюдаемые, впрочем, только для тяже­лых элементов. Рассмотренные линии характеристического излучения могут иметь тонкую структуру, поскольку уровни, определяемые главным квантовым числом, расщепляются согласно значениям орбитального и магнитного квантовых чисел.

Исследуя рентгеновские спектры элементов, английский физик Г. Мозли (1887—1915) установил в 1913 г. соотношение, называемое законом Мозли:

(229.2)

где n — частота, соответствующая данной линии характеристического рентгеновского излучения, R — постоянная Ридберга, s — постоянная экранирования, т = 1, 2, 3, ... (определяет рентгеновскую серию), n принимает целочисленные значения начиная с m+1 (определяет отдельную линию соответствующей серии). Закон Мозли (229.2) подобен обобщенной формуле Бальмера (209.3) для атома водорода.

Смысл постоянной экранирования заключается в том, что на электрон, совершающий переход, соответствующий некоторой линии, действует не весь заряд ядра Zе, а заряд (Z–s)e, ослабленный экранирующим действием других электронов. Напри­мер, для K_a-линии s = 1, и закон Мозли запишется в виде

§ 230. Молекулы: химические связи, понятие об энергетических уровнях

Молекула — наименьшая частица вещества, состоящая из одинаковых или различных атомов, соединенных между собой химическими связями, и являющаяся носителем его основных химических и физических свойств. Химические связи обусловлены взаимодей­ствием внешних, валентных электронов атомов. Наиболее часто в молекулах встреча­ется два типа связи: ионная и ковалентная (см. § 71).

Ионная связь (например, в молекулах NaCl, KBr) осуществляется электростатичес­ким взаимодействием атомов при переходе электрона одного атома к другому, т. е. при образовании положительного и отрицательного ионов. Ковалентная связь (напри­мер, в молекулах H₂, С₂, СО) осуществляется при обобществлении валентных элек­тронов двумя соседними атомами (спины валентных электронов должны быть ан­типараллельны). Ковалентная связь объясняется на основе принципа неразличимости тождественных частиц (см. § 226), например электронов в молекуле водорода. Нераз­личимость частиц приводит к специфическому взаимодействию между ними, называ­емомуобменным взаимодействием. Это чисто квантовый эффект, не имеющий клас­сического объяснения, но его можно себе представить так, что электрон каждого из атомов молекулы водорода проводит некоторое время у ядра другого атома и, следовательно, осуществляется связь обоих атомов, образующих молекулу. При сбли­жении двух водородных атомов до расстояний порядка боровского радиуса возникает их взаимное притяжение и образуется устойчивая молекула водорода.

Молекула является квантовой системой; она описывается уравнением Шредингера, учитывающим движение электронов в молекуле, колебания атомов молекулы, враще­ние молекулы. Решение этого уравнения — очень сложная задача, которая обычно разбивается на две: для электронов и ядер.

Энергия изолированной молекулы

(230.1)

где Е_эл — энергия движения электронов относительно ядер, Е_кол — энергия колебаний ядер (в результате которых периодически изменяется относительное положение ядер), Е_вращ — энергия вращения ядер (в результате которых периодически изменяется ориен­тация молекулы в пространстве). В формуле (230.1) не учтены энергия поступательного движения центра масс молекулы и энергия ядер атомов в молекуле. Первая из них не квантуется, поэтому ее изменения не могут привести к возникновению молекулярного спектра, а вторую можно не учитывать, если не рассматривать сверхтонкую структуру спектральных линий. Отношения Е_эл : Е_кол : Е_вращ = 1 : : т/М, где т — масса электрона, М — величина, имеющая порядок массы ядер атомов в молекуле, т/М»10^–5¸10^–3. Поэтому Е_эл >> Е_кол >> Е_вращ. Доказано, что Е_эл»1¸10 эВ, Е_кол»10^–2¸10^–1 эВ, Е_вращ »10^–5¸10^–3 эВ.

Каждая из входящих в выражение (230.1) энергий квантуется (ей соответствует набор дискретных уровней энергии) и определяется квантовыми числами. При переходе из одного энергетического состояния в другое поглощается или испускается энергия DE=hn. При таких переходах одновременно изменяются энергия движения электронов, энергии колебаний н вращения. Из теории и эксперимента следует, что расстояние между вращательными уровнями энергии DE_вращ гораздо меньше расстояния между колебательными уровнями DE_кол которое, в свою очередь, меньше расстояния между электронными уровнями DE_эл. На рис. 308 схематически представлены уровни энергии двухатомной молекулы (для примера рассмотрены только два электронных уров­ня — показаны жирными линиями).

Как будет показано в § 231, структура энергетических уровней молекул определяет их спектр излучения, возникающий при квантовых переходах между соответствующи­ми энергетическими уровнями.

§ 231. Молекулярные спектры. Комбинационное рассеяние света

Строение молекул и свойства их энергетических уровней проявляются вмолекулярных спектрах — спектрах излучения (поглощения), возникающих при квантовых переходах между уровнями энергии молекул. Спектр излучения молекулы определяется струк­турой ее энергетических уровней и соответствующими правилами отбора (так, напри­мер, изменение квантовых чисел, соответствующих как колебательному, так и враща­тельному движению, должно быть равно ± 1).

Итак, при разных типах переходов между уровнями возникают различные типы молекулярных спектров. Частоты спектральных линий, испускаемых молекулами, мо­гут соответствовать переходам с одного электронного уровня на другой(электронные спектры) или с одного колебательного (вращательного) уровня на другой(колебатель­ные (вращательные) спектры). Кроме того, возможны и переходы с одними значениями DE_кол и DE_вращ на уровни, имеющие другие значения всех трех компонентов, в результате чего возникаютэлектронно-колебательные и колебательно-вращательные спектры. По­этому спектр молекул довольно сложный.

Типичные молекулярные спектры — полосатые, представляющие собой совокуп­ность более или менее узких полос в ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной областях. Применяя спектральные приборы высокой разрешающей способности, можно видеть, что полосы представляют собой настолько тесно расположенные линии, что они с трудом разрешаются. Структура молекулярных спектров различна для разных молекул и с увеличением числа атомов в молекуле усложняется (наблюдаются лишь сплошные широкие полосы). Колебательными и вращательными спектрами обладают только многоатомные молекулы, а двухатомные их не имеют. Это объясняется тем, что двухатомные молекулы не имеют дипольных моментов (при колебательных и вра­щательных переходах отсутствует изменение дипольного момента, что является необ­ходимым условием отличия от нуля вероятности перехода).

В 1928 г. академики Г. С. Ландсберг (1890—1957) и Л. И. Мандельштам и одно­временно индийские физики Ч. Раман (1888—1970) и К. Кришнан (р. 1911) открыли явление комбинационного рассеяния света. Если на вещество (газ, жидкость, прозрачный кристалл) падает строго монохроматический свет, то в спектре рассеянного света помимо несмещенной спектральной линии обнаруживаются новые линии, частоты которых представляют собой суммы или разности частоты n падающего света и частот n_i собственных колебаний (или вращений) молекул рассеивающей среды.

Линии в спектре комбинационного рассеяния с частотами n –n_i , меньшими частоты n падающего света, называютсястоксовыми (или красными) спутниками, линии с часто­тами n +n_i , большими n, —антистоксовыми (или фиолетовыми) спутниками. Анализ спектров комбинационного рассеяния приводит к следующим выводам: 1) линии спутников располагаются симметрично по обе стороны от несмещенной линии; 2) ча­стоты n_i не зависят от частоты падающего на вещество света, а определяются только рассеивающим веществом, т. е. характеризуют его состав и структуру; 3) число спут­ников определяется рассеивающим веществом; 4) интенсивность антистоксовых спут­ников меньше интенсивности стоксовых и с повышением температуры рассеивающего вещества увеличивается, в то время как интенсивность стоксовых спутников практичес­ки от температуры не зависит.

Объяснение закономерностей комбинационного рассеяния света дает квантовая теория. Согласно этой теории, рассеяние света есть процесс, в котором один фотон поглощается и один фотон испускается молекулой. Если энергии фотонов одинаковы, то в рассеянном свете наблюдается несмещенная линия. Однако возможны процессы рассеяния, при которых энергии поглощенного и испущенного фотонов различны. Различие энергии фотонов связано с переходом молекулы из нормального состояния в возбужденное (испущенный фотон будет иметь меньшую частоту — возникает стоксов спутник) либо из возбужденного состояния в нормальное (испущенный фотон будет иметь большую частоту — возникает антистоксов спутник).

Рассеяние света сопровождается переходами молекулы между различными колеба­тельными или вращательными уровнями, в результате чего и возникает ряд симмет­рично расположенных спутников. Число спутников, таким образом, определяется энергетическим спектром молекул, т. е. зависит только от природы рассеивающего вещества. Так как число возбужденных молекул гораздо меньше, чем число невозбуж­денных, то интенсивность антистоксовых спутников меньше, чем стоксовых. С повыше­нием температуры число возбужденных молекул растет, в результате чего возрастает и интенсивность антистоксовых спутников.

Молекулярные спектры (в том числе и спектры комбинационного рассеяния света) применяются для исследования строения и свойств молекул, используются в молеку­лярном спектральном анализе, лазерной спектроскопии, квантовой электронике и т. д.

§ 232. Поглощение. Спонтанное и вынужденное излучения

Как отмечалось выше, атомы могут находиться лишь в квантовых состояниях с дискрет­ными значениями энергии Е₁, Е₂, Е₃, ... Ради простоты рассмотрим только два из этих состояний (1 и 2) с энергиями Е₁ и Е₂. Если атом находится в основном состоянии 1, то под действием внешнего излучения может осуществиться вынужденный переход в воз­бужденное состояние 2 (рис. 309, а), приводящий к поглощению излучения. Вероят­ность подобных переходов пропорциональна плотности излучения, вызывающего эти переходы.

Атом, находясь в возбужденном состоянии 2, может через некоторый промежуток времени спонтанно, без каких-либо внешних воздействий, перейти в состояние с низшей энергией (в нашем случае в основное), отдавая избыточную энергию в виде электромаг­нитного излучения (испуская фотон с энергией hn=E₂–Е₁). Процесс испускания фотона возбужденным атомом (возбужденной микросистемой) без каких-либо внешних воз­действий называется спонтанным (или самопроизвольным) излучением (рис. 309, б). Чем больше вероятность спонтанных переходов, тем меньше среднее время жизни атома в возбужденном состоянии. Так как спонтанные переходы взаимно не связаны, то спонтанное излучение некогерентно.

В 1916 г. А. Эйнштейн для объяснения наблюдавшегося на опыте термодинамичес­кого равновесия между веществом и испускаемым и поглощаемым им излучением постулировал, что помимо поглощения и спонтанного излучения должен существовать третий, качественно иной тип взаимодействия. Если на атом, находящийся в возбуж­денном состоянии 2, действует внешнее излучение с частотой, удовлетворяющей усло­вию hv=E₂–E₁, то возникаетвынужденный (индуцированный) переход в основное состояние 1 с излучением фотона той же энергии hv=E₂–E₁ (рис. 309, в). При подобном переходе происходит излучение атомом фотона, дополнительно к тому фотону, под действием которого произошел переход. Возникающее в результате таких переходов излучение называетсявынужденным (индуцированным) излучением. Таким образом, в процесс вынужденного излучения вовлечены два фотона: первичный фотон, вызыва­ющий испускание излучения возбужденным атомом, и вторичный фотон, испущенный атомом. Существенно, что вторичные фотоны неотличимы от первичных, являясь точной их копией.

В статистической физике известенпринцип детального равновесия, согласно которо­му при термодинамическом равновесии каждому процессу можно сопоставить обрат­ный процесс, причем скорости их протекания одинаковы. А. Эйнштейн применил этот принцип и закон сохранения энергии при рассмотрении излучения и поглощения электромагнитных волн в случае черного тела. Из условия, что при равновесии полная вероятность испускания (спонтанного и вынужденного) фотонов равна вероятности поглощения фотонов той же частоты, Эйнштейн получил выведенную ранее Планком формулу (200.3).

Эйнштейн и Дирак показали, что вынужденное излучение (вторичные фотоны) тождественно вынуждающему излучению (первичным фотонам): оно имеет такие же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, как и вынуждающее излучение. Следовательно, вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением, т. е. испущенный фотон неотличим от фотона, падающего на атом.

Испущенные фотоны, двигаясь в одном направлении и встречая другие возбужден­ные атомы, стимулируют дальнейшие индуцированные переходы, и число фотонов растет лавинообразно. Однако наряду с вынужденным излучением возможен и кон­курирующий процесс — поглощение. Поэтому для усиления падающего излучения необходимо, чтобы число актов вынужденного излучения фотонов (оно пропорци­онально заселенности возбужденных состояний) превышало число актов поглощения фотонов (оно пропорционально заселенности основных состояний). В системе атомов, находящейся в термодинамическом равновесии, поглощение падающего излучения будет преобладать над вынужденным, т. е. падающее излучение при прохождении через вещество будет ослабляться.

Чтобы среда усиливала падающее на нее излучение, необходимо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов в возбужденных состояниях было бы больше, чем их число в основном состоянии. Такие состояния называются состояниями с инверсией населенностей. Процесс создания неравновесного состояния вещества (перевод системы в состояние с инверсией населенностей) называется накачкой. Накачку можно осуществить оптическими, электрическими и другими способами.

В средах с инверсными состоящими вынужденное излучение может превысить поглощение, вследствие чего падающий пучок света при прохождении через эти среды будет усиливаться (эти среды называются активными). В данном случае явление протекает так, как если бы в законе Бугера I=I₀e^–ax (см. (187.1)) коэффициент поглощения a, зависящий, в свою очередь, от интенсивности излучения, стал от­рицательным. Активные среды поэтому можно рассматривать в качестве сред с от­рицательным коэффициентом поглощения.

Впервые на возможность получения сред, в которых свет может усиливаться за счет вынужденного излучения, указал в 1939 г. российский физик В. А. Фабрикант, экс­периментально обнаружив вынужденное излучение паров ртути, возбужденных при электрическом разряде. Открытие явления усиления электромагнитных волн и изоб­ретенный способ их усиления (В. А. Фабрикант, М. М. Вудынский, ф. А. Бугаева; 1951) легли в основу квантовой электроники, положения которой позволили впоследст­вии осуществить квантовые усилители и квантовые генераторы света.

§ 233. Оптические квантовые генераторы (лазеры)

Практически инверсное состояние среды осуществлено в принципиально новых источ­никах излучения —оптических квантовых генераторах, илилазерах (от первых букв английского названия Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — усиление света с помощью вынужденного излучения). Лазеры генерируют в видимой, инфракрасной и ближней ультрафиолетовой областях (в оптическом диапазоне). Идея качественно нового принципа усиления и генерации электромагнитных волн, применен­ная вмазерах (генераторы и усилители, работающие в сантиметровом диапазоне радиоволн) и лазерах, принадлежит российским ученым Н. Г. Басову (р. 1922) и А. М. Прохорову (р. 1916) и американскому физику Ч. Таунсу (р. 1915), удостоен­ным Нобелевской премии 1964 г.

Важнейшими из существующих типов лазеров являютсятвердотельные, газовые, полупроводниковыеижидкостные (в основу такого деления положен тип активной среды). Более точная классификация учитывает также и методы накачки — оптические, тепловые, химические, электроионизационные и др. Кроме того, необходимо прини­мать во внимание и режим генерации — непрерывный или импульсный.

Лазер обязательно имеет три основных компонента: 1) активную среду, в которой создаются состояния с инверсией населенностей; 2) систему накачки (устройство для создания инверсии в активной среде); 3) оптический резонатор (устройство, выделя­ющее в пространство избирательное направление пучка фотонов и формирующее выходящий световой пучок).

Первым твердотельным лазером (1960; США), работающим в видимой области спектра (длина волны излучения 0,6943 мкм), был рубиновый лазер (Т. Мейман (р. 1927)). В нем инверсная населенность уровней осуществляется по трехуровневой схеме, предложенной в 1955 г. Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым. Кристалл рубина представляет собой оксид алюминия Аl₂О₃, в кристаллической решетке которого некоторые из атомов Аl замещены трехвалентными ионами Cr³⁺ (0,03 и 0,05% ионов хрома соответственно для розового и красного рубина). Для оптической накачки используется импульсная газоразрядная лампа. При интенсивном облучении рубина светом мощной импульсной лампы атомы хрома переходят с нижнего уровня 1 на уровни широкой полосы 3 (рис. 310). Так как время жизни атомов хрома в возбужден­ных состояниях мало (меньше 10^–7 с), то осуществляются либо спонтанные переходы 3®1 (они незначительны), либо наиболее вероятные безызлучательные переходы на уровень 2 (он называется метастабильным) с передачей избытка энергии решетке кристалла рубина. Переход 2®1 запрещен правилами отбора, поэтому длительность возбужденного состояния 2 атомов хрома порядка 10^–3 с, т. е. примерно на четыре порядка больше, чем для состояния 3. Это приводит к «накоплению» атомов хрома на уровне 2. При достаточной мощности накачки их концентрация на уровне 2 будет гораздо больше, чем на уровне 1, т. е. возникает среда с инверсной населенностью уровня 2.

Каждый фотон, случайно родившийся при спонтанных переходах, в принципе может инициировать (порождать) в активной среде множество вынужденных перехо­дов 2®1, в результате чего появляется лавина вторичных фотонов, являющихся копиями первичных. Таким образом и зарождается лазерная генерация. Однако спон­танные переходы носят случайный характер, и спонтанно рождающиеся фотоны ис­пускаются в разных направлениях. Тем самым в самых разных направлениях распрост­раняются и лавины вторичных фотонов. Следовательно, излучение, состоящее из подобных лавин, не может обладать высокими когерентными свойствами.

Для выделения направления лазерной генерации используется принципиально важ­ный элемент лазера —оптический резонатор. В простейшем случае им служит пара обращенных друг к другу параллельных (или вогнутых) зеркал на общей оптической оси, между которыми помещается активная среда (кристалл или кювета с газом). Как правило, зеркала изготовляются так, что от одного из них излучение полностью отражается, а второе — полупрозрачно. Фотоны, движущиеся под углами к оси кри­сталла или кюветы, выходят из активной среды через ее боковую поверхность. Те же из фотонов, которые движутся вдоль оси, многократно отразятся от противоположных торцов, каждый раз вызывая вынужденное испускание вторичных фотонов, которые, в свою очередь, вызовут вынужденное излучение, и т. д. Так как фотоны, возникшие при вынужденном излучении, движутся в том же направлении, что и первичные, то поток фотонов, параллельный оси кристалла или кюветы, будет лавинообразно нара­стать. Многократно усиленный поток фотонов выходит через полупрозрачное зеркало, создавая строго направленный световой пучок огромной яркости. Таким образом, оптический резонатор «выясняет» направление (вдоль оси) усаливаемого фотонного потока, формируя тем самым лазерное излучение с высокими когерентными свойствами. Первым газовым лазером непрерывного действия (1961) был лазер на смеси атомов неона и гелия. Газы обладают узкими линиями поглощения, лампы же излучают свет в широком интервале длин волн; следовательно, применять их в качестве накачки невыгодно, так какиспользуется только часть мощности лампы. Поэтому в газовых лазерах инверсная населенность уровней осуществляется электрическим разрядом, возбуждаемым в газах.

В гелий-неоновом лазере накачка происходит в два этапа: гелий служит носителем энергии возбуждения, а неон дает лазерное излучение. Электроны, образующиеся в разряде, при столкновениях возбуждают атомы гелия, которые переходят в возбуж­денное состояние 3 (рис. 311). При столкновениях возбужденных атомов гелия с атома­ми неона происходит их возбуждение и они переходят на один из верхних уровней неона, который расположен вблизи соответствующего уровня гелия. Переход атома неона с верхнего уровня 3 на один из нижних уровней 2 приводит к лазерному излучению с l=0,6328 мкм.

Лазерное излучение обладает следующими свойствами:

1. Временная и пространственная когерентность (см. § 171). Время когерентности составляет 10^–3 с, что соответствует длине когерентности порядка 10⁵ м (l_ког = сt_ког), т. е. на семь порядков выше, чем для обычных источников света.

2. Строгая монохроматичность (Dl<10^–11 м).

3. Большая плотность потока энергии. Если, например, рубиновый стержень при накачке получил энергию W=20 Дж и высветился за 10^–3 с, то поток излучения Ф_е=20/10^–3 Дж/с=2×10⁴ Вт. Фокусируя это излучение на площади 1 мм², получим плотность потока энергии Ф_е/S = 2×10⁴/10^–6 Вт/м² = 2×10¹⁰ Вт/м².

4. Очень малое угловое расхождение в пучке. Например, при использовании специ­альной фокусировки луч лазера, направленный с Земли, дал бы на поверхности Луны световое пятно диаметром примерно 3 км (луч прожектора осветил бы поверхность диаметром примерно 40 000 км).

К.п.д. лазеров колеблется в широких пределах — от 0,01% (для гелий-неонового лазера) до 75% (для лазера на стекле с неодимом), хотя у большинства лазеров к.п.д. составляет 0,1—1%. Создан мощный СО₂-лазер непрерывного действия, генериру­ющий инфракрасное излучение (l=10,6 мкм), к.п.д. которого (30%) превосходит к.п.д. существующих лазеров, работающих при комнатной температуре.

Необычные свойства лазерного излучения находят в настоящее время широкое применение.

Применение лазеров для обработки, резания и микросварки твердых материалов оказывается экономически более выгодным (например, пробивание калиброванных отверстий в алмазе лазерным лучом сократило время с 24 ч до 6—8 мин). Лазеры применяются для скоростного и точного обнаружения дефектов в изделиях, для тончайших операций (например, луч СО₂-лазера в качестве бескровного хирургического ножа), для исследования механизма химических реакций и влияния на их ход, для получения сверхчистых веществ. Широко применяется лазерное разделение изотопов, например такого важного в энергетическом отношении элемента, как уран.

Одним из важных применений лазеров является получение и исследование высоко­температурной плазмы. Эта область их применения связана с развитием нового направления — лазерного управляемого термоядерного синтеза.

Лазеры широко применяются в измерительной технике. Лазерные интерферометры (в них источником света служит лазер) используются для сверхточных дистанционных измерений линейных перемещений, коэффициентов преломления среды, давления, тем­пературы. Например, рассмотренный выше гелий-неоновый лазер из-за излучения высокой стабильности, направленности и монохроматичности (полоса частот 1 Гц при частоте 10¹⁴ Гц) незаменим при юстировочных и нивелировочных работах.

Интересное применение лазеры нашли в топографии (см. § 184). Для создания систем голографической памяти с высокой степенью считывания и большой емкостью необходимы газовые лазеры видимого диапазона еще более высокой монохроматич­ности и направленности излучения.

Очень перспективны и интересны полупроводниковые лазеры, так как они облада­ют широким рабочим диапазоном (0,7—30 мкм) и возможностью плавной перестрой­ки частоты их излучения.

Применения лазеров в настоящее время столь обширны, что даже их перечисление в объеме настоящего курса просто невозможно.

Глава 30 Элементы квантовой статистики

§ 234. Квантовая статистика. Фазовое пространство. Функция распределения

Квантовая статистика —раздал статистической физики, исследующий системы, кото­рые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

В отличие от исходных положений классической статистической физики, в которой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных ча­стиц (см. § 226). При этом оказывается, как будет показано ниже, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное простран­ство всех координат и импульсов частиц системы. Тогда состояние системы определя­ется заданием 6N переменных, так как состояние каждой частицы определяется трой­кой координат х, у, z и тройкой соответствующих проекций импульса р_х, р_у, p_z. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного про­странства равно 6N. Это 6N-мерное пространство называетсяфазовым пространством.Каждому микросостоянию системы отвечает точка в 6N-мерном фазовом пространст­ве, так как задание точки фазового пространства означает задание координат и им­пульсов всех частиц системы. Разобьем фазовое пространство на малые 6N-мерные элементарные ячейки объемом dqdp=dq₁dq₂...dq_3Ndp₁dp₂...dp_3N, где q — совокупность координат всех частиц, р — совокупность проекций их импульсов. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества (см. § 213) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. § 215) приводят к выводу, что объем элементарной ячейки (он называетсяфазовым объемом) не может быть меньше чем h³ (h — постоянная Планка).

Вероятность dW данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f(q, p):

(234.1)

Здесь dW—вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема dqdp, расположенного вблизи данной точки q, р. Иными словами, dW представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы, заключены в интервале q, q+dq и р, p+dp.

Согласно формуле (234.1), функция распределения есть не что иное, как плотность вероятности определенного состояния системы. Поэтому она должна быть нормирова­на на единицу:

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

Зная функцию распределения f(q, р), можно решить основную задачу квантовой статистики — определить средние значения величин, характеризующих рассматрива­емую систему. Среднее значение любой функции

(234.2)

Если иметь дело не с координатами и импульсами, а с энергией, которая квантует­ся, то состояние системы характеризуется не непрерывной, а дискретной функцией распределения.

Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американс­кий физик Д. Гиббс (1839—1903). Оно называетсяканоническим распределением Гиббса.В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет вид

(234.3)

где А — постоянная, определяемая из условия нормировки к единице, n — совокуп­ность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние. Подчеркнем, что f(Е_n) есть именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии Е_n, таккак данной энергии может соответ­ствовать не одно, а несколько различных состояний (может иметь место вырождение).

§ 235. Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невза­имодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения N_i — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождест­венных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым спином (см. § 226), числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, ... (см. § 227). Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спином (см. § 226), числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых (см. § 227). Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения áN_iñ.

Идеальный газ из бозонов —бозе-газ — описываетсяквантовой статистикой Бозе — Эйнштейна.* Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым (см. § 227):

(235.1)

* Ш. Бозе (1894—1974) — индийский физик.

 

Это распределение называетсяраспределением Бозе — Эйнштейна. Здесь áN_iñ — сред­нее число бозонов в квантовом состоянии с энергией E_i, k — постоянная Больцмана, Т—термодинамическая температура, m —химический потенциал; m не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех áN_iñ равна полному числу частиц в системе. Здесь m £ 0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фик­сированы.

Идеальный газ из фермионов —ферми-газ — описываетсяквантовой статистикой Ферми — Дирака.* Распределение фермионов по энергиям имеет вид

(235.2)

где áN_iñ — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Е_i, m — хи­мический потенциал. В отличие от (235.1) m может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел áN_iñ). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.

* Э. Ферми (1901—1954) — итальянский физик.

Если >>1, то распределения Бозе — Эйнштейна (235.1) и Ферми — Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:

(235.3)

(ср. с выражением (44.4)), где

(235.4)

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Система частиц называетсявырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низ­ких температурах и больших плотностях.Параметром вырождения называется вели­чина А. При А<<1,т. е. при малой степени вырождения, распределения Бозе — Эйнш­тейна (235.1) и Ферми — Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Макс­велла — Больцмана (235.3).

Температурой вырождения Т₀ называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц, т. е. Т₀ — температура, при которой вырождение становится существенным. Если Т >> Т₀, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими за­конами.

§ 236. Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принци­пу Паули (см. § 227), согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они долж­ны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следователь­но, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (235.2). Если m₀ — химический поте­нциал электронного газа при Т=0 К, то, согласно (235.2), среднее число áN(E)ñ электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

(236.1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как кван­товое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов áN(E)ñ =f(E), где f(E) — функция рас­пределения электронов по состояниям.

Из (236.1) следует, что при T=0 К функция распределения áN(E)ñ = 1, если E<m₀, и áN(E)ñ = 0, если Е>m₀. График этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до m₀ функция áN(E)ñ равна единице. При E=m₀ она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=m₀, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей m₀, свободны. Следовательно, m₀ есть не что иное, как максималь­ная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называетсяэнергией Ферми и обозна­чается Е_F (Е_F=m₀). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

(236.2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называетсяуровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е_F, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT<<E_F. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т₀ вырождения (см. § 235) находится из условия kT₀=E_F. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T₀»10⁴ К, т. с. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности Е_F (рис. 312, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при T=0 К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е_F, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше Е_F. Вблизи границы Ферми при Е< Е_F заполнение электронами меньше еди­ницы, а при Е> Е_F — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т»300 К и температуре вырождения T₀=3×10⁴ К, — это 10^–5 от общего числа электронов.

Если (Е–Е_F)>>kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (236.2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Фер­ми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, при (Е–Е_F)>>kT, т.е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (Е–Е_F)<<kT, к ним примени­ма только квантовая статистика Ферми — Дирака.

§ 237. Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы

Квантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости теплоемкости газов (в частности, двухатомных) от температуры (см. § 53). Согласно квантовой механике, энергия вращательного движения молекул и энергия колебаний атомов в молекуле могут принимать лишь дискретные значения. Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней энергии (kT<<DE), то при столкновении молекул вращательные и колебательные степени свободы прак­тически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно одноатомному.

Так как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между колебательными, т. е. DE_вращ<<DE_кол (см. § 230), то с ростом температуры возбуждаются вначале вращательные степени свободы, в результате чего теплоемкость возрастает; при дальнейшем росте температуры возбуждаются и колеба­тельные степени свободы и происходит дальнейший рост теплоемкости (см. рис. 80).

Функции распределения Ферми — Дирака для T=0 К и T>0 заметно различаются (рис. 312) лишь в узкой области энергий (порядка kT). Следовательно, в процессе нагревания металла участвует лишь незначительная часть всех электронов проводимо­сти.Этим и объясняется отсутствие заметной разницы между теплоемкостями метал­лов и диэлектриков, что не могло быть объяснено классической теорией (см. § 103).

Как уже указывалось (см. § 73), классическая теория не смогла объяснить также зависимость теплоемкости твердых тел от температуры, а квантовая статистика реши­ла эту задачу. Так, А. Эйнштейн, приближенно считая, что колебания атомов кристал­лической решетки независимы (модель кристалла как совокупности независимых коле­блющихся с одинаковой частотой гармонических осцилляторов), создал качественную квантовую теорию теплоемкости кристаллической решетки. Она впоследствии была развита П. Дебаем, который учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми (рассмотрел непрерывный спектр частот гармонических ос­цилляторов).

Рассматривая непрерывный спектр частот осцилляторов, П. Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам. Поэтому тепловое возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле. Согласно корпускулярно-волновому дуализму свойств вещества, упругим волнам в кристалле сопоставляютфононы, обладающие энергией Е=. Фонон естьквант энергии звуко­вой волны (так как упругие волны — волны звуковые). Фононы являются квазичасти­цами — элементарными возбуждениями, ведущими себя подобно микрочастицам. Аналогично тому как квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, квантование упругих волн привело к представлению о фононах.

Квазичастицы, в частности фононы, сильно отличаются от обычных частиц (напри­мер, электронов, протонов, фотонов), так как они связаны с коллективным движением многих частиц системы. Квазичастицы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле. Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при сто­лкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке — он при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят о квазиимпульсе.

Энергия кристаллической решетки рассматривается как энергия фононного газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна (см. § 235), так как фононы являются бозонами (их спин равен нулю). Фононы могут испускаться и поглощаться, но их число не сохраняется постоянным; поэтому в формуле (235.1) для фононов необходимо m положить равным нулю.

Применение статистики Бозе — Эйнштейна к фононному газу — газу из невза­имодействующих бозе-частиц — привело П. Дебая к количественному выводу, соглас­но которому при высоких температурах, когда T>>T_D (классическая область), теплоем­кость твердых тел описывается законом Дюлонга и Пти (см. § 73), а при низких температурах, когда T<<T_D (квантовая область), — пропорциональна кубу термодина­мической температуры: С_V~Т³. В данном случае T_D —характеристическая температу­ра Дебая, определяемая соотношением kТ_D=, где —предельная частота уп­ругих колебаний кристаллической решетки. Таким образом, теория Дебая объяснила расхождение опытных и теоретических (вычисленных на основе классической теории) значений теплоемкости твердых тел (см. § 73 и рис. 113).

Модель квазичастиц — фононов — оказалась эффективной для объяснения откры­того П. Л. Капицей явления сверхтекучести жидкого гелия (см. § 31, 75). Теория сверхтекучести, созданная (1941) Л. Д. Ландау и развитая (1947) российским ученым Н. Н. Боголюбовым (р. 1909), применена впоследствии к явлению сверхпроводимости (см. § 239).

§ 238. Выводы квантовой теории электропроводности металлов

Квантовая теория электропроводности металлов — теория электропроводности, основы­вающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дирака, — пере­смотрела вопрос об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

(238.1)

которое по внешнему виду напоминает классическую формулу (103.2) для g, но имеет совершенно другое физическое содержание. Здесь п — концентрация электронов прово­димости в металле, ál_Fñ — средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, áu_Fñ — средняя скорость теплового движения такого электрона.

Выводы, получаемые на основе формулы (238.1), полностью соответствуют опытным данным. Квантовая теория электропроводности металлов, в частности, объясняет зависимость удельной проводимости от температуры: g ~ 1/T (классическая теория (см. § 103) дает, что g ~1/), а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле (см. § 103).

Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно оптически однородной среде — она «электронные волны» не рас­сеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току — упо­рядоченному движению электронов — никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности, которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности обусловливаются также тепловыми колебаниями. В реальной кристаллической решетке происходит рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов. Рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, связан­ных с тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов с фононами.

Согласно классической теории, áuñ ~, поэтому она не смогла объяснить истин­ную зависимость g от температуры (см. § 103). В квантовой теории средняя скорость áu_Fñ от температуры практически не зависит, так как доказывается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробе­га электронов. В области комнатных температур ál_Fñ ~Т^–1, поэтому, учитывая незави­симость áuñ от температуры, получим, что сопротивление металлов (R ~ 1/g) в соответ­ствии с данными опытов растет пропорционально Т. Таким образом, квантовая теория электропроводности металлов устранила и эту трудность классической теории.

§ 239. Сверхпроводимость. Понятие об эффекте Джозефсона

Преждечем на основе квантовой теории приступить к качественному объяснению явления сверхпроводимости, рассмотрим некоторые свойства сверхпроводников.

Различные опыты, поставленные с целью изучения свойств сверхпроводников, приводят к выводу, что при переходе металла в сверхпроводящее состояние не изменя­ется структура его кристаллической решетки, не изменяются его механические и оп­тические (в видимой и инфракрасной областях) свойства. Однако при таком переходе наряду со скачкообразным изменением электрических свойств качественно меняются его магнитные и тепловые свойства. Так, в отсутствие магнитного поля переход в сверхпроводящее состояние сопровождается скачкообразным изменением теплоем­кости, а при переходе в сверхпроводящее состояние во внешнем магнитном поле скачком изменяются и теплопроводность, и теплоемкость (такие явления характерны для фазовых переходов II рода; см. § 75). Достаточно сильное магнитное поле (а следовательно, и сильный электрический ток, протекающий по сверхпроводнику) раз­рушает сверхпроводящее состояние.

Как показал немецкий физик В. Мейсснер (1882—1974), в сверхпроводящем состоя­нии магнитное поле в толще сверхпроводника отсутствует. Это означает, что при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры (см. § 98) магнитное поле из него вытесняется(эффект Мейсснера).

Общность эффектов, наблюдаемых в сверхпроводящем состоянии различных ме­таллов, их соединений и сплавов, указывает на то, что явление сверхпроводимости обусловлено физическими причинами, общими для различных веществ, т. е. должен существовать единый для всех сверхпроводников механизм этого явления.

Физическая природа сверхпроводимости была понята лишь в 1957 г. на основе теории (создана Ландау в 1941 г.) сверхтекучести гелия (см. § 237). Теория сверх­проводимости создана американскими физиками Д. Бардином (р. 1908), Л. Купером (р. 1930) и Д. Шриффером (р. 1931) и развита Н. Н. Боголюбовым.

Оказалось, что помимо внешнего сходства между сверхтекучестью (сверхтекучая жидкость протекает по узким капиллярам без трения, т. е. без сопротивления течению) и сверхпроводимостью (ток в сверхпроводнике течет без сопротивления по проводу) существует глубокая физическая аналогия: и сверхтекучесть, и сверхпроводи­мость — этомакроскопический квантовый эффект.

Качественно явление сверхпроводимости можно объяснить так. Между электрона­ми металла помимо кулоновского отталкивания, в достаточной степени ослабляемого экранирующим действием положительных ионов решетки, в результате электрон-фононного взаимодействия (взаимодействия электронов с колебаниями решетки) воз­никает слабое взаимное притяжение. Это взаимное притяжение при определенных условиях может преобладать над отталкиванием. В результате электроны проводимо­сти, притягиваясь, образуют своеобразное связанное состояние, называемоекуперовской парой. «Размеры» пары много больше (примерно на четыре порядка) среднего межатомного расстояния, т. е. между электронами, «связанными» в пару, находится много «обычных» электронов.

Чтобы куперовскую пару разрушить (оторвать один из ее электронов), надо затратить некоторую энергию, которая пойдет на преодоление сил притяжения элект­ронов пары. Такая энергия может быть в принципе получена в результате взаимодейст­вия с фононами. Однако пары сопротивляются своему разрушению. Это объясняется тем, что существует не одна пара, а целый ансамбль взаимодействующих друг с другом куперовских пар.

Электроны, входящие в куперовскую пару, имеют противоположно направленные спины. Поэтому спин такой пары равен нулю и она представляет собой бозон. К бозонам принцип Паули неприменим, и число бозе-частиц, находящихся в одном состоянии, не ограничено. Поэтому при сверхнизких температурах бозоны скапливают­ся в основном состоянии, из которого их довольно трудно перевести в возбужденное. Система бозе-частиц — куперовских пар, обладая устойчивостью относительно воз­можности отрыва электрона, может под действием внешнего электрического поля двигаться без сопротивления со стороны проводника, что и приводит к сверхпроводи­мости.

На основе теории сверхпроводимости английский физик Б. Джозефсон (р. 1940) в 1962 г. предсказал эффект, названный его именем (Нобелевская премия 1973 г.). Эффект Джозефсона (обнаружен в 1963 г.) — протекание сверхпроводящего тока сквозь тонкий слой диэлектрика (пленка оксида металла толщиной »1 нм), раз­деляющий два сверхпроводника (так называемыйконтакт Джозефсона). Электроны проводимости проходят сквозь диэлектрик благодаря туннельному эффекту. Если ток через контакт Джозефсона не превышает некоторое критическое значение, то падения напряжения на нем нет(стационарный эффект), если превышает — возникает падение напряжения U и контакт излучает электромагнитные волны(нестационарным эффект).Частота n излучения связана с U на контакте соотношением n=2eU/h (е — заряд электрона). Возникновение излучения объясняется тем, что куперовские пары (они создают сверхпроводящий ток), проходя сквозь контакт, приобретают относительно основного состояния сверхпроводника избыточную энергию. Возвращаясь в основное состояние, они излучают квант электромагнитной энергии hn=2eU.

Эффект Джозефсона используется для точного измерения очень слабых магнитных полей (до 10^–18 Тл), токов (до 10^–10 А) и напряжений (до 10^–15 В), а также для создания быстродействующих элементов логических устройств ЭВМ и усилителей.

Глава 31 Элементы физики твердого тела

§ 240. Понятие о зонной теории твердых тел

Используя уравнение Шредингера — основное уравнение динамики в нерелятивистской квантовой механике, — в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела.

В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическоеприближение. Квантово-механическая система разделяется на тяжелые и легкие частицы — ядра и элект­роны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер.

Далее используется приближение самосогласованного поля. Взаимодействие дан­ного электрона со всеми другими электронами заменяется действием на него стаци­онарного электрического поля, обладающего периодичностью кристаллической решет­ки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех других электронов и всех ядер. Таким образом, в рамках зонной теории многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом по­ле — усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.

Рассмотрим мысленно «процесс образования» твердого тела из изолированных атомов. Пока атомы изолированы, т. е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней (рис. 313). По мере «сжатия» нашей модели до кристаллической решетки, т. е. когда расстояния между атомами станут равными межатомным расстояниям в твердых телах, взаимо­действие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смеща­ются, расщепляются и расширяются в зоны, образуетсязонный энергетический спектр.

Из рис. 313, на котором показано расщепление энергетических уровней в зависимо­сти от расстояния r между атомами, видно, что заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо. Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же,как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллективизированы» — принадлежат всему твердому телу.

Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим эффектом в вытекает из соотношения неопределенностей. В кристалле ва­лентные электроны атомов, связанные слабее с ядрами,чем внутренние электроны, могут переходить от атома к атому сквозь потенциальные барьеры, разделяющие атомы, т. е. перемещаться без изменений полной энергии (туннельный эффект, см. § 221). Это приводит к тому, что среднее время жизни t валентного электрона в данном атоме по сравнению с изолированным атомом существенно уменьшается и составляет примерно 10^–15 с (для изолированного атома оно примерно 10^–8 с). Время же жизни электрона в каком-либо состоянии связано с неопределенностью его энергии (шириной уровня) соотношением неопределенностей DE~h/t (см. (215.5)). Следовательно, если естественная ширина спектральных линий составляет примерно 10^–7 эВ, то в кристал­лах DE»1¸10 эВ, т. е. энергетические уровни валентных электронов расширяются в зону дозволенных значений энергии.

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашенных на рис. 313 областей, называемыхразрешенными энергетическими зонами. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколь­ко атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее рас­положены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне составляет приблизительно 10^–22 эВ. Так как оно столь ничтожно, то зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям.

Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энер­гии, называемымизапрещенными энергетическими зонами. В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами.

§ 241. Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существова­ние металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.

Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. Если при этом какой-то энергетичес­кий уровень полностью заполнен, то образующаяся энергетическая зона также запол­нена целиком. В общем случае можно говорить о валентной зоне, которая полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электро­нов свободных атомов, и о зоне проводимости (свободной зоне), которая либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внеш­них «коллективизированных» электронов изолированных атомов.

В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая, изображенные на рис. 314. На рис. 314, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т. е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны, т. е. стать свободным и участвовать в проводимости. Внутризонный переход вполне возможен, так как, например, при 1 К энергия теплового движения kT»10^–4 эВ, т. е. гораздо больше разности энергий между соседними уровнями зоны (примерно 10^–22 эВ). Таким об­разом, если в твердом теле имеется зона, лишь частично заполненная электронами, то это тело всегда будет проводником электрического тока. Именно это свойственно металлам.

Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне (рис. 314, б). Это имеет место для щелочноземельных элементов, образующих II группу таблицы Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn, ...). В данном случае образуется так называемая «гибридная» зона, которая заполняется валентными электронами лишь частично. Следовательно, в данном случае металлические свойства щелочноземельных элементов обусловлены перекрытием валентной и свободной зон.

Помимо рассмотренного выше перекрытия зон возможно также перераспределение электронов между зонами, возникающими из уровней различных атомов, которое может привести к тому, что вместо двух частично заполненных зон в кристалле окажутся одна полностью заполненная (валентная) зона и одна свободная зона (зона проводимости). Твердые тела, у которых энергетический спектр электронных состоя­ний состоит только из валентной зоны и зоны проводимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ширины запрещенной зоны DЕ.

Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону прово­димости и кристалл является диэлектриком, оставаясь им при всех реальных тем­пературах (рис. 314, в). Если запрещенная зона достаточно узка (DЕ порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения, либо за счет внешнего источ­ника, способного передать электронам энергию DЕ, и кристалл является полупровод­ником (рис. 314, г).

Различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной теории состоит в том, что при 0 К в зоне проводимости металлов имеются электроны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же между диэлектриками и полупроводниками определяется шириной запрещенных зон: для диэлектриков она довольно широка (например, для NaCl DЕ=6 эВ), для полупроводников — достаточ­но узка (например, для германия DЕ=0,72 эВ). При температурах, близких к 0 К, полупроводники ведут себя как диэлектрики, так как переброса электронов в зону проводимости не происходит. С повышением температуры у полупроводников растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости, т. е. электрическая проводимость проводников в этом случае увеличи­вается.

§ 242. Собственная проводимость полупроводников

Полупроводниками являются твердые тела, которые при Т=0 характеризуются полно­стью занятой электронами валентной зоной, отделенной от зоны проводимости срав­нительно узкой (DЕ порядка 1 эВ) запрещенной зоной (рис. 314, г). Своим названием они обязаны тому, что их электропроводность меньше электропроводности металлов и больше электропроводности диэлектриков.

В природе полупроводники существуют в виде элементов (элементы IV, V и VI групп Периодической системы элементов Менделеева), например Si, Ge, As, Se, Те, и химических соединений, например оксиды, сульфиды, селениды, сплавы элементов различных групп. Различают собственные и примесные полупроводники. Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью. Примером собственных полупроводников мо­гут служить химически чистые Ge, Se, а также многие химические соединения: InSb, GaAs, CdS и др.

При 0 К и отсутствии других внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении же температуры электроны с верхних уровней валентной зоны I могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводи­мости II (рис. 315). При наложении на кристалл электрического поля они перемещают­ся против поля и создают электрический ток. Таким образом, зона II из-за ее частичного «укомплектования» электронами становится зоной проводимости. Прово­димость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется элек­тронной проводимостью или проводимостью n-типа (от лат. negative — отрицательный).

В результате тепловых забросов электронов из зоны I в зону II в валентной зоне возникают вакантные состояния, получившие названиедырок. Во внешнем электричес­ком поле на освободившееся от электрона место — дырку — может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон, и т. д. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырки в направлении, противоположном движению электрона, так, как если бы дырка об­ладала положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. Проводи­мость собственных полупроводников, обусловленная квазичастицами — дырками, на­зываетсядырочной проводимостью илипроводимостью p-типа (от лат. positive — поло­жительный).

Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два механизма проводимости: электронный и дырочный. Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне, так как последние соответствуют электронам, возбужденным в зону проводимости. Следовательно, если концентрации электронов проводимости и дырок обозначить соответственно п_e, и n_р, то

(242.1)

Проводимость полупроводников всегда являетсявозбужденной, т. е. появляется только под действием внешних факторов (температуры, облучения, сильных электрических полей и т. д.).

В собственном полупроводнике уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны (рис. 316). Действительно, для переброса электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости затрачиваетсяэнергия активации, равная ширине запрещенной зоны DE. При появлении же электрона в зоне проводимости в валентной зоне обязательно возникает дырка. Следовательно, энергия, затраченная на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части. Так как энергия, соответствующая половине ширины запрещенной зоны, идет на переброс электрона и такая же энергия затрачивается на образование дырки, то начало отсчета для каждого из этих процессов должно находиться в середине запрещенной зоны. Энергия Ферми в собственном полупроводнике представляет собой энергию, от кото­рой происходит возбуждение электронов и дырок.

Вывод о расположении уровня Ферми в середине запрещенной зоны собственного полупро­водника может быть подтвержден математическими выкладками. В физике твердого тела до­казывается, что концентрация электронов в зоне проводимости

(242.2)

где E₂—энергия, соответствующая дну зоны проводимости (рис. 316), Е_F — энергия Ферми, Т — термодинамическая температура, С₁ — постоянная, зависящая от температуры и эффектив­ной массы электрона проводимости.Эффективная масса — величина, имеющая размерность массы и характеризующая динамические свойства квазичастиц — электронов проводимости и ды­рок. Введение в зонную теорию эффективной массы электрона проводимости позволяет, с одной стороны, учитывать действие на электроны проводимости не только внешнего поля, но и внутрен­него периодического поля кристалла, а с другой стороны, абстрагируясь от взаимодействия электронов проводимости с решеткой, рассматривать их движение во внешнем поле как движение свободных частиц.

Концентрация дырок в валентной зоне

(242.3)

где С₂ — постоянная, зависящая от температуры и эффективной массы дырки, Е₁ — энергия, соответствующая верхней границе валентной зоны. Энергия возбуждения в данном случае от­считывается вниз от уровня Ферми (рис. 316), поэтому величины в экспоненциальном множителе (242.3) имеют знак, обратный знаку экспоненциального множителя в (242.2). Так как для собствен­ного полупроводника п_e=n_p (242.1), то

Если эффективные массы электронов и дырок равны (), то С₁=С₂ и, следовательно, –(E₂–E_F)= =E₁–E_F, откуда

т. е. уровень Ферми в собственном полупроводнике действительно расположен в середине запре­щенной зоны.

Taк как для собственных полупроводников DE>>kT, то распределение Фер­ми — Дирака (235.2) переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Положив в (236.2) E–E_F » DE/2, получим

(242.4)

Количество электронов, переброшенных в зону проводимости, а следовательно, и ко­личество образовавшихся дырок пропорциональны áN(Е)ñ. Таким образом, удельная проводимость собственных полупроводников

(242.5)

где g₀ — постоянная, характерная для данного полупроводника.

Увеличение проводимости полупроводников с повышением температуры является их характерной особенностью (у металлов с повышением температуры проводимость уменьшается). С точки зрения зонной теории это обстоятельство объяснить довольно просто: с повышением температуры растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости и участвуют в проводимости. Поэтому удельная проводимость собственных полупроводников с повышением тем­пературы растет.

Если представить зависимость ln g от 1/T, то для собственных полупроводни­ков — это прямая (рис. 317), по наклону которой можно определить ширину запрещен­ной зоны DЕ, а по ее продолжению — g₀ (прямая отсекает на оси ординат отрезок, равный ln g₀).

Одним из наиболее широко распространенных полупроводниковых элементов явля­ется германий, имеющий решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан ковалентными связями (см. § 71) с четырьмя ближайшими соседями. Упрощенная плоская схема расположения атомов в кристалле Ge дана на рис. 318, где каждая черточка обозначает связь, осуществляемую одним электроном. В идеальном кристалле при 0 К такая структура представляет собой диэлектрик, так как все валентные электроны участвуют в образовании связей и, следовательно, не участвуют в проводимости.

При повышении температуры (или под действием других внешних факторов) тепловые колебания решетки могут привести к разрыву некоторых валентных связей, в результате чего часть электронов отщепляется и они становятся свободными. В поки­нутом электроном месте возникает дырка (она изображена белым кружком), заполнить которую могут электроны из соседней пары. В результате дырка, так же как и освобо­дившийся электрон, будет двигаться по кристаллу. Движение электронов проводимо­сти и дырок в отсутствие электрического поля является хаотическим. Если же на кристалл наложить электрическое поле, то электроны начнут двигаться против поля, дырки— по полю, что приведет к возникновению собственной проводимости герма­ния, обусловленной как электронами, так и дырками.

В полупроводниках наряду с процессом генерации электронов и дырок идет процесс рекомбинации: электроны переходят из зоны проводимости в валентную зону, отдавая энергию решетке и испуская кванты электромагнитного излучения. В результате для каждой температуры устанавливается определенная равновесная концентрация элект­ронов и дырок, изменяющаяся с температурой согласно выражению (242.4).

§ 243. Примесная проводимость полупроводников

Проводимость полупроводников, обусловленная примесями, называетсяпримесной проводимостью, а сами полупроводники —примесными полупроводниками. Примесная проводимость обусловлена примесями (атомы посторонних элементов), а также дефек­тами типа избыточных атомов (по сравнению со стехиометрическим составом), тепло­выми (пустые узлы или атомы в междоузлиях) и механическими (трещины, дислокации и т. д.) дефектами. Наличие в полупроводнике примеси существенно изменяет его проводимость. Например, при введении в кремний примерно 0,001 ат.% бора его проводимость увеличивается примерно в 10⁶ раз.

Примесную проводимость полупроводников рассмотрим на примере Ge и Si, в которые вводятся атомы с валентностью, отличной от валентности основных атомов на единицу. Например, при замещении атома германия пятивалентным атомом мы­шьяка (рис. 319, а) один электрон не может образовать ковалентной связи, он оказыва­ется лишним и может быть легко при тепловых колебаниях решетки отщеплен от атома, т. е. стать свободным. Образование свободного электрона не сопровождается нарушением ковалентной связи; следовательно, в отличие от случая, рассмотренного в § 242, дырка не возникает. Избыточный положительный заряд, возникающий вблизи атома примеси, связан с атомом примеси и поэтому перемещаться по решетке не может.

С точки зрения зонной теории рассмотренный процесс можно представить следу­ющим образом (рис. 319, б). Введение примеси искажает поле решетки, что приводит к возникновению в запрещенной зоне энергетического уровня D валентных электронов мышьяка, называемогопримесным уровнем. В случае германия с примесью мышьяка этот уровень располагается от дна зоны проводимости на расстоянии DE_D=0,013 эВ. Так как DE_D<kT, то уже при обычных температурах энергия теплового движения достаточна для того, чтобы перебросить электроны примесного уровня в зону проводимости; образующиеся при этом положительные заряды локализуются на неподвижных атомах мышьяка и в проводимости не участвуют.

Таким образом, в полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, носителями тока являются электроны; воз­никает электронная примесная проводимость (проводимость n-типа). Полупроводники с такой проводимостью называются электронными (или полупроводниками n-типа). Примеси, являющиеся источником электронов, называются донорами, а энергетические уровни этих примесей — донорными уровнями.

Предположим, что в решетку кремния введен примесный атом с тремя валентными электронами, например бор (рис. 320, а). Для образования связей с четырьмя ближай­шими соседями у атома бора не хватает одного электрона, одна из связей остается неукомплектованной и четвертый электрон может быть захвачен от соседнего атома основного вещества, где соответственно образуется дырка. Последовательное заполне­ние образующихся дырок электронами эквивалентно движению дырок в полупровод­нике, т. е. дырки не остаются локализованными, а перемещаются в решетке кремния как свободные положительные заряды. Избыточный же отрицательный заряд, воз­никающий вблизи атома примеси, связан с атомом примеси и по решетке перемещать­ся не может.

По зонной теории, введение трехвалентной примеси в решетку кремния приводит к возникновению в запрещенной зоне примесного энергетического уровня А, не занято­го электронами. В случае кремния с примесью бора этот уровень располагается выше верхнего края валентной зоны на расстоянии DE_A=0,08 эВ (рис. 320, б). Близость этих уровней к валентной зоне приводит к тому, что уже при сравнительно низких тем­пературах электроны из валентной зоны переходят на примесные уровни и, связываясь с атомами бора, теряют способность перемещаться по решетке кремния, т. е. в прово­димости не участвуют. Носителями тока являются лишь дырки, возникающие в ва­лентной зоне.

Таким образом, в полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу меньше валентности основных атомов, носителями тока являются дырки; возникает дырочная проводимость (проворность p-типа). Полупроводники с такой проводимостью называются дырочными (или полупроводниками p-типа). Примеси, захватывающие электроны из валентной зоны полупроводника, называются акцепторами, а энергети­ческие уровни этих примесей — акцепторными уровнями.

В отличие от собственной проводимости, осуществляющейся одновременно элект­ронами и дырками, примесная проводимость полупроводников обусловлена в основ­ном носителями одного знака: электронами—в случае донорной примеси, дырка­ми — в случае акцепторной. Эти носители тока называются основными. Кроме основ­ных носителей в полупроводнике имеются и неосновные носители: в полупроводниках n-типа — дырки, в полупроводниках p-типа — электроны.

Наличие примесных уровней в полупроводниках существенно изменяет положение уровня Ферми Е_F. Расчеты показывают, что в случае полупроводников n-типа уровень Ферми Е_F0 при 0 К расположен посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем (рис. 321), С повышением температуры все большее число электронов переходит из донорных состояний в зону проводимости, но, помимо этого, возрастает и число тепловых флуктуаций, способных возбуждать электроны из валентной зоны и перебрасывать их через запрещенную зону энергий. Поэтому при высоких тем­пературах уровень Ферми имеет тенденцию смещаться вниз (сплошная кривая) к свое­му предельному положению в центре запрещенной зоны, характерному для собствен­ного полупроводника.

Уровень Ферми в полупроводниках р-типа при 0 К Е_F0 располагается посередине между потолком валентной зоны и акцепторным уровнем (рис. 322). Сплошная кривая опять-таки показывает его смещение с температурой. При температурах, при которых примесные атомы оказываются полностью истощенными и увеличение концентрации носителей происходит за счет возбуждения собственных носителей, уровень Ферми располагается посередине запрещенной зоны, как в собственном полупроводнике.

Проводимость примесного полупроводника, как и проводимость любого провод­ника, определяется концентрацией носителей и их подвижностью. С изменением тем­пературы подвижность носителей меняется по сравнительно слабому степенному зако­ну, а концентрация носителей — по очень сильному экспоненциальному закону, поэто­му проводимость примесных полупроводников от температуры определяется в основ­ном температурной зависимостью концентрации носителей тока в нем. На рис. 323 дан примерный график зависимости ln g от 1/T для примесных полупроводников. Участок AB описывает примесную проводимость полупроводника. Рост примесной проводимо­сти полупроводника с повышением температуры обусловлен в основном ростом концентрации примесных носителей. Участок ВС соответствует области истощения примесей (это подтверждают и эксперименты), участок CD описывает собственную проводимость полупроводника.

§ 244. Фотопроводимость полупроводников

Фотопроводимость (см. § 202)полупроводников — увеличение электропроводности полу­проводников под действием электромагнитного излучения — может быть связана со свойствами как основного вещества, так и содержащихся в нем примесей. В первом случае при поглощении фотонов, соответствующих собственной полосе поглощения полупроводника, т. е. когда энергия фотонов равна или больше ширины запрещенной зоны (hn ³ DE), могут совершаться перебросы электронов из валентной зоны в зону проводимости (рис. 324, а), что приведет к появлению добавочных (неравновесных) электронов (в зоне проводимости) и дырок (в валентной зоне). В результате возникает собственная фотопроводимость, обусловленная как электронами, так и дырками.

Если полупроводник содержит примеси, то фотопроводимость может возникать и при hn < DE: для полупроводников с донорной примесью фотон должен обладать энергией hn ³ DЕ_D, а для полупроводников с акцепторной примесью — hn ³ DЕ_A. При поглощении света примесными центрами происходит переход электронов с донорных уровней в зону проводимости в случае полупроводника n-типа (рис. 324, б) или из валентной зоны на акцепторные уровни в случае полупроводника p-типа (рис. 324, в). В результате возникаетпримесная фотопроводимость, являющаяся чисто электронной для полупроводников п-типа и чисто дырочной для полупроводников p-типа.

Таким образом, если

(244.1)

(DE_п — в общем случае энергия активации примесных атомов), то в полупроводнике возбуждается фотопроводимость. Из (244.1) можноопределитькрасную границу фотопроводимости — максимальную длину волны, при которой еще фотопроводимость возбуждается:

Учитывая значения DE и DE_п для конкретных полупроводников, можно показать, что красная граница фотопроводимости для собственных полупроводников приходится на видимую область спектра, для примесных же полупроводников — на инфрак­расную.

На рис. 325 представлена типичная зависимость фотопроводимости j и коэффициен­та поглощения { от длины волны l падающего на полупроводник света. Из рисунка следует, что при l>l₀ фотопроводимость действительно не возбуждается. Спад фото­проводимости в коротковолновой части полосы поглощения объясняется большой скоростью рекомбинации в условиях сильного поглощения в тонком поверхностном слое толщиной х»1 мкм (коэффициент поглощения »10⁶ м^–1).

Наряду с поглощением, приводящим к появлению фотопроводимости, может иметь место экситонный механизм поглощения. Экситоны представляют собой квази­частицы — электрически нейтральные связанные состояния электрона и дырки, образу­ющиеся в случае возбуждения с энергией, меньшей ширины запрещенной зоны. Уровни энергии экситонов располагаются у дна зоны проводимости. Так как экситоны элект­рически нейтральны, то их возникновение в полупроводнике не приводит к появлению дополнительных носителей тока, вследствие чего экситонное поглощение света не сопровождается увеличением фотопроводимости.

§ 245. Люминесценция твердых тел

В природе давно известно излучение, отличное по своему характеру от всех известных видов излучения (теплового излучения, отражения, рассеяния света и т. д.). Этим излучением является люминесцентное излучение, примерами которого может служить свечение тел при облучении их видимым, ультрафиолетовым и рентгеновским излуче­нием, g-излучением и т.д. Вещества, способные под действием различного рода возбуждений светиться, получили названиелюминофоров.

Люминесценция — неравновесное излучение, избыточное при данной температуре над тепловым излучением тела и имеющее длительность, большую периода световых колебаний. Первая часть этого определения приводит к выводу, что люминесценция не является тепловым излучением (см. § 197), поскольку любое тело при температуре выше 0 К излучает электромагнитные волны, а такое излучение является тепловым. Вторая часть показывает, что люминесценция не является таким видом свечения, как отражение и рассеяние света, тормозное излучение заряженных частиц и т. д. Период световых колебаний составляет примерно 10^–15 с, поэтому длительность, по которой свечение можно отнести к люминесценции, больше—примерно 10^–10 с. Признак длительности свечения дает возможность отличить люминесценцию от других нерав­новесных процессов. Так, по этому признаку удалось установить, что излучение Вавилова — Черенкова (см. § 189) нельзя отнести к люминесценции.

В зависимости от способов возбуждения различают:фотолюминесценцию (под действием света),рентгенолюминесценцию (под действием рентгеновского излучения), катодолюминесценцию (под действием электронов),электролюминесценцию (под дейст­вием электрического поля),радиолюминесценцию (при возбуждении ядерным излучени­ем, например g-излучением, нейтронами, протонами),хемилюминесценцию (при хи­мических превращениях),триболюминесценцию (при растирании и раскалывании неко­торых кристаллов, например сахара). По длительности свечения условно различают: флуоресценцию(t£10^–8с)ифосфоресценцию —свечение, продолжающееся заметный промежуток времени после прекращения возбуждения.

Первое количественное исследование люминесценции проведено более ста лет назад Дж. Стоксом,* сформулировавшим в 1852 г. следующее правило: длина вол­ны люминесцентного излучения всегда больше длины волны света, возбудившего его (рис. 326). Согласно квантовой теории, правило Стокса означает, что энергия hn падающего фотона частично расходуется на какие-то неоптические процессы, т. е.

откуда n_люм<n или l_люм>l что и следует из сформулированного правила.

* Дж. Стокс (1819—1903) — английский физик и математик.

 

Основной энергетической характеристикой люминесценции являетсяэнергетический выход, введенный С. И. Вавиловым в 1924 г., — отношение энергии, излученной люминофором при полном высвечивании, к энергии, поглощенной им. Типичная для органических люминофоров (на примере раствора флуоресцина) зависимость энергетического выхода h от длины волны l возбуждающего света представлена на рис. 327. Из рисунка следует, что вначале h растет пропорционально l, а затем, достигая максимального значения, быстро спадает до нуля при дальнейшем уве­личении l (закон Вавилова). Величина энергетического выхода для различных лю­минофоров колеблется в довольно широких пределах, максимальное ее значение может достигать примерно 80%.

Твердые тела, представляющие собой эффективно люминесцирующие искусственно приготовленные кристаллы с чужеродными примесями, получили названиекристаллофосфоров. На примере кристаллофосфоров рассмотрим механизмы возникновения люминесценции с точки зрения зонной теории твердых тел. Между валентной зоной и зоной проводимости кристаллофосфора располагаются примесные уровни активато­ра (рис. 328). При поглощении атомом активатора фотона с энергией hn электрон с примесного уровня переводится в зону проводимости, свободно перемещается по кристаллу до тех пор, пока не встретится с ионом активатора и не рекомбинирует с ним, перейдя вновь на примесный уровень. Рекомбинация сопровождается излучени­ем кванта люминесцентного свечения. Время высвечивания люминофора определяется временем жизни возбужденного состояния атомов активатора, которое обычно не превышает миллиардных долей секунды. Поэтому свечение является кратковременным и исчезает почти вслед за прекращением облучения.

Для возникновения длительного свечения (фосфоресценции) кристаллофосфор должен содержать также центры захвата, или ловушки для электронов, представ­ляющие собой незаполненные локальные уровни (например, Л₁ и Л₂), лежащие вблизи дна зоны проводимости (рис. 329). Они могут быть образованы атомами примесей, атомами в междоузлиях и т. д. Под действием света атомы активатора возбуждаются, т. е. электроны с примесного уровня переходят в зону проводимости и становятся свободными. Однако они захватываются ловушками, в результате чего теряют свою подвижность, а следовательно, и способность рекомбинировать с ионом активатора. Освобождение электрона из ловушки требует затраты определенной энергии, которую электроны могут получить, например, от тепловых колебаний решетки. Освобожден­ный из ловушки электрон попадает в зону проводимости и движется по кристаллу до тех пор, пока или не будет снова захвачен ловушкой, или не рекомбинирует с ионом активатора. В последнем случае возникает квант люминесцентного излучения. Длите­льность этого процесса определяется временем пребывания электронов в ловушках.

Явление люминесценции получило широкое применение в практике, например люминесцентный анализ — метод определения состава вещества по характерному его свечению. Этот метод, являясь весьма чувствительным (примерно 10^–10 г/см³), позво­ляет обнаруживать наличие ничтожных примесей и применяется при тончайших ис­следованиях в биологии, медицине, пищевой промышленностии т. д.Люминесцентная дефектоскопияпозволяет обнаружить тончайшие трещины на поверхности деталей машин и других изделий (исследуемая поверхность покрывается для этого люминес­центным раствором, который после удаления остается в трещинах).

Люминофоры используются в люминесцентных лампах, являются активной средой оптических квантовых генераторов (см. § 233) и сцинтилляторов (будут рассмотрены ниже), применяются в электронно-оптических преобразователях (см. § 169), для созда­ния аварийного и маскировочного освещения и для изготовления светящихся указа­телей различных приборов.

§ 246. Контакт двух металлов по зонной теории

Если два различных металла привести в соприкосновение, то между ними возникает разность потенциалов, называемая контактной разностью потенциалов. Итальянский физик А. Вольта (1745—1827) установил, что если металлы А1, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd привести в контакт в указанной последовательности, то каждый предыдущий при соприкосновении с одним из следующих зарядится положительно. Этот ряд называется рядом Вольта. Контактная разность потенциалов для различных металлов составляет от десятых до целых вольт.

Вольта экспериментально установил два закона:

1. Контактная разность потенциалов зависит лишь от химического состава и тем­пературы соприкасающихся металлов.

2. Контактная разность потенциалов последовательно соединенных различных проводников, находящихся при одинаковой температуре, не зависит от химического состава промежуточных проводников и равна контактной разности потенциалов, воз­никающей при непосредственном соединении крайних проводников.

Для объяснения возникновения контактной разности потенциалов воспользуемся представлениями зонной теории. Рассмотрим контакт двух металлов с различными работами выхода А₁ и А₂, т.е. с различными положениями уровня Ферми (верхнего заполненного электронами энергетического уровня). Если A₁<A₂ (этот случай изоб­ражен на рис. 330, а), то уровень Ферми располагается в металле 1 выше, чем в метал­ле 2. Следовательно, при контакте металлов электроны с более высоких уровней металла 1 будут переходить на более низкие уровни металла 2, что приведет к тому, что металл 1 зарядится положительно, а металл 2 — отрицательно. Одновременно проис­ходит относительное смещение энергетических уровней: в металле, заряжающемся положительно, все уровни смещаются вниз, а в металле, заряжающемся отрицатель­но, — вверх. Этот процесс будет происходить до тех пор, пока между соприкасающи­мися металлами не установится равновесие, которое, как доказывается в статистичес­кой физике, характеризуется совпадением уровней Ферми в обоих металлах (рис. 330, б).

Так как для соприкасающихся металлов уровни Ферми совпадают, а работы выхода А₁ и A₂ не изменяются (они являются константами металлов и не зависят от того, находятся металлы в контакте или нет), то потенциальная энергия эле­ктронов в точках, лежащих вне металлов в непосредственной близости к их по­верхности (точки А и В на рис. 330, б), будет различной. Следовательно, между точками А и В устанавливается разность потенциалов, которая, как следует из рисунка, равна

(246.1)

Разность потенциалов (246.1), обусловленная различием работ выхода контактиру­ющих металлов, называется внешней контактной разностью потенциалов. Чаще говорят просто о контактной разности потенциалов, подразумевая под ней внешнюю.

Если уровни Ферми для двух контактирующих металлов не одинаковы, то между внутренними точками металлов наблюдается внутренняя контактная разность потенци­алов, которая, как следует из рисунка, равна

(246.2)

В квантовой теории доказывается, что причиной возникновения внутренней кон­тактной разности потенциалов является различие концентраций электронов в контак­тирующих металлах. Dj'' зависит от температуры T контакта металлов (поскольку наблюдается зависимость Е_F от T), обусловливая термоэлектрические явления. Как правило, Dj''<<Dj'.

Если, например, привести в соприкосновение три разнородных проводника, име­ющих одинаковую температуру, то разность потенциалов между концами разомкнутой цепи равна алгебраической сумме скачков потенциала во всех контактах. Она, как можно показать (предоставляем это сделать читателю), не зависит от природы проме­жуточных проводников (второй закон Вольта).

Внутренняя контактная разность потенциалов возникает в двойном электрическом слое, образующемся в приконтактной области и называемом контактным слоем. Толщина контактного слоя в металлах составляет примерно 10^–10 м, т. е. соизмерима с междоузельными расстояниями в решетке металла. Число электронов, участвующих в диффузии через контактный спой, составляет примерно 2% от общего числа электро­нов, находящихся на поверхности металла. Столь незначительное изменение концент­рации электронов в контактном слое, с одной стороны, и малая по сравнению с длиной свободного пробега электрона его толщина — с другой, не могут привести к замет­ному изменению проводимости контактного слоя по сравнению с остальной частью металла. Следовательно, электрический ток через контакт двух металлов проходит так же легко, как и через сами металлы, т.е. контактный слой проводит электрический ток в обоих направлениях (1®2 и 2®1) одинаково и не дает эффекта выпрямления, который всегда связан с односторонней проводимостью.

§ 247. Термоэлектрические явления и их применение

Согласно второму закону Вольта, в замкнутой цепи, состоящей из нескольких металлов, находящихся при одинаковой температуре, э.д.с. не возникает, т. е. не происходит возбуждения электрического тока. Однако если температура контактов не одинакова, то в цепи возникает электрический ток, называемыйтермоэлектрическим.Явление возбуждения термоэлектрического тока(явление Зеебека), а также тесно связанные с нимявления Пельте и Томсона называютсятермоэлектрическими явлениями.0

1. Явление Зеебека (1821). Немецкий физик Т. Зеебек (1770—1831) обнаружил, что в замкнутой цепи, состоящей из последовательно соединенных разнородных провод­ников, контакты между которыми имеют различную температуру, возникает элект­рический ток.

Рассмотрим замкнутую цепь, состоящую из двух металлических проводников 1 и 2 с температурами спаев Т₁ (контакт А) и Т₂ (контакт В), причем Т₁ > T₂ (рис. 331).

Не вдаваясь в подробности, отметим, что в замкнутой цепи для многих пар металлов (например, Сu—Bi, Ag—Сu, Аu—Сu) электродвижущая сила прямо пропор­циональна разности температур в контактах:

Эта э.д.с. называетсятермоэлектродвижущей силой. Направление тока при Т₁>Т₂ на рис. 331 показано стрелкой. Термоэлектродвижущая сила, например для пары метал­лов медь — константан, для разности температур 100 К составляет всего 4,25 мВ.

Причина возникновения термоэлектродвижущей э.д.с. ясна уже из формулы (246.2), определяющей внутреннюю контактную разность потенциалов на границе двух металлов. Дело в том, что положение уровня Ферми зависит от температуры. Поэтому если температуры контактов разные, то разными будут и внутренние контактные разности потенциалов. Таким образом, сумма скачков потенциала отлична от нуля, что и приво­дит к возникновению термоэлектрического тока. Отметим также, что при градиенте температуры происходит и диффузия электронов, которая тоже обусловливает термо-э.д.с.

Явление Зеебека не противоречит второму началу термодинамики, таккак в дан­ном случае внутренняя энергия преобразуется в электрическую, для чего используется два источника теплоты (два контакта). Следовательно, для поддержания постоянного тока в рассматриваемой цепи необходимо поддерживать постоянство разности тем­ператур контактов: к более нагретому контакту непрерывно подводить теплоту, а от холодного — непрерывно ее отводить.

Явление Зеебека используется для измерения температуры. Для этого применяются термоэлементы, или термопары—датчики температур, состоящие из двух соединенных между собой разнородных металлических проводников. Если контакты (обычно спаи) проводников (проволок), образующих термопару, находятся при разных температурах, то в цепи возникает термоэлектродвижущая сила, которая зависит от разности температур контактов и природы применяемых материалов. Чувствительность термопар выше, если их соединять последовательно. Эти соедине­ния называются термобатареями (или термостолбиками). Термопары применяются как для измере­ния ничтожно малых разностей температур, так и для измерения очень высоких и очень низких температур (например, внутри доменных печей или жидких газов). Точность определения тем­пературы с помощью термопар составляет, как правило, несколько кельвин, а у некоторых термопар достигает »0,01 К. Термопары обладают рядом преимуществ перед обычными термо­метрами: имеют большую чувствительность и малую инерционность, позволяют проводить измерения в широком интервале температур и допускают дистанционные измерения.

Явление Зеебека в принципе может быть использовано для генерации электрического тока. Так, уже сейчас к.п.д. полупроводниковых термобатарей достигает »18%. Следовательно, совер­шенствуя полупроводниковые термоэлектрогенераторы, можно добиться эффективного прямого преобразования солнечной энергии в электрическую.

2. Явление Пельтье (1834). Французский физик Ж. Пельтье (1785—1845) обнару­жил, что при прохождении через контакт двух различных проводников электрического тока в зависимости от его направления помимо джоулевой теплоты выделяется или поглощается дополнительная теплота. Таким образом, явление Пельтье является обратным по отношению к явлению Зеебека. В отличие от джоулевой теплоты, которая пропорциональна квадрату силы тока, теплота Пельтье пропорциональна первой степени силы тока и меняет знак при изменении направления тока.

Рассмотрим замкнутую цепь, состоящую из двух разнородных металлических проводников 1 и 2 (рис. 332), по которым пропускается ток I ' (его направление в данном случае выбрано совпадающим с направлением термотока (на рис. 331 при условии T₁>T₂)). Согласно наблюдениям Пельтье, спай А, который при явлении Зеебека поддерживался бы при более высокой температуре, будет теперь охлаждаться, а спай В — нагреваться. При изменении направления тока I ' спай А будет нагреваться, спай В — охлаждаться.

Объяснить явление Пельтье можно следующим образом. Электроны по разную сторону спая обладают различной средней энергией (полной—кинетической плюс потенциальной). Если электроны (направление их движения задано на рис. 332 пунктир­ными стрелками) пройдут через спай В и попадут в область с меньшей энергией, то избыток своей энергии они отдадут кристаллической решетке и спай будет нагреваться. В спае А электроны переходят в область с большей энергией, забирая теперь недоста­ющую энергию у кристаллической решетки, и спай будет охлаждаться.

Явление Пельтье используется в термоэлектрических полупроводниковых холо­дильниках, созданных впервые в 1954 г. под руководством А. Ф. Иоффе, и в некото­рых электронных приборах.

3. Явление Томсона (1856). Вильям Томсон (Кельвин), исследуя термоэлектрические явления, пришел к заключению, подтвердив его экспериментально, что при прохожде­нии тока по неравномерно нагретому проводнику должно происходить дополнительное выделение (поглощение) теплоты, аналогичной теплоте Пельтье. Это явление получило название явления Томсона. Его можно объяснить следующим образом. Так как в более нагретой части проводника электроны имеют большую среднюю энергию, чем в менее нагретой, то, двигаясь в направлении убывания температуры, они отдают часть своей энергии решетке, в результате чего происходит выделение теплоты Томсона. Если же электроны движутся в сторону возрастания температуры, то они, наоборот, пополняют свою энергию за счет энергии решетки, в результате чего происходит поглощение теплоты Томсона.

§ 248. Выпрямление на контакте металл — полупроводник

Рассмотрим некоторые особенности механизма процессов, происходящих при приведе­нии в контакт металла с полупроводником. Для этого возьмем полупроводник л-типа с работой выхода А, меньшей работы выхода А_м из металла. Соответствующие энергетические диаграммы до и после приведения в контакт показаны на рис. 333, а, б.

Если А_м>А, то при контакте электроны из полупроводника будут переходить в металл, в результате чего контактный слой полупроводника обеднится электронами и зарядится положительно, а металл — отрицательно. Этот процесс будет проис­ходить до достижения равновесного состояния, характеризуемого, как и при контакте двух металлов, выравниванием уровней Ферми для металла и полупроводника. На контакте образуется двойной электрический слой d, поле которого (контактная разность потенциалов) препятствует дальнейшему переходу электронов. Вследствие малой концентрации электронов проводимости в полупроводнике (порядка 10¹⁵ см^–3 вместо 10²¹ см^–3 в металлах) толщина контактного слоя в полупроводнике достигает пример­но 10^–6 см, т. е. примерно в 10 000 раз больше, чем в металле. Контактный спой полупроводника обеднен основными носителями тока — электронами в зоне проводи­мости, и его сопротивление значительно больше, чем в остальном объеме полупровод­ника. Такой контактный слой называется запирающим.

При d=10^–6 см и Dj »1 В напряженность электрического поля контактного слоя E=Dj/d » 10⁸ В/м. Такое контактное поле не может сильно повлиять на структуру спектра (например, на ширину запрещенной зоны, на энергию активации примесей и т. д.) и его действие сводится лишь к параллельному искривлению всех энергетичес­ких уровней полупроводника в области контакта (рис. 333, б). Так как в случае контакта уровни Ферми выравниваются, а работы выхода—величины постоянные, то при А_м>А энергия электронов в контактном слое полупроводника больше, чем в остальном объеме. Поэтому в контактном слое дно зоны проводимости поднимается вверх, удаляясь от уровня Ферми. Соответственно происходит и искривление верхнего края валентной зоны, а также донорного уровня.

Помимо рассмотренного выше примера возможны еще следующие три случая контакта металла с примесными полупроводниками: a) А_м < А, полупроводник п-типа; б) А_м > А, полупроводник p-типа; в) А_м < А, полупроводник р-типа. Соответствующие зонные схемы показаны на рис. 334.

Если А_м<А, то при контакте металла с полупроводником п-типа электроны из металла переходят в полупроводник и образуют в контактном слое полупроводника отрицательный объемный заряд (рис. 334, а). Следовательно, контактный слой полу­проводника обладает повышенной проводимостью, т.е. не является запирающим. Рассуждая аналогично, можно показать, что искривление энергетических уровней по сравнению с контактом металл — полупроводник п-типа (А_м > А) происходит в обрат­ную сторону.

При контакте металла с полупроводником р-типа запирающий слой образуется при А_м < А (рис. 334, в), так как в контактном слое полупроводника наблюдается избыток отрицательных ионов акцепторных примесей и недостаток основных носителей то­ка—дырок в валентной зоне. Если же А_м > А (рис. 334, б), то в контактном слое полупроводника р-типа наблюдается избыток основных носителей тока — дырок в ва­лентной зоне, контактный слой обладает повышенной проводимостью.

Исходя из приведенных рассуждений, видим, что запирающий контактный сдой возникает при контакте донорного полупроводника с меньшей работой выхода, чем у металла (см. рис. 333, б), и у акцепторного — с большей работой выхода, чем у металла (рис. 333, в).

Запирающий контактный слой обладает односторонней (вентильной) проводимо­стью,т. е. при приложении к контакту внешнего электрического поля он пропускает ток практически только в одном направлении: либо из металла в полупроводник, либо из полупроводника в металл. Это важнейшее свойство запирающего слоя объясняется зависимостью его сопротивления от направления внешнего поля.

Если направления внешнего и контактного полей противоположны, то основные носители тока втягиваются в контактный слой из объема полупроводника; толщина контактного слоя, обедненного основными носителями тока, и его сопротивление уменьшаются. В этом направлении, называемомпропускным, электрический ток может проходить через контакт металл — полупроводник. Если внешнее поле совпадает по знаку с контактным, то основные носители тока будут перемещаться от границы с металлом; толщина обедненного слоя возрастает, возрастает и его сопротивление. Очевидно, что в этом случае ток через контакт отсутствует, выпрямитель заперт — это запорное направление. Для запирающего слоя на границе металла с полупроводником n-типа (A_м>А) пропускным является направление тока из металла в полупроводник, а для запирающего слоя на границе металла с полупроводником р-типа (A_м<А) — из полупроводника в металл.

§ 249. Контакт электронного и дырочного полупроводников (p-n-переход)

Граница соприкосновения двух полупроводников, один из которых имеет электронную, а другой — дырочную проводимость, называетсяэлектронно-дырочным переходом(или p-n-переходом). Эти переходы имеют большое практическое значение, являясь основой работы многих полупроводниковых приборов. p-n-Переход нельзя осущест­вить просто механическим соединением двух полупроводников. Обычно области раз­личной проводимости создают либо при выращивании кристаллов, либо при соответ­ствующей обработке кристаллов. Например, на кристалл германия n-типа накладыва­ется индиевая «таблетка» (рис. 335, а). Эта система нагревается примерно при 500°С в вакууме или в атмосфере инертного газа; атомы индия диффундируют на некоторую глубину в германий. Затем расплав медленно охлаждают. Так как германий, содер­жащий индий, обладает дырочной проводимостью, то на границе закристаллизовав­шегося расплава и германия n-типа образуется p-n-переход (рис. 335, б).

Рассмотрим физические процессы, происходящие в p-n-переходе (рис. 336). Пусть донорный полупроводник (работа выхода — А_n, уровень Ферми — E_Fn) приводится в контакт (рис. 336, б) с акцепторным полупроводником (работа выхода — А_р, уровень Ферми — Е_F0 ). Электроны из n-полупроводника, где их концентрация выше, будут диффундировать в p-полупроводник, где их концентрация ниже. Диффузия же дырок происходит в обратном направлении — в направлении р®п.

В n-полупроводнике из-за ухода электронов вблизи границы остается нескомпенсированный положительный объемный заряд неподвижных ионизованных донорных атомов. В p-полупроводнике из-за ухода дырок вблизи границы образуется отрица­тельный объемный заряд неподвижных ионизованных акцепторов (рис. 336, а). Эти объемные заряды образуют у границы двойной электрический слой, поле которого, направленное от n-области к p-области, препятствует дальнейшему переходу электро­нов в направлении п®р и дырок в направлении р®п. Если концентрации доноров и акцепторов в полупроводниках n- и p-типа одинаковы, то толщины слоев d₁ и d₂ (рис. 336, в), в которых локализуются неподвижные заряды, равны (d₁=d₂).

При определенной толщине p-n-перехода наступает равновесное состояние, харак­теризуемое выравниванием уровней Ферми для обоих полупроводников (рис. 336, в). В области p-n-перехода энергетические зоны искривляются, в результате чего возника­ют потенциальные барьеры как для электронов, так и для дырок. Высота потенциаль­ного барьера еj определяется первоначальной разностью положений уровня Ферми в обоих полупроводниках. Все энергетические уровни акцепторного полупроводника подняты относительно уровней донорного полупроводника на высоту, равную еj, причем подъем происходит на толщине двойного слоя d.

Толщина d слоя p-n-перехода в полупроводниках составляет примерно 10^–6—10^–7 м, а контактная разность потенциалов — десятые доли вольт. Носители тока способны преодолеть такую разность потенциалов лишь при температуре в несколько тысяч градусов, т. е. при обычных температурах равновесный контактный слой являетсязапирающим (характеризуется повышенным сопротивлением).

Сопротивление запирающего слоя можно изменить с помощью внешнего элект­рического поля. Если приложенное к p-n-переходу внешнее электрическое поле направ­лено от n-полупроводника к p-полупроводнику (рис. 337, a), т. е. совпадает с полем контактного слоя, то оно вызывает движение электронов в n-полупроводнике и дырок в p-полупроводнике от границы p-n-перехода в противоположные стороны. В резуль­тате запирающий слой расширится и его сопротивление возрастет. Направление вне­шнего поля, расширяющего запирающий слой, называется запирающим (обратным). В этом направлении электрический ток через p-n-переход практически не проходит. Ток в запирающем спое в запирающем направлении образуется лишь за счет неосновных носителей тока (электронов в p-полупроводнике и дырок в n-полупроводнике).

Если приложенное к p-n-переходу внешнее электрическое поле направлено проти­воположно полю контактного слоя (рис. 337, б), то оно вызывает движение электронов в n-полупроводнике и дырок в p-полупроводнике к границе p-n-перехода навстречу друг другу. В этой области они рекомбинируют, толщина контактного слоя и его сопротив­ление уменьшаются. Следовательно, в этом направлении электрический ток проходит сквозь p-n-переход в направлении от p-полупроводника к n-полупроводнику; оно назы­вается пропускным (прямым).

Таким образом, p-n-переход (подобно на контакте металл — полупроводник) об­ладаетодносторонней (вентильной) проводимостью.

На рис. 338 представлена вольт-амперная характеристика p-n-перехода. Как уже указывалось, при пропускном (прямом) напряжении внешнее электрическое поле спо­собствует движению основных носителей тока к границе p-n-перехода (см. рис. 337, б). В результате толщина контактного слоя уменьшается. Соответственно уменьшается и сопротивление перехода (тем сильнее, чем больше напряжение), а сила тока становит­ся большой (правая ветвь на рис. 338). Это направление тока называетсяпрямым.

При запирающем (обратном) напряжении внешнее электрическое поле препятству­ет движению основных носителей тока к границе p-n-перехода (см. рис. 337, а) и способ­ствует движению неосновных носителей тока, концентрация которых в полупровод­никах невелика. Это приводит к увеличению толщины контактного слоя, обедненного основными носителями тока. Соответственно увеличивается и сопротивление перехода. Поэтому в данном случае через p-n-переход протекает только небольшой ток (он называется обратным), полностью обусловленный неосновными носителями тока (ле­вая ветвь рис. 338). Быстрое возрастание этого тока означает пробой контактного слоя и его разрушение. При включении в цепь переменного тока p-n-переходы действуют как выпрямители.

§ 250. Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы)

Односторонняя проводимость контактов двух полупроводников (или металла с полупроводником) используется для выпрямления и преобразования переменных токов. Если имеется один электронно-дырочный переход, то его действие аналогично дейст­вию двухэлектродной лампы—диода (см. §105). Поэтому полупроводниковое устройство, содержащее один p-n-переход, называется полупроводниковым (кристаллическим) диодом. Полупроводниковые диоды по конструкции делятся на точечные и плоскостные.

В качестве примера рассмотрим точечный германиевый диод (рис. 339), в котором тонкая вольфрамовая проволока 1 прижимается к п-германию 2 остриём, покрытым алюминием. Если через диод в прямом направлении пропустить кратковременный импульс тока, то при этом резко повышается диффузия Аl в Gе и образуется слой германия, обогащенный алюминием и обладающий p-проводимостью. На границе этого слоя образуется p-n-переход, обладающий высоким коэффициентом выпрямле­ния. Благодаря малой емкости контактного слоя точечные диоды применяются в каче­стве детекторов (выпрямителей) высокочастотных колебаний вплоть до сантиметрового диапазона длин волн.

Принципиальная схема плоскостного меднозакисного (купоросного) выпрямителя дана на рис. 340. На медную пластину с помощью химической обработки наращивается слой закиси меди Сu₂О, который покрывается слоем серебра. Серебряный электрод служит только для включения выпрямителя в цепь. Часть слоя Сu₂О, прилегающая к меди и обогащенная ею, обладает электронной проводимостью, а часть слоя Сu₂О, прилегающая к Ag и обогащенная (в процессе изготовления выпрямителя) кислоро­дом, — дырочной проводимостью. Таким образом, в толще закиси меди образуется запирающий слой с пропускным направлением тока от Сu₂О к Сu (p®n).

Технология изготовления германиевого плоскостного диода описана в § 249 (см. рис. 325). Распространенными являются также селеновые диоды и диоды на основе арсенида галлия и карбида кремния. Рассмотренные диоды обладают рядом преиму­ществ по сравнению с электронными лампами (малые габаритные размеры, высокие к.п.д. и срок службы, постоянная готовность к работе и т. д.), но они очень чувст­вительны к температуре, поэтому интервал их рабочих температур ограничен (от –70 до +120°С). p-n-Переходы обладают не только прекрасными выпрямляющими свойст­вами, но могут быть использованы также для усиления, а если в схему ввести обратную связь, то и для генерирования электрических колебаний. Приборы, предназначенные для этих целей, получили название полупроводниковых триодов или транзисторов(первый транзистор создан в 1949 г. американскими физиками Д. Бардином, У. Браттейном и У. Шокли; Нобелевская премия 1956 г.).

Для изготовления транзисторов используются германий и кремний, так как они характеризуются большой механической прочностью, химической устойчивостью и большей,чем в других полупроводниках, подвижностью носителей тока. Полупрово­дниковые триоды делятся наточечныеиплоскостные. Первые значительно усиливают напряжение, но их выходные мощности малы из-за опасности перегрева (например, верхний предел рабочей температуры точечного германиевого триода лежит в пределах 50—80°С). Плоскостные триоды являются более мощными. Они могут быть типа р-п-р и типа п-р-п в зависимости от чередования областей с различной проводимостью.

Для примера рассмотрим принцип работы плоскостного триода р-п-р, т. е. триода на основе n-полупроводника (рис. 341). Рабочие «электроды» триода, которыми явля­ются база (средняя часть транзистора), эмиттер и коллектор (прилегающие к базе с обеих сторон области с иным типом проводимости), включаются в схему с помощью невыпрямляющих контактов — металлических проводников. Между эмиттером и ба­зой прикладывается постоянное смещающее напряжение в прямом направлении, а меж­ду базой и коллектором — постоянное смещающее напряжение в обратном направле­нии. Усиливаемое переменное напряжение подается на входное сопротивление R_вх, а усиленное — снимается с выходного сопротивления R_вых.

Протекание тока в цепи эмиттера обусловлено в основном движением дырок (они являются основными носителями тока) и сопровождается их «впрыскиванием» —инжекцией — в область базы. Проникшие в базу дырки диффундируют по направлению к коллектору, причем при небольшой толщине базы значительная часть инжектирован­ных дырок достигает коллектора. Здесь дырки захватываются полем, действующим внутри перехода (притягиваются к отрицательно заряженному коллектору), вследствие чего изменяется ток коллектора. Следовательно, всякое изменение тока в цепи эмит­тера вызывает изменение тока в цепи коллектора.

Прикладывая между эмиттером и базой переменное напряжение, получим в цепи коллектора переменный ток, а на выходном сопротивлении — переменное напряжение. Величина усиления зависит от свойств р-п-переходов, нагрузочных сопротивлений и напряжения батареи Б_к. Обычно R_вых>>R_вх, поэтому U_вых значительно превышает входное напряжение U_вх (усиление может достигать 10 000). Так как мощность пере­менного тока, выделяемая в R_вых, может быть больше, чем расходуемая в цепи эмиттера, то транзистор даст и усиление мощности. Эта усиленная мощность появля­ется за счет источника тока, включенного в цепь коллектора.

Из рассмотренного следует, что транзистор, подобно электронной лампе, дает усиление и напряжения и мощности. Если в лампе анодный ток управляется напряже­нием на сетке, то в транзисторе ток коллектора, соответствующий анодному току лампы, управляется напряжением на базе.

Принцип работы транзистора n-p-n-типа аналогичен рассмотренному выше, но роль дырок играют электроны. Существуют и другие типы транзисторов, так же как и другие схемы их включения. Благодаря своим преимуществам перед электронными лампами (малые габаритные размеры, большие к.п.д. и срок службы, отсутствие накаливаемого катода (поэтому потребление меньшей мощности), отсутствие необ­ходимости в вакууме и т. д.) транзистор совершил революцию в области электронных средств связи и обеспечил создание быстродействующих ЭВМ с большим объемом памяти.

7 ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Глава 32 Элементы физики атомного ядра

§ 251. Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое числа

Э. Резерфорд, исследуя прохождение a-частиц с энергией в несколько мегаэлектрон-вольт через тонкие пленки золота (см. § 208), пришел к выводу о том, что атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающих его электронов. Проанали­зировав эти опыты, Резерфорд также показал, что атомные ядра имеют размеры примерно 10^–14 — 10^–15 м (линейные размеры атома примерно 10^–10 м).

Атомное ядро состоит из элементарных частиц —протонов и нейтронов (протонно-нейтронная модель ядра была предложена российским физиком Д. Д. Иваненко (р. 1904), а впоследствии развита В. Гейзенбергом).

Протон (р) имеет положительный заряд, равный заряду электрона, и массу покоя т_р=1,6726×10^–27кг » 1836 т_e, где т_e — масса электрона. Нейтрон (n) — нейтральная частица с массой покоя т_п=1,6749×10^–27кг »1839 т_e. Протоны и нейтроны называют­сянуклонами (от лат. nucleus — ядро). Общее число нуклонов в атомном ядре называ­ется массовым числом А.

Атомное ядро характеризуется зарядом Ze, гдеZ —зарядовое число ядра, равное числу протонов в ядре и совпадающее с порядковым номером химического элемента в Периодической системе элементов Менделеева. Известные в настоящее время 107 элементов таблицы Менделеева имеют зарядовые числа ядер от Z= 1 до Z= 107.

Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: , гдеХ — символхимического элемента, Z атомный номер (число протонов в ядре), А —массовоечисло (число нуклонов в ядре).

Сейчас протонно-нейтронная модель ядра не вызывает сомнений. Рассматривалась также гипотеза о протонно-электронном строении ядра, но она не выдержала экспериментальной проверки. Так, если придерживаться этой гипотезы, то массовое число А должно представлять собой число протонов в ядре, а разность между массовым числом и числом электронов должна быть равна зарядовому числу. Эта модель согласовывалась со значениями изотопных масс и зарядов, но противоречила значениям спинов и магнитных моментов ядер, энергии связи ядра и т. д. Кроме того, она оказалась несовместимой с соотношением неопределенностей (см. § 215). В результате гипотеза о протонно-электронном строении ядра была отвергнута.

Так как атом нейтрален, то заряд ядра определяет и число электронов в атоме. От числа же электронов зависит их распределение по состояниям в атоме, от которого, в свою очередь, зависят химические свойства атома. Следовательно, заряд ядра определяет специфику данного химического элемента, т.е. определяет число электро­нов в атоме, конфигурацию их электронных оболочек, величину и характер внутри­атомного электрического поля.

Ядра с одинаковыми Z, но разными А (т. е. с разными числами нейтронов N=A–Z) называютсяизотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z—изобарами. Например, водород (Z=1) имеет три изотопа: Н—протий (Z=1, N=0), Н—дейтерий (Z=1, N=1), Н — тритий (Z=1, N=2), олово—десять, и т. д. В подавляющем большинстве случаев изотопы одного и того же химического элемента обладают одинаковыми химическими и почти одинаковыми физическими свойствами (исключение составляют, например, изотопы водорода), определяющимися в основном структурой электронных оболочек, которая является одинаковой для всех изотопов данного элемента. Примером ядер-изобар могут служить ядра Ве, В, С. В насто­ящее время известно более 2500 ядер, отличающихся либо Z, либо А, либо тем и другим.

Радиус ядра задается эмпирической формулой

(251.1)

где R₀=(1,3¸1,7)10^–15 м. Однако при употреблении этого понятия необходимо со­блюдать осторожность (из-за его неоднозначности, например из-за размытости гра­ницы ядра). Из формулы (251.1) вытекает, что объем ядра пропорционален числу нуклонов в ядре. Следовательно, плотность ядерного вещества примерно одинакова для всех ядер (»10¹⁷ кг/м³).

§ 252. Дефект массы и энергия связи ядра

Исследования показывают, что атомные ядра являются устойчивыми образованиями. Это означает, что в ядре между нуклонами существует определенная связь.

Массу ядер очень точно можно определить с помощью масс-спектрометров — из­мерительных приборов, разделяющих с помощью электрических и магнитных полей пучки заряженных частиц (обычно ионов) с разными удельными зарядами Q/m. Масс-спектрометрические измерения показали, что масса ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов. Но так как всякому изменению массы (см. § 40) должно соответствовать изменение энергии, то, следовательно, при образовании ядра должна выделяться определенная энергия. Из закона сохранения энергии вытекает и обратное: для разделения ядра на составные части необходимо затратить такое же количество энергии, которое выделяется при его образовании. Энергия, которую необходимо затратить, чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны, называетсяэнергией связи ядра (см. § 40).

Согласно выражению (40.9), энергия связи нуклонов в ядре

(252.1)

где т_p, т_n, т_я — соответственно массы протона, нейтрона и ядра. В таблицах обычно приводятся не массы т_я ядер, а массы т атомов. Поэтому для энергии связи ядра пользуются формулой

(252.2)

где m_H — масса атома водорода. Так как m_H больше m_p на величину m_e, то первый член в квадратных скобках включает в себя массу Z электронов. Но так как масса атома т отличается от массы ядра т_я как раз на массу Z электронов, то вычисления по формулам (252.1) и (252.2) приводят к одинаковым результатам.

Величина

называетсядефектом массы ядра. На эту величину уменьшается масса всех нуклонов при образовании из них атомного ядра.

Часто вместо энергии связи рассматривают удельную энергию связи dE_св — энер­гию связи, отнесенную к одному нуклону. Она характеризует устойчивость (прочность) атомных ядер, т. е. чем больше dE_св, тем устойчивее ядро. Удельная энергия связи зависит от массового числа А элемента (рис. 342). Для легких ядер (А£12) удельная энергия связи круто возрастает до 6¸7 МэВ, претерпевая целый ряд скачков (напри­мер, для Н dE_св=1,1 МэВ, для He — 7,1 МэВ, для Li — 5,3 МэВ), затем более медленно возрастает до максимальной величины 8,7 МэВ у элементов с А=50¸60, а потом постепенно уменьшается у тяжелых элементов (например, для U она составляет 7,6 МэВ). Отметим для сравнения, что энергия связи валентных электронов в атомах составляет примерно 10 эВ (в 10⁶! раз меньше).

Уменьшение удельной энергии связи при переходе к тяжелым элементам объясняет­ся тем, что с возрастанием числа протонов в ядре увеличивается и энергия их кулоновского отталкивания. Поэтому связь между нуклонами становится менее силь­ной, а сами ядра менее прочными.

Наиболее устойчивыми оказываются так называемыемагические ядра, у которых число протонов или число нейтронов равно одному из магических чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Особенно стабильныдважды магические ядра, у которых магическими являют­ся и число протонов, и число нейтронов (этих ядер насчитывается всего пять: Не, O, Ca, Ca, Pb).

Из рис. 342 следует, что наиболее устойчивыми с энергетической точки зрения являются ядра средней части таблицы Менделеева. Тяжелые и легкие ядра менее устойчивы. Это означает, что энергетически выгодны следующие процессы: 1) деление тяжелых ядер на более легкие; 2) слияние легких ядер друг с другом в более тяжелые. При обоих процессах выделяется огромное количество энергии; эти процессы в насто­ящее время осуществлены практически: реакции деления и термоядерные реакции.

§ 253. Спин ядра и его магнитный момент

Использование приборов высокой разрешающей способности и специальных источ­ников возбуждения спектра позволило обнаружить сверхтонкую структуру спектраль­ных линий. Ее существование В. Паули объяснил (1924) наличием у атомных ядер собственного момента импульса (спина) и магнитного момента.

Собственный момент импульса ядра — спин ядра — складывается из спинов нук­лонов и из орбитальных моментов импульса нуклонов (моментов импульса, обуслов­ленных движением нуклонов внутри ядра). Обе эти величины являются векторами, поэтому спин ядра представляет их векторную сумму. Спин ядра квантуется по закону

гдеI —спиновое ядерное квантовое число (его часто называют просто спином ядра), которое принимает целые или полуцелые значения 0, , 1, , ... . Ядра с четными А имеют целые I, с нечетными — полуцелые I.

Атомное ядро кроме спина обладает магнитным моментом р_mя. Магнитный момент ядра связан со спином ядра (см. аналогичное выражение (131.5) для электрона): p_mя=g_яL_я, где g_я — коэффициент пропорциональности, называемыйядерным гиромаг­нитным отношением.

Единицей магнитных моментов ядер служитядерный магнетон

(253.1)

где т_p — масса протона (ср. эту формулу с магнетоном Бора (§ 131)). Ядерный магнетон в m_p/m_e»1836 раз меньше магнетона Бора, поэтому магнитные свойства атомов определяются в основном магнитными свойствами его электронов.

В случае эффекта Зеемана (см. § 223) при помещении атома в магнитное поле наблюдается расщепление энергетических уровней и спектральных линий(тонкая стру­ктура), обусловленное спин-орбитальным взаимодействием электронов. Во внешнем магнитном поле также наблюдается расщепление уровней энергии атома на близко расположенные подуровни(сверхтонкая структура), обусловленное взаимодействием магнитного момента ядра с магнитным полем электронов в атоме.

Магнитные моменты ядер могут, таким образом, определяться спектроскопичес­ким методом по сверхтонкой структуре спектральных линий. Однако магнитные моменты ядер примерно на три порядка меньше магнитных моментов электронов (см. (253.1) и (§ 131)), поэтому расщепление спектральных линий, соответствующее сверх­тонкой структуре, значительно меньше расщепления за счет взаимодействия между спиновым и орбитальным моментами электрона (тонкая структура). Таким образом, из-за малости эффекта, даже при использовании спектральных приборов очень боль­шой разрешающей способности, точность этого метода невелика. Поэтому были разработаны более точные (не оптические) методы определения магнитных моментов ядер, одним из которых являетсяметод ядерного магнитного резонанса.

Явление ядерного магнитного резонанса заключается в следующем: если на вещест­во, находящееся в сильном постоянном магнитном поле, действовать слабым перемен­ным радиочастотным магнитным полем, то при частотах, соответствующих частотам переходов между ядерными подуровнями, возникает резкий (резонансный) максимум поглощения. Ядерный магнитный резонанс обусловлен происходящими под влиянием переменного магнитного поля квантовыми переходами между ядерными подуровнями. Точность метода задается точностью измерения напряженности постоянного магнит­ного поля и резонансной частоты, так как по их значениям вычисляются магнитные моменты ядер. Так как для измерения этих величин применяются прецизионные методы, то р_mя можно определять с высокой точностью (до шести знаков).

Метод ядерного магнитного резонанса позволяет наблюдать ядерный резонанс на ядрах, обладающих магнитным моментом порядка 0,1m_я. Количество вещества, необ­ходимое для измерений, должно составлять 10^–3—10 г (в зависимости от значения р_mя). Измерение значений магнитных моментов ядер часто сводится к сравнению резонансных частот исследуемых ядер с резонансной частотой протонов, что позволяет освободиться от точной калибровки магнитного поля, которая является довольно трудоемкой.

§ 254. Ядерные силы. Модели ядра

Между составляющими ядро нуклонами действуют особые, специфические для ядра силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называютсяядерными силами.

С помощью экспериментальных данных по рассеянию нуклонов на ядрах, ядерным превращениям и т.д. доказано, что ядерные силы намного превышают гравитацион­ные, электрические и магнитные взаимодействия и не сводятся к ним. Ядерные силы относятся к классу так называемых сильных взаимодействий.

Перечислим основные свойства ядерных сил:

1) ядерные силы являются силами притяжения;

2) ядерные силы являются короткодействующими — их действие проявляется то­лько на расстояниях примерно 10^–15 м. При увеличении расстояния между нуклонами ядерные силы быстро уменьшаются до нуля, а при расстояниях, меньших их радиуса действия, оказываются примерно в 100 раз больше кулоновских сил, действующих между протонами на том же расстоянии;

3) ядерным силам свойственна зарядовая независимость: ядерные силы, дейст­вующие между двумя протонами, или двумя нейтронами, или, наконец, между прото­ном и нейтроном, одинаковы по величине. Отсюда следует, что ядерные силыимеютнеэлектрическую природу;

4) ядерным силам свойственно насыщение, т. е. каждый нуклон в ядре взаимодей­ствует только с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов. Насыщение проявляется в том, что удельная энергия связи нуклонов в ядре (если не учитывать легкие ядра) при увеличении числа нуклонов не растет, а остается приблизительно постоянной;

5) ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов. Например, протон и нейтрон образуют дейтрон (ядро изотопа Н) только при условии параллельной ориентации их спинов;

6) ядерные силы не являются центральными, т. е. действующими по линии, соеди­няющей центры взаимодействующих нуклонов.

Сложный характер ядерных сил и трудность точного решения уравнений движе­ния всех нуклонов ядра (ядро с массовым числом А представляет собой систему из А тел) не позволили до настоящего времени разработать единую последовательную теорию атомного ядра. Поэтому на данной стадии прибегают к рассмотрению приближенных ядерных моделей, в которых ядро заменяется некоторой модельной системой, довольно хорошо описывающей только определенные свойства ядра и допускающей более или менее простую математическую трактовку. Из большого числа моделей, каждая из которых обязательно использует подобранные произволь­ные параметры, согласующиеся с экспериментом, рассмотрим две:капельнуюиоболочечную.

1. Капельная модель ядра (1936; Н. Бор и Я. И. Френкель). Капельная модель ядра является первой моделью. Она основана на аналогии между поведением нуклонов в ядре и поведением молекул в капле жидкости. Так, в обоих случаях силы, дейст­вующие между составными частицами — молекулами в жидкости и нуклонами в яд­ре, — являются короткодействующими и им свойственно насыщение. Для капли жид­кости при данных внешних условиях характерна постоянная плотность ее вещества. Ядра же характеризуются практически постоянной удельной энергией связи и постоян­ной плотностью, не зависящей от числа нуклонов в ядре. Наконец, объем капли, так же как и объем ядра (см. (251.1)), пропорционален числу частиц. Существенное отличие ядра от капли жидкости в этой модели заключается в том, что она трактует ядрокаккаплю электрически заряженной несжимаемой жидкости (с плотностью, равной ядер­ной), подчиняющуюся законам квантовой механики. Капельная модель ядра позволи­ла получить полуэмпирическую формулу для энергии связи нуклонов в ядре, объяснила механизм ядерных реакций и особенно реакции деления ядер. Однако эта модель не смогла, например, объяснить повышенную устойчивость ядер, содержащих магические числа протонов и нейтронов.

2. Оболочечная модель ядра (1949—1950; американский физик М. Гепперт-Майер (1906—1975) и немецкий физик X. Иенсен (1907—1973)). Оболочечная модель пред­полагает распределение нуклонов в ядре по дискретным энергетическим уровням (оболочкам), заполняемым нуклонами согласно принципу Паули, и связывает устой­чивость ядер с заполнением этих уровней. Считается, что ядра с полностью заполнен­ными оболочками являются наиболее устойчивыми. Такие особо устойчивые (магичес­кие) ядра действительно существуют (см. § 252).

Оболочечная модель ядра позволила объяснить спины и магнитные моменты ядер, различную устойчивость атомных ядер, а также периодичность изменений их свойств. Эта модель особенно хорошо применима для описания легких и средних ядер, а также для ядер, находящихся в основном (невозбужденном) состоянии.

По мере дальнейшего накопления экспериментальных данных о свойствах атомных ядер появлялисьвсе новые факты, не укладывающиеся в рамки описанных моделей. Так возниклиобобщенная модель ядра (синтез капельной и оболочечной моделей), оптическая модель ядра (объясняет взаимодействие ядер с налетающими частицами) и другие модели.

§ 255. Радиоактивное излучение и его виды

Французский физик А. Беккерель (1852—1908) в 1896 г. при изучении люминесценции солей урана случайно обнаружил самопроизвольное испускание ими излучения неизвест­ной природы, которое действовало на фотопластинку, ионизировало воздух, проника­ло сквозь тонкие металлические пластинки, вызывало люминесценцию ряда веществ. Продолжая исследование этого явления, супруги Кюри — Мария (1867—1934) и Пьер — обнаружили, что беккерелевское излучение свойственно не только урану, но и многим другим тяжелым элементам, таким, как торий и актиний. Они показали также, что урановая смоляная обманка (руда, из которой добывается металлический уран) испускает излучение, интенсивность которого во много раз превышает интенсив­ность излучения урана. Таким образом удалось выделить два новых элемента — носи­теля беккерелевского излучения: полоний Рo и радий Ra.

Обнаруженное излучение было названорадиоактивным излучением, а само явле­ние — испускание радиоактивного излучения —радиоактивностью.

Дальнейшие опыты показали, что на характер радиоактивного излучения препара­та не оказывают влияния вид химического соединения, агрегатное состояние, механи­ческое давление, температура, электрические и магнитные поля, т. е. все те воздейст­вия, которые могли бы привести к изменению состояния электронной оболочки атома. Следовательно, радиоактивные свойства элемента обусловлены лишь структурой его ядра.

В настоящее время подрадиоактивностью понимают способность некоторых атом­ных ядер самопроизвольно (спонтанно) превращаться в другие ядра с испусканием различных видов радиоактивных излучений и элементарных частиц. Радиоактивность подразделяется наестественную (наблюдается у неустойчивых изотопов, существу­ющих в природе) иискусственную (наблюдается у изотопов, полученных посредством ядерных реакций). Принципиального различия между этими двумя типами радиоактив­ности нет, так как законы радиоактивного превращения в обоих случаях одинаковы.

Радиоактивное излучение бывает трех типов: a-, b- и g-излучение. Подробное их исследование позволило выяснить природу и основные свойства.

a-Излучение отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает высокой ионизирующей способностью и малой проникающей способностью (например, погло­щаются слоем алюминия толщиной примерно 0,05 мм). a-Излучение представляет собой поток ядер гелия; заряд a-частицы равен +2е, а масса совпадает с массой ядра изотопа гелия Не. По отклонению a-частиц в электрическом и магнитном полях был определен их удельный заряд Q/m_a , значение которого подтвердило правильность представлений об их природе.

b-Излучение отклоняется электрическим и магнитным полями; его ионизирующая способность значительно меньше (примерно на два порядка), а проникающая способ­ность гораздо больше (поглощается слоем алюминия толщиной примерно 2 мм), чем у a-частиц. b-Излучение представляет собой поток быстрых электронов (это вытекает из определения их удельного заряда).

Поглощение потока электронов с одинаковыми скоростями в однородном веществе подчиняется экспоненциальному закону N=N₀e^{–m x}, где N₀ и N — число электронов на входе и выходе слоя вещества толщиной x, m — коэффициент поглощения. b-Излучение сильно рассеивается в веществе, поэтому m зависит не только от вещества, но и от размеров и формы тел, на которые b-излучение падает.

g-Излучение не отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает от­носительно слабой ионизирующей способностью и очень большой проникающей спо­собностью (например, проходит через слой свинца толщиной 5 см), при прохождении через кристаллы обнаруживает дифракцию. g-Излучение представляет собой корот­коволновое электромагнитное излучение с чрезвычайно малой длиной волны l<10^–10 м и вследствие этого — ярко выраженными корпускулярными свойствами, т.е. является потоком частиц — g-квантов (фотонов).

§ 256. Закон радиоактивного распада. Правила смещения

Под радиоактивным распадом, или просто распадом, понимают естественное радиоак­тивное превращение ядер, происходящее самопроизвольно. Атомное ядро, испытыва­ющее радиоактивный распад, называется материнским, возникающее ядро — дочерним.

Теория радиоактивного распада строится на предположении о том, что радиоак­тивный распад является спонтанным процессом, подчиняющимся законам статистики. Так как отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга, то можно считать, что число ядер dN, распавшихся в среднем за интервал времени от t до t+dt, пропорционально промежутку времени dt и числу N нераспавшихся ядер к моме­нту времени t:

(256.1)

где l — постоянная для данного радиоактивного вещества величина, называемая постоянной радиоактивного распада; знак минус указывает, что общее число радиоак­тивных ядер в процессе распада уменьшается. Разделив переменные и интегрируя:

получим

(256.2)

где N₀—начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t=0), N—число нераспавшихся ядер в момент времени t. Формула (256.2) выражает закон радиоактив­ного распада, согласно которому число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненциальному закону.

Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две величины: период полураспада Т_1/2 и среднее время жизни t радиоактивного ядра.Период полураспада Т_1/2 — время, за которое исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшается вдвое. Тогда, согласно (256.2),

откуда

Периоды полураспада для естественно-радиоактивных элементов колеблются от десятимиллионных долей секунды до многих миллиардов лет.

Суммарная продолжительность жизни dN ядер равна t|dN|=lNtdt. Проинтег­рировав это выражение по всем возможным t (т. е. от 0 до ¥) и разделив на началь­ное число ядер N₀, получимсреднее время жизни t радиоактивного ядра:

(учтено (256.2)). Таким образом, среднее время жизни t радиоактивного ядра есть величина, обратная постоянной радиоактивного распада l.

Активностью А нуклида (общее название атомных ядер, отличающихся числом протонов Z и нейтронов N) в радиоактивном источнике называется число распадов, происходящих с ядрами образца в 1 с:

(256.3)

Единица активности в СИ —беккерель (Бк): 1 Бк — активность нуклида, при которой за 1 с происходит один акт распада. До сих пор в ядерной физике применяется и внесистемная единица активности нуклида в радиоактивном источнике —кюри (Ки): 1 Ки= 3,7×10¹⁰Бк.

Радиоактивный распад происходит в соответствии с так называемымиправилами смещения, позволяющими установить, какое ядро возникает в результате распада данного материнского ядра. Правила смещения:

(256.4)

(256.5)

где Х — материнское ядро, Y — символ дочернего ядра, Не — ядро гелия (a-частица), е—символическое обозначение электрона (заряд его равен –1, а массовое число — нулю). Правила смещения являются ничем иным, как следствием двух зако­нов, выполняющихся при радиоактивных распадах, — сохранения электрического за­ряда и сохранения массового числа: сумма зарядов (массовых чисел) возникающих ядер и частиц равна заряду (массовому числу) исходного ядра.

Возникающие в результате радиоактивного распада ядра могут быть, в свою очередь, радиоактивными. Это приводит к возникновениюцепочки, илиряда, радиоак­тивных превращений, заканчивающихся стабильным элементом. Совокупность элемен­тов, образующих такую цепочку, называетсярадиоактивным семейством.

Из правил смещения (256.4) и (256.5) вытекает, что массовое число при a-распаде уменьшается на 4, а при b-распаде не меняется. Поэтому для всех ядер одного и того же радиоактивного семейства остаток от деления массового числа на 4 одинаков. Таким образом, существует четыре различных радиоактивных семейства, для каждого из которых массовые числа задаются одной из следующих формул:

где n — целое положительное число. Семейства называются по наиболее долгоживущему (с наибольшим периодом полураспада) «родоначальнику»: семейства тория (от Th), нептуния (от Np), урана (от U) и актиния (от Ас). Конечными нуклидами соответственно являются Pb, Bi, Pb, Pb, т.е. единственное семейство непту­ния (искусственно-радиоактивные ядра) заканчивается нуклидом Bi, а все остальные (естественно-радиоактивные ядра) — нуклидами Рb.

§ 257. Закономерности a-распада

В настоящее время известно более двухсот a-активных ядер, главным образом тяжелых (А>200, Z>82). Только небольшая группа a-активных ядер приходится на область с А = 140 ¸160 (редкие земли). a-Распад подчиняется правилу смещения (256.4). Приме­ром a-распада служит распад изотопа урана ²³⁸U с образованием Th:

Скорости вылетающих при распаде a--частиц очень велики и колеблются для разных ядер в пределах от 1,4×10⁷ до 2×10⁷ м/с, что соответствует энергиям от 4 до 8,8 МэВ. Согласно современным представлениям, a-частицы образуются в момент радиоактив­ного распада при встрече движущихся внутри ядра двух протонов и двух нейтронов.

a-Частицы, испускаемые конкретным ядром, обладают, как правило, определенной энергией. Более тонкие измерения, однако, показали, что энергетический спектр a-частиц, испускаемых данным радиоактивным элементом, обнаруживает «тонкую структуру», т. е. испускается несколько групп a-частиц, причем в пределах каждой группы их энергии практически постоянны. Дискретный спектр a-частиц свидетельству­ет о том, что атомные ядра обладают дискретными энергетическими уровнями.

Для a-распада характерна сильная зависимость между периодом полураспада T_1/2 и энергией Е вылетающих частиц. Эта взаимосвязь определяется эмпирическим законом Гейгера — Нэттола (1912)*, который обычно выражают в виде зависимости междупробегом R_a (расстоянием, проходимым частицей в веществе до ее полной остановки) a-частиц в воздухе и постоянной радиоактивного распада l:

(257.1)

где А и В—эмпирические константы, l = (ln 2)/T_1/2. Согласно (257.1), чем меньше период полураспада радиоактивного элемента, тем больше пробег, а следовательно, и энергия испускаемых им a-частиц. Пробег a-частиц в воздухе (при нормальных условиях) составляет несколько сантиметров, в более плотных средах он гораздо меньше, составляя сотые доли миллиметра (a-частицы можно задержать обычным листом бумаги).

* Д. Нэттол (1890—1958) — английский физик; X. Гейгер (1882—1945) — немецкий физик.

 

Опыты Резерфорда по рассеянию a-частиц на ядрах урана показали, что a-частицы вплоть до энергии 8,8 МэВ испытывают на ядрах резерфордовское рассеяние, т. е. силы, действующие на a-частицы со стороны ядер, описываются законом Кулона. Подобный характер рассеяния a-частиц указывает на то, что они еще не вступают в область действия ядерных сил, т. е. можно сделать вывод, что ядро окружено потенциальным барьером, высота которого не меньше 8,8 МэВ. С другой стороны, a-частицы, испускаемые ураном, имеют энергию 4,2 МэВ. Следовательно, a-частицы вылетают из a-радиоактивного ядра с энергией, заметно меньшей высоты потенциаль­ного барьера. Классическая механика этот результат объяснить не могла.

Объяснение a-распада дано квантовой механикой, согласно которой вылет a-части­цы из ядра возможен благодаря туннельному эффекту (см. § 221) — проникновению a-частицы сквозь потенциальный барьер. Всегда имеется отличная от нуля вероятность того, что частица с энергией, меньшей высоты потенциального барьера, пройдет сквозь вето, т. е., действительно, из a-радиоактивного ядра a-частицы могут вылетать с энер­гией, меньшей высоты потенциального барьера. Этот эффект целиком обусловлен волновой природой a-частиц.

Вероятность прохождения a-частицы сквозь потенциальный барьер определяется его формой и вычисляется на основе уравнения Шредингера. В простейшем случае потенциального барьера с прямоугольными вертикальными стенками (см. рис. 298, а) коэффициент прозрачности, определяющий вероятность прохождения сквозь него, определяется рассмотренной ранее формулой (221.7):

Анализируя это выражение, видим, что коэффициент прозрачности D тем больше (следовательно, тем меньше период полураспада), чем меньший по высоте (U) и шири­не (l) барьер находится на пути a-частицы. Кроме того, при одной и той же потенциаль­ной кривой барьер на пути частицы тем меньше, чем больше ее энергия Е. Таким образом качественно подтверждается закон Гейгера — Нэттола (см. (257.1)).

§ 258. b^–-Распад. Нейтрино

Явление b^–-распада (в дальнейшем будет показано, что существует и b⁺-распад) подчиняется правилу смещения (256.5)

и связано с выбросом электрона. Пришлось преодолеть целый ряд трудностей с трак­товкой b^–-распада.

Во-первых, необходимо было обосновать происхождение электронов, выбрасыва­емых в процессе b^–-распада. Протонно-нейтронное строение ядра исключает возмож­ность вылета электрона из ядра, поскольку в ядре электронов нет. Предположение же, что электроны вылетают не из ядра, а из электронной оболочки, несостоятельно, поскольку тогда должно было бы наблюдаться оптическое или рентгеновское излуче­ние,что не подтверждают эксперименты.

Во-вторых, необходимо было объяснить непрерывность энергетического спектра испускаемых электронов (типичная для всех изотопов кривая распределения b^–-частиц по энергиям приведена на рис. 343). Каким же образом b^–-активные ядра, обладающие до и после распада вполне определенными энергиями, могут выбрасывать электроны со значениями энергии от нуля до некоторого максимального E_mах? Т.е. энергетичес­кий спектр испускаемых электронов является непрерывным? Гипотеза о том, что при b^–-распаде электроны покидают ядро со строго определенными энергиями, но в ре­зультате каких-то вторичных взаимодействий теряют ту или иную долю своей энергии, так что их первоначальный дискретный спектр превращается в непрерывный, была опровергнута прямыми калориметрическими опытами. Так как максимальная энергия E_mах определяется разностью масс материнского и дочернего ядер, то распады, при которых энергия электрона Е< E_mах,как бы протекают с нарушением закона сохранения энергии. Н. Бор даже пытался обосновать это нарушение, высказывая предположе­ние, что закон сохранения энергии носит статистический характер и выполняется лишь в среднем для большого числа элементарных процессов. Отсюда видно, насколько принципиально важно было разрешить это затруднение.

В-третьих, необходимо было разобраться с несохранением спина при b^–-распаде. При b^–-распаде число нуклонов в ядре не изменяется (так как не изменяется массовое число А), поэтому не должен изменяться и спин ядра, который равен целому числу при четном А и полуцелому при нечетном А. Однако выброс электрона, имеющего спин , должен изменить спин ядра на величину .

Последние два затруднения привели В. Паули к гипотезе (1931) о том, что при b^–-распаде вместе с электроном испускается еще одна нейтральная частица — нейтрино. Нейтрино имеет нулевой заряд, спин ¹/₂ (в единицах ) и нулевую (а скорее <10^–4т_e) массу покоя; обозначается . Впоследствии оказалось, что при b^–-распаде испускается не нейтрино, аантинейтрино (античастица по отношению к нейтрино; обозначается ).

Гипотеза о существовании нейтрино позволила Э. Ферми создать теорию b^–-распада (1934), которая в основном сохранила свое значение и в настоящее время, хотя экспериментально существование нейтрино было доказано более чем через 20 лет (1956). Столь длительные «поиски» нейтрино сопряжены с большими трудностями, обусловленными отсутствием у нейтрино электрического заряда и массы. Нейтри­но — единственная частица, не участвующая ни в сильных, ни в электромагнитных взаимодействиях; единственный вид взаимодействий, в котором может принимать участие нейтрино, — слабое взаимодействие. Поэтому прямое наблюдение нейтрино весьма затруднительно. Ионизирующая способность нейтрино столь мала, что один акт ионизации в воздухе приходится на 500 км пути. Проникающая же способность нейтрино столь огромна (пробег нейтрино с энергией 1 МэВ в свинце составляет примерно 10¹⁸ м!), что затрудняет удержание этих частиц в приборах.

Для экспериментального выявления нейтрино (антинейтрино) применялся поэтому косвенный метод, основанный на том, что в реакциях (в том числе и с участием нейтрино) выполняется закон сохранения импульса. Таким образом, нейтрино было обнаружено при изучении отдачи атомных ядер при b^–-распаде. Если при b^–-распаде ядра вместе с электроном выбрасывается и антинейтрино, то векторная сумма трех импульсов — ядра отдачи, электрона и антинейтрино — должна быть равна нулю. Это действительно подтвердилось на опыте. Непосредственное обнаружение нейтрино ста­ло возможным лишь значительно позднее, после появления мощных реакторов, позво­ляющих получать интенсивные потоки нейтрино.

Введение нейтрино (антинейтрино) позволило не только объяснить кажущееся несохранение спина, но и разобраться с вопросом непрерывности энергетического спектра выбрасываемых электронов. Сплошной спектр b^–-частиц обусловлен распределением энергии между электронами и антинейтрино, причем сумма энергий обеих частиц равна Е_max. В одних актах распада большую энергию получает антинейтрино, в других — электрон; в граничной точке кривой на рис. 343, где энергия электрона равна Е_max, вся энергия распада уносится электроном, а энергия антинейтрино равна нулю.

Наконец, рассмотрим вопрос о происхождении электронов при b^–-распаде. По­скольку электрон не вылетает из ядра и не вырывается из оболочки атома, было сделано предположение, что b-электрон рождается в результате процессов, происходящих внутри ядра. Так как при b^–-распаде число нуклонов в ядре не изменяется, a Z увеличи­вается на единицу (см. (265.5)), то единственной возможностью одновременного осуще­ствления этих условий является превращение одного из нейтронов b^–-активного ядра в протон с одновременным образованием электрона и вылетом антинейтрино:

(258.1)

В этом процессе выполняются законы сохранения электрических зарядов, импульса и массовых чисел. Кроме того, данное превращение энергетически возможно, так как масса покоя нейтрона превышает массу атома водорода, т. е. протона и электрона вместе взятых. Данной разности в массах соответствует энергия, равная 0,782 МэВ. За счет этой энергии может происходить самопроизвольное превращение нейтрона в про­тон; энергия распределяется между электроном и антинейтрино.

Если превращение нейтрона в протон энергетически выгодно и вообще возможно, то должен наблюдаться радиоактивный распад свободных нейтронов (т. е. нейтронов вне ядра). Обнаружение этого явления было бы подтверждением изложенной теории b^–-распада. Действительно, в 1950 г. в потоках нейтронов большой интенсивности, возникающих в ядерных реакторах, был обнаружен радиоактивный распад свободных нейтронов, происходящий по схеме (258.1). Энергетический спектр возникающих при этом электронов соответствовал приведенному на рис. 343, а верхняя граница энергии электронов E_max оказалась равной рассчитанной выше (0,782 МэВ).

§ 259. Гамма-излучение и его свойства

Экспериментально установлено, что g-излучение (см. § 255) не является самостоятель­ным видом радиоактивности, а только сопровождает a- и b-распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде и т. д. g-Спектр является линейчатым. g-Спектр — это распределение числа g-квантов по энергиям (такое же толкование b-спектра дано в §258). Дискретность g-спектра имеет принципи­альное значение, так как является доказательством дискретности энергетических состо­яний атомных ядер.

В настоящее время твердо установлено, что g-излучение испускается дочерним (а не материнским) ядром. Дочернее ядро в момент своего образования, оказываясь возбуж­денным, за время примерно 10^–13—10^–14 с, значительно меньшее времени жизни возбужденного атома (примерно 10^–8 с), переходит в основное состояние с испускани­ем g-излучения. Возвращаясь в основное состояние, возбужденное ядро может пройти через ряд промежуточных состояний, поэтому g-излучение одного и того же радиоак­тивного изотопа может содержать несколько групп g-квантов, отличающихся одна от другой своей энергией.

При g-излучении А и Z ядра не изменяются, поэтому оно не описывается никакими правилами смещения. g-Излучение большинства ядер является столь коротковолно­вым, что его волновые свойства проявляются весьма слабо. Здесь на первый план выступают корпускулярные свойства, поэтому g-излучение рассматривают как поток частиц — g-квантов. При радиоактивных распадах различных ядер g-кванты имеют энергии от 10 кэВ до 5 МэВ.

Ядро, находящееся в возбужденном состоянии, может перейти в основное состоя­ние не только при испускании g-кванта, но и при непосредственной передаче энергии возбуждения (без предварительного испускания g-кванта) одному из электронов того же атома. При этом испускается так называемыйэлектрон конверсии. Само явление называетсявнутренней конверсией. Внутренняя конверсия — процесс, конкурирующий с g-излучением.

Электронам конверсии соответствуют дискретные значения энергии, зависящей от работы выхода электрона из оболочки, из которой электрон вырывается, и от энергии Е, отдаваемой ядром при переходе из возбужденного состояния в основное. Если вся энергия Е выделяется в виде g-кванта, то частота излучения n определяется из извест­ного соотношения E=hn. Если же испускаются электроны внутренней конверсии, то их энергии равны Е—А_K, E—A_L, .... где A_K, A_L, ... — работа выхода электрона из К- и L-оболочек. Моноэнергетичность электронов конверсии позволяет отличить их от b-электронов, спектр которых непрерывен (см. § 258). Возникшее в результате вылета электрона вакантное место на внутренней оболочке атома будет заполняться электро­нами с вышележащих оболочек. Поэтому внутренняя конверсия всегда сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.

g-Кванты, обладая нулевой массой покоя, не могут замедляться в среде, поэтому при прохождении g-излучения сквозь вещество они либо поглощаются, либо рассеива­ются им. g-Кванты не несут электрического заряда и тем самым не испытывают влияния кулоновских сил. При прохождении пучка g-квантов сквозь вещество их энергия не меняется, но в результате столкновений ослабляется интенсивность, измене­ние которой описывается экспоненциальным законом I = I₀e^–mx (I₀ и I — интенсивности g-излучения на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, m — коэф­фициент поглощения). Так как g-излучение — самое проникающее излучение, то m для многих веществ — очень малая величина; m зависит от свойств вещества и от энергии g-квантов.

g-Кванты, проходя сквозь вещество, могут взаимодействовать как с электронной оболочкой атомов вещества, так и с их ядрами. В квантовой электродинамике до­казывается, что основными процессами, сопровождающими прохождение g-излучения через вещество, являются фотоэффект, комптон-эффект (комптоновское рассеяние) и образование электронно-позитронных пар.

Фотоэффект, или фотоэлектрическое поглощение g-излучения, — это процесс, при котором атом поглощает g-квант и испускает электрон. Так как электрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома, то освободившееся место заполняется электрона­ми из вышележащих оболочек, и фотоэффект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Фотоэффект является преобладающим механизмом погло­щения в области малых энергий g-квантов (E_g £ 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

По мере увеличения энергии g-квантов (E_g »0,5 МэВ) вероятность фотоэффекта очень мала и основным механизмом взаимодействия g-квантов с веществом является комптоновское рассеяние (см. § 206).

При E_g>l,02 МэВ=2m_eс² (т_e—масса покоя электрона) становится возможным процесс образования электронно-позитронных пар в электрических полях ядер. Вероят­ность этого процесса пропорциональна Z² и увеличивается с ростом E_g . Поэтому при E_g»10 МэВ основным процессом взаимодействия g-излучения в любом веществе являетсяобразованно электронно-позитронных пар.

Если энергия g-кванта превышает энергию связи нуклонов в ядре (7—8 МэВ), то в результате поглощения g-кванта может наблюдатьсяядерный фотоэффект — выброс из ядра одного из нуклонов, чаще всего нейтрона.

Большая проникающая способность g-излучения используется в гамма-дефектоско­пии — методе дефектоскопии, основанном на различном поглощении g-излучения при распространении его на одинаковое расстояние в разных средах. Местоположение и размеры дефектов (раковины, трещины и т. д.) определяются по различию в интенсивностях излучения, прошедшего через разные участки просвечиваемого изделия.

Воздействие g-излучения (а также других видов ионизирующего излучения) на вещество характеризуют дозой ионизирующего излучения. Различаются:

Поглощенная доза излучения — физическая величина, равная отношению энергии излучения к массе облучаемого вещества.

Единица поглощенной дозы излучения — грей (Гр)*: 1 Гр= 1 Дж/кг — доза из­лучения, при которой облученному веществу массой 1 кг передается энергия любого ионизирующего излучения 1 Дж.

* С. Грей (1666—1736) — английский физик.

 

Экспозиционная доза излучения — физическая величина, равная отношению суммы электрических зарядоввсех ионов одного знака, созданных электронами, освобожден­ными в облученном воздухе (при условии полного использования ионизирующей способности электронов), к массе этого воздуха.

Единица экспозиционной дозы излучения — кулон на килограмм (Кл/кг); внесистемной единицей являетсярентген (Р): 1 Р=2,58×10^–4 Кл/кг.

Биологическая доза — величина, определяющая воздействие излучения на орга­низм.

Единица биологической дозы — биологический эквивалент рентгена (бэр): 1 бэр — доза любого вида ионизирующего излучения, производящая такое же биоло­гическое действие,как и доза рентгеновского или g-излучения в 1 Р (1 бэр= 10^–2 Дж/кг).

Мощность дозы излучения — величина, равная отношению дозы излучения к време­ниоблучения. Различают: 1)мощность поглощенной дозы (единица — грей на секунду (Гр/с)); 2)мощность экспозиционной дозы (единица — ампер на килограмм (А/кг)).

§ 260. Резонансное поглощение g-излучения (эффект Мёссбауэра*)

Как уже указывалось, дискретный спектр g-излучения обусловлен дискретностью энер­гетических уровней ядер атомов. Однако, как следует из соотношения неопределен­ностей (215.5), энергия возбужденных состояний ядра принимает значения в пределах DE»h/Dt, где Dt — время жизни ядра в возбужденном состоянии. Следовательно, чем меньше Dt, тем больше неопределенность энергии DE возбужденного состояния. DE=0 только для основного состояния стабильного ядра (для него Dt®¥). Неопределен­ность энергии квантово-механической системы (например, атома), обладающей дискретными уровнями энергии, определяет естественную ширину энергетического уровня (Г). Например, при времени жизни возбужденного состояния, равного 10^–13 с, естест­венная ширина энергетического уровня примерно 10^–2 эВ.

* Р. Мёссбауэр (р. 1929) — немецкий физик.

 

Неопределенность энергии возбужденного состояния, обусловливаемая конечным временем жизни возбужденных состоянии ядра, приводит к немонохроматичности g-излучения, испускаемого при переходе ядра из возбужденного состояния в основное. Эта немонохроматичность называется естественной шириной линии g-излучения.

При прохождении g-излучения в веществе помимо описанных выше (см. § 259) процессов (фотоэффект, комптоновское рассеяние, образование электронно-позитронных пар) должны в принципе наблюдаться также резонансные эффекты. Если ядро облучить g-квантами с энергией, равной разности одного из возбужденных и основного энергетических состояний ядра, то может иметь место резонансное поглощение g-излучения ядрами: ядро поглощает g-квант той же частоты, что и частота излучаемого ядром g-кванта при переходе ядра из данного возбужденного состояния в основное.

Наблюдение резонансного поглощения g-квантов ядрами считалось долгое время невозможным, так как при переходе ядра из возбужденного состояния с энергией Е в основное (его энергия принята равной нулю) излучаемый g-квант имеет энергию Е_g несколько меньшую,чем Е, из-за отдачи ядра в процессе излучения:

где Е_я — кинетическая энергия отдачи ядра. При возбуждении же ядра и переходе его из основного состояния в возбужденное с энергией Е g-квант должен иметь энергию

где Е_я — энергия отдачи, которую g-квант должен передать поглощающему ядру.

Таким образом, максимумы линий излучения и поглощения сдвинуты друг от­носительно друга на величину 2Е_я (рис. 344). Используя закон сохранения импульса, согласно которому в рассмотренных процессах излучения и поглощения импульсы g-кванта и ядра должны быть равны, получим

(260.1)

Например, возбужденное состояние изотопа иридия Ir имеет энергию 129 кэВ, а время его жизни порядка 10^–10 с, так что ширина уровня Г » 4×10^–5 эВ. Энергия же отдачи при излучении с этого уровня, согласно (260.1), приблизительно равна 5×10^–2 эВ, т. е. на три порядка больше ширины уровня. Естественно, что никакое резонансное поглощение в таких условиях невозможно (для наблюдения резонансного поглощения линия поглощения должна совпадать с линией излучения). Из опытов также следовало, что на свободных ядрах резонансное поглощение не наблюдается.

Резонансное поглощение g-излучения в принципе может быть получено только при компенсации потери энергии на отдачу ядра. Эту задачу решил в 1958 г. Р. Мёссбауэр (Нобелевская премия 1961 г.). Он исследовал излучение и поглощение g-излучения в ядрах, находящихся в кристаллической решетке, т. е. в связанном состоянии (опыты проводились при низкой температуре). В данном случае импульс и энергия отдачи передаются не одному ядру, излучающему (поглощающему) g-квант, а всей кристал­лической решетке в целом. Так как кристалл обладает гораздо большей массой по сравнению с массой отдельного ядра, то в соответствии с формулой (260.1) потери энергии на отдачу становятся исчезающе малыми. Поэтому процессы излучения и по­глощения g-излучения происходят практически без потерь энергии (идеально упруго).

Явление упругого испускания (поглощения) g-квантов атомными ядрами, связан­ными в твердом теле, не сопровождающееся изменением внутренней энергии тела, называетсяэффектом Мёссбауэра. При рассмотренных условиях линии излучения и поглощения g-излучения практически совпадают и имеют весьма малую ширину, равную естественной ширине Г. Эффект Мёссбауэра был открыт на глубоко охлажденном Ir (с понижением температуры колебания решетки «замораживаются»), а впос­ледствии обнаружен более чем на 20 стабильных изотопах (например, ⁵⁷Fe, ⁶⁷Zn).

Мёссбауэр вооружил экспериментальную физику новым методом измерений неви­данной прежде точности. Эффект Мёссбауэра позволяет измерять энергии (частоты) излучения с относительной точностью Г/E=10^–15¸10^–17, поэтому во многих облас­тях науки и техники может служить тончайшим «инструментом» различного рода измерений. Появилась возможность измерять тончайшие детали g-линий, внутренние магнитные и электрические поля в твердых телах и т. д.

Внешнее воздействие (например, зеемановское расщепление ядерных уровней или смещение энергии фотонов при движения в поле тяжести) может привести к очень малому смещению либо линии поглощения, либо линии излучения, иными словами, привести к ослаблению или исчезнове­нию эффекта Мёссбауэра. Это смещение, следовательно, может быть зафиксировано. Подобным образом в лабораторных условиях был обнаружен (1960) такой тончайший эффект, как «гравита­ционное красное смещение», предсказанный общей теорией относительности Эйнштейна.

§ 261. Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц

Практически все методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений (a, b, g) и частиц основаны на их способности производить ионизацию и возбуждение атомов среды. Заряженные частицы вызывают эти процессы непосредственно, а g-кванты и нейтроны обнаруживаются по ионизации, вызываемой возникающими в результате их взаимодействия с электронами и ядрами атомов среды быстрыми заряженными частицами. Вторичные эффекты, сопровождающие рассмотренные процессы, такие, как вспышка света, электрический ток, потемнение фотопластинки, позволяют регистриро­вать пролетающие частицы, считать их, отличать друг от друга и измерять их энергию.

Приборы, применяемые для регистрации радиоактивных излучений и частиц, де­лятся на две группы:

1) приборы, позволяющие регистрировать прохождение частицы через определен­ный участок пространства и в некоторых случаях определять ее характеристики, например энергию (сцинтилляционный счетчик, черенковский счетчик, импульсная ионизационная камера, газоразрядный счетчик, полупроводниковый счетчик);

2) приборы, позволяющие наблюдать, например фотографировать, следы (треки) частиц в веществе (камера Вильсона, диффузионная камера, пузырьковая камера, ядерные фотоэмульсии).

1. Сцинтилляционный счетчик. Наблюдениесцинтилляций — вспышек света при по­падании быстрых частиц на флуоресцирующий экран — первый метод, позволивший У. Круксу* и Э. Резерфорду на заре ядерной физики (1903) визуально регистриро­вать a-частицы. Сцинтилляционный счетчик — детектор ядерных частиц, основными элементами которого являются сцинтиллятор (кристаллофосфор) (см. § 245) и фотоэле­ктронный умножитель (см. § 105), позволяющий преобразовывать слабые световые вспышки в электрические импульсы, регистрируемые электронной аппаратурой. Обыч­но в качестве сцинтилляторов используют кристаллы некоторых неорганических (ZnS для a-частиц; NaI-Tl, CsI-Tl — для b-частиц и g-квантов) или органических (антрацен, пластмассы — для g-квантов) веществ.

* У. Крукс (1832—1919) — английский физик и химик.

 

Сцинтилляционные счетчики обладают высоким разрешением по времени (10^–10—10^–5 с), определяемым родом регистрируемых частиц, сцинтиллятором и раз­решающим временем используемой электронной аппаратуры (оно доведено сейчас до 10^–8—10^–10 с). Для этого типа счетчиков эффективность регистрации—отношение числа зарегистрированных частиц к полному числу частиц, пролетевших в счетчике, примерно 100% для заряженных частиц и 30% для g-квантов. Так как для многих сцинтилляторов (NaI-Tl, CsI-Tl, антрацен, стильбен) интенсивность световой вспышки в широком интервале энергий пропорциональна энергии первичной частицы, то счетчики на данных сцинтилляторах применяются для измерения энергии регистрируемых частиц.

2. Черенковский счетчик. Принцип его работы и свойства излучения Вавило­ва — Черенкова, лежащие в основе работы счетчика, рассмотрены в § 189. Назначение черенковских счетчиков — это измерение энергии частиц, движущихся в веществе со скоростью, превышающей фазовую скорость света в данной среде, и разделение этих частиц по массам. Зная угол испускания излучения (см. (189.1)), можно определить скорость частицы, что при известной массе частицы равносильно определению ее энергии. С другой стороны, если масса частицы не известна, то она может быть определена по независимому измерению энергии частицы. Кроме того, при наличии двух пучков частиц с разными скоростями будут различными и углы испускания излучений, по которым можно искомые частицы определить. Для черенковских счет­чиков разрешение по скоростям (иными словами, по энергиям) составляет 10^–3 —10^–5. Это позволяет отделять элементарные частицы друг от друга при энергиях порядка 1 ГэВ, когда углы испускания излучения различаются очень мало. Время разрешения счетчиков достигает 10^–9 с. Счетчики Черенкова устанавливаются на космических кораблях для исследования космического излучения.

3. Импульсная ионизационная камера — это детектор частиц, действие которого основано на способности заряженных частиц вызывать ионизацию газа. Ионизацион­ная камера представляет собой заполненный газом электрический конденсатор, к элек­тродам которого подается постоянное напряжение. Регистрируемая частица, попадая в пространство между электродами, ионизует газ. Напряжение подбирается так, чтобы все образовавшиеся ионы, с одной стороны, доходили до электродов, не успев рекомбинировать, а с другой — не разгонялись настолько сильно, чтобы производить вто­ричную ионизацию. Следовательно, в ионизационной камере на ее электродах непо­средственно собираются ноны, возникшие под действием заряженных частиц. Иониза­ционные камеры бывают двух типов:интегрирующие (в них измеряется суммарный ионизационный ток)иимпульсные, являющиеся, по существу, счетчиками (в них регистрируется прохождение одиночной частицы и измеряется ее энергия, правда, с довольно низкой точностью, обусловленной малостью выходного импульса).

4. Газоразрядный счетчик. Газоразрядный счетчик обычно выполняется в виде наполненного газом металлического цилиндра (катод) с тонкой проволокой (анод), натянутой по его оси. Хотя газоразрядные счетчики по конструкции похожи на ионизационную камеру, однако в них основную роль играет вторичная ионизация, обусловленная столкновениями первичных ионов с атомами и молекулами газа и стенок. Можно говорить о двух типах газоразрядных счетчиков: пропорциональных (в них газовый разряд несамостоятельный (см. § 106), т. е. гаснет при прекращении действия внешнего ионизатора) и счетчиках Гейгера — Мюллера* (в них разряд самостоятельный (см. § 107), т. е. поддерживается после прекращения действия внешнего ионизатора).

* Э. Мюллер (1911—1977) — немецкий физик.

 

В пропорциональных счетчиках рабочее напряжение выбирается так, чтобы они работали в области вольт-амперной характеристики, соответствующей несамостоя­тельному разряду, в которой выходной импульс пропорционален первичной иониза­ции, т. с. энергии влетевшей в счетчик частицы. Поэтому они не только регистрируют частицу, но и измеряют ее энергию. В пропорциональных счетчиках импульсы, вызыва­емые отдельными частицами, усиливаются в 10³ —10⁴ раз (иногда и в 10⁶ раз).

Счетчик Гейгера — Мюллера по конструкции и принципу действия существенно не отличается от пропорционального счетчика, но работает в области вольт-амперной характеристики, соответствующей самостоятельному разряду (см. § 107), когда выход­ной импульс не зависит от первичной ионизации. Счетчики Гейгера — Мюллера регистрируют частицу без измерения ее энергии. Коэффициент усиления этих счетчиков составляет 10⁸. Для регистрации раздельных импульсов возникший разряд следует гасить. Для этого, например, последовательно с нитью включается такое сопротивление, чтобы возникший в счетчике разряд вызывал на сопротивлении падение напряже­ния, достаточное для прерывания разряда. Временное разрешение счетчиков Гей­гера—Мюллера составляет 10^–3—10^–7 с. Для газоразрядных счетчиков эффектив­ность регистрации равна примерно 100% для заряженных частиц и примерно 5% для g-квантов.

5. Полупроводниковый счетчик —это детектор частиц, основным элементом кото­рого является полупроводниковый диод (см. § 250). Время разрешения составляет примерно 10^–9 с. Полупроводниковые счетчики обладают высокой надежностью, мо­гут работать в магнитных полях. Малая толщина рабочей области (порядка сотни микрометров) полупроводниковых счетчиков не позволяет применять их для измере­ния высокоэнергетических частиц.

6. Камера Вильсона* (1912) — это старейший и на протяжении многих десятиле­тий (вплоть до 50—60-х годов) единственный тип трекового детектора. Выполняется обычно в виде стеклянного цилиндра с плотно прилегающим поршнем. Цилиндр наполняется нейтральным газом (обычно гелием или аргоном), насыщенным парами воды или спирта. При резком, т. е. адиабатическом, расширении газа пар становится пересыщенным и на траекториях частиц, пролетевших через камеру, образуются треки из тумана. Образовавшиеся треки для воспроизводства их пространственного рас­положения фотографируются стереоскопически, т. е. под разными углами. По харак­теру и геометрии треков можно судить о типе прошедших через камеру частиц (например, a-частица оставляет сплошной жирный след, b-частица — тонкий), об энергии частиц (по величине пробега), о плотности ионизации (по количеству капель на единицу длины трека), о количестве участвующих в реакции частиц.

* Ч. Вильсон (1869—1959) — английский физик.

 

Российский ученый Д. В. Скобельцын (1892—1990) значительно расширил возмож­ности камеры Вильсона, поместив ее в сильное магнитное поле (1927). По искривлению траектории заряженных частиц в магнитном поле, т. е. по кривизне трека, можно судить о знаке заряда, а если известен тип частицы (ее заряд и масса), то по радиусу кривизны трека можно определить энергию и массу частицы даже в том случае, если весь трек в камере не умещается (для реакций при высоких энергиях вплоть до сотен мегаэлектрон-вольт). Недостаток камеры Вильсона — ее малое рабочее время, состав­ляющее примерно 1% от времени, затрачиваемого для подготовки камеры к последу­ющему расширению (выравнивание температуры и давления, рассасывание остатков треков, насыщение паров), а также трудоемкость обработки результатов.

7. Диффузионная камера (1936) — это разновидность камеры Вильсона. В ней рабочим веществом также является пересыщенный пар, но состояние пересыщения создастся диффузией паров спирта от нагретой (до 10°С) крышки ко дну, охлажда­емому (до —60°С) твердой углекислотой. Вблизи дна возникает слой пересыщенного пара толщиной примерно 5 см, в котором проходящие заряженные частицы создают треки. В отличие от вильсоновской диффузионная камера работает непрерывно. Кроме того, из-за отсутствия поршня в ней могут создаваться давления до 4 МПа, что значительно увеличивает ее эффективный объем.

8. Пузырьковая камера (1952; американский физик Д. Глезер (р. 1926)). В пузырьковой камере рабочим веществом является перегретая (находящаяся под давлением) прозрачная жидкость (жидкие водород, пропан, ксенон). Запускается камера, так же как и камера Вильсона, резким сбросом давления, переводящим жидкость в неустойчивое перегретое состояние. Пролетающая в это время через камеру заряженная частица вызывает резкое вскипание жидкости, и траектория частицы оказывается обозначенной цепочкой пузырьков пара — образуется трек, который, как и в камере Вильсона, фотографируется. Пузырьковая камера работает циклами. Размеры пузырьковых камер примерно такие же, как камеры Вильсона (от десятков сантиметров до 2 м), но их эффективный объем на 2—3 порядка больше, так как жидкости гораздо плотнее газов. Это позволяет использовать пузырьковые камеры для исследования длинных цепей рождений и распадов частиц высоких энергий.

9. Ядерные фотоэмульсии (1927; российский физик Л. В. Мысовский (1888—1939)) — это простейший трековый детектор заряженных частиц. Прохождение заряженной частицы в эмульсии вызывает ионизацию, приводящую к образованию центров скрытого изображения. После проявления следы заряженных частиц обнару­живаются в виде цепочки зерен металлического серебра. Taк как эмульсия — среда более плотная, чем газ или жидкость, используемые в вильсоновской и пузырьковой камерах, то при прочих равных условиях длина трека в эмульсии более короткая. Так, трек длиной 0,05 см в эмульсии эквивалентен треку в 1 м в камере Вильсона. Поэтому фотоэмульсии применяются для изучения реакций, вызываемых частицами в ускори­телях сверхвысоких энергий и в космических лучах. В практике исследований высокоэнергетических частиц используются также так называемые стопы — большое число маркированных фотоэмульсионных пластинок, помещаемых на пути частиц и после проявления промеряемых под микроскопом.

В настоящее время методы наблюдения и регистрации заряженных частиц и излуче­ний настолько разнообразны, что их описание выходит за рамки курса.

Большое значение начинают играть сравнительно новые (1957) приборы — ис­кровые камеры, использующие преимущества счетчиков (быстрота регистрации) и тре­ковых детекторов (полнота информации о треках). Говоря образно, искровая каме­ра — это набор большого числа очень мелких счетчиков. Поэтому она близка к счет­чикам, так как информация в ней выдается немедленно, без последующей обработки, и в то же время обладает свойствами трекового детектора, так как по действию многих счетчиков можно установить треки частиц.

§ 262. Ядерные реакции и их основные типы

Ядерные реакции — это превращения атомных ядер при взаимодействии с элементар­ными частицами (в том числе и с g-квантами) или друг с другом. Наиболее распрост­раненным видом ядерной реакции является реакция, записываемая символически сле­дующим образом:

где Х и Y — исходное и конечное ядра, а и b — бомбардирующая и испускаемая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы.

В ядерной физике эффективность взаимодействия характеризуютэффективным сечением s. С каждым видом взаимодействия частицы с ядром связывают свое эффек­тивное сечение: эффективное сечение рассеяния определяет процессы рассеяния, эффек­тивное сечение поглощения — процессы поглощения. Эффективное сечение ядерной реакции

где N — число частиц, падающих за единицу времени на единицу площади поперечного сечения вещества, имеющего в единице объема п ядер, dN — число этих частиц, вступающих в ядерную реакцию в слое толщиной dx. Эффективное сечение s имеет размерность площади и характеризует вероятность того, что при падении пучка частиц навещество произойдет реакция.

Единица эффективного сечения ядерных процессов — барн (1 барн= 10^–28 м²). В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения электрических зарядов и массовых чисел: сумма зарядов (и сумма массовых чисел) ядер и частиц, вступающих в ядерную реакцию, равна сумме зарядов (и сумме массовых чисел) конечных продук­тов (ядер и частиц) реакции. Выполняются также законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.

В отличие от радиоактивного распада, который протекает всегда с выделением энергии, ядерные реакции могут быть как экзотермическими (с выделением энергии), так и эндотермическими (с поглощением энергии).

Важную роль в объяснении механизма многих ядерных реакций сыграло пред­положение Н. Бора (1936) о том, что ядерные реакции протекают в две стадии по следующей схеме:

(262.1)

Первая стадия — это захват ядром Х частицы а, приблизившейся к нему на расстояние действия ядерных сил (примерно 2×10^–15 м), и образование промежуточного ядра С, называемого составным (или компаунд-ядром). Энергия влетевшей в ядро частицы быстро распределяется между нуклонами составного ядра, в результате чего оно оказывается в возбужденном состоянии. При столкновении нуклонов составного ядра один из нуклонов (или их комбинация, например дейтрон — ядро тяжелого изотопа водорода — дейтерия, содержащее один протон и один нейтрон) или a-частица может получить энергию, достаточную для вылета из ядра. В результате возможна вторая стадия ядерной реакции — распад составного ядра на ядро Y и частицу b.

В ядерной физике вводится характерное ядерное время — время, необходимое для пролета частицей расстояния порядка величины, равной диаметру ядра (d»10^–15 м). Так, для частицы с энергией 1 МэВ (что соответствует ее скорости v»10⁷ м/с) характер­ное ядерное время t=10^–15 м/10⁷ м/с=10^–22 с. С другой стороны, доказано, что время жизни составного ядра равно 10^–16—10^–12 с, т. е. составляет (10⁶—10¹⁰) t. Это же означает, что за время жизни составного ядра может произойти очень много столкновений нуклонов между собой, т. е. перераспределение энергии между нук­лонами действительно возможно. Следовательно, составное ядро живет настолько долго, что полностью «забывает», каким образом оно образовалось. Поэтому харак­тер распада составного ядра (испускание им частицы b) — вторая стадия ядерной реакции — не зависит от способа образования составного ядра — первой стадии.

Если испущенная частица тождественна с захваченной (bºа), то схема (262.1) описывает рассеяние частицы: упругое — при Е_b=Е_а, неупругое — при Е_b¹Е_а. Если же испущенная частица не тождественна с захваченной (b¹а), то имеем дело с ядерной реакцией в прямом смысле слова.

Некоторые реакции протекают без образования составного ядра, они называются прямыми ядерными взаимодействиями (например, реакции, вызываемые быстрыми нук­лонами и дейтронами).

Ядерные реакции классифицируются по следующим признакам:

1) по роду участвующих в них частиц — реакции под действием нейтронов; реакции под действием заряженных частиц (например, протонов, дейтронов, a-частиц); реакции под действием g-квантов;

2) по энергии вызывающих их частиц — реакции при малых энергиях (порядка электрон-вольт), происходящие в основном с участием нейтронов; реакции при средних энергиях (до нескольких мегаэлектрон-вольт), происходящие с участием g-квантов и заряженных частиц (протоны, a-частицы); реакции при высоких энергиях (сотни и тысячи мегаэлектрон-вольт), приводящие к рождению отсутствующих в свободном состоянии элементарных частиц и имеющие большое значение для их изучения;

3) по роду участвующих в них ядер — реакции на легких ядрах (А< 50); реакции на средних ядрах (50<А< 100); реакции на тяжелых ядрах (А> 100);

4) по характеру происходящих ядерных превращений — реакции с испусканием ней­тронов; реакции с испусканием заряженных частиц; реакции захвата (в этих реакциях составное ядро не испускает никаких частиц, а переходит в основное состояние, излучая один или несколько g-квантов).

Первая в истории ядерная реакция осуществлена Э. Резерфордом (1919) при бом­бардировке ядра азота a-частицами, испускаемыми радиоактивным источником:

§ 263. Позитрон. b⁺-Распад. Электронный захват

П. Дираком было получено (1928) релятивистское волновое уравнение для электрона, которое позволило объяснить все основные свойства электрона, в том числе наличие у него спина и магнитного момента. Замечательной особенностью уравнения Дирака оказалось то, что из него для полной энергии свободного электрона получались не только положительные, но и отрицательные значения. Этот результат мог быть объяснен лишь предположением о существовании античастицы электрона —позитрона.

Гипотеза Дирака, недоверчиво воспринимавшаяся большинством физиков, была блестяще подтверждена в 1932 г. К. Андерсеном (американский физик (р. 1905); Нобелевская премия 1936 г.), обнаружившим позитрон в составе космического излуче­ния. Существование позитронов было доказано наблюдением их треков в камере Вильсона, помещенной в магнитном поле. Эти частицы в камере отклонялись так,какотклоняется движущийся положительный заряд. Опыты показали, что позитрон е — частица с массой покоя, в точности равной массе покоя электрона, и спином ½ (в единицах ), несущая положительный электрический заряд +е.

Жолио-Кюри — Фредерик (1900—1958) и Ирен (1897—1956), — бомбардируя раз­личные ядра a-частицами (1934), обнаружили искусственно-радиоактивные ядра (см. § 255), испытывающие b^–-распад, а реакции на В, Аl и Mg привели к искусствен­но-радиоактивным ядрам, претерпевающим b⁺-распад, или позитронный распад:

(Нобелевская премия 1956 г.) Наличие в этих реакциях позитронов доказано при изучении их треков в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле.

Таким образом, в экспериментах Жолио-Кюри, с одной стороны, открыта искус­ственная радиоактивность, а с другой — впервые обнаружен позитронный радиоактив­ный распад.

Энергетический b⁺-спектр, как и b^–-спектр (см. § 258), непрерывен. b⁺-Распад подчиняется следующему правилу смещения:

Процесс b⁺-распада протекает так, как если бы один из протонов ядра превратился в нейтрон, испустив при этом позитрон и нейтрино:

(263.1)

причем одновременный выброс нейтрино вытекает из тех же соображений, которые излагались при обсуждении b^–-распада (см. § 258). Так как масса покоя протона меньше, чем у нейтрона, то реакция (263.1) для свободного протона наблюдаться не может. Однако для протона, связанного в ядре благодаря ядерному взаимодействию частиц, эта реакция оказывается энергетически возможной.

Вскоре после опытов К. Андерсена, а также обоснования b⁺-распада было устано­влено, что позитроны могут рождаться при взаимодействии g-квантов большой энер­гии (Е_g > 1,02 МэВ = 2m_eс²) с веществом (см. также § 259). Этот процесс идет по схеме

(263.2)

Электронно-позитронные пары были действительно обнаружены в помещенной в маг­нитное поле камере Вильсона, в которой электрон и позитрон, имеющие проти­воположные по знаку заряды, отклонялись в противоположные стороны.

Для выполнения соотношения (263.2) помимо выполнения законов сохранения энергии и импульса необходимо, чтобы фотон обладал целым спином, равным 0 или 1, поскольку спины электрона и позитрона равны ½ . Ряд экспериментов и теоретических выкладок привели к выводу, что спин фотона действительно равен 1 (в единицах ).

При столкновении позитрона с электроном происходит их аннигиляция:

(263.3)

в ее процессе электронно-позитронная пара превращается в два g-кванта, причем энергия пары переходит в энергию фотонов. Появление в этом процессе двух g-квантов следует из закона сохранения импульса и энергии. Реакция (263.3) подтверждена прямыми экспериментами под руководством российского ученого Л. А. Арцимовича (1909—1973). Процессы (263.2) и (263.3) — процессы возникновения и превращения электронно-позитронных пар — являются примером взаимосвязи различных форм ма­терии: в этих процессах материя в форме вещества превращается в материю в форме электромагнитного поля, и наоборот.

Для многих ядер превращение протона в нейтрон, помимо описанного процесса (263.1), происходит посредством электронного захвата, или е-захвата, при котором ядро спонтанно захватывает электрон с одной из внутренних оболочек атома (К, L и т. д.), испуская нейтрино:

Необходимость появления нейтрино вытекает из закона сохранения спина. Схема е-захвата:

т. е. один из протонов ядра превращается в нейтрон, заряд ядра убывает на единицу и оно смещается влево так же, как и при позитронном распаде.

Электронный захват обнаруживается по сопровождающему его характеристичес­кому рентгеновскому излучению, возникающему при заполнении образовавшихся ва­кансий в электронной оболочке атома (именно так е-захват и был открыт в 1937 г.). При е-захвате, кроме нейтрино, никакие другие частицы не вылетают, т. е. вся энергия распада уносится нейтрино. В этом е-захват (часто его называюттретьим видом b-распада) существенно отличается от b^±-распадов, при которых вылетают две части­цы, между которыми и распределяется энергия распада. Примером электронного захвата может служить превращение радиоактивного ядра бериллия Ве в стабильное ядро Li:

§ 264. Открытие нейтрона. Ядерные реакции под действием нейтронов

Нейтроны, являясь электрически нейтральными частицами, не испытывают кулоновского отталкивания и поэтому легко проникают в ядра и вызывают разнообразные ядерные превращения. Изучение ядерных реакций под действием нейтронов не только сыграло огромную роль в развитии ядерной физики, но и привело к появлению ядерных реакторов (см. § 267).

Краткая история открытия нейтрона такова. Немецкие физики В. Боте (1891—1957) и Г. Беккер в 1930 г., облучая ряд элементов, в частности ядра бериллия, a-частицами, обнаружили возникновение излучения очень большой проникающей спо­собности. Так как сильно проникающими могут быть только нейтральные частицы, то было высказано предположение, что обнаруженное излучение — жесткие g-лучи с энер­гией примерно 7 МэВ (энергия рассчитана по поглощению). Дальнейшие эксперименты (Ирен и Фредерик Жолио-Кюри, 1931 г.) показали, что обнаруженное излучение, взаимодействуя с водородосодержащими соединениями, например парафином, выби­вает протоны с пробегами примерно 26 см. Из расчетов следовало, что для получения протонов с такими пробегами предполагаемые g-кванты должны были обладать фантастической по тем временам энергией 50 МэВ вместо расчетных 7 МэВ!

Пытаясь найти объяснение описанным экспериментам, английский физик Д. Чэдвик (1891—1974) предположил (1932), а впоследствии доказал, что новое проникающее излучение представляет собой не g-кванты, а поток тяжелых нейтральных частиц, названных им нейтронами. Таким образом, нейтроны были обнаружены в следующей ядерной реакции:

Эта реакция не является единственной, ведущей к выбрасыванию из ядер нейтронов (например, нейтроны возникают в реакциях Li (a, n) B и В (a, п) N).

Характер ядерных реакций под действием нейтронов зависят от их скорости (энергии). В зависимости от энергии нейтроны условно делят на две группы:медленные и быстрые. Область энергий медленных нейтронов включает в себя областьультрахолодных (с энергией до 10^–7 эВ),очень холодных (10^–7 — 10^–4 эВ),холодных(10^–4 — 10^–3 эВ),тепловых (10^–3 — 0,5 эВ) ирезонансных (0,5 — 10⁴ эВ) нейтронов. Ко второй группе можно отнестибыстрые (10⁴ — 10⁸ эВ),высокоэнергетичные(10⁸ — 10¹⁰ эВ) ирелятивистские (³10¹⁰ эВ) нейтроны.

Замедлить нейтроны можно пропуская их через какое-либо вещество, содержащее водород (например, парафин, вода). Проходя через такие вещества, быстрые нейтроны испытывают рассеяние на ядрах и замедляются до тех пор, пока их энергия не станет равной, например, энергии теплового движения атомов вещества замедлителя, т. е. равной приблизительно kT.

Медленные нейтроны эффективны для возбуждения ядерных реакций, так как они относительно долго находятся вблизи атомного ядра. Благодаря этому вероятность захвата нейтрона ядром становится довольно большой. Однако энергия медленных нейтронов мала, потому они не могут вызывать, например, неупругое рассеяние. Для медленных нейтронов характерны упругое рассеяние на ядрах (реакция типа (п, п)) и радиационный захват (реакция типа (п, g)). Реакция (п, g) приводит к образованию нового изотопа исходного вещества:

например

Часто в результате (n, g)-реакции образуются искусственные радиоактивные изо-топы, дающие, как правило, b^–-распад. Например, в результате реакции

образуется радиоактивный изотоп Р, претерпевающий b^–-распад с образованием стабильного изотопа серы:

Под действием медленных нейтронов на некоторых легких ядрах наблюдаются также реакции захвата нейтронов с испусканием заряженных частиц—протонов и a-частиц (под действием тепловых нейтронов):

(используется для обнаружения нейтронов) или

(используется для получения трития, в частности в термоядерных взрывах; см. § 268).

Реакции типа (n, р) и (n,), т. е. реакции с образованием заряженных частиц, происходят в основном под действием быстрых нейтронов, таккак в случае медленных нейтронов энергии атомного ядра недостаточно для преодоления потенциального барьера, препятствующего вылету протонов и a-частиц. Эти реакции, как и реакции радиационного захвата, часто ведут к образованию b^–-активных ядер.

Для быстрых нейтронов наблюдается неупругое их рассеяние, совершающееся по схеме

где вылетающий из ядра нейтрон обозначен как п', поскольку это не тот нейтрон, который проник в ядро; п' имеет энергию, меньшую энергии п, а остающееся после вылета нейтрона ядро находится в возбужденном состоянии (отмечено звездочкой), поэтому его переход в нормальное состояние сопровождается испусканием g-кванта.

Когда энергия нейтронов достигает значений 10 МэВ, становятся возможными реакции типа (n, 2n). Например, в результате реакции

образуется b^–-активный изотоп U, претерпевающий распад по схеме

U ®Np + е.

§ 265. Реакция деления ядра

К началу 40-х годов работами многих ученых—Э. Ферми (Италия), О. Гана (1879—1968), Ф. Штрассмана (1902—1980) (ФРГ), О. Фриша (1904—1979) (Великобри­тания), Л. Мейтнер (1878—1968) (Австрия), Г.Н. Флерова (р. 1913), К.Н. Петржака (Россия) — было доказано, что при облучении урана нейтронами образуются элементы из середины Периодической системы — лантан и барий. Этот результат положил начало ядерным реакциям совершенно нового типа —реакциям деления ядра, заключа­ющимся в том, что тяжелое ядро под действием нейтронов, а как впоследствии оказалось и других частиц делится на несколько более легких ядер (осколков), чаще всего на два ядра, близких по массе.

Замечательной особенностью деления ядер является то, что оно сопровождается испусканием двух-трех вторичных нейтронов, называемыхнейтронами деления. Так как для средних ядер число нейтронов примерно равно числу протонов (N/Z»1), а для тяжелых ядер число нейтронов значительно превышает число протонов (N/Z»1,6), то образовавшиеся осколки деления перегружены нейтронами, в результате чего они и выделяют нейтроны деления. Однако испускание нейтронов деления не устраняет полностью перегрузку ядер-осколков нейтронами. Это приводит к тому, что осколки оказываются радиоактивными. Они могут претерпеть ряд b^–-превращений, сопровож­даемых испусканием g-квантов. Так как b^–-распад сопровождается превращением нейтрона в протон (см. (258.1)), то после цепочки b^–-превращений соотношение между нейтронами и протонами в осколке достигнет величины, соответствующей стабиль­ному изотопу. Например, при делении ядра урана U

(265.1)

осколок деления Хе в результате трех актов b^–-распада превращается в стабильный изотоп лантана La:

Осколки деления могут быть разнообразными, поэтому реакция (265.1) не единственная приводящая к делению U. Возможна, например, реакция

Большинство нейтронов при делении испускается практически мгновенно (t £ 10^–14 с), а часть (около 0,7%) испускается осколками деления спустя некоторое время после деления (0,05 с £ t £ 60 с). Первые из них называютсямгновенными,вторые —запаздывающими. В среднем на каждый акт деления приходится 2,5 ис­пущенных нейтронов. Они имеют сравнительно широкий энергетический спектр в пре­делах от 0 до 7 МэВ, причем на один нейтрон в среднем приходится энергия около 2 МэВ.

Расчеты показывают, что деление ядер должно сопровождаться также выделением большого количества энергии. В самом деле, удельная энергия связи для ядер средней массы составляет примерно 8,7 МэВ, в то время как для тяжелых ядер она равна 7,6 МэВ (см. § 252). Следовательно, при делении тяжелого ядра на два осколка должна освобождаться энергия, равная примерно 1,1 МэВ на один нуклон.

Эксперименты подтверждают, что при каждом акте деления действительно выделя­ется огромная энергия, которая распределяется между осколками (основная доля), нейтронами деления, а также между продуктами последующего распада осколков деления.

В основу теории деления атомных ядер (Н. Бор, Я. И. Френкель) положена капель­ная модель ядра (см. § 254). Ядро рассматривается как капля электрически заряженной несжимаемой жидкости (с плотностью, равной ядерной, в подчиняющейся законам квантовой механики), частицы которой при попадании нейтрона в ядро приходят в колебательное движение, в результате чего ядро разрывается на две части, разлета­ющиеся с огромной энергией.

Вероятность деления ядер определяется энергией нейтронов. Например, если высокоэнергетичные нейтроны (см. § 264) вызывают деление практически всех ядер, то нейтроны с энергией в несколько мегаэлектрон-вольт — только тяжелых ядер (А>210). Нейтроны, обладающиеэнергией активации (минимальной энергией, необходимой для осуществления реакции деления ядра) порядка 1 МэВ, вызывают деление ядер урана U, тория Th, протактиния Ра и плутония Pu. Тепловыми нейтронами делятся ядра U, Pu и U, Th (два последних изотопа в природе не встречаются, они получаются искусственным путем). Например, изотоп U получается в результате радиационного захвата (реакции (n, g), см. § 264) нейтронов ядром Th:

(265.2)

§ 266. Цепная реакция деления

Испускаемые при делении ядер вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществление цепной реакции деления — ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуютсякак продукты этой реакции. Цепная реакция деления характеризуется коэффициентом размножения k ней­тронов, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении. Необходимым условием для развития цепной реакции деле­ния является требование k ³ 1.

Оказывается, что не все образующиеся вторичные нейтроны вызывают последу­ющее деление ядер, что приводит к уменьшению коэффициента размножения. Во-первых, из-за конечных размеров активной зоны (пространство, где происходит цепная реакция) и большой проникающей способности нейтронов часть из них покинет активную зону раньше, чем будет захвачена каким-либо ядром. Во-вторых, часть нейтронов захватывается ядрами неделящихся примесей, всегда присутствующих в ак­тивной зоне. Кроме того, наряду с делением могут иметь место конкурирующие процессы радиационного захвата и неупругого рассеяния.

Коэффициент размножения зависит от природы делящегося вещества, а для дан­ного изотопа — от его количества, а также размеров и формы активной зоны. Мини­мальные размеры активной зоны, при которых возможно осуществление цепной реак­ции, называютсякритическими размерами. Минимальная масса делящегося вещества, находящегося в системе критических размеров, необходимая для осуществленияцепной реакция, называетсякритической массой.

Скорость развития цепных реакций различна. Пусть Т — среднее время жизни одного поколения, а N — число нейтронов в данном поколении. В следующем поколе­нии их число равно kN, т. е. прирост числа нейтронов за одно поколение dN = kN—N = N(k—1). Прирост же числа нейтронов за единицу времени, т. е. ско­рость нарастания цепной реакции,

(266.1)

Интегрируя (266.1), получим

где N₀ — число нейтронов в начальный момент времени, а N — их число в момент времени t. N определяется знаком (k—1). При k>1 идет развивающаяся реакция, число делений непрерывно растет и реакция может стать взрывной. При k=1 идет самоподдерживающаяся реакция, при которой число нейтронов с течением времени не изменяет­ся. При k<1 идет затухающая реакция.

Цепные реакции делятся науправляемыеинеуправляемые. Взрыв атомной бомбы, например, является неуправляемой реакцией. Чтобы атомная бомба при хранении не взорвалась, в ней U (или Pu) делится на две удаленные друг от друга части с массами ниже критических. Затем с помощью обычного взрыва эти массы сближают­ся, общая масса делящегося вещества становится больше критической и возникает взрывная цепная реакция, сопровождающаяся мгновенным выделением огромного количества энергии и большими разрушениями. Взрывная реакция начинается за счет имеющихся нейтронов спонтанного деления или нейтронов космического излучения. Управляемые цепные реакции осуществляются в ядерных реакторах (см. § 267).

В природе имеется три изотопа, которые могут служить ядерным топливом (U: в естественном уране его содержится примерно 0,7%) или сырьем для его получения (Th и U: в естественном уране его содержится примерно 99,3%). Th служит исходным продуктом для получения искусственного ядерного топлива U (см. реакцию (265.2)), a U, поглощая нейтроны, посредством двух последовательных b^–-распадов — для превращения в ядро Pu:

(266.2)

Реакции (266.2) и (265.2), таким образом, открывают реальную возможность воспроиз­водства ядерного горючего в процессе цепной реакции деления.

§ 267. Понятие о ядерной энергетике

Большое значение в ядерной энергетике приобретает не только осуществление цепной реакции деления, но и управление ею. Устройства, в которых осуществляется и поддер­живается управляемая цепная реакция деления, называются ядерными реакторами. Пуск первого реактора в мире осуществлен в Чикагском университете (1942) под руководством Э. Ферми, в России (и в Европе) — в Москве (1946) под руководством И. В. Курчатова.

Для пояснения работы реактора рассмотрим принцип действия реактора на тепло­вых нейтронах (рис. 345). В активной зоне реактора расположены тепловыделяющие элементы 1 и замедлитель 2, в котором нейтроны замедляются до тепловых скоростей. Тепловыделяющие элементы (твэлы) представляют собой блоки из делящегося матери­ала, заключенные в герметичную оболочку, слабо поглощающую нейтроны. За счет энергии, выделяющейся при делении ядер, твэлы разогреваются, а поэтому для охла­ждения они помещаются в поток теплоносителя (3 — канал для протока теплоноси­теля). Активная зона окружается отражателем 4, уменьшающим утечку нейтронов.

Управление цепной реакцией осуществляется специальными управляющими стерж­нями 5 из материалов, сильно поглощающих нейтроны (например, В, Cd). Параметры реактора рассчитываются так, что при полностью вставленных стержнях реакция заведомо не идет, при постепенном вынимании стержней коэффициент размножения нейтронов растет и при некотором их положении принимает значение, равное единице. В этот момент реактор начинает работать. По мере его работы количество делящегося материала в активной зоне уменьшается и происходит ее загрязнение осколками деления, среди которых могут быть сильные поглотители нейтронов. Чтобы реакция не прекратилась, из активной зоны с помощью автоматического устройства постепенно извлекаются управляющие (а часто специальные компенсирующие) стержни. Подобное управление реакцией возможно благодаря существованию запаздывающих нейтронов (см. § 265), испускаемых делящимися ядрами с запаздыванием до 1 мин. Когда ядерное топливо выгорает, реакция прекращается. До нового запуска реактора выгоревшее ядерное топливо извлекают и загружают новое. В реакторе имеются также аварийные стержни, введение которых при внезапном увеличении интенсивности реакции немед­ленно ее обрывает.

Ядерный реактор является мощным источником проникающей радиации (нейтро­ны, g-излучение), примерно в 10¹¹ раз превышающей санитарные нормы. Поэтому любой реактор имеет биологическую защиту — систему экранов из защитных матери­алов (например, бетон, свинец, вода), располагающуюся за его отражателем, и пульт дистанционного управления.

Ядерные реакторы различаются:

1) по характеру основных материалов, находящихся в активной зоне (ядерное топливо, замедлитель, теплоноситель); в качестве делящихся и сырьевых веществ используются U, Pu, U, U, Th, в качестве замедлителей — вода (обычная н тяжелая), графит, бериллий, органические жидкости и т. д., в качестве теплоноси­телей — воздух, вода, водяной пар, Не, СО₂ и т. д.;

2) по характеру размещения ядерного топлива и замедлителя в активной зоне: гомогенные (оба вещества равномерно смешаны друг с другом) и гетерогенные (оба вещества располагаются порознь в виде блоков);

3) по энергии нейтронов (реакторы на тепловых и быстрых нейтронах; в последних используются нейтроны деления и замедлитель вообще отсутствует);

4) по типу режима (непрерывные и импульсные);

5) по назначению (энергетические, исследовательские, реакторы по производству новых делящихся материалов, радиоактивных изотопов и т. д.).

В соответствии с рассмотренными признаками и образовались такие названия, как уран-графитовые, водо-водяные, графито-газовые реакторы и др.

Среди ядерных реакторов особое место занимают энергетическиереакторы-размножители. В них наряду с выработкой электроэнергии идет процесс воспроизводства ядерного горючего в результате реакции (265.2) или (266.2). Это означает, что в реак­торе на естественном или слабообогащенном уране используется не только изотоп U, но и изотоп U. В настоящее время основой ядерной энергетики с воспроизвод­ством горючего являются реакторы на быстрых нейтронах.

Впервые ядерная энергия для мирных целей использована в СССР. В Обнинске под руководством И. В. Курчатова введена в эксплуатацию (1954) первая атомная электро­станция мощностью 5 МВт. Принцип работы атомной электростанции на водо-водяном реакторе приведен на рис. 346. Урановые блоки 1 погружены в воду 2, которая служит одновременно и замедлителем, и теплоносителем. Горячая вода (она находится под давлением и нагревается до 300°С) из верхней части активной зоны реактора поступает через трубопровод 3 в парогенератор 4, где она испаряется и охлаждается, и возвращается через трубопровод 5 в реактор. Насыщенный пар 6 через трубопровод 7 поступает в паровую турбину 8, возвращаясь после отработки через трубопровод 9 в парогенератор. Турбина вращает электрический генератор 10, ток от которого поступает в электрическую сеть.

Создание ядерных реакторов привело к промышленному применению ядерной энергии. Энергетические запасы ядерного горючего в рудах примерно на два порядка превышает запасы химических видов топлива. Поэтому, если,как предполагается, основная доля электроэнергии будет вырабатываться на АЭС, то это, с одной стороны, снизит стоимость электроэнергии, которая сейчас сравнима с вырабатываемой на тепловых электростанциях, а с другой — решит энергетическую проблему на несколько столетий и позволит использовать сжигаемые сейчас нефть и газ в качестве ценного сырья для химической промышленности.

В СНГ помимо создания мощных АЭС (например, Нововоронежской общей мощностью примерно 1500 МВт, первой очереди Ленинградской с двумя реакторами по 1000 МВт) большое внимание уделяется созданию небольших АЭС (750—1500 кВт), удобных для эксплуатации в специфических условиях, а также решению задач малой ядерной энергетики. Так, построены первые в мире передвижные АЭС, создан первый в мире реактор («Ромашка»), в котором с помощью полупроводников происходит непосредственное преобразование тепловой энергии в электрическую (в активной зоне содержится 49 кг U, тепловая мощность реактора 40 кВт, электрическая—0,8 кВт).

Огромные возможности для развития атомной энергетики открываются с созданием реак­торов-размножителей на быстрых нейтронах (бридеров), в которых выработка энергии сопровож­дается производством вторичного горючего—плутония, что позволит кардинально решить проблему обеспечения ядерным горючим. Как показывают оценки, 1 т гранита содержит пример­но 3 г U и 12 г Th (именно они используются в качестве сырья в реакторах-размножителях), т. е. при потреблении энергии 5×10⁸ МВт (на два порядка выше, чем сейчас) запасов урана и тория в граните хватит на 10⁹ лет.

Техника реакторов на быстрых нейтронах находится в стадии поисков наилучших инженерных решений. Первая опытно-промышленная станция такого типа мощностью 350 МВт построена в г. Шевченко на берегу Каспийского моря. Она используется для производства электроэнергии и опреснения морской воды, обеспечивая водой город и прилегающий район нефтедобычи с населением порядка 150 000 человек. Шевченковская АЭС положила начало новой «атомной отрасли» — опреснению соленых вод, которая в связи с дефицитом пресноводных ресурсов во многих районах может иметь большое значение.

§ 268. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций

Источником огромной энергии может служить реакция синтеза атомных ядер — обра­зование из легких ядер более тяжелых. Удельная энергия связи ядер (см. рис. 342) резко увеличивается при переходе от ядер тяжелого водорода (дейтерия Н и трития Н) к литию Li и особенно к гелию Нe, т. е. реакции синтеза легких ядер в более тяжелые должны сопровождаться выделением большого количества энергии, что действительно подтверждается расчетами. В качестве примеров рассмотрим реакции синтеза:

(268.1)

где Q — энерговыделение.

Реакции синтеза атомных ядер обладают той особенностью, что в них энергия, выделяемая на один нуклон, значительно больше, чем в реакциях деления тяжелых ядер. В самом деле, если при делении ядра U выделяется энергия примерно 200 МэВ, что составляет на один нуклон примерно 0,84 МэВ, то в реакции (268.1) эта величина равна 17,6/5 МэВ » 3,5 МэВ.

Оценим на примере реакции синтеза ядер дейтерия Н температуру ее протекания. Для соединения ядер дейтерия их надо сблизить до расстояния 2×10^–15 м, равного радиусу действия ядерных сил, преодолевая при этом потенциальную энергию оттал­кивания »0,7 МэВ. Так как на долю каждого сталкивающегося ядра приходится половина указанной энергии, то средней энергии теплового движения, равной 0,35 МэВ, соответствует температура, приблизительно равная 2,6×10⁹ К. Следователь­но, реакция синтеза ядер дейтерия может происходить лишь при температуре, на два порядка превышающей температуру центральных областей Солнца (примерно 1,3×10⁷ К).

Однако оказывается, что для протекания реакции синтеза атомных ядер достаточно температуры порядка 10⁷ К. Это связано с двумя факторами: 1) при температурах, характерных для реакций синтеза атомных ядер, любое вещество находится в состоя­нии плазмы, распределение частиц которой подчиняется закону Максвелла; поэтому всегда имеется некоторое число ядер, энергия которых значительно превышает среднее значение; 2) синтез ядер может происходить вследствие туннельного эффекта (см. § 221).

Реакции синтеза легких атомных ядер в более тяжелые, происходящие при сверх­высоких температурах (примерно 10⁷ К и выше), называются термоядерными реак­циями.

Термоядерные реакции являются, по-видимому, одним из источников энергии Солнца и звезд. В принципе высказаны два предположения о возможных способах протекания термоядерных реакций на Солнце:

1) протонно-протонный, или водородный, цикл, характерный для температур (приме­рно 10⁷ К):

2) углеродно-азотный, или углеродный, цикл, характерный для более высоких температур (примерно 2×10⁷ К):

В результате этого цикла четыре протона превращаются в ядро гелия и выделяется энергия, равная 26,7 МэВ. Ядра же углерода, число которых остается неизменным, участвуют в реакции в роли катализатора.

Термоядерные реакции дают наибольший выход энергии на единицу массы «горю­чего», чем любые другие превращения, в том числе и деление тяжелых ядер. Например, количество дейтерия в стакане простой воды энергетически эквивалентно примерно 60 л бензина. Поэтому заманчива перспектива осуществления термоядерных реакций искусственным путем.

Впервые искусственная термоядерная реакция осуществлена в нашей стране (1953), а затем (через полгода) в США в виде взрыва водородной (термоядерной) бомбы, являющегося неуправляемой реакцией. Взрывчатым веществом служила смесь дей­терия и трития, а запалом — «обычная» атомная бомба, при взрыве которой возникает необходимая для протекания термоядерной реакции температура.

Особый интерес представляет осуществление управляемой термоядерной реакции, для обеспечения которой необходимо создание и поддержание в ограниченном объеме температуры порядка 10⁸ К. Так как при данной температуре термоядерное рабочее вещество представляет собой полностью ионизованную плазму (см. § 108), возникает проблема ее эффективной термоизоляции от стенок рабочего объема. На данном этапе развития считается, что основной путь в этом направлении — это удержание плазмы в ограниченном объеме сильными магнитными полями специаль­ной формы.

Начало широкого международного сотрудничества в области физики высокотемпературной плазмы и управляемого термоядерного синтеза положено работами И. В. Курчатова.

Под руководством Л. А. Арцимовича коллектив ученых Института атомной энергии (ИАЭ) им. И. В. Курчатова осуществил широкий круг исследований, результатом которых явился пуск летом 1975 г. в ИАЭ крупневшей в мире термоядерной установки «Токамак-10» (Т-10).

В Т-10, как и во всех установках этого типа, плазма создается в тороидальной камере, находящейся в магнитном поле, а само плазменное образование — плазменный шнур — также имеет форму тора. В Т-10 плазма с температурой примерно (7¸8)×10⁶ К и плотностью примерно 10¹⁴ частиц/см³ создается в объеме, приблизительно равном 5 м³, на время около 1 с. Однако следует отметить, что до осуществления критерия Лоусона* — условия, необходимого для начала самоподдерживающейся термоядерной реакции, — еще остается значительный «путь»: примерно 20 раз по nt (произведение плотности частиц на время удержания плазмы) и примерно 10 раз по температуре. Результаты, полученные на Т-10, вместе с результатами, ожидаемыми на создаваемых установках (например, Т-20), по мере решения разного рода инженерно-технологи­ческих проблем служат базой для создания термоядерного реактора «Токамака».

* Дж. Лоусон (р. 1923) — английский физик.

 

Управляемый термоядерный синтез открывает человечеству доступ к неисчерпаемой «кладо­вой» ядерной энергии, заключенной в легких элементах. Наиболее заманчивой в этом смысле является возможность извлечения энергии из дейтерия, содержащегося в обычной воде. В самом деле, количество дейтерия в океанской воде составляет примерно 4×10¹³ т, чему соответствует энергетический запас 10¹⁷ МВт×год. Другими словами, эти ресурсы не ограничены. Остается только надеяться, что решение этих проблем — дело недалекого будущего.

 

Глава 33 Элементы физики элементарных частиц

§ 269. Космическое излучение

Развитие физики элементарных частиц тесно связано с изучением космического излуче­ния — излучения, приходящего на Землю практически изотропно со всех направлений космического пространства. Измерения интенсивности космического излучения, прово­димые методами, аналогичными методам регистрации радиоактивных излучений и ча­стиц (см. § 261), приводят к выводу, что его интенсивность быстро растет с высотой, достигает максимума, затем уменьшается и с h »50 км остается практически постоян­ной (рис. 347).

Различаютпервичное и вторичное космические излучения. Излучение, приходящее непосредственно из космоса, называютпервичным космическим излучением. Исследова­ние его состава показало, что первичное излучение представляет собой поток элемен­тарных частиц высокой энергии, причем более 90% из них составляют протоны с энергией примерно 10⁹—10¹³ эВ, около 7%—a-частицы и лишь небольшая доля (около 1%) приходится на ядра более тяжелых элементов (Z>20). По со­временным представлениям, основанным на данных астрофизики и радиоастрономии, считается, что первичное космическое излучение имеет в основном галактическое происхождение. Считается, что ускорение частиц до столь высоких энергий может происходить при столкновении с движущимися межзвездными магнитными полями. При h³50 км (рис. 347) интенсивность космического излучения постоянна; на этих высотах наблюдается лишь первичное излучение.

С приближением к Земле интенсивность космического излучения возрастает, что свидетельствует о появлениивторичного космического излучения, которое образуется в результате взаимодействия первичного космического излучения с ядрами атомов земной атмосферы. Во вторичном космическом излучении встречаются практически все известные элементарные частицы. При h<20 км космическое излучение является вто­ричным; с уменьшением h его интенсивность понижается, поскольку вторичные части­цы по мере продвижения к поверхности Земли испытывают поглощение.

В составе вторичного космического излучения можно выделить два компонента: мягкий (сильно поглощается свинцом) и жесткий (обладает в свинце большой проника­ющей способностью). Происхождение мягкого компонента объясняется следующим образом. В космическом пространстве всегда имеются g-кванты с энергией Е>2т_eс², которые в поле атомных ядер превращаются в электронно-позитронные пары (см. § 263). Образовавшиеся таким образом электроны и позитроны, тормозясь, в свою очередь, создают g-кванты, энергия которых еще достаточна для образования новых электронно-позитронных пар и т. д. до тех пор, пока энергия g-квантов не будет меньше 2т_eс² (рис. 348). Описанный процесс называетсяэлектронно-позитронно-фотонным (иликаскадным) ливнем. Хотя первичные частицы, приводящие к образованию этих ливней, и обладают огромными энергиями, но ливневые частицы являются «мягкими» — не проходят через большие толщи вещества. Таким образом, ливневые частицы — электроны, позитроны и g-кванты — и представляют собой мягкий ком­понент вторичного космического излучения. Природа жесткого компонента будет рассмотрена в дальнейшем (см. § 270).

Исследование космического излучения, с одной стороны, позволило на начальном этапе развития физики элементарных частиц получить основные экспериментальные данные, на которых базировалась эта область науки, а с другой — дало возможность и сейчас изучать процессы с частицами сверхвысоких энергий вплоть до 10²¹ эВ, которые еще не получены искусственным путем. С начала 50-х годов для исследования элементарных частиц стали применять ускорители (позволяют ускорить частицы до сотен гигаэлектрон-вольт; см. § 116), в связи с чем космическое излучение утратило свою исключительность при их изучении, оставаясь лишь основным «источником» частиц в области сверхвысоких энергий.

§ 270. Мюоны и их свойства

Японский физик X. Юкава (1907—1981), изучая природу ядерных сил (см. § 254) и развивая идеи отечественных ученых И. Б. Тамма и Д. Д. Иваненко об их обменном характере, выдвинул в 1935 г. гипотезу о существовании частиц с массой, в 200—300 раз превышающей массу электрона. Эти частицы должны, согласно Юкаве, выполнять роль носителей ядерного взаимодействия, подобно тому,как фотоны являются носи­телями электромагнитного взаимодействия.

К. Андерсон и С. Неддермейер, изучая поглощение жесткого компонента вторич­ного космического излучения в свинцовых фильтрах с помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле, действительно обнаружили (1936) частицы массой, близкой к ожидаемой (207m_e). Они были названы впоследствии мюонами. Доказано, что жесткий компонент вторичного космического излучения состоит в основном из мюонов, которые, как будет показано ниже, образуются вследствие распада более тяжелых заряженных частиц (p- и К-мезонов). Так как масса мюонов большая, то радиационные потери для них пренебрежимо малы, а поэтому жесткий компонент вторичного излучения обладает большой проникающей способностью.

Существуют положительный (m⁺) и отрицательный (m^–) мюоны; заряд мюонов равен элементарному заряду е. Масса мюонов (оценивается по производимому ими ионизационному действию) равна 206,8 т_e время жизни m⁺ и m^–-мюонов одинаково и равно 2,2×10^–6 с. Исследования изменения интенсивности жесткого компонента вторичного космического излучения с высотой показали, что на меньших высотах потоки мюонов менее интенсивны. Это говорит о том, что мюоны претерпевают самопроизвольный распад, являясь, таким образом, нестабильными частицами.

Распад мюонов происходит по следующим схемам:

(270.1)

(270.2)

где и — соответственно«мюонные» нейтрино и антинейтрино, которые, как предположил Б. М. Понтекорво (Россия, р. 1913 г.) и экспериментально доказал (1962) американский физик Л. Ледерман (р. 1922), отличаются от и — «электронных» нейтрино и антинейтрино, сопутствующих испусканию позитрона и электрона соответст­венно (см. § 263, 258). Существование и следует из законов сохранения энергии и спина.

Из схем распада (270.1) и (270.2) следует, что спины мюонов, как и электрона, должны быть равны 1/2 (в единицах ), так как спины нейтрино (1/2) и антинейтрино (–1/2) взаимно компенсируются.

Дальнейшие эксперименты привели к выводу, что мюоны не взаимодействуют или взаимодействуют весьма слабо с атомными ядрами, иными словами, являются ядерно-неактивными частицами. Мюоны, с одной стороны, из-за ядерной пассивности не могут рождаться при взаимодействии первичного компонента космического излучения с ядрами атомов атмосферы, а с другой — из-за нестабильности не могут находиться в составе первичного космического излучения. Следовательно, отождествить мюоны с частицами, которые, согласно X. Юкаве, являлись бы носителями ядерного взаимо­действия, не удалось, так как такие частицы должны интенсивно взаимодействовать с ядрами. Эти рассуждения и накопленный впоследствии экспериментальный материал привели к выводу о том, что должны существовать какие-то ядерно-активные частицы, распад которых и приводит к образованию мюонов. Действительно, в 1947 г. была обнаружена частица, обладающая свойствами, предсказанными Юкавой, которая рас­падается на мюон и нейтрино. Этой частицей оказался p-мезон.

§ 271. Мезоны и их свойства

С. Пауэлл (1903—1969; английский физик) с сотрудниками, подвергая на большой высоте ядерные фотоэмульсии действию космических лучей (1947), обнаружили ядер­но-активные частицы — так называемые p-мезоны (от греч. «мезос» — средний), или пионы. В том же году пионы были получены искусственно в лабораторных условиях при бомбардировке мишеней из Be, С и Сu a-частицами, ускоренными в синхроциклот­роне до 300 МэВ. p-Мезоны сильно взаимодействуют с нуклонами и атомными ядрами и, по современным представлениям, обусловливают существование ядерных сил.

Существуют положительный (p⁺), отрицательный (p^–) (их заряд равен элементар­ному заряду е) и нейтральный (p⁰) мезоны. Масса p⁺- и p^–-мезонов одинакова и равна 273,1m_e масса p⁰-мезона равна 264,1m_e. Все пионы нестабильны: время жизни соответ­ственно для заряженных и нейтрального p-мезонов составляет 2,6×10^–8 и 0,8×10^–16 с.

Распад заряженных пионов происходит в основном по схемам

(271.1)

(271.2)

где мюоны испытывают дальнейший распад по рассмотренным выше схемам (270.1) и (270.2). Из схем распада (271.1) и (271.2) следует, что спины заряженных p-мезонов должны быть либо целыми (в единицах ), либо равны нулю. Спины заряженных p-мезонов, по ряду других экспериментальных данных, оказались равными нулю.

Нейтральный пион распадается на два g-кванта:

Спин p⁰-мезона, так же как и спин p⁺-мезона, равен нулю.

Исследования в космических лучах методом фотоэмульсий (1949) и изучение реак­ций с участием частиц высоких энергий, полученных на ускорителях, привели к от­крытию К-мезонов, или каонов, — частиц с нулевым спином и с массами, приблизите­льно равными 970m_e. В настоящее время известно четыре типа каонов: положительно заряженный (К⁺), отрицательно заряженный (К^–) и два нейтральных (и ). Время жизни K-мезонов лежит в пределах 10^–8—10^–10 с в зависимости от их типа.

Существует несколько схем распада K-мезонов. Распад заряженных K-мезонов происходит преимущественно по схемам

Распад нейтральных K-мезонов в основном происходит по следующим схемам (в порядке убывания вероятности распада):

§ 272. Типы взаимодействий элементарных частиц

Согласно современным представлениям, в природе осуществляется четыре типа фун­даментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное.

Сильное, или ядерное, взаимодействие обусловливает связь протонов и нейтронов в ядрах атомов и обеспечивает исключительную прочность этих образований, лежа­щую в основе стабильности вещества в земных условиях.

Электромагнитное взаимодействие характеризуется как взаимодействие, в основе которого лежит связь с электромагнитным полем. Оно характерно для всех элементар­ных частиц, за исключением нейтрино, антинейтрино и фотона. Электромагнитное взаимодействие, в частности, ответственно за существование атомов и молекул, обус­ловливая взаимодействие в них положительно заряженных ядер и отрицательно заря­женных электронов.

Слабое взаимодействие — наиболее медленное из всех взаимодействий, протека­ющих в микромире. Оно ответственно за взаимодействие частиц, происходящих с уча­стием нейтрино или антинейтрино (например, b-распад, m-распад), а также за безнейтринные процессы распада, характеризующиеся довольно большим временем жизни распадающейся частицы (t10^–10 с).

Гравитационное взаимодействие присуще всем без исключения частицам, однако из-за малости масс элементарных частиц оно пренебрежимо мало и, по-видимому, в процессах микромира несущественно.

Сильное взаимодействие примерно в 100 раз превосходит электромагнитное и в 10¹⁴ раз — слабое.Чем сильнее взаимодействие, тем с большей интенсивностью протекают процессы. Так, время жизни частиц, называемыхрезонансами, распад кото­рых описывается сильным взаимодействием, составляет примерно 10^–23 с; время жизни p⁰-мезона, за распад которого ответственно электромагнитное взаимодействие, составляет 10^–16 с; для распадов, за которые ответственно слабое взаимодействие, характерны времена жизни 10^–10—10^–8 с. Как сильное, так и слабое взаимодейст­вия — короткодействующие. Радиус действия сильного взаимодействия составляет примерно 10^–15 м, слабого — не превышает 10^–19 м. Радиус действия электромагнит­ного взаимодействия практически не ограничен.

 

Элементарные частицы принято делить на три группы:

1) фотоны; эта группа состоит всего лишь из одной частицы — фотона — кванта электромагнитного излучения;

2) лептоны (от греч. «лептос» — легкий), участвующие только в электромагнитном и слабом взаимодействиях. К лептонам относятся электронное и мюонное нейтрино, электрон, мюон и открытый в 1975 г. тяжелый лептон — t-лептон, или таон, с массой примерно 3487m_e, а также соответствующие им античастицы. Название лептонов связано с тем, что массы первых известных лептонов были меньше масс всех других частиц. К лептонам относится также таонное нейтрино, существование которого в последнее время также установлено;

3) адроны (от греч. «адрос» — крупный, сильный). Адроны обладают сильным взаимодействием наряду с электромагнитным и слабым. Из рассмотренных выше частиц к ним относятся протон, нейтрон, пионы и каоны.

Для всех типов взаимодействия элементарных частиц выполняются законы со­хранения энергии, импульса, момента импульса и электрического заряда.

Характерным признаком сильных взаимодействий является зарядовая независи­мость ядерных сил. Как уже указывалось (см. § 254), ядерные силы, действующие между парами р—р, п—п или р—п, одинаковы. Поэтому если бы в ядре осуществлялось только сильное взаимодействие, то зарядовая независимость ядерных сил привела бы к одинаковым значениям масс нуклонов (протонов и нейтронов) и всех p-мезонов. Различие в массах нуклонов и соответственно p-мезонов обусловлено электромагнит­ным взаимодействием: энергии взаимодействующих заряженных и нейтральных частиц различны, поэтому и массы заряженных и нейтральных частиц оказываются неодина­ковыми.

Зарядовая независимость в сильных взаимодействиях позволяет близкие по массе частицы рассматривать как различные зарядовые состояния одной и той же частицы. Так, нуклон образует дублет (нейтрон, протон), p-мезоны—триплет (p⁺, p^–, p⁰) и т. д. Подобные группы «похожих» элементарных частиц, одинаковым образом участвующих в сильном взаимодействии, имеющие близкие массы и отличающиеся зарядами, называют изотопическими мультиплетами. Каждый изотопический мультиплет характеризуют изотопическим спином (изоспином) — одной из внутренних харак­теристик адронов, определяющей число (n) частиц в изотопическом мультиплете: n=2I+1. Тогда изоспин нуклона I=½ (число членов в изотопическом мультиплете нуклона равно двум), изоспин пиона I=1 (в пионном мультиплете n=3) и т. д. Изотопический спин характеризует только число членов в изотопическом мультиплете и никакого отношения к рассматриваемому ранее спину не имеет.

Исследования показали, что во всех процессах, связанных с превращениями элемен­тарных частиц, обусловленных зарядово-независимыми сильными взаимодействиями, выполняетсязакон сохранения изотопического спина. Для электромагнитных и слабых взаимодействий этот закон не выполняется. Так как электрон, позитрон, фотон, мюоны, нейтрино и антинейтрино в сильных взаимодействиях участия не принимают, то им изотопический спин не приписывается.

§ 273. Частицы и античастицы

Гипотеза об античастице впервые возникла в 1928 г., когда П. Дирак на основе релятивистского волнового уравнения предсказал существование позитрона (см. § 263), обнаруженного спустя четыре года К. Андерсеном в составе космического излучения. Электрон и позитрон не являются единственной парой частица — античастица. На основе релятивистской квантовой теории пришли к заключению, что для каждой элементарной частицы должна существовать античастица(принцип зарядового сопряже­ния). Эксперименты показывают, что за немногим исключением (например, фотона и p⁰-мезона), действительно, каждой частице соответствует античастица.

Из общих положений квантовой теории следует, что частицы и античастицы должны иметь одинаковые массы, одинаковые времена жизни в вакууме, одинаковые по модулю, но противоположные по знаку электрические заряды (и магнитные момен­ты), одинаковые спины и изотопические спины, а также одинаковые остальные кван­товые числа, приписываемые элементарным частицам для описания закономерностей их взаимодействия (лептонное число (см. § 275), барионное число (см. § 275), стран­ность (см. § 274), очарование (см. § 275) и т. д.). До 1956 г. считалось, что имеется полная симметрия между частицами и античастицами, т. е. если какой-то процесс идет между частицами, то должен существовать точно такой же (с теми же характеристи­ками) процесс между античастицами. Однако в 1956 г. доказано, что подобная симмет­рия характерна только для сильного и электромагнитного взаимодействий и нарушает­ся для слабого.

Согласно теории Дирака, столкновение частицы и античастицы должно приводить к их взаимной аннигиляции, в результате которой возникают другие элементарные частицы или фотоны. Примером тому является рассмотренная реакция (263.3) ан­нигиляции пары электрон — позитрон (e+е®2g).

После того как предсказанное теоретически существование позитрона было подтве­рждено экспериментально, возник вопрос о существовании антипротона и антинейт­рона. Расчеты показывают, что для создания пары частица — античастица надо затра­тить энергию, превышающую удвоенную энергию покоя пары, поскольку частицам необходимо сообщить весьма значительную кинетическую энергию. Для создания -пары необходима энергия примерно 4,4 ГэВ. Антипротон был действительно обнаружен экспериментально (1955) при рассеянии протонов (ускоренных на крупней­шем в то время синхрофазотроне Калифорнийского университета) на нуклонах ядер мишени (мишенью служила медь), в результате которого рождалась пара .

Антипротон отличается от протона знаками электрического заряда и собственного магнитного момента. Антипротон может аннигилировать не только с протоном, но и с нейтроном:

(273.1)

(273.2)

(273.3)

Годом позже (1956) на том же ускорителе удалось получить антинейтрон () и осуществить его аннигиляцию. Антинейтроны возникали в результате перезарядки антипротонов при их движении через вещество. Реакция перезарядки состоит в об­мене зарядов между нуклоном и антинуклоном и может протекать по схемам

(273.4)

(273.5)

Антинейтрон отличается от нейтрона n знаком собственного магнитного момен­та. Если антипротоны — стабильные частицы, то свободный антинейтрон, если он не испытывает аннигиляции, в конце концов претерпевает распад по схеме

Античастицы были найдены также для p⁺-мезона, каонов и гиперонов (см. § 274). Однако существуют частицы, которые античастиц не имеют, — это так называемые истинно нейтральные частицы. К ним относятся фотон, p⁰-мезон и h-мезон (его масса равна 1074m_e, время жизни 7×10^–19 с; распадается с образованием p-мезонов и g-квантов). Истинно нейтральные частицы не способны к аннигиляции, но испытыва­ют взаимные превращения, являющиеся фундаментальным свойством всех элементар­ных частиц. Можно сказать, что каждая из истинно нейтральных частиц тождественна со своей античастицей.

Большой интерес и серьезные трудности представляли доказательство существова­ния антинейтрино и ответ на вопрос, являются ли нейтрино и антинейтрино тождест­венными или различными частицами. Используя мощные потоки антинейтрино, полу­чаемые в реакторах (осколки деления тяжелых ядер испытывают b-распад и, согласно (258.1), испускают антинейтрино), американские физики Ф. Рейнес и К. Коуэн (1956) надежно зафиксировали реакцию захвата электронного антинейтрино протоном:

(273.6)

Аналогично зафиксирована реакция захвата электронного нейтрино нейтроном:

(273.7)

Таким образом, реакции (273.6) и (273.7) явились, с одной стороны, бесспорным доказательством того, что и , — реальные частицы, а не фиктивные понятия, введенные лишь для объяснения b-распада, а с другой — подтвердили вывод о том, что и — различные частицы.

В дальнейшем эксперименты по рождению и поглощению мюонных нейтрино показали, что и и — различные частицы. Также доказано, что пара , — различ­ные частицы, а пара , не тождественна паре , . Согласно идее Б. М. Понтекорво (см. § 271), осуществлялась реакция захвата мюонного нейтрино (получались при распаде p⁺®m⁺+n_m (271.1)) нейтронами и наблюдались возникающие частицы. Оказа­лось, что реакция (273.7) не идет, а захват происходит по схеме

т. е. вместо электронов в реакции рождались m^–-мюоны. Это и подтверждало различие между и .

По современным представлениям, нейтрино и антинейтрино отличаются друг от друга одной из квантовых характеристик состояния элементарной частицы —спиральностью, определяемой как проекция спина частицы на направление ее движения (на импульс). Для объяснения экспериментальных данных предполагают, что у нейтрино спин s ориентирован антипараллельно импульсу р, т. е. направления р и s образуют левый винт и нейтрино обладаетлевой спиральностью (рис. 349, а). У антинейтрино направления р и s образуют правый винт, т. е. антинейтрино обладаетправой спиральностью (рис. 349,б). Это свойство справедливо в равной мере как для электронного, так и для мюонного нейтрино (антинейтрино).

Для того чтобы спиральность могла быть использована в качестве характеристики нейтрино (антинейтрино), масса нейтрино должна приниматься равной нулю. Введение спиральности позволило объяснить, например, нарушение закона сохранения четности (см. § 274) при слабых взаимодействиях, вызывающих распад элементарных частиц и b-распад. Taк, m^–-мюону приписывают правую спиральность, m⁺-мюону — левую.

После открытия столь большого числа античастиц возникла новая задача — найти антиядра, иными словами, доказать существование антивещества, которое построено из античастиц, так же как вещество из частиц. Антиядра действительно были об­наружены. Первое антиядро — антидейтрон (связанное состояние и ) — было полу­чено в 1965 г. группой американских физиков под руководством Л. Ледермана. Впос­ледствии на Серпуховском ускорителе были синтезированы ядра антигелия (1970) и антитрития (1973).

Следует, однако, отметить, что возможность аннигиляции при встрече с частицами не позволяет античастицам длительное время существовать среди частиц. Поэтому для устойчивого состояния антивещества оно должно быть от вещества изолировано. Если бы вблизи известной нам части Вселенной существовало скопление антивещества, то должно было бы наблюдаться мощное аннигиляционное излучение (взрывы с выделе­нием огромных количеств энергии). Однако пока астрофизики ничего подобного не зарегистрировали. Исследования, проводимые для поиска антиядер (в конечном счете антиматерии), и достигнутые в этом направлении первые успехи имеют фундаменталь­ное значение для дальнейшего познания строения вещества.

§ 274. Гипероны. Странность и четность элементарных частиц

В ядерных фотоэмульсиях (конец 40-х годов) и на ускорителях заряженных частиц (50-е годы) обнаружены тяжелые нестабильные элементарные частицы массой, большей массы нуклона, названныегиперонами (от греч.hyper — сверх, выше). Известно неско­лько типов гиперонов: лямбда (), сигма (, , ), кси (, ) и омега (). Существование -гиперона следовало из предложенной (1961) М. Гелл-Манном (р. 1929) (американский физик; Нобелевская премия 1969 г.) схемы для классификации сильно взаимодействующих элементарных частиц. Все известные в то время частицы укладывались в эту схему, но в ней оставалось одно незаполненное место, которое должна была занять отрицательно заряженная частица массой, равной примерно 3284т_e. В результате специально поставленного эксперимента был действительно обнаружен -гиперон массой 3284т_e.

Гипероны имеют массы в пределах (2183—3273) т_e, их спин равен ½ (только спин -гиперона равен ³/₂), время жизни приблизительно 10^–10 с (для -гиперона время жизни равно приблизительно 10^–20 с). Они участвуют в сильных взаимодействиях, т. е. принадлежат к группе адронов. Гипероны распадаются на нуклоны и легкие частицы (p-мезоны, электроны, нейтрино и g-кванты).

Детальное исследование рождения и превращения гиперонов привело к установле­нию новой квантовой характеристики элементарных частиц — так называемой стран­ности. Ее введение оказалось необходимым для объяснения ряда парадоксальных (с точки зрения существовавших представлений) свойств этих частиц. Дело в том, что гипероны должны были, как представлялось, обладать временем жизни примерно 10^–23 с, что в 10¹³ раз (!) меньше установленного на опыте. Подобные времена жизни можно объяснить лишь тем, что распад гиперонов происходит в результате слабого взаимодействия. Кроме того, оказалось, что всякий раз гиперон рождается в паре с К-мезоном. Например, в реакции

(274.1)

с -гипероном всегда рождается К⁰-мезон, в поведении которого обнаруживаются те же особенности, что и у гиперона. Распад же -гиперона происходит по схеме

(274.2)

Особенности поведения гиперонов и К-мезонов были объяснены в 1955 г. М. Гелл-Манном с помощью квантового числа — странности S, которая сохраняется в процессах сильного и электромагнитного взаимодействий. Если приписать каонам S=1, а - и S-гиперонам S=–1 и считать, что у нуклонов и p-мезонов S=0, то сохранение суммарной странности частиц в сильном взаимодействии объясняеткаксовместное рождение -гиперона с К⁰-мезоном, так и невозможность распада частиц с не равной нулю странностью за счет сильного взаимодействия на частицы, стран­ность которых равна нулю. Реакция (274.2) идет с нарушением странности, поэтому она не может происходить в результате сильного взаимодействия. X-Гиперонам, которые рождаются совместно с двумя каонами, приписывают S= –2; W-гиперонам — S=–3.

Из закона сохранения странности следовало существование частиц, таких, как -мезон, -, -гипероны, которые впоследствии были обнаружены эксперименталь­но. Каждый гиперон имеет свою античастицу.

Элементарным частицам приписывают еще одну квантово-механическую величи­ну —четность Р — квантовое число, характеризующее симметрию волновой функции элементарной частицы (или системы элементарных частиц) относительно зеркального отражения. Если при зеркальном отражении волновая функция частицы не меняет знака, то четность частицы Р=+1 (четность положительная), если меняет знак, то четность частицы Р= –1 (отрицательная).

Из квантовой механики вытекаетзакон сохранения четности, согласно которому при всех превращениях, претерпеваемых системой частиц, четность состояния не изменяет­ся. Сохранение четности связано со свойством зеркальной симметрии пространства и указывает на инвариантность законов природы по отношению к замене правого левым, и наоборот. Однако исследования распадов К-мезонов привели американских физиков Т. Ли и Ч. Янга (1956 г.; Нобелевская премия 1957 г.) к выводу о том, что в слабых взаимодействиях закон сохранения четности может нарушаться. Целый ряд опытов подтвердили это предсказание. Таким образом, закон сохранения четности, как и закон сохранения странности, выполняется только при сильных и электромагнитных взаимодействиях.

 

§ 275. Классификация элементарных частиц. Кварки

В многообразии элементарных частиц, известных к настоящему времени, обнаружива­ется более или менее стройная система классификации. Для ее пояснения в табл. 8 представлены основные характеристики рассмотренных выше элементарных частиц. Характеристики античастиц не приводятся, поскольку, как указывалось в § 273, модули зарядов и странности, массы, спины, изотопические спины и время жизни частиц и их античастиц одинаковы, они различаются лишь знаками зарядов и стран­ности, а также знаками других величии, характеризующих их электрические (а следова­тельно, и магнитные) свойства. В таблице нет также античастиц фотона и p⁰-и h⁰-мезонов, так как антифотон и антипи-ноль- и антиэта-ноль-мезоны тождественны с фотоном и p⁰- и h⁰-мезонами.

В табл. 8 элементарные частицы объединены в три группы (см. § 272): фотоны, лептоны и адроны. Элементарные частицы, отнесенные к каждой из этих групп, обладают общими свойствами и характеристиками, которые отличают их от частиц другой группы.

К группе фотонов относится единственная частица — фотон, который переносит электромагнитное взаимодействие. В электромагнитном взаимодействии участвуют в той или иной степени все частицы, как заряженные, так и нейтральные (кроме нейтрино).

К группе лептонов относятся электрон, мюон, таон, соответствующие им нейтрино, а также их античастицы. Все лептоны имеют спин, равный ½, и, следовательно, являются фермионами (см. § 226), подчиняясь статистике Ферми — Дирака (см. § 235).

Таблица 8

Поскольку лептоны в сильных взаимодействиях не участвуют, изотопический спин им не приписывается. Странность лептонов равна нулю.

Элементарным частицам, относящимся к труппе лептонов, приписывают так назы­ваемоелептонное число (лептонный заряд) L. Обычно принимают, что L=+1 для лептонов (е^–, m^–, t^–, n_e, n_m, n_t), L=–1 для антилептонов (е⁺, m⁺, t⁺, , , ) и L=0 для всех остальных элементарных частиц. Введение L позволяет сформулироватьзакон сохрания лептонного числа: в замкнутой системе при всех без исключения процессах взаимопревращаемости элементарных частиц лептонное число сохраняется.

Теперь понятно, почему при распаде (258.1) нейтральная частица названа антинейт­рино, а при распаде (263.1) — нейтрино. Taк как у электрона и нейтрино L= +1, а у позитрона и антинейтрино L= –1, то закон сохранения лептонного числа выполня­ется лишь при условии, что антинейтрино возникает вместе с электроном, а нейтри­но — с позитроном.

Основную часть элементарных частиц составляют адроны. К группеадронов от­носятся пионы, каоны, h-мезон, нуклоны, гипероны, а также их античастицы (в табл. 8 приведены не все адроны).

Адронам приписываютбарионное число (барионный заряд) В. Адроны с В=0 образуют подгруппумезонов (пионы, каоны, h-мезон), а адроны с В= +1 образуют подгруппубарионов (от греч. «барис» — тяжелый; сюда относятся нуклоны и гипе­роны). Для лептонов и фотона В=0. Если принять для барионов В=+1, для антибарионов (антинуклоны, автигипероны) В=–1, а для всех остальных частиц В=0, то можно сформулироватьзакон сохранения барионного числа: в замкнутой системе при всех процессах взаимопревращаемости элементарных частиц барионное число сохраня­ется.

Из закона сохранения барионного числа следует, что при распаде бариона наряду с другими частицами обязательно образуется барион. Примерами сохранения барион­ного числа являются реакции (273.1)—(273.5). Барионы имеют спин, равный ½ (только спин W^–-гиперона равен ³/₂), т. е. барионы, как и лептоны, являются фермионами.

Странность S для различных частиц подгруппы барионов имеет разные значения (см. табл. 8).

Мезоны имеют спин, равный нулю, и, следовательно, являются бозонами (см. § 226), подчиняясь статистике Бозе — Эйнштейна (см. § 235). Для мезонов лептонные и барионные числа равны нулю. Из подгруппы мезонов только каоны обладают S=+1, а пионы и h-мезоны имеют нулевую странность.

Подчеркнем еще раз, что для процессов взаимопревращаемости элементарных ча­стиц, обусловленных сильными взаимодействиями, выполняются все законы сохранения (энергии, импульса, момента импульса, зарядов (электрического, лептонного и барион­ного), изоспина, странности и четности). В процессах, обусловленных слабыми взаимо­действиями, не сохраняются только изоспин, странность и четность.

В последние годы увеличение числа элементарных частиц происходит в основном вследствие расширения группы адронов.

Поэтому развитие работ по их классификации все время сопровождалось поисками новых, более фундаментальных частиц, которые могли бы служить базисом для построения всех адронов. Гипотеза о существовании таких частиц, названных кварками, была высказана независимо друг от друга (1964) австрийским физиком Дж. Цвейгом (р. 1937) и Гелл-Манном.

Название «кварк» заимствовано из романа ирландского писателя Дж. Джойса «Поминки по Финнегану» (герою снится сон, в котором чайки кричат: «Три кварка для мастера Марка»).

Согласно модели Гелл-Манна — Цвейга, все известные в то время адроны можно было построить, постулировав существование трех типов кварков (и, d, s) и соответст­вующих антикварков (, , ), если им приписать характеристики, указанные в табл. 9 (в том числе дробные электрические и барионные заряды). Самое удивительное (почти невероятное) свойство кварков связано с их электрическим зарядом, поскольку еще никто не находил частицы с дробным значением элементарного электрического заряда. Спин кварка равен ½, поскольку только из фермионов можно «сконструировать» как фермионы (нечетное число фермионов), так и бозоны (четное число фермионов).

Адроны строятся из кварков следующим образом: мезоны состоят из пары кварк — антикварк, барионы — из трех кварков (антибарион — из трех антикварков). Так, например, пион p⁺ имеет кварковую структуру , пион p^– — , каон К⁺ — , протон — uud, нейтрон — udd, S⁺-гиперон — uus, S⁰-гиперон — uds и т. д.

Во избежание трудностей со статистикой (некоторые бариоиы, например W^–-гиперон, состоят из трех одинаковых кварков (sss), что запрещено принципом Паули; см. § 227) на данном этапе предполагают, что каждый кварк (антикварк) обладает специфи­ческой квантовой характеристикой ——цветом: «желтым», «синим» и «красным». Тогда, если кварки имеют неодинаковую «окраску», принцип Паули не нарушается.

Углубленное изучение модели Гелл-Манна — Цвейга, а также открытие в 1974 г. истинно нейтрального джей-пси-мезона (J/Y) массой около 6000m_e со временем жизни примерно 10^–20 с и спином, равным единице, привело к введению нового кварка — так называемого с-кварка и новой сохраняющейся величины — «очарования» (от англ. charm).

Подобно странности и четности, очарование сохраняется в сильных и электромаг­нитных взаимодействиях, но не сохраняется в слабых. Закон сохранения очарования объясняет относительно долгое время жизни J/Y-мезона. Основные характеристики с-кварка приведены в табл. 9.

Таблица 9

Частице J/Y приписывается кварковая структура сс. Структура на­зывается чармонием — атомоподобная система, напоминающая позитроний (связанная водородоподобная си­стема, состоящая из электрона и по­зитрона, движущихся вокруг общего центра масс).

Кварковая модель оказалась весь­ма плодотворной, она позволила определить почти все основные кван­товые числа адронов. Например, из этой модели, поскольку спин кварков равен ½ следует целочисленный (нулевой) спин для мезонов и полуцелый — для барионов в полном соответствии с эксперимен­том. Кроме того, эта модель позволила предсказать также и новые частицы, например W^–-гиперон. Однако при использовании этой модели возникают и трудности. Квар­ковая модель не позволяет, например, определить массу адронов, поскольку для этого необходимо знание динамики взаимодействия кварков и их масс, которые пока неиз­вестны.

 

В настоящее время признана точка зрения, что между лептонами и кварками существует симметрия: число лептонов должно быть равно числу типов кварков. В 1977 г. был открыт сверхтяжелый мезон массой около 20 000m_e, который представ­ляет собой структуру из кварка и антикварка нового типа — b-кварка (является носи­телем сохраняющейся в сильных взаимодействиях величины, названной«прелестью»(от англ. beauty)). Заряд b-кварка равен – ¹/₃. Предполагается, что существует и шестой кварк t с зарядом + ²/₃, который уже решено назватьистинным (от англ. truth — ис­тина), подобно тому как с-кварк называют очарованным, b-кварк — прелестным. В физике элементарных частиц введен «аромат» — характеристика типа кварка (и, d, s, с, b, t?), объединяющая совокупность квантовых чисел (странность, очарование, пре­лесть и др.), отличающих один тип кварка от другого, кроме цвета. Аромат сохраняет­ся в сильных и электромагнитных взаимодействиях. Является ли схема из шести лептонов и шести кварков окончательной или же число лептонов (кварков) будет расти, покажут дальнейшие исследования.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, изложение курса физики закончено. Начав его детальное изучение с физичес­ких основ механики, мы последовательно рассмотрели основы молекулярной физики и термодинамики, учение об электричестве и электромагнетизме, колебания и волны, оптику, элементы квантовой физики и физики твердого тела, физики ядра и элементар­ных частиц. Приведенный перечень разделов, изложенных в курсе, позволяет просле­дить логику развития физики и эволюцию ее идей, а также представить основные периоды и этапы ее становления.

Со времени выхода в свет труда И. Ньютона «Математические начала натура­льной философии» (1687), в котором он сформулировал три основных закона механики и закон всемирного тяготения, прошло более трехсот лет. За это время физика прошла путь от макроскопического уровня изучения явлений до исследования материи на уровне элементарных частиц.

Однако, несмотря на огромные успехи, которых физика достигла за это время и особенно в XX столетии, современная физика и астрофизика стоят перед целым рядом нерешенных проблем.

Например, проблемы физики плазмы — разработка методов разогрева плазмы до примерно 10⁹ К и ее удержание в течение времени, достаточного для протекания термоядерной реакции; квантовой электроники — существенное повышение к.п.д. лазе­ров, расширение диапазона длин волн лазерного излучения с плавной перестройкой по частоте и т. д.; физики твердого тела — получение материалов с наперед заданными свойствами и, в частности, с экстремальными параметрами по большому «спектру» характеристик, создание высокотемпературных сверхпроводников и т. д.; физики атомного ядра — осуществление управляемого термоядерного синтеза, поиск долгоживущих элементов с Z = 114¸126, предсказанных теорией, построение теории сильных взаимодействий и т.д.; физики элементарных частиц — доказательство реальности существования кварков и глюонов (частиц, осуществляющих взаимодействие между кварками), построение квантовой теории тяготения и т. д.; астрофизики — природа квазаров (мощных внегалактических источников электромагнитного излучения), при­чины вспышек сверхновых звезд, состояние материи при огромных плотностях и давлениях внутри нейтронных звезд и т.д. Поставленные проблемы требуют дальнейшего разрешения.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие...................................................................................................................................................... 2

Введение............................................................................................................................................................. 2

Предмет физики и ее связь с другими науками.......................................................................................... 2

Единицы физических величин..................................................................................................................... 3

1 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ...................................................................................................... 4

Глава 1 Элементы кинематики........................................................................................................................ 4

§ 1. Модели в механике. Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения.................. 4

§ 2. Скорость................................................................................................................................................... 6

§ 3. Ускорение и его составляющие............................................................................................................. 7

§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение................................................................................................ 9

Глава 2 Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела........................... 11

§ 5. Первый закон Ньютона. Масса. Сила................................................................................................. 11

§ 6. Второй закон Ньютона......................................................................................................................... 11

§ 7. Третий закон Ньютона......................................................................................................................... 13

§ 8. Силы трения.......................................................................................................................................... 13

§ 9. Закон сохранения импульса. Центр масс........................................................................................... 14

§ 10. Уравнение движения тела переменной массы................................................................................ 16

Глава 3 Работа и энергия................................................................................................................................ 17

§11. Энергия, работа, мощность................................................................................................................. 17

§ 12. Кинетическая и потенциальная энергии.......................................................................................... 18

§ 13. Закон сохранения энергии................................................................................................................. 20

§ 14. Графическом представление энергии............................................................................................... 22

§ 15. Удар абсолютно упругих и неупругих тел...................................................................................... 23

Глава 4 Механика твердого тела.................................................................................................................... 27

§ 16. Момент инерции................................................................................................................................. 27

§ 17. Кинетическая энергия вращения...................................................................................................... 28

§ 18. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела........................... 28

§ 19. Момент импульса и закон то сохранения........................................................................................ 29

§ 20. Свободные оси. Гироскоп.................................................................................................................. 32

§ 21. Деформации твердого тела................................................................................................................ 34

Глава 5 Тяготение. Элементы теории поля.................................................................................................. 36

§ 22. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения............................................................................... 36

§ 23. Сила тяжести и вес. Невесомость..................................................................................................... 37

§ 24. Поле тяготения и то напряженность................................................................................................. 38

§ 25. Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения..................................................................... 38

§ 26. Космические скорости....................................................................................................................... 40

§ 27. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции........................................................................ 40

Глава 6 Элементы механики жидкостей....................................................................................................... 44

§ 28. Давление в жидкости и газе.............................................................................................................. 44

§ 29. Уравнение неразрывности................................................................................................................. 45

§ 30. Уравнение Бернулли и следствия из него........................................................................................ 46

§ 31. Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей..... 48

§ 32. Методы определения вязкости.......................................................................................................... 50

§ 33. Движение тел в жидкостях и газах................................................................................................... 51

Глава 7 Элементы специальной (частной) теории относительности........................................................ 53

§ 34. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности.......................................... 53

§ 35. Постулаты специальной (частной) теории относительности........................................................ 54

§ 36. Преобразования Лоренца................................................................................................................... 55

§ 37. Следствия из преобразований Лоренца........................................................................................... 56

§ 38. Интервал между событиями.............................................................................................................. 59

§ 39. Основной закон релятивистской динамики материальной точки................................................ 60

§ 40. Закон взаимосвязи массы и энергии................................................................................................. 61

2 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ.......................................................... 63

Глава 8 Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов.................................................................... 63

§ 41. Статистический и термодинамический методы. Опытные законы идеального газа.................. 63

§ 42. Уравнение Клапейрона — Менделеева............................................................................................ 66

§ 43. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов................................ 67

§ 44. Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения....................................................................................................................................................... 69

§ 45. Барометрическая формула. Распределение Больцмана................................................................... 71

§ 46. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул............................. 72

§ 47. Опытное обоснование молекулярно-кинетической теории.......................................................... 73

§ 48. Явления переноса в термодинамически неравновесных системах............................................... 74

§ 48. Вакуум и методы его получения. Свойства ультраразреженных газов........................................ 76

Глава 9 Основы термодинамики................................................................................................................... 78

§ 50. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул.......................................................................................................................................... 78

§ 51. Первое начало термодинамики......................................................................................................... 79

§ 52. Работа газа при изменении его объема............................................................................................. 80

§ 53. Теплоемкость....................................................................................................................................... 81

§ 54. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам...................................................... 82

§ 55. Адиабатический процесс. Политропный процесс.......................................................................... 84

§ 56. Круговой процесс (цикл). Обратимые и необратимые процессы................................................. 86

§ 57. Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической вероятностью............ 87

§ 58. Второе начало термодинамики......................................................................................................... 89

§ 59. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его к. п. д. для идеального газа. 90

Задачи............................................................................................................................................................ 92

Глава 10 Реальные газы, жидкости и твердые тела..................................................................................... 93

§ 60. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия.......................................... 93

§ 61. Уравнение Ван-дер-Ваальса.............................................................................................................. 94

§ 62. Изотермы Ван-дер-Ваальса и их анализ........................................................................................... 95

§ 63. Внутренняя энергия реального газа.................................................................................................. 97

§ 64. Эффект Джоуля — Томсона............................................................................................................... 98

§ 65. Сжижение газов.................................................................................................................................. 99

§ 66. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение......................................................................... 100

§ 67. Смачивание....................................................................................................................................... 102

§ 68. Давление под искривленной поверхностью жидкости................................................................ 103

§ 69. Капиллярные явления...................................................................................................................... 104

§ 70. Твердые тела. Моно- и поликристаллы.......................................................................................... 104

§ 71. Типы кристаллических твердых тел............................................................................................... 105

§ 72. Дефекты в кристаллах...................................................................................................................... 109

§ 73. Теплоемкость твердых тел............................................................................................................... 110

§ 74. Испарение, сублимация, плавление и кристаллизация. Аморфные тела................................... 111

§ 75. Фазовые переходы I и П рода.......................................................................................................... 113

§ 76. Диаграмма состояния. Тройная точка............................................................................................. 114

Задачи.......................................................................................................................................................... 115

3 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ....................................................................................... 116

Глава 11 Электростатика.............................................................................................................................. 116

§ 77. Закон сохранения электрического заряда...................................................................................... 116

§ 78. Закон Кулона..................................................................................................................................... 117

§ 79. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля...................................... 117

§ 80. Принцип суперпозиции электростатических полей. Поле диполя............................................ 119

§ 81. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме............................................................ 120

§ 82. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме...... 122

§ 83. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля................................................ 124

§ 84. Потенциал электростатического поля............................................................................................ 125

§ 85. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности......................... 126

§ 86. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля...................................................... 127

§ 87. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков......................................................................... 128

§ 88. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике............................................................. 129

§ 88. Электрическое смещение. Теореме Гаусса для электростатического поля в диэлектрике....... 130

§ 90. Условия на границе раздела двух диэлектрических сред............................................................ 131

§ 91. Сегнетоэлектрики............................................................................................................................. 132

§ 92. Проводники в электростатическом поле....................................................................................... 134

§ 93. Электрическая емкость уединенного проводника........................................................................ 136

§ 94. Конденсаторы.................................................................................................................................... 136

§ 95. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля.............................................................................................................................................................. 138

Задачи.......................................................................................................................................................... 140

Глава 12 Постоянный электрический ток.................................................................................................. 141

§ 96. Электрический ток, сила и плотность тока................................................................................... 141

§ 97. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение............................................................ 142

§ 98. Закон Ома. Сопротивление проводников...................................................................................... 143

§ 99. Работа и мощность тока. Закон Джоуля — Ленца........................................................................ 144

§ 100. Закон Ома для неоднородного участка цепи............................................................................... 145

§ 101. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей............................................................................. 146

Задачи.......................................................................................................................................................... 148

Глава 13 Электрические токи в металлах, вакууме и газах...................................................................... 148

§ 102. Элементарная классическая теория электропроводности металлов......................................... 148

§ 103. Вывод основных законов электрического тока в классической теории электропроводности металлов...................................................................................................................................................... 149

§ 104. Работа выхода электронов из металла.......................................................................................... 151

§ 105. Эмиссионные явления и их применение..................................................................................... 152

§ 106. Ионизация газов. Несамостоятельный газовый разряд.............................................................. 154

§ 107. Самостоятельный газовый разряд и его типы............................................................................. 155

§ 108. Плазма и ее свойства...................................................................................................................... 158

Задачи.......................................................................................................................................................... 159

Глава 14 Магнитное поле............................................................................................................................. 159

§ 109. Магнитное поле и его характеристики........................................................................................ 159

§ 110. Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля.................... 162

§ 111. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов................................................................ 163

§ 112. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля 164

§ 113. Магнитное поле движущегося заряда........................................................................................... 165

§ 114. Действие магнитного поля на движущийся заряд...................................................................... 166

§ 115. Движение заряженных частиц в магнитном поле...................................................................... 166

§ 116. Ускорители заряженных частиц.................................................................................................... 167

§ 117. Эффект Холла.................................................................................................................................. 169

§ 118. Циркуляция вектора В магнитного поля в вакууме................................................................... 169

§ 119. Магнитные поля соленоида и тороида......................................................................................... 171

§ 120. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для поля В............................................ 172

§ 121. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле........................... 172

Задачи.......................................................................................................................................................... 174

Глава 15 Электромагнитная индукция....................................................................................................... 174

§122. Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея)........................................................... 174

§ 123. Закон Фарадея и его вывод из закона сохранения энергии....................................................... 175

§ 124. Вращение рамки в магнитном поле.............................................................................................. 177

§ 125. Вихревые токи (токи Фуко)........................................................................................................... 177

§ 126. Индуктивность контура. Самоиндукция..................................................................................... 178

§ 127. Токи при размыкании и замыкании цепи.................................................................................... 179

§ 128. Взаимная индукция........................................................................................................................ 181

§ 129. Трансформаторы............................................................................................................................. 182

§ 130. Энергия магнитного поля.............................................................................................................. 183

Глава 16 Магнитные свойства вещества.................................................................................................... 184

§ 131. Магнитные моменты электронов и атомов................................................................................. 184

§ 132. Диа- и парамагнетизм..................................................................................................................... 186

§ 133. Намагниченность. Магнитное поле в веществе.......................................................................... 187

§ 134. Условия на границе раздела двух магнетиков............................................................................ 189

§ 135. Ферромагнетики и их свойства..................................................................................................... 190

§ 136. Природа ферромагнетизма............................................................................................................. 191

Глава 17 Основы теории Максвелла для электромагнитного поля......................................................... 193

§ 137. Вихревое электрическое поле....................................................................................................... 193

§ 138. Ток смещения.................................................................................................................................. 194

§ 139. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля.................................................................. 196

4 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ............................................................................................................................ 198

Глава 18 Механические и электромагнитные колебания......................................................................... 198

§ 140. Гармонические колебания и их характеристики......................................................................... 198

§ 141. Механические гармонические колебания.................................................................................... 200

§ 142. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники........... 201

§ 143. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре............................................. 203

§ 144. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения. 205

§ 145. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.................................................................... 206

§ 146. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания.............................................................................. 208

§ 147. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение................................................................................................................................................ 211

§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных). Резонанс 213

§ 148. Переменный ток.............................................................................................................................. 215

§ 150. Резонанс напряжений..................................................................................................................... 217

§ 151. Резонанс токов................................................................................................................................ 218

§ 152. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока...................................................................... 219

Глава 19 Упругие волны............................................................................................................................... 221

§ 153. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны........................................................... 221

§ 154. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение....................................... 222

§ 155. Принцип суперпозиции. Групповая скорость............................................................................. 223

§ 156. Интерференция волн...................................................................................................................... 224

§ 157. Стоячие волны................................................................................................................................ 225

§ 158. Звуковые волны.............................................................................................................................. 227

S 159. Эффект Доплере в акустике.......................................................................................................... 228

§ 160. Ультразвук и его применение....................................................................................................... 229

Глава 20 Электромагнитные волны............................................................................................................ 230

§ 161. Экспериментальное получение электромагнитных волн.......................................................... 230

§ 162. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны......................................................... 232

§ 163. Энергия электромагнитных волн. Импульс электромагнитного поля..................................... 233

§ 164. Излучение диполя. Применение электромагнитных волн........................................................ 234

5 ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ................................................................................ 236

Глава 21 Элементы геометрической и электронной оптики.................................................................... 236

§ 165. Основные законы оптики. Полное отражение............................................................................ 236

§ 166. Тонкие линзы. Изображение предметов с помощью линз......................................................... 238

§ 187. Аберрации (погрешности) оптических систем........................................................................... 241

§ 168. Основные фотометрические величины и их единицы............................................................... 242

§ 189. Элементы электронной оптики..................................................................................................... 243

Глава 22 Интерференция света.................................................................................................................... 245

§ 170. Развитие представлений о природе света.................................................................................... 245

§ 171. Когерентность и монохроматичность световых волн................................................................ 248

§ 172. Интерференция света..................................................................................................................... 249

§ 173. Методы наблюдения интерференции света................................................................................. 250

§ 174. Интерференция света в тонких пленках...................................................................................... 252

§ 175. Применение интерференции света............................................................................................... 254

Глава 23 Дифракция света............................................................................................................................ 257

§ 176. Принцип Гюйгенса — Френеля.................................................................................................... 257

§ 177. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света................................................... 258

§ 178. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске................................................................... 260

§ 178. Дифракция Фраунгофера на одной щели..................................................................................... 261

§ 180. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке.............................................................. 263

§ 181. Пространственная решетка. Рассеяние света............................................................................... 265

§ 182. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа — Брэггов................................ 266

§ 183. Разрешающая способность оптических приборов...................................................................... 267

§ 184. Понятие о голографии.................................................................................................................... 268

Глава 24 Взаимодействие электромагнитных волн с веществом............................................................ 270

§ 185. Дисперсия света.............................................................................................................................. 270

§ 186. Электронная теория дисперсии светя........................................................................................... 271

§ 187. Поглощение (абсорбция) света...................................................................................................... 273

§ 188. Эффект Доплера.............................................................................................................................. 274

§ 189. Излучение Вавилова — Черенкова............................................................................................... 275

Глава 25 Поляризация света......................................................................................................................... 276

§ 190. Естественный и поляризованный свет......................................................................................... 276

§ 191. Поляризация света при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков.............. 278

§ 192. Двойное лучепреломление............................................................................................................ 279

§ 193. Поляризационные призмы и поляроиды..................................................................................... 280

§ 194. Анализ поляризованного света..................................................................................................... 282

§ 195. Искусственная оптическая анизотропия...................................................................................... 283

§ 196. Вращение плоскости поляризации............................................................................................... 284

Глава 26 Квантовая природа излучения..................................................................................................... 285

§ 197. Тепловое излучение и его характеристики.................................................................................. 285

§ 188. Закон Кирхгофа(2).......................................................................................................................... 287

§ 199. Законы Стефана — Больцмана и смещения Вина....................................................................... 288

§ 200. Формулы Рэлея — Джинса и Планка........................................................................................... 288

§ 201. Оптическая пирометрия. Тепловые источники света................................................................. 291

§ 202. Виды фотоэлектрического эффекта. Законы внешнего фотоэффекта...................................... 292

§ 203. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Экспериментальное подтверждение квантовых свойств света........................................................................................................................... 294

§ 204. Применение фотоэффекта.............................................................................................................. 296

§ 205. Масса и импульс фотона. Давление света.................................................................................... 297

§ 206. Эффект Комптона и его элементарная теория............................................................................. 298

§ 207. Единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения................... 299

6 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ............................. 300

Глава 27 Теория атома водорода по Бору................................................................................................... 300

§ 208. Модели атома Томсона и Резерфорда........................................................................................... 300

§ 209. Линейчатый спектр атома водорода............................................................................................. 301

§ 210. Постулаты Бора............................................................................................................................... 302

§ 211. Опыты Франка и Герца.................................................................................................................. 303

§ 212. Спектр атома водорода по Бору.................................................................................................... 304

Глава 28 Элементы квантовой механики................................................................................................... 306

§ 213. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества................................................................ 306

§ 214. Некоторые свойства волн да Бройля............................................................................................ 308

§ 215. Соотношение неопределенностей................................................................................................ 308

§ 216. Волновая функция и ее статистический смысл........................................................................... 311

§ 217. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний....... 312

§ 218. Принцип причинности в квинтовой механике........................................................................... 314

§ 219. Движение свободной частицы...................................................................................................... 314

§ 220. Частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»...................................................................................................................................................................... 315

§ 221. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект.......................... 317

§ 222. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике................................................. 320

Глава 29 Элементы современной физики атомов и молекул................................................................... 321

§ 223. Атом водорода в квантовой механике......................................................................................... 321

§ 224. 1s-Состояние электрона в атоме водорода................................................................................... 324

§ 225. Спин электрона. Спиновое квантовое число.............................................................................. 325

§ 226. Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны............................... 326

§ 227. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям....................................... 327

§ 228. Периодическая система элементов Менделеева.......................................................................... 328

§ 229. Рентгеновские спектры.................................................................................................................. 330

§ 230. Молекулы: химические связи, понятие об энергетических уровнях........................................ 332

§ 231. Молекулярные спектры. Комбинационное рассеяние света..................................................... 333

§ 232. Поглощение. Спонтанное и вынужденное излучения............................................................... 334

§ 233. Оптические квантовые генераторы (лазеры)............................................................................... 335

Глава 30 Элементы квантовой статистики................................................................................................. 338

§ 234. Квантовая статистика. Фазовое пространство. Функция распределения................................ 338

§ 235. Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака............................. 339

§ 236. Вырожденный электронный газ в металлах................................................................................ 340

§ 237. Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы................................................................ 341

§ 238. Выводы квантовой теории электропроводности металлов....................................................... 342

§ 239. Сверхпроводимость. Понятие об эффекте Джозефсона............................................................. 343

Глава 31 Элементы физики твердого тела.................................................................................................. 345

§ 240. Понятие о зонной теории твердых тел......................................................................................... 345

§ 241. Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории.................................................. 346

§ 242. Собственная проводимость полупроводников........................................................................... 347

§ 243. Примесная проводимость полупроводников.............................................................................. 350

§ 244. Фотопроводимость полупроводников......................................................................................... 352

§ 245. Люминесценция твердых тел........................................................................................................ 353

§ 246. Контакт двух металлов по зонной теории................................................................................... 355

§ 247. Термоэлектрические явления и их применение.......................................................................... 356

§ 248. Выпрямление на контакте металл — полупроводник................................................................ 358

§ 249. Контакт электронного и дырочного полупроводников (p-n-переход)..................................... 360

§ 250. Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы)................................................................ 362

7 ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ.................................... 364

Глава 32 Элементы физики атомного ядра................................................................................................. 364

§ 251. Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое числа......................................... 364

§ 252. Дефект массы и энергия связи ядра.............................................................................................. 365

§ 253. Спин ядра и его магнитный момент............................................................................................. 366

§ 254. Ядерные силы. Модели ядра.......................................................................................................... 367

§ 255. Радиоактивное излучение и его виды.......................................................................................... 368

§ 256. Закон радиоактивного распада. Правила смещения................................................................... 369

§ 257. Закономерности a-распада............................................................................................................ 370

§ 258. b^–-Распад. Нейтрино....................................................................................................................... 372

§ 259. Гамма-излучение и его свойства................................................................................................... 373

§ 260. Резонансное поглощение g-излучения (эффект Мёссбауэра*)................................................... 375

§ 261. Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц.............................. 376

§ 262. Ядерные реакции и их основные типы........................................................................................ 379

§ 263. Позитрон. b⁺-Распад. Электронный захват.................................................................................. 381

§ 264. Открытие нейтрона. Ядерные реакции под действием нейтронов.......................................... 382

§ 265. Реакция деления ядра..................................................................................................................... 383

§ 266. Цепная реакция деления................................................................................................................ 385

§ 267. Понятие о ядерной энергетике...................................................................................................... 386

§ 268. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций................... 388

Глава 33 Элементы физики элементарных частиц.................................................................................... 390

§ 269. Космическое излучение................................................................................................................. 390

§ 270. Мюоны и их свойства.................................................................................................................... 391

§ 271. Мезоны и их свойства.................................................................................................................... 392

§ 272. Типы взаимодействий элементарных частиц.............................................................................. 393

§ 273. Частицы и античастицы................................................................................................................. 394

§ 274. Гипероны. Странность и четность элементарных частиц.......................................................... 396

§ 275. Классификация элементарных частиц. Кварки........................................................................... 397

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................................................................ 400

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ......................................................................................................... 402

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ........................................................................................................................ 413

 

 

Учебное издание

Трофимова Таисия Ивановна

КУРС ФИЗИКИ

Г. Н. Чернышева Художественный редактор Ю. Э. Иванова

Трофимова Т. И.

ISBN 5-06-003634-0 Курс отвечает программе по физике для студентов инженерно-технических… Шестое издание вышло в 2000 г.