История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Ричард Манкевич

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

 

 

Ричард Манкевич

История математики

От счетных палочек до бессчетных вселенных

 

Посвящается Марине и памяти Пола

 

Вступление

Я наконец понял: большую часть жизни я боролся за то, чтобы сломать привычное представление, застрявшее в групповом менталитете моих сограждан.… «Школа» – это вполне приемлемо. А вот «больше ничто» – это ужасно. Как… Не все сразу, конечно. Общество уже намного лучше усваивает математические понятия и воспринимает эту науку как…

Предисловие

 

– Что толку в книжке, – подумала Алиса, – если в ней нет ни картинок, ни разговоров?

Льюис Кэрролл. «Приключения Алисы в Стране чудес»[2]

 

Эта книга была создана, потому что ничего подобного раньше не существовало. Я искал способ доступно изложить историю математики. Вместо того чтобы развернуть перед читателем последовательность «великих теорем», я хотел наглядно показать, что математика была тесно связана с интересами и устремлениями цивилизаций. Я считал, что всего этого можно будет добиться, сочетая наглядную сторону математики с комментариями ученых и разворачивая это повествование на фоне исторических периодов и ключевых событий из области математических идей. Границы пространства и времени не позволят мне пересказать всю историю математики. Поэтому я выбрал для освещения ключевые моменты истории – ее приливы и отливы совпадают с расцветом и закатом величайших цивилизаций.

С самого начала математика оказывала заметное влияние на все виды человеческой деятельности. Торговля, сельское хозяйство, религия, война – везде ощущалось влияние математики, а все аспекты человеческой жизни, в свою очередь, порождали математические понятия. Тем не менее история этой науки в значительной степени скрыта от нашего пристального взгляда. Возьму на себя смелость утверждать, что взаимное развитие философии, математики и других естественных наук намного важнее для истории человечества, чем бесконечная смена правителей и парад войн. Я надеюсь, эта книга внесет свой скромный вклад в научную культуру общества небывалых достижений.

Возможно, науки, и особенно математика, испытывали недостаток общественного внимания, которое уделялось в основном искусствам, и в результате не смогли занять в сердцах и умах людей столь же значимое место. Уже произошло своего рода «перекрестное опыление» таких понятий, как теория относительности, квантовая механика, искусственный интеллект, теорема неполноты, и они стали частью общепринятых современных представлений. Но когда математики говорят о красоте своего предмета, это часто списывается на остаточные эмоции тех, кто провел слишком много времени в разреженной атмосфере башни из слоновой кости. Лишь использование компьютеров наконец сделало красоту математики доступной для всех.

Математика – не наука о непонятных символах. Это наука идей: идей о пространстве, времени, числах и их взаимоотношениях. Это наука о количественных соотношениях, развитие и усложнение которых отражают поиски знания. Любые идеи рождаются из образа. С ростом вычислительных возможностей математика родилась заново – как визуальная наука. Самые невероятные структуры, которые можно отыскать в хаотических сложных системах, прорываются сквозь лес символов и открывают для всех и каждого возможность своими глазами увидеть математический пейзаж. Возникает новая эстетика, в которой математическая точность сочетается с художественной выразительностью. Большая часть этой книги подтверждает факт, что эта смесь в той или иной степени присутствует везде и всюду. Эти два аспекта культуры – точность и выразительность – обручились очень давно, хотя так и не сумели предстать перед алтарем.

 

Начало начал

В любой книге должна быть первая глава со вступительным словом. История – не слишком однозначный и четкий предмет, так что поиск первого… Самое раннее свидетельство записи чисел было раскопано в Свазиленде (Южная… Существуют записи, сделанные в Месопотамии – области, расположенной между реками Евфрат и Тигр, – и относящиеся…

Блюстители неба

В самом начале математика развивалась, обслуживая нужды торговли и сельского хозяйства, но, помимо того, она также была связана с выполнением… Классический период цивилизации майя, существовавшей в Центральной Америке и… У майя было три календаря. Священный год, состоящий из 260 дней, был получен путем наложения двух циклов: один цикл…

Теорема Пифагора

Каждый из нас сталкивался в школе с этой теоремой. Сейчас ее называют «теоремой Пифагора», но она была широко известна в древности задолго до…   Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату наиболее…

Начала

 

Греки вошли в историю как захватчики с севера, обосновавшиеся на землях, что лежали между Ионийским и Эгейским морями. Они выказали жадность к знаниям и стремление учиться у своих более древних соседей, а также – что еще важнее – желание увеличивать мудрость, полученную от египтян и жителей Месопотамии. Греческий, или эллинский, мир объединяли скорее культурные, чем расовые узы. Его историю можно разделить на два обширных периода; переход от одного к другому ознаменовался началом царствования Александра Великого. Для наших целей назовем эти периоды афинским и александрийским.

Первые Олимпийские игры проводились в 776 году до нашей эры. К этому времени греческая литература могла похвастаться произведениями Гомера и Гесиода, но о математиках, творивших ранее VI века до нашей эры, мы ничего не знаем. Титул первого греческого математика, по‑видимому, следует присудить Фалесу Милетскому (640/624–548/545 до н. э.) – предполагается, что именно он привел первые описания различных геометрических теорем, ставших прообразом великой дедуктивной системы Евклида. Но наши знания о греческой математике и вообще об этом периоде основываются по большей части на исторических слухах. Мало того что сочинения того времени до нас не дошли, мы вынуждены полагаться на комментарии, сделанные спустя тысячу лет после описываемых в них событий.

В IV веке до нашей эры, после основания Академии Платона, а позже Лицея его бывшего ученика, Аристотеля, Афины стали считаться центром средиземноморского интеллектуального мира. Роль Платона в истории математики – все еще тема жарких дебатов. От него не осталось никаких собственноручно написанных формальных математических сочинений, но он оказал сильное влияние на философию математики. В своем диалоге «Республика» он утверждал, что математика должна быть одной из основных наук, изучаемых будущими правителями, а в диалоге «Тимей» мы видим своего рода преобразованное пифагорейство плюс Платоновы тела, связанные с четырьмя стихиями, и додекаэдр как символ цельной Вселенной. Влияние философии Аристотеля было для математики не особенно полезным. То, что он требовал логики, имело положительный эффект, но отказ принять бесконечность и бесконечно малые величины, а также вера в то, что совершенное движение происходит по окружности и прямым линиям, поскольку это идеальные фигуры, пользы не принесли.

Академия и Лицей были и важными центрами математического образования и исследований. Аристотель был наставником Александра Великого, управлявшего империей, которая в период расцвета простиралась аж до Северной Индии. После смерти Александра обширное государство между собой поделили его враждовавшие друг с другом генералы. Но в одном из осколков огромной империи во времена просвещенного правления Птолемея I возник научный центр – новый город, Александрия, с ее Музеем и драгоценной Библиотекой. Во второй период классической эпохи Древней Греции, известный как Золотой век греческой математики, Александрия в значительной степени затмила Афины.

Самый выдающийся труд в греческой математике – это, несомненно, «Начала» Евклида (ок. 325–265 до н. э.). Несмотря на такую известность, о жизни математика известно очень немногое. Неясным остается даже место его рождения. Из текста более позднего комментатора Прокла Диадоха известно, что Евклид учился в Александрии во времена правления Птолемея. Когда царь спросил, как побыстрее изучить геометрию, Евклид ответил, что «не существует царского пути к геометрии». Известность «Начал» порой затмевала тот факт, что Евклид написал множество других работ, посвященных оптике, астрономии, механике и музыке. Но «Начала» стали стандартным учебником по геометрии, изучавшимся в течение многих последующих столетий. Он был настолько полным, что все предшествовавшие книги оказались избыточными, и их копий не сохранилось. Как и в случае многих других учебников, большая часть «Начал» – не оригинальная работа Евклида, но именно его мы должны благодарить за сведение результатов множества других источников и написание стройного труда, который стал общепринятой моделью логической, дедуктивной системы теорем и доказательств. «Начала» – это не краткое изложение всей греческой математики, в сочинении описаны только основы. В него не включены вычисления и многие более сложные математические задачи, такие, как конические сечения.

«Начала» состоят из 13 книг. В них охвачены вопросы планиметрии и стереометрии, теория чисел и теория непропорциональности. Книга начинается со списка, состоящего из 23 определений, например «точка – это то, что не делится на части», «линия – это длина без ширины». Затем следует пять аксиом и пять «общих понятий». У печально известного пятого постулата своя история. Фактически, каждый раздел книги открывается дальнейшими определениями, необходимыми для новых тем, которые рассматриваются в той или иной главе. Для Евклида определения были более очевидны, чем постулаты, хотя мы рассматриваем их одинаково – как аксиомы. Постулаты обычно описывают некое действие, например «от всякой точки ко всякой точке можно провести прямую», тогда как четвертое определение утверждает: «прямая линия есть та, которая ровно лежит на всех своих точках». В целом геометрия здесь сводится до методов построений с применением линейки и циркуля. Эти два простых инструмента послужили логическими генераторами целой системы. Круг и прямая считались самыми совершенными фигурами. Греки использовали и другие, так называемые «механические» методы построений, но в «Началах» они не описываются.

В книгах с первой по четвертую речь идет о построении плоскостных геометрических фигур, включая четырехугольники, треугольники, круги и многоугольники, созданные при помощи кругов. Утверждалось, что в некоторых книгах, особенно во второй, содержится намек на своего рода алгебраическую геометрию, где геометрические построения служат той же цели, что и алгебраические манипуляции. Независимо от того, верно это или нет, кажется, по крайней мере в ранних теоремах Евклид интересуется исключительно геометрическими понятиями. Термин «величина» используется для обозначения любого геометрического объекта – отрезка или фигуры, а теоремы связаны с построениями и выяснением отношений между этими величинами. В этом труде нет отсылок к числовым понятиям вроде длины; таким образом, например, квадрат рассматривается как геометрическое пострπоение, проистекающее из отрезка. Евклид нигде не заявляет, что площадь такого квадрата есть произведение его сторон, – это определение возникнет намного позже. Таким образом, величины – самое элементарное понятие в «Началах», фундамент, на котором построена остальная часть работы. В этом контексте интересно заметить, что доказательство теоремы Пифагора выполняется путем построений, в то время как обращение к фактическим площадям, возможно, привело бы к совершенно иной форме доказательства.

В пятой книге изложена общая теория пропорций, в том виде, в каком ее первоначально изложил Евдокс. Член Академии Платона, Евдокс Книдский (ок. 408 – ок. 355 до н. э.) был одним из известнейших математиков своего времени. Ему приписывают два фундаментальных открытия: теорию отношений и метод исчерпывания. Выход из очевидного кризиса несоизмеримостей был найден в значительной степени благодаря возможности манипулировать их произведениями и отношениями посредством отношений Евдокса. Евклид фактически цитирует множество различных правил для составления отношений и условий их использования. Предпочтение отношений по сравнению с дробями давало некоторые преимущества. Теперь можно было сформулировать правило вроде: «отношение площадей кругов пропорционально отношению квадратов их диаметров» и использовать его для доказательства самых разных теорем, не применяя иррациональное число π. Кроме того, отношение величин одного и того же типа не имеет размерности и может быть сопоставлено с другими отношениями, как показано в примере, приведенном выше. Таким образом, отношение стало основополагающей связью между величинами, и теория Евдокса позволила сравнивать различные отношения. В шестой книге «Начал» описаны правила работы с подобными фигурами. Там содержится обобщение теоремы Пифагора, не ограниченной квадратами сторон треугольника. Теорема была расширена таким образом, что ее можно было использовать для любой построенной фигуры. Таким образом, если мы строим полукруги, диаметры которых равны катетам треугольника, тогда сумма площадей двух меньших полукругов равна площади большего.

Теория чисел рассматривается в седьмой, восьмой и девятой книгах. У Евклида словом «числа» обозначались только целые величины. Определения в седьмой книге показывают, что работа с числами воспринималась в основном в геометрическом контексте. Евклид говорит, что «кратное число – большее от меньшего, если оно измеряется меньшим», а произведение двух чисел – площадь прямоугольника. Есть также знаменитое правило, известное как «Евклидов алгоритм», позволяющее найти наибольший общий множитель двух величин, или, по словам Евклида, «наибольшую общую меру между двумя величинами». В девятой книге мы находим известное доказательство, которое, говоря современным языком, утверждает существование бесконечного числа простых чисел. Евклид отчетливо избегает упоминания бесконечности. Он заявляет, что «простых чисел больше любого наперед заданного количества» (иными словами, мы можем выбрать любое число, и простых чисел будет все равно больше, чем это число), и переходит к доказательству этого тезиса, взяв три конкретных простых числа, лишь подразумевая, что решение будет таким же для «любого наперед заданного количества». В этой книге также приведено правило построения совершенных чисел. Совершенное число – это число, сумма множителей которого равна самому этому числу. Первое совершенное число – 6, второе – 28 (его множители – 1, 2, 4, 7 и 14, сумма которых равна 28).

Десятая книга содержит подробный анализ различных иррациональных длин, и именно здесь мы находим идею несоизмеримости между основными величинами, сводящуюся к понятию иррациональности между длинами (и площадями). Если некий отрезок определен как рациональный, тогда любой другой отрезок, несоизмеримый с ним, считается иррациональным. Приводятся длинные доказательства для всех типов иррациональности, от простых квадратных корней до кратных корней вроде √ (√ a + √ b). Дискуссия о способах выражения иррациональных чисел в цифровой форме проливает свет на некоторые интересные проблемы. Числовая нотация (представление) иррационального числа, основанная на алгоритме Евклида, действительно существовала, но, хотя она была полезной для представления одного иррационального числа, простой процедуры для отображения в этой нотации сумм или произведений иррациональных чисел так и не нашлось. Любопытна Лемма 1 (лемма – это вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем), изложенная в этой книге: она демонстрирует два квадрата чисел, сумма которых тоже представляет собой квадрат числа, – в сущности, это теорема Пифагора в числовом виде, однако никакой ссылки на доказательство теоремы, приводимое в конце первой книги, здесь нет. Именно в десятой книге содержится дерзкое предположение, что подобные численно‑геометрические процедуры – лишь первый шаг к более сложным задачам, в частности к задачам вычисления площадей, проблеме квадратуры. Также следует отметить, что все иррациональные числа, о которых говорится в книге, могут быть построены с помощью линейки и циркуля, – а вот, например, кубических корней там нет. В последних разделах «Начал» громоздкая классификация иррациональных чисел становится более понятной – там они вновь появляются в связи с описанием тел правильной формы.

В заключительных трех книгах «Начал» рассматриваются вопросы стереометрии. Там используется метод исчерпывания Евдокса как способ найти площади и объемы путем последовательных приближений. Архимед приписал Евдоксу первое доказательство, что объем конуса равен одной трети объема цилиндра с теми же основанием и высотой. Считается, что большая часть двенадцатой книги основана на работах Евдокса. В тринадцатой книге приводится доказательство, что существует всего пять правильных Платоновых тел, построенных из треугольников, квадратов и пятиугольников[5]. Все они вписаны в сферу, и есть подробные указания по поводу относительных расстояний от граней каждого тела до центра сферы. Здесь используются иррациональные числа, описанные в десятой книге. Этим труд Евклида завершается.

«Начала» были самым влиятельным учебником всех времен. Они многократно переписывались, к ним писались новые комментарии, дополняющие более древние. Книги переводились на другие языки и редактировались таким образом, чтобы соответствовать интересам и культуре разных цивилизаций. Восстановить оригинальную работу Евклида стало практически невозможно – к девятому веку нашей эры остались только фрагменты исходного текста. Однако наиболее важен тот факт, что работа Евклида не только выжила, но и отодвинула в тень все другие учебники, существовавшие до нее.

В течение некоторого времени Александрия оставалась научным центром. Там сначала учился, а затем преподавал Аполлоний Пергский (262–190 до н. э.), которого часто называют Великим Геометром. Самая известная его работа – специализированное исследование в области геометрии под названием «Конические сечения» (в 8 книгах). Конические сечения – это фигуры, получаемые в результате рассечения конуса под различными углами: круг, эллипс, парабола и гипербола. В Александрии учились Архимед, Птолемей и Диофант Александрийский (предположительно III в. н. э.). В IV веке нашей эры блеск Александрии начал угасать. В то время, когда главой платоновской школы стала Гипатия (ок. 370–415 н. э.) – дочь Теона Александрийского, первая женщина‑математик, если верить сведениям, дошедшим до наших дней, – набирающее силу христианское движение становилось все менее терпимым к тому, что считало языческой наукой и философией. Смерть Гипатии от рук членов местной христианской секты считается началом конца Александрии – столицы наук. Центр научного мира переместился в восточном направлении – в Багдад.

 

Десять книг счетного канона

Поначалу китайская цивилизация развивалась по берегам рек Янцзы (Длинная) и Хуанхэ (Желтая) во времена легендарной династии Ся во втором тысячелетии… Интерес китайцев к магическим квадратам, похоже, больше связан с… «Девять глав» – важнейший труд китайской математики. Сейчас почти невозможно вычленить оригинал из массы позднейших…

Математические сутры

Древнейшие свидетельства о наличии математики в Азии мы видим в следах цивилизации Хараппы, существовавшей в долине Инда; они датируются концом… Самая ранняя ведическая литература прежде всего носит религиозный и… Самый ранний текст «Шульба‑сутры» был написан приблизительно в 800–600 годах до нашей эры, еще до кодификации…

Дом Мудрости

В седьмом веке нашей эры на Аравийском полуострове возникла новая монотеистическая религия, которая должна была втиснуться между христианским и… Халифы династии Аббасидов стремились построить в Багдаде новую Александрию и… Очень важной работой в истории алгебры был труд Диофанта Александрийского (ок. 200 – ок. 284) «Арифметика». При том,…

Семь свободных наук и искусств

В 529 году Юстиниан, римский император и христианин, закрыл языческие философские школы, включая Академию в Афинах. Так подошла к концу тысячелетняя… Список научных дисциплин состоял из семи гуманитарных наук. Учебный план их… Вдохновленные пророком Мухаммадом и учением Корана, арабы выплеснулись за пределы своего полуострова, стремясь…

Перспектива в эпоху Возрождения

Очень много писалось об итальянском Ренессансе как о периоде, определившем направление европейского сознания. Пробуждение интереса к классическим… Пьеро делла Франческа был сыном торговца из Борго‑Сан‑Сеполькро,… Рукопись дела Франчески «О перспективе в живописи» сохранилась до наших дней. Трактат был написан Пьеро как на латыни,…

Математика для общего блага

Шестнадцатый век в Европе отмечен обещанием бесконечных возможностей. В предшествующие два столетия континент сотрясался различными бедствиями, как… Как мы уже видели ранее, математика была неотъемлемой частью обучения в… Новые числа пришли в Европу в двенадцатом веке вместе с переводами на латынь из арабских текстов. В 1202 году увидела…

Бракосочетание алгебры и геометрии

Начиная со времен древней Греции математика была раздроблена на две основных ветви – геометрию и арифметику. Первая оперировала размерами, вторая –… Слово «аль‑джабр» («восстановление») взято из заглавия алгебраического… В книге ал‑Хорезми отсутствуют формулы – он объяснял решения уравнений риторическим способом. Степеням…

Вселенная как часовой механизм

В шестнадцатом веке основным источником информации об орбитах планет оставался «Альмагест» Птолемея (см. Главу 2). Громоздкая структура Птолемеевой… Одна из самых очевидных проблем с Птолемеевой системой заключалась в том, что… Коперник дал свое имя революции, в которой он, похоже, играл не самую главную роль. Идеи, которые будут сформулированы…

Математика в движении

Мы уже упоминали, что Ньютон и Кеплер моделировали орбиты планет исключительно геометрически. Однако в космическом пространстве не существует… Прежде чем обратиться к изобретению дифференциального и интегрального… Механический метод Архимеда иллюстрируется в работе, носящей название «Послание к Эратосфену о методе». Она считалась…

Океаны и звезды

Все ранние цивилизации занимались составлением карт. Цели ставились разные – строительство, сбор налогов или подготовка к войне, однако землемер –… Делая карту небольшого участка, мы можем допустить, что поверхность земли… Преобразование сферической Земли в плоскую карту всегда будет приводить к некоторым искажениям, и главная задача…

Уравнение пятой степени

В XVI веке математики почти случайно натолкнулись на комплексные числа (см. Главу 11). К XVIII веку комплексные числа считались расширением области… Одной из самых тернистых проблем алгебры того времени был вопрос, разрешим ли… Нильс Хенрик Абель (1802–1829) родился в большой бедной семье, жившей в маленькой деревушке в Норвегии – стране,…

Новые геометрии

С тех пор как в третьем столетии до нашей эры появились «Начала», евклидова геометрия (см. Главу 4) считалась самой совершенной из всех…   Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким‑либо другим. Я…

Диалекты алгебры

В главе 11 мы видели, как алгебра освобождалась от кандалов геометрической размерности и как, начиная с Декарта, символы алгебры – те самые х и у –… ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА АРИФМЕТИКИ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧИСЕЛ X, Y И Z х + у=у + х сложение коммутативно – сумма двух чисел не зависит от порядка расположения слагаемых

Поля деятельности

С середины восемнадцатого века события в дифференциальном и интегральном исчислениях шли рука об руку с развитием математического анализа физических… Дифференциальное и интегральное исчисления Лейбница усложнились и теперь… Главные проблемы в области небесной механики возникли после того, как было обнаружено, что планеты не движутся по…

Заманчивая бесконечность

Математики и философы всегда боролись с понятием бесконечности. Греки боялись бесконечности и ее противоположности – бесконечно малых величин. Их… Коши отобразил фундаментальные понятия дифференциального и интегрального… В 1822 году Жозеф Фурье (1768–1830) издал свой классический труд «Аналитическая теория тепла». Анализируя тепловой…

Об игральных костях и генах

Исследование вероятности в том виде, каким мы видим это сегодня, началось лишь в семнадцатом веке, однако изучение комбинаций и перестановки… Джайнизм появился в Индии почти одновременно с буддизмом, и его математическая… Исследование комбинаций и перестановок теперь называется комбинаторикой. Космологическое и мистическое использование…

Военные игры

Люди всегда любили играть в игры, и в каждую эпоху существовало свое повальное увлечение. Большинство игр – сочетание умения и удачи, и лишь после… В девятнадцатом веке пруссаки изобрели игру, называвшуюся «Кригшпиль»,… Но математики продолжали анализировать стратегические игры, чтобы создать теорию, имеющую практическое применение.…

Математика и современное искусство

В двадцатом веке произошли множество научных открытий и взрыв технологического развития физики, биологии и гуманитарных наук. В эпоху Просвещения… В других главах я уже рассматривал роль математики в этих событиях. Здесь я… Во многих новых художественных движениях, возникавших в течение первых двух десятилетий двадцатого века,…

Машинные коды

В истории математики существовало множество параллельных течений, из которых то одно, то другое периодически выходило на передний план. Такими были… Первоначально термин «алгоритм» обозначал вычисления, выполняемые при помощи… В 1819 году Чарльз Бэббидж (1791–1871) создал первый проект «дифференциальной машины», а в 1822 году выстроил опытный…

Хаос и сложность

С начала девятнадцатого века математика рассматривалась как аналитический и логический предмет; к концу столетия она произвела на свет целый… Имя, неразрывно связанное с фрактальной геометрией, – Бенуа Мандельброт. Ныне… Как только мы понимаем, как надо правильно на это смотреть, мы находим хаотическое поведение в самых простых…

Благодарности

Я премного благодарен профессору Айвору Граттану‑Гиннесу за его решительную поддержку моих разнообразных проектов, а также за его…