З навчальної дисципліни Математика для економістів: ВИЩА МАТЕМАТИКА, ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ та НАУКИ

КИІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Імені В. Гетьмана

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

 

ЗАТВЕРДЖУЮ:

ПРОРЕКТОР

з науково-педагогічної

роботи

Колот А.М.

 

____ ____________ 2010 р.

 

МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ

щодо змісту та організації самостійної роботи студентів,

Поточного і підсумкового контролю їх знань

з навчальної дисципліни “Математика для економістів”:

ВИЩА МАТЕМАТИКА, ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА

МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Укладачі: проф. Макаренко О.І.,

доц. Лісовська В.П.

Затверджено на засіданні кафедри

від 15.09.2010 , протокол № 2

Завідувач кафедри

_______________ проф. Макаренко О.І.

_16_ ____09_____ 2010 р.‪

Погоджено

начальник

науково - методичного відділу

_______________ Гуть Т.В.

____ _________ 2010 р.‪

 

 

Шановні панове – студенти та викладачі!

Просимо вас ознайомитись з переліком теоретичних питань,

Що охоплюють зміст робочої програми , прикладами типових

Практичних завдань, змістом та порядком поточного та

Підсумкового контролю знань та зразками екзаменаційних білетів !

Бажаємо успіхів!

 

 

ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ, ЩО ВХОДЯТЬ ДО ПРОГРАМИ КУРСУ

 

І СЕМЕСТР

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

2. Визначники першого, другого та третього порядків. 3. Властивості визначника. 4. Мінори та алгебраїчні доповнення. Визначники n -го порядку.

Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

18. Найпростіші задачі аналітичної геометрії. 19. Вектори, лінійні операції над векторами. 20.Проекція вектора на вісь та її властивості.

Розділ 3. ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

39. Властивості збіжних послідовностей. 40. Нескінченно великі та нескінченно малі величини, їх властивості, зв’язок… 41. Теореми що полегшують знаходження границь.

Розділ 4. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

75. Поняття функції багатьох змінних. Способи задання функції. Виробничі функції. Функція Кобба-Дугласа. 76. Графічне зображення функції та лінії рівня. Область визначення функції. … 77. Границя та неперервність функції. Властивості неперервних функцій.

ІІ СЕМЕСТР

Розділ 5. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

89. Невизначений інтеграл та його властивості. 90. Таблиця невизначених інтегралів. 91. Метод заміни змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Розділ 6. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

108.Основні поняття про диференціальні рівняння та їхні розв’язки.

109. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язків.

110. Диференціальні рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними .

111. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

112. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

113. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Задача адаптації цін по Вальрасу.

 

 

Розділ 7. РЯДИ

115. Необхідна умова збіжності ряду. 116. Достатні умови збіжності рядів з додатніми членами. 117. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінного ряду.

1) , 2) .

5. Розв”язати систему рівнянь за допомогою оберненої матриці:

6.Розв’язати матричні рівняння , , , якщо:

1)

2)

7. Обчислити ранг матриці

.

8. Дослідити систему рівнянь на сумісність

.

 

9. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса – Жордана

.

10.Довести , що вектори утворюють базис та розкласти вектор за базисом. Наприклад,

11. Встановити кількість лінійно незалежних векторів для даної системи векторів

.

12. Знайти власні числа та власні вектори матриці:

1) ; 2)

13. Встановити визначеність квадратичної форми:

14.Задана матрицяА прямих матеріальних витрат та матрицяВ кін-цевої продукції

, .

Знайти необхідний обсяг валового випуску (модель Леонтьєва):

15. Паралелограм побудовано на векторах та де

Знайти:

1.Довжину діагоналей паралелограма;

2. Кут між діагоналями;

3. Площу паралелограма;

4. Проекцію на

16. Дано трикутникАВС: А(3,2), В(-1,0), С(2,-3).

Знайти рівняння:

1. сторони АВ;

2. медіани АЕ;

3. бісектриси СР;

4. висоти ВК;

5. середньої лінії МН що паралельна ВС.

Обчислити довжини:

1. сторони АВ; 2. медіани АЕ; 3. бісектриси СР; 4. висоти ВК.

Обчислити:

1. Площу трикутника АВС;

2. Кут між медіаною АЕ та бісектрисою СР.

17. ДаноОАВС– піраміда.О(5,-9,-1), А(5,1,2), В(-4,-3,6), С(-9,6,7).

Знайти рівняння:

1. грані ОАВ;

2. ребра АО;

3. висоти ОК;

4. площини , що проходить через ребро АО перпендікулярно до

основи.

Обчислити:

1. площу основи АВС;

2. об’єм піраміди;

3. довжину висоти;

4. кут між ребрами АО та ОВ;

5. віддаль від ребра АО до сторони основи ВС.

18.Задано рівняння кола

Знайти:

1. координати центра та довжину радіуса;

2. найкоротшу віддаль від точки М(3,9) до кола;

3. рівняння дотичної із точки К(-5,8) до кола.

19. Знайти ексцентриситет та координати фокусів:

1. еліпса

2. гіперболи

20.Знайти кут між асимптотами гіперболи.

21. Знайти область визначення функції

.

22. Обчислити границі:

23. Встановити характер точок розриву функцій

 

24.Знайти похідну функції:

25. Знайти диференціал функції:

26. Знайти похідну другого порядку

27. Знайти екстремуми та інтервали монотонності функції:

28. Знайти точки перегину та інтервали напряму опуклості функції:

29. Знайти асимптоти графіка функції

30.Знайти найбільше та найменше значення функції

на проміжку [-1;2].

31. Знайти аналітично та дати геометричну інтерпретацію області визначення функції

32.Знайти повний диференціал функції

33.Знайти частинні похідні функції

34. Знайти частинні похідні другого порядку функції

35. Знайти кут між градієнтами функції

В точках (-1;3) і (3;-3).

36.Знайти похідну функції у точціМ(2;-3;1)

У напрямі найбільшого її зростання .

37.Знайти похідну функціїу напрямі від точки

До точки .

  39.Одержано дані про доходи сім’ї (грн) та її витрати (грн)

ІІ СЕМЕСТР

40. Знайти інтеграли

41. Обчислити визначені інтеграли

 

42. Обчислити невластиві інтеграли або встановити їх розбіжність,

 

43. Знайти площу фігури , що обмежена лініями:

44. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осіОуфігури,

Що обмежена лініями

    45. Обчислити подвійний інтеграл

І СЕМЕСТР

 

Зразки завдань для модуля №1

 

Контрольна робота №1

 

1. Обчислити визначник

2. Задана матриця прямих матеріальних витрат та

матриця кінцевої продукції. Знайди необхідний обсяг валового

випуску.

 

3. Роз’вязати систему та знайти загальний і базисний розв’язки

 

4. Знайти власні числа матриці

 

5. Дослідити визначеність квадратичної форми

.

 

 

Контрольна робота №2

  2. Кут між векторами та дорівнює , , . Знайти коефіцієнт такий, щоб вектори та…  

Зразки завдань для модуля №2

 

Контрольна робота № 1

1. Знайдіть приріст функції в точці , що відповідає приросту незалежної змінної. Обчисліть при та = 0,1. 2. Дослідіть неперервність функції .

Контрольна робота № 2

1. Знайдіть екстремум інвестиційної функції при умові рівноваги . 2. Знайдіть граничну норму заміщення для функції

Контрольна робота №1

Знайти невизначені інтеграли:

1. ; 2. ; 3.;

4.; 5. .

Контрольна робота №2

1. ; 2. ; 3.

4. ,де область Д обмежена лініями у=х; у=2х; х=4.

5. де область Д - прямокутник 0 < х £ 3, 4 £ у £ 9.

 

Модуль № ІІ

 

Контрольна робота №1

2. Знайти частинний розв’язок ДР при заданих початкових умовах . 3. Знайти частинний розв’язок ДР при заданих початкових умовах

Контрольна робота №2

1. Знайти суму ряду

2. Дослідити на збіжність ряд

3. Дослідити на збіжність (абсолютну чи умовну) ряд

4. Розвинути в ряд за степенями х функцію

5. Знайти область збіжності ряду

3. Самостійна робота

Картка самостійної роботи студентів

З дисципліни

“Математика для економістів: вища математика”

(денна форма)

Види самостійної роботи	Планові терміни виконання	Форми звітності	Максимальна кількість балів
	Денна форма	1 семестр
І. Обов’язкові
1.1 Виконання домашніх (розрахункових) завдань . Підготовка до семінарських (практичних, лабораторних ) занять. Робота на практичних, семінарських заняттях, виконання тренінгових завдань, інші види роботи на заняттях (усне опитування теорії тощо)	Відповідно до робочої навчальної програми та за розкладом	Перевірка якості виконання завдань. Активна участь ( в практичних, лабораторних ) заняттях	24 бали : за кожний розділ в середньому по 6 б.(4р.∙6б.=24б), а за кожне практичне заняття з виконанням домашніх завдань –max 2 бали *
1.2 Модуль №І (пакети к.р. №1 та к.р.№2).	За розкладом і робочим планом.	Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт	10 балів
1.3 Модуль №2(пакети к.р. №1 та №2).	За розкладом і робочим планом.	Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт	10 балів
1.4 Індивідуальні завдання з вищої математики №1, (задача 1.7, 1.8) індивідуальні завдання №2 (задача 2.4)	До 15.11.201__р.   До 15.12.201__р.	Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР	по 3 бали за кожну індивідуальну роботу 2×3=6 б.
Разом балів за обов’язкові види СРС	50 балів в І семестрі

Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 50 балів.

* Студент отримує :

1) 2 бали за заняття за умови виконання домашньої роботи та відповіді в аудиторії (усно, тести, розв’язування задач біля дошки, тощо) на оцінку «5»;

2) 1,5 бали – відповідь на «4» з виконанням домашніх звданням;

3) 1 бал – відповідь на «3» з виконанням домашнім завданням;

4) 0,5 бала відповідь на «2» з виконанням домашнім завданням;

5) 0 балів - ≤ «2» без виконаного домашнього завдання.

Картка самостійної роботи студентів

З дисципліни

“Математика для економістів: вища математика”

(денна форма)

Види самостійної роботи	Планові терміни виконання	Форми звітності	Максимальна кількість балів
	Денна форма	2 семестр
І. Обов’язкові
1.1 Виконання домашніх (розрахункових) завдань. Підготовка до семінарських (практичних, лабораторних ) занять. Тренінгові завдання по кожному розділу .	Відповідно до робочої навчальної програми	Перевірка якості виконання завдань Активна участь ( в практичних, лабораторних ) заняттях	12 зан.×2б. =24б. (за кожний розділ в середньому по 6 балів, а за кожне практичне заняття –тах 2 бали.*
1.2 Індивідуальні завдання з вищої математики №1, (задача 6.2) індивідуальні завдання №2 (завдання 7.4, 7.5).	До 1.04.201__р.   До 15.05.201__р.	Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР	по 3 бали за кожну індивідуальну роботу (2×3=6 б.)
1.3 Модуль №І (пакети к.р. №1 та к.р.№2).	За розкладом і робочим планом.	Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт	5 балів ×2 к.р. = 10 б.
1.4 Модуль №2(пакети к.р. №3 )	За розкладом і робочим планом.	Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт	10 балів
Разом балів за обов’язкові види СРС	50 балів в ІІ семестрі
ІІ. Вибіркові
2.1. а)участь у науково-студентських конференціях   б) участь в олімпіадах		Доповіді на наукових студентських конференціях та підготовка наукових публікацій   Досягнення переможеного результату (І – ІІІ місце)	10 балів
Разом за вибіркові види СРС	10 балів
Всього балів СРС	60 балів в ІІ семестрі

Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 60 балів, але у відомість виставляється оцінка не вище 50балів.

* Студент отримує :

1) 2 бали за заняття за умови виконання домашньої роботи та відповіді в аудиторії (усно, тести, розв’язування задач біля дошки, тощо) на оцінку «5»;

2) 1,5 бали – відповідь на «4» з виконанням домашніх звданням;

3) 1 бал – відповідь на «3» з виконанням домашнім завданням;

4) 0,5 бала відповідь на «2» з виконанням домашнім завданням;

5) 0 балів - ≤ «2» без виконаного домашнього завдання.

Види самостійної роботи	Планові терміни виконання	Форми звітності	Кількість балів
	Заочна форма	1 семестр	максимальна
І. Обов’язкові
1.1 Контрольна робота №1	За графіком	Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР (модульного контролю)	20 балів
Разом балів за обов’язкові види СРС	20 балів

 

 

Види самостійної роботи	Планові терміни виконання	Форми звітності	Кількість балів
	Заочна форма	2 семестр	максимальна
І. Обов’язкові
1.1 Контрольна робота №2	За графіком	Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР (модульного контролю)	20 балів
Разом балів за обов’язкові види СРС	20 балів

4. ПОРЯДОК ПОТОЧНОГО І ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ. КРИТЕРІЇ ОЦІНКИ.

Завданням поточного контролю є перевірка розуміння та засвоєння певного матеріалу, вироблених навичок, проведення розрахункових робіт, умінь самостійно розв‘язувати задачі, здатності осмислити зміст теми чи розділу у взаємозв’зку з іншими темами.

Завданням іспиту є перевірка розуміння студентом програмного матеріалу в цілому, логіки та взаємозв‘язків між окремими розділами, здатності творчого використання накопичених знань для розв‘язання задач.

Оцінювання здійснюється за 100 бальною шкалою. Завдання поточного контролю оцінюються в діапазоні від 0 до 50 балів, а завдання, що виносяться на іспит – від 0 до 60 балів.

 

ПОТОЧНИЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ

Об‘єктами поточного контролю знань студента є:

1) системність та активність роботи на практичних заняттях;

2) виконання завдань для самостійного опрацювання;

3) виконання модульних завдань.

 

1. При контролі систематичності та активності роботи на практичних заняттях оцінці підлягають:

а) рівень знань, продемонстрований у відповідях - тестах на практичних заняттях; за кожне практичне заняття та виконання домашнього завдання студент отримує max 2 б. (12 зан. ∙ 2б. = 24б.- у І та ІІ семестрах) .

в) участь в роботі наукових студентських конференцій, олімпіадах, підготовка наукових публікацій тощо ( за рішенням кафедри ) – не більше 10 балів у суммі, (якщо при цьому загальна кількість балів за поточну роботу не перевищує 50 балів).

 

2. При контролі виконання завдань для самостійного опрацювання оцінці підлягають самостійне опрацювання тем в цілому чи окремих питань зі звітом у вигляді:

а) проведення розрахунків (розв’язування певних задач за своїм варіантом) - не більше 6 балів – І семестр та ІІ семестр.

б) виконання індивідуальних завдань. Оцінка за одну індивідуальну роботу не перевищує 3 бали у І та ІІ семестрах.

 

в) написання рефератів – не більше 3 балів.

Самостійно виконані роботи перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.

3. При виконанні модульних завдань оцінці підлягають:

а) виконання письмових завдань під час проведення контрольних робіт. Оцінка за цей вид контролю співпадає з кількістю балів за контрольну роботу за 6 бальною шкалою (0; 1; 2; 3; 4; 5).

Контрольна робота повинна проводитися в аудиторії без допущення викладачем користування допоміжними матеріалами.

Модуль з вищої математики – це частина програми, яка складається з пов‘язаних між собою у певному співвідношенні теоретичних і практичних компонентів змісту, кожна складова якого оцінюється в балах.

За семестр з вищої математики проводиться 2 модуля (кожний по 2 контрольні роботи).

Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 50 балів за І семестр та ІІ семестри.

Всі види самостійно виконаних домашніх письмових робіт перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.

В разі невиконання завдань поточного контролю з об‘єктивних причин студент має право, за дозволом декана, виконати їх і скласти залік до останнього практичного заняття. Час та порядок виконання визначає викладач.

 

 

 

ОСОБЛИВОСТІ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ

СТУДЕНТІВ ЗАОЧНОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ

 

1. Об‘єктом поточного контролю знань студентів заочної форми навчання є домашня контрольна робота, що складена із індивідуальних завдань.

2. Контрольні роботи, виконані самостійно перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.

3. Результати поточного контролю знань студентів, вносяться до залікової екзаменаційної відомості.

Підсумковий контроль знань студентів – заочників – у вигляді іспиту у І та другому семестрах.

Підсумковий контроль знань студентів у формі іспиту

Оцінювання знань студентів з вищої математики з підсумковим контролем - іспит здійснюється на основі результатів поточного і підсумкового контролю знань (іспиту).

Об‘єктом контролю знань студентів у формі іспиту є результати виконання письмових екзаменаційних завдань.

На іспит виносяться вузлові питання, типові та комплексні задачі, ситуації, завдання, що потребують творчої відповіді та уміння синтезувати отримані знання і застосовувати їх при вирішенні практичних задач тощо.

Перелік питань, що охоплюють зміст програми з вищої математики, критерії оцінювання екзаменаційних завдань визначаються кафедрою, включаються до робочої програми дисципліни і доводяться до студентів на початку семестру.

Екзаменаційний білет містить 10 завдань відповідно до пройдених тем, кожне з яких оцінюється за шкалою 10; 8; 6; 0 балів. Кожне завдання містить два приклади, тести чи задачі.

Результати іспиту в діапазоні від 0 до 100 балів (включно).

Зауваження. 10 балів виставляється за правильне розв’язання завдання, тобто розв’язок завдання не має жодної суттєвої помилки; 8 - якщо розв’язання має не суттєву помилку. Не суттєвою помилкою вважається помилка обчислювального характеру, що приводить до невірної відповіді.

Якщо розв’язуване завдання містить недоліки, або вірно розв’язано один пункт із завдання, то завдання оцінюється в 6 балів.

Недоліком вважаються такі дії, перетворення чи записи, що не приводять до суттєвих помилок.

Неправильно виконане завдання оцінюється в 0 балів.

В разі, коли відповіді студента оцінені менше ніж в 30 балів, він отримує незадовільну оцінку за результатами іспиту та незадовільну загальну підсумкову оцінку.

Загальна підсумкова оцінка з вищої математики складається з суми балів за результатами поточного контролю знань та за виконання завдань, що виносяться на іспит (за умови, що студент набрав 30 балів і вище), але не перевищує 100 балів.

До екзаменаційної відомості заносяться сумарні результати в балах поточного контролю та іспиту.

Переведення даних 100-бальної шкали оцінювання в 4-х бальну здійснюється в такому порядку :

Оцінка “відмінно” – 90-100 балів.

Оцінка “добре” – 70-89 балів.

Оцінка “задовільно” – 60-69 балів.

Оцінка “незадовільно” – менше 60 балів.

Оцінка за 4-и бальною шкалою оцінювання виставляється в заліково-екзаменаційній відомості поряд із загальною підсумковою оцінкою в 100-бальній шкалі.

Складання академічної заборгованості студентами всіх форм навчання з вищої математики, що виноситься на іспит, передбачає виконання модульних (контрольних) завдань, та екзаменаційних завдань, і проводиться згідно “Положення про організацію навчального процесу в умовах його індивідуалізації та впровадження кридитно- модульної системи” , затвердженим Вченою радою університету (протокол № 9 від 30.03.2006 р.) та Ухвали Вченої ради університету від 30.09.2004 р. (Протокол №2 ) зі змінами та доповненнями , затвердженими Ухвалою Вченої ради КНЕУ від 28.04.2005р. (Протокол №9) та Ухвали Вченої Ради «Про нову редакцію Порядку оцінювання знань студентів» від 28.05.2009 р.

Завдання для поточного контролю знань студентів

Заочної форми навчання.

1. “Збірник завдань для контрольних робіт №1,2” для студентів заочної форми навчання. 2. “Розв’язування завдань для контрольних робіт №1,2” для студентів заочної… В контрольній роботі за І семестр виконуються наступні завдання із [2]:

Екзаменаційний білет №1

А).Обчислити визначник: . Б).Дослідити систему лінійних алгебраїчних рівнянь на сумісність та знайти… Завдання 2

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики протокол №___ від________

Зав.кафедрою__________Макаренко О.І. Екзаменатор__________________

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра вищої математики

Навчальний предмет вища математика

Спеціальність Семестр 2

Екзаменаційний білет №

1. Обчислити інтеграли:

а). ;

б). ;

 

2. Обчислити інтеграли:

а). ;

б). ;

 

3. а) Дослідити на збіжність інтеграл ;

б) Обчислити, де область D – прямокутник

4. Розв’язати диференціальні рівняння:

а). ;

б). ;

5. а) Розв’язати диференціальне рівняння.

Б)Дослідити збіжність ряду.

6.а)Дослідити збіжність ряду.

Б).Знайти область збіжності ряду .

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики протокол №___ від________

Зав.кафедрою__________Макаренко О.І. Екзаменатор__________________

6. Cписок рекомендованої літератури

1. Валєєв К.Г. та інші. Вища математика: навч. метод посібник для сам. вивчення дисципліни. – К., КНЕУ, 1999. – 394.

2. О.І.Лютий,О.І.Макаренко. Збірник задач з вищої математики. КНЕУ, 2003.305с.

3. Барковський В.В, Барковська Н.В. Математика для економістів. – Т.1. Вища математика. – К.: Нац. Акад.. упр., 1997.

4. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Математика для економістів. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: Нац. Акад.. упр., 1997.

5. Блудова Т.В. Практикум з аналітичної геометрії . Навч. Пос. Л.: ЛБІ НБУ 2004 р- 216с.

6. Лісовська В.П., Перестюк М.О. “Вища математика” – в 2-х кн. К.: ВІНІТІ НТУУ “КПІ” . – 2004 р.

7. Лісовська В.П., Перестюк М.О. “Вища математика. Практикум” – в 2-х частинах. ч.І. К.: КНЕУ. – 2009 р. – 720 с.

8. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Вступ до математичного аналізу» та «Диференціальне числення».КНЕУ,мет.№ 325, 1998.

9. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Функції багатьох змінних» .КНЕУ, мет. №299, 1996.

10. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Диференціальні рівняння» .КНЕУ, мет. № 267, 1996.

11. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Лінійна алгебра та аналітична геометрія» .КНЕУ, 1997.

12. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Інтегральне числння» .КНЕУ, мет.№ 321, 1998.

13. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Ряди» . КНЕУ, мет.№ 324 , 1998.

 

ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ, ЩО ВХОДЯТЬ ДО ПРОГРАМИ КУРСУ

«ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА»

 

Розділ 1. Теорія ймовірностей

Тема 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Предмет курсу, його зміст. Роль і місце курсу.Завдання курсу та місце в системі економічної освіти.

Емпіричні поняття: експеримент, результат, подія. Простір елементарних подій. Класифікація подій. Співвідношення між подіями. Операції над подіями.

Класичне визначення ймовірності. Основні властивості ймовірності.

Елементи комбінаторики. Види сполук. Властивості комбінацій.

Геометричне визначення ймовірності.

Частота. Статистичне поняття ймовірності.Ймовірнісна модель стохастичного експерименту з довільним приростом елементарних подій.

Множинно-аксіоматичний підхід до побудови теорії ймовірностей: універсальна множина (простір елементарних подій), алгебра (сігма-алгебра) подій, її підмножини (події) та адитивна функція на них (ймовірність). Її визначальні властивості (аксіоми ймовірності). Ймовірнісний простір.

 

Тема 2. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Умовні ймовірності. Залежність та незалежність подій. Теореми додавання для сумісних та несумісних подій.Теореми множення ймовірностей для залежних та незалежних подій. Формула повної ймовірності. Формули Байєса (формули гіпотез).

 

Тема 3. СХЕМА НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПРОБУВАНЬ

Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі для обчислення ймовірностей у схемі незалежних випробувань. Найімовірніша частота настання події в схемі Бернуллі. Асимптотичні формули для схеми Бернуллі: формула Пуассона для малоймовірних подій, локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.

 

Тема 4. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ. ЇХ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ТА ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Означення випадкової величини. Дискретні (ДВВ) та неперервні випадкові величини (НВВ). Закони розподілу випадкових величин. Ряд та многокутник розподілу. Функція розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини та її властивості. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу , функція розподілу та їх властивості.

Числові характеристики випадкових величин: мода, медіана, математичне сподівання, початкові та центральні моменти, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес.

 

Тема 5. ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Твірна функція (z- перетворення), її властивості та використання.

Основні закони розподілу ДВВ. Біномінальний розподіл. Закон рівномірної щільності. Означення найпростішого потоку подій. Закон Пуассона та його параметри.

Закони розподілу неперервних випадкових величин: рівномірний, показниковий (експоненціальний). Їх числові характеристики. Нормальний закон розподілу та його параметри. Правило „трьох сігм”, .

Розподіл Стьюдента. Розподіл . Розподіл Фішера.

 

Тема 6. БАГАТОВИМІРНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

(системи випадкових величин).

Багатовимірна випадкова величина та закони її розподілу. Система двох випадкових величин. Таблиця розподілу. Багатовимірні функція та щільність розподілу ймовірностей, їх властивості. Числові характеристики системи випадкових величин: математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, кореляційний момент (коваріація), коефіцієнт кореляції та їх властивості. Числові характеристики системи двох випадкових величин.

Умовні закони розподілу та умовні числові характеристики.

Система n випадкових величин. Характеристика системи. Кореляційна залежність , кореляційна матриця, нормована кореляційна матриця.

Нормальний закон розподілу на площині та рівномірний.

 

Тема 7. ФУНКЦІЇ ВИПАДКОВИХ АРГУМЕНТІВ

Означення функції випадкового аргументу. Закони розподілу функцій дискретного та неперервного випадкових аргументів. Числові характеристики функцій випадкових аргументів.

Функції двох випадкових аргументів, визначення їх законів розподілу.Композиція законів розподілу.

 

Тема 8. ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Види збіжності послідовностей випадкових величин.

Граничні теореми. Закон великих чисел. Нерівність Чебишова та наслідки з неї. Закон великих чисел для послідовності незалежних випадкових величин. Теорема Чебишова. Центральна гранична теорема (теорема Ляпунова) та її використання у математичній статистиці. Теорема Муавра- Лапласа, Бернуллі.

 

Тема 9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

Випадкові процеси. Їх закони розподілу й основні характеристики: математичне сподівання, дисперсія, кореляційна функція. Властивості характеристик. Класифікація випадкових процесів.

Потік подій. Найпростіший потік (пуассонівський), його властивості. Потік Ерланга. Марківські процеси. Марківські ланцюги з дискретними станами. Однорідні марківські ланцюги та їх класифікація. Стаціонарні ймовірності для регулярних ланцюгів Маркова. Використання однорідних ланцюгів Маркова для оцінки ефективності функціонування систем.

Елементи теорії масового обслуговування. Математична модель для найпростішої системи обслуговування.

 

 

Розділ 2. Математична статистика

Тема 10. МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА. ПЕРВИННА ОБРОБКА СТАТИСТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Математична статистика. Генеральна сукупність і вибірка. Ряди розподілу. Репрезентативні вибірки. Статистичні розподіли вибірок.

Особливості цих виборок. Підготовка статистичних даних для обробки. Емпірична функція розподілу та кумулятивна частота. Емпіричний підхід до аналізу економічних даних.

Точкові вибіркові й статистичні оцінки невідомих параметрів розподілу. Вимоги до оцінок невідомих параметрів розподілів: обгрунтованість, незсуненість та ефективність. Обгрунтовані та незсунені оцінки для математичного сподівання й дисперсії.

Згладжування експериментальних спостережень теоретичними законами розподілу та за методом найменших квадратів.

Оцінка параметрів розподілів методами моментів, максимальної правдоподібності та найменших квадратів.

 

Тема 11. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛІВ. ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ

Точність і надійність оцінки параметрів. Поняття про інтервали надійності. Побудова інтервалів надійності для оцінки математичного сподівання й дисперсії випадкової величини.

Статистичні гіпотези: нульова й альтернативна, проста й складна. Помилки першого й другого роду. Статистичні критерії. Критична область, область прийняття нульової гіпотези, критична точка. Перевірка статистичних гіпотез. Критерії узгодженості. Критерій узгодженості Неймана-Пірсона.

 

Тема 12. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ РЕГРЕСІЇ, КОРЕЛЯЦІЇ ТА ДИСПЕРСІЙНОГО АНАЛІЗУ

Модель експерименту. Однофакторний аналіз. Таблиця результатів спостережень. Загальна дисперсія, міжгрупова та внутрішньо групова дисперсії.…   ТЕОРЕТИЧНІ ЗАПИТАННЯ ДО ІСПИТУ З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ «МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ: ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА…

ТИПОВІ ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ ПОТОЧНОГО ТА ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ “МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ: ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА

МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА”

 

1. Два маркетологи за складеним списком визначаються із планом відвідування «k» потенційних покупців. Записати простір елементарних подій, якщо відомо, що одночасно вони не працюють з одним клієнтом, а останній із покупців був виключений із списку.

 

2. Подія А – трейлер з імпортним вантажем прибув на склад з «k» до «k+2» години. Подія В – прийом вантажу на складі закінчився о 20:00. Записати в чому полягають події:

 

3. «3k» виробників отримали можливість поставляти свою продукцію до трьох супермаркетів: «Велика кишеня», «Сільпо», «Фуршет». Вважаючи рівно-можливим вибір будь-якого супермаркету, знайти ймовірність подій:

а) подія А – до «Сільпо» поставляють свою продукцію три виробники;

б) подія В – до кожного супермаркету поставляють свою продукцію рівно «k» виробників.

 

4. Над виготовленням приладу працюють послідовно робітників; якість приладу під час передачі наступному робітникові не перевіряється. Перший робітник допускає брак з ймовірністю , другий − з ймовірністю і т.ін. Знайти ймовірність того, що під час виготовлення приладу брак буде допущено.

 

5. Обчислювальна машина складається з блоків.

Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) протягом часу першого блока дорівнює , другого − і т.ін. Блоки відмовляють незалежно один від одного. При відмові хоча б одного машина не працює. Знайти ймовірність того, що машина не відмовить в роботі за час .

 

6. Завод випускає певного виду вироби; кожний виріб може мати дефект з ймовірністю . Після виготовлення виріб оглядається контролерами; і-й контролер знаходить дефект, якщо він є, з ймовірністю .

У випадку виявлення дефекту вибір бракується. Знайти ймовірності подій:

А – виріб буде забраковано;

В – виріб буде забраковано другим контролером.

 

7. Якість виготовленого виробу контролюється двома експертами. Ймовірність забракувати дефектний виріб для першого і другого експерта дорівнюють відповідно та . Ймовірності помилкового бракування виробу, що не має дефекту, дорівнюють відповідно , . Знайти ймовірність подій А, В.

 

8. Приклад складається з блоків; відмова у роботі хоча б одного блоку означає відмову роботи приладу в цілому. Блоки виходять з роботи незалежно один від одного. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) кожного блоку . Знайти надійність приладу в цілому.

Якою повинна бути надійність кожного блоку для забезпечення заданої надійності системи?

 

9. Для збільшення надійності приладу він дублюється -им іншими такими ж приладами (див. рис.). Надійність кожного приладу . Знайти надійність системи.

Скільки потрібно взяти приладів, щоб збільшити надійність до заданої ?

 

10. У технічній системі дубльовані не всі, а тільки деякі (найменш надійні) вузли. Надійності вузлів показано на рисунку.

Визначити надійність системи.

 

11. Виготовлений виріб надходить споживачеві, якщо під час перевірки він буде визнаний стандартним. Ймовірність виготовлення бракованого виробу – 0,2; у результаті перевірки бракований виріб помилково приймається за стандартний з ймовірністю 0,05, а стандартний може бути прийняти за бракований з ймовірністю 0,01. Знайти ймовірність подій:

а) = споживач отримав стандартний виріб;

б) = споживач отримав бракований виріб;

в) = виготовлено стандартний виріб;

г) = під час перевірки виріб признано стандартним;

 

12. Судно, що працює на контейнерній лінії заходить протягом 2 тижнів до 4 морських портів, при цьому ймовірність демереджу(штрафу) по відправленню судна в кожному порту оцінюється p. Обчислити ймовірність відсутності штрафів по судну протягом місяця (два маршрути).

13. Ймовірність поставки на меблеву фабрику сировини з регіонів становить:p₁ - з відстані до 100 км, p₂ - з відстані до 200 км, p₃ - з відстані більше 200 км. Знайти ймовірність, що фабрика буде купувати сировину:

а) тільки з відстані до 100 км;

б) тільки з одного регіону;

в) як мінімум з двох регіонів.

 

14. Авіаперевезення пасажирів через АП «Бориспіль» на Лондон розподіляється наступним чином: «Міжнародні авіалінії України» - (30+k)%, «Аеросвіт» - (40+m)%, іншими авіалініями - (30-k-m)%. Знайти ймовірність того, що з двох пасажирів, які прямують до Лондона: а) один обслуговується «Аеросвітом»,

б) обидва пасажири будуть обслуговуватися однією авіакомпанією.

 

15. Прилади одного найменування виготовляються двома заводами;

перший завод постачає всіх виробів, другий . Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) приладу, виготовленого першим заводом, дорівнює ; другим - .

Знайти надійність одного приладу, виготовленого заводами.

 

16. Є дві партії виробів; перша партія складається з N виробів, серед яких бракованих; друга з виробів, серед яких бракованих. З першої партії береться випадковим чином виробів, а з другої виробів . З нової партії береться навмання один виріб. Знайти ймовірність того, що виріб буде дефектним.

 

17. На радіолокаційний пристрій надходить шум, що містить корисний сигнал, з ймовірністю . Якщо з шумом надходить корисний сигнал, то пристрій зареєструє наявність якогось сигналу з ймовірністю ; якщо надходить тільки шум – з ймовірністю . Відомо, що пристрій зареєстрував наявність сигналу. Знайти ймовірність того, що в його складі є корисний сигнал.

 

18. Довгострокова практика рекламування нових видів товарів показала, що після проведення рекламної компанії 5% чоловіків, 10% жінок бажали б придбати новий вид продукції. Числа чоловіків і жінок у місті, в якому проводилось таке статистичне дослідження, відносяться як 4 : 6.

Яка ймовірність того, що випадково вибраний покупець, що придбав новий рекламований продукт, буде жінкою?

 

19. Пасажир може звернутись за отриманням квитка в одну з трьох кас. Ймовірності звернення в кожну касу залежать від їх місцезнаходження і дорівнюють відповідно .

Ймовірності того, що до моменту приходу пасажира квитки в касі будуть розпродані, дорівнюють відповідно .

Пасажир придбав квиток. Знайти ймовірність того, що це відбулось у першій касі?

 

20. Завод виготовляє вироби, кожний з яких з ймовірністю (незалежно від інших) виявляється дефектним. Під час огляду дефект, якщо він є, виявляється з ймовірністю . Для контролю продукції заводу вибирається виробів. Знайти ймовірність наступних подій:

а) А – на жодному з виробів дефект не буде виявлено;

б) В – серед виробів рівно в двох буде виявлено дефект;

в) С – серед виробів менш ніж у двох буде виявлено дефект.

 

21. Протягом часу експлуатується приладів. Кожний з приладів має надійність і виходить з ладу не залежно від інших. Знайти ймовірність того, що майстер, якого викликали під кінець часу для ремонту несправних приладів, не встигне з ремонтом за час , якщо на ремонт кожного з несправних приладів йому необхідно час .

22. Фірма з продажу одягу вивчає причини, з яких покупці, що прийшли з наміром щось придбати, не зробили жодної покупки. Виявилось, що 40% потенційних покупців не підійшли ціни, 30% не задовольнив дизайн, 20% були не задоволені якістю, а 10% не знайшли потрібного розміру.

а) яка ймовірність того, що в групі з 10 відвідувачів, що не зробили жодної покупки, буде рівно два покупці для яких не підійшли ціни.

б) яка ймовірність того, що в групі з 10 відвідувачів, що не зробили жодної покупки, буде принаймні два, що не знайшли потрібного розміру?

в) яка ймовірність того, що в групі з 10 відвідувачів, що не зробили жодної покупки, буде рівно один, що не знайшов потрібний фасон, два – не задоволені якістю, п’ять – не задоволені цінами і три не знайшли потрібного розміру?

 

23. Робота агента з запрошень потенційних покупців тайм-шер вважається задовільною, якщо за його запрошенням за день на презентацію прийде більше 10 покупців. Вважаємо, що людина, до якої звернеться агент з запрошенням, з ймовірністю 0,1 прийде на презентацію. Знайти ймовірність того, що робота агента буде признана задовільною, якщо агент звернеться з пропозицією до 40 перехожих.

 

24. По каналу зв’язку передається 20 знаків. Ймовірність спотворення знака 0,01. Знайти ймовірність того, що буде спотворено не більше двох знаків.

 

25. Автомобіль проходить технічне обстеження і обслуговування. Число неполадок, що виявляються після технічного обстеження, розподіляються по закону Пуассона з параметром . Якщо неполадок не виявлено, то технічне обслуговування автомобіля продовжується в середньому 2 години. Якщо виявлені одна чи дві неполадки, то на усунення кожної з них витрачається у середньому ще півгодини. Якщо виявлено більше двох неполадок, то автомобіль ставиться на профілактичний ремонт, де він знаходиться у середньому 4 години. Визначити закон розподілу середнього часу обслуговування і ремонту автомобіля і його математичне сподівання .

 

26. Плануючи свою діяльність по одному з видів ризикового страхування з розміром страхової суми 1000 грн, нетто-ставкою 0,02 і ймовірністю настання події страхування 0,01, страхова компанія бажала б отримати прибуток не менше 100000 грн. Яке мінімальне число договорів вона повинна заключити, щоб отримати вказаний прибуток з ймовірністю не менше 0,99, якщо розмір страхового внеску 50 грн.?

27. Плануючи свою діяльність по одному з видів ризикового страхування з середнім розміром страхової суми 1000 грн, ймовірністю настання страхового випадку 0,05 і очікуваною кількістю договорів 1200, страхова компанія бажала б отримати прибуток не менше 100000 грн. Якою повинна бути мінімальна величина страхового тарифу, щоб компанія могла отримати вказаний розмір прибутку з ймовірністю не менше 0,99?

 

28. Потік заявок, що надходять на телефонну станцію представляють собою найпростіший (стаціонарний пуассонівський) потік. Математичне сподівання числа викликів за час дорівнює 30. Знайти ймовірність того, що за хвилину надійде не менше двох викликів.

 

29. Продавець тортів оцінює, скільки тортів продається за день. Він знає, що число тортів, потрібних на день, є випадковою величиною з законом розподілу

Продавець отримує 4 грн прибутку з кожного торта. Якщо торт не продано протягом двох днів, то (за санітарними нормами) він повинен бути списаний, при цьому продавець втрачає 3 грн. Продавець бажає максимувати середній прибуток. Скільки тортів він повинен замовляти?

 

30. Є лампочок, кожна з яких з ймовірністю має дефект. Лампочку вкручують у патрон і подають напругу; після чого дефектна лампочка відразу перегорає і замінюється іншою. Розглядається випадкова величина - число лампочок, які будуть випробувані. Побудувати ряд розподілу і знайти математичне сподівання .

 

31. Електронна лампа працює протягом випадкового часу , розподіленого за показниковим законом:

 

Знайти ймовірність того, що за час :

а) лампу замінять;

б) лампу замінять три рази;

в) лампу замінять не менше трьох разів.

 

32. Під час роботи приладу виникають випадкові неполадки; середнє число неполадок, що виникають за одиницю часу роботи приладу ; число неполадок за час роботи приладу – випадкова величина, розподілена за законом Пуассона з параметром . Для усунення неполадок (ремонту) необхідний час − випадкове значення; цей час розподілений за показниковим законом:

 

Випадкові величини теорем усунення неполадок - незалежні. Знайти: а) середній проміжок часу, протягом якого прилад буде працювати; знаходитись у ремонті;

б) середній інтервал часу між двома неполадками.

 

33. Бракування шариків для підшипників проводиться наступним чином:

Якщо шарик не проходить через отвір діаметром , але проходить через отвір діаметром , то його розмір вважають прийнятим. В іншому випадку шарик бракується. Відомо, що діаметр шарика є нормально розподіленою випадковою величиною з характеристиками і .

Визначити ймовірність того, що шарик буде забраковано.

 

34. Випадкова величина X має рівномірний розподіл з математичним сподіванням і дисперсією . Знайти функцію розподілу випадкової величини X.

 

35. Автобуси деякого маршруту йдуть чітко за розкладом. Інтервал руху – 5 хв.

Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійде до зупинки буде чекати автобус менше 3 хв.

 

36. Функція fзадана у вигляді:

 

f

Знайти: а) значення постійної А, при якому функція буде щільністю розподілу ймовірностей деякої випадкової величини X;

б) формулу функції розподілу ; в) обчислити ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення на проміжку [2; 3]; г) знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини X.

 

37. Передаються два SMS–повідомлення, кожне з яких незалежно одне від одного може бути не отриманим. Імовірність того, що перше повідомлення не буде отримане, дорівнює 0,1, а друге – 0,2. Визначимо систему двох випадкових величин .

, якщо перше SMS-повідомлення отримане,

, якщо перше SMS-повідомлення не отримане,

, якщо друге SMS-повідомлення отримане,

, якщо друге SMS-повідомлення не отримане.

 

Знайти закон сумісного розподілу системи , .

 

38. Із чотирьох студентів КНЕУ, два з яких навчаються на обліково-економічному факультеті, один на фінансовому та один – на факультеті МЕіМ, банк обирає на роботу лише двох. Ймовірність працевлаштування для кожного студента вважаємо однаковою. Випадкова величина - кількість обраних студентів з фінансового факультету, - кількість обраних студентів з факультету МЕіМ. Скласти закон розподілу для системи . Знайти закони розподілу і ; . Чи залежні величини і- ?

 

39. Фармацевтична компанія розробила три нові препарати. За результатами фінансово-економічного аналізу, прибуток компанії гарантує масовий випуск хоча б двох із трьох нових препаратів. Масовий випуск кожного препарату гарантує прибуток лише з ймовірністю 0,8. Ймовірність запуску до масового виробництва для кожного препарату дорівнює 0,4. - загальна кількість препаратів, які допущені до масового виробництва, - стан прибутковості компанії (, якщо компанія не тримала прибуток; , якщо прибуток отримано).

 

а) Скласти закон розподілу

б)

в) Обчислити . Записати кореляційну матрицю.

г) Обчислити ймовірність події , та дати її ймовірнісне тлумачення.

 

40. Система двох дискретних випадкових величин задана законом розподілу у вигляді таблиці:

			2,4	3,6
	-0,2	0,2	0,1	а
		0,25	0,07	0,3

 

Необхідно:

а) обчислити а;

б) для кожної випадкової величини і , які складають систему, знайти безумовний закон розподілу, математичне сподівання, дисперсію, середньо-квадратичне відхилення, одновимірну функцію розподілу та її графік;

в) побудувати двовимірну функцію розподілу , обчислити ймовірність події .

г) знайти координати центра розсіювання та саме розсіювання випадкової точки у напрямку та навколо центру розсіювання на площині .

д) записати кореляційну матрицю, обчислити коефіцієнт кореляції системи.

ж) обчислити умовні математичні сподівання та , побудувати умовні закони розподілу та .

з) знайти рівняння лінії регресії на , та показати цю лінію регресії.

 

41. Двовимірна випадкова величина розподілена рівномірно в колі радіуса R=1. Знайти: а) вираз сумісної щільності і функції розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y); б) щільності ймовірності та функції розподілу одновимірних випадкових величин (X, Y); в) ймовірність того, що відстань від точки (X, Y) до початку координат буде менша .

 

42. На космічному кораблі встановлено лічильник Гейгера для визначення числа космічних частинок, що попадають в нього за деякий випадковий інтервал часу . Потік космічних частинок – пуассонівський з щільністю ; кожна частинка реєструється лічильником з ймовірністю . Лічильник включається на час , розподілений за показниковим законом з параметром . Випадкова величина - число зареєстрованих частинок. Знайти закон розподілу і характеристики ; випадкової величини .

 

43. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини , якщо щільність розподілу ймовірностей випадкової величини є fна проміжку .

 

44. Знайти закон розподілу суми двох випадкових величин, розподілених рівномірно на проміжку[0; 1].

 

45. Середня кількість викликів, які надходять на комутатор заводу протягом години, дорівнює 300. Оцінити ймовірність того, що протягом наступної години кількість викликів на комутатор: а) буде більше 400; б) буде не більше ніж 500.

 

46. Сума всіх вкладів відділення банку складає 2 млн. умовних одиниць, а ймовірність того, що випадково обраний вклад не перевищує 10000 умовних одиниць, дорівнює 0,6. Що можна стверджувати про кількість вкладників?

 

47. Задана генеральна сукупність з 20 елементів.

 

 

Необхідно:

а) побудувати статистичний розподіл вибірки та його емпіричну функцію розподілу; б) обчислити числові характеристики вибірки: середнє, дисперсію і середнє квадратичне відхилення та зробити з їх допомогою висновок про генеральну сукупність; в) побудувати полігони частот і відносних частот та гістограму, розбиваючи інтервал на 4 рівних проміжки; г) знайти моду, медіану, розмах і коефіцієнт варіації.

 

48. Знайти мінімальний об’єм вибірки, при якому з надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності .

 

49. Знайти довірчі інтервали надійності і для нормально розподіленої випадкової величини Х з функцією розподілу .

 

50. Задана генеральна сукупність. За допомогою критерію Пірсона перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу при рівні значущості :

98,06 101,25 101,25 96,25 100,85 101,25 98,85 99,25 100,55 100,45

100,02 99,2 99,4 98,2 98,2 97,2 94,2 100,6 98,2 96,2

97,9 103,9 105,9 100,9 99,9 101,9 101,81 99,9 103,3 101,9

99,32 102,72 100,72 100,72 101,72 96,42 96,42 98,72 100,22 101,72

99,97 103,97 98,97 99,97 96,27 96,97 98,97 100,97 98,97 100,97

ІНДИВІДУАЛЬНО - КОНСУЛЬТАТИВНА РОБОТА

Індивідуальна консультативна робота з теорії ймовірностей та математичної статистики проводиться у формі консультацій, перевірки індивідуальних…     № Тема Форма виконання Форма роботи з викладачем Випадкові …

Картка самостійної роботи студентів з дисципліни

„Теорія ймовірностей та математична статистика”

(денна форма)

Види самостійної роботи	Планові терміни виконання	Форми звітності	Максимальна кількість балів
	Денна форма	2 семестр
І. Обов’язкові
1.1 Виконання домашніх (розрахункових) завдань Підготовка до семінарських (практичних, лабораторних ) занять, виконання всіх видів аудиторної роботи	Відповідно до робочої навчальної програми -//-	Перевірка якості виконання завдань Активна участь ( в практичних, лабораторних ) заняттях	Середня оцінка за кожне заняття з виконанням домашнього завдання – 1 б. 20 занять по 1 б. Всього = 20 балів
1.2. Модуль №І (пакети к.р. №1 та к.р.№2).	-//-	Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт	10 балів (по 5 б. за к.р.)
1.3 Підготовка до модульної роботи №2 “Математична статистика” (розділ ІІІ)   1. Лабораторний практикум 2. Контрольна робота № 3	До 1.06.2011р.	Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт	5 балів 5 балів Всього = 10 балів
1.4 Індивідуальні завдання з теорії ймовірностей №1, індивідуальні завдання №2.	До 31.03.2011р.     До 1.05.2011р.	Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР	5 * 2 =10 балів
Разом балів за обов’язкові види СРС	50 балів
ІІ. Вибіркові
2.1 Робота за темою „Випадкові процеси”	до 1 травня 2011 р.	Доповіді на наукових студентських конференціях та підготовка наукових публікацій	10 балів
2.2. Робота за темою „Елементи аналізу часових рядів”	до 15 травня 2011 року	Реферати	До 10 балів
Разом за вибіркові види СРС	10 балів
Всього балів СРС	60 балів *

* Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 60 балів, але у відомість виставляється оцінка не вище 50 балів.

Види самостійної роботи	Планові терміни виконання	Форми звітності	Кількість балів
	Заочна форма	3 семестр	максимальна
І. Обов’язкові
1.1.Контрольна робота	За графіком	Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР (модульного контролю)	20балів
Разом балів за обов’язкові види СРС	20 балів

 

 

2.2.8 МЕТОДИ АКТИВІЗАЦІЇ ПРОЦЕСУ НАВЧАННЯ:

При вивченні дисципліни викладачі застосовують наступні технології:

- проблемні лекції;

- міні семінари;

- семінари дискусії;

- мозкові атаки, експрес контроль, тести mini і maxi.

 

 

Порядок поточного і підсумкового контролю знань студентів з теорії ймовірностей. Критерії оцінки.

Завданням поточного контролю є перевірка розуміння та засвоєння певного матеріалу, вироблених навичок, проведення розрахункових робіт, умінь самостійно розв‘язувати задачі, здатності осмислити зміст теми чи розділу.

Завданням іспиту є перевірка засвоєння студентом програмного матеріалу в цілому, обчислення логіки та взаємозв‘язків між окремими розділами, здатності творчого використання накопичених знань для математичного моделювання та розв‘язання задач.

Оцінювання здійснюється за 100 бальною шкалою. Завдання поточного контролю оцінюються в діапазоні від 0 до 50 балів, а завдання, що виносяться на іспит – від 0 до 60 балів.

 

Поточний контроль знань студентів.

Об‘єктами поточного контролю знань студента є:

1. Системність та активність роботи на практичних заняттях та лекціях;

2. Виконання завдань для самостійного опрацювання;

3. Виконання модульних завдань.

4. При контролі систематичності та активності роботи на практичних заняттях оцінці підлягають:

А) рівень знань, продемонстрований при тестуванні на практичних заняттях, активність при обговоренні питань, що винесені на практичні заняття, оцінка – не більше 5 балів.

Б) виконання домашніх завдань – п. А) та Б) в сумі складають 20 балів (по 1 балу кожне з 20 практичних занять)

5. При контролі виконання завдань для самостійного опрацювання оцінці підлягають:самостійне опрацювання тем в цілому чи окремих питань , що завершується:

1) виконанням лабораторних робіт та модуля №2 з «Математичної статистики» - не більше 10 балів;

2) виконання індивідуальної роботи – не більше 5 балів за кожну.

як вибіркова :

А) участь в роботі наукових студентських конференціях, олімпіадах, підготовка наукових публікацій тощо, ( за рішенням

кафедри ) – не більше 10 балів, (якщо при цьому загальна кількість балів за поточну роботу не перевищує 50 балів).

Б) написання рефератів – не більше 10 балів.

Самостійно виконані роботи перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.

6. При виконанні модульних завдань оцінці підлягають:

Виконання письмових завдань під час проведення контрольних робіт. Оцінка за цей вид контролю співпадає з кількістю балів за модульну контрольну роботу за 10 - бальною шкалою.

Контрольна робота повинна проводитися в аудиторії без допущення викладачем користування допоміжними матеріалами.

Модульний контроль :дві модульні роботи (перша: пакет к.р. №1 “Випадкові події”, пакет к.р. №2 “Випадкові величини”; друга : “Математична статистика” та три лабораторні роботи).

Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 60 балів, але у відомість виставляється оцінка не вище 50 балів.

Всі види самостійно виконаних домашніх письмових робіт перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.

 

 

ОСОБЛИВОСТІ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ

Студентів заочної форми навчання

1. Об‘єктом поточного контролю знань студентів заочної форми навчання є домашня контрольна робота, що складена із індивідуальних завдань.

2. Контрольні роботи, виконані дома перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.

3. Екзаменаційний білет містить 10 завдань, кожне з яких оцінюється в 10 балів.

 

Підсумковий контроль знань студентів у формі іспиту

 

1. Оцінювання знань студентів з навчальних дисциплін, формою підсумкового контролю яких є іспит здійснюється за результатами поточного і підсумкового контролю знань (іспиту).

2.Об‘єктом контролю знань студентів у формі іспиту є результати виконання письмових екзаменаційних завдань.

3. Іспит проводиться у формі виконання письмових екзаменаційних завдань.

4. На іспит виносяться вузлові питання, типові та комплексні задачі, ситуації, завдання, що потребують творчої відповіді та уміння синтезувати отримані знання і застосовувати їх при вирішенні практичних задач тощо.

5. Перелік питань, що охоплюють зміст програми з теорії ймовірностей, критерії оцінювання екзаменаційних завдань визначаються кафедрою, включаються до робочої програми дисципліни і доводяться до студентів на початку семестру.

6. Екзаменаційний білет містить 5 завдань, кожне з яких оцінюється за шкалою 10; 8; 6; 0 балів.

З обгрунтованою пропозицією кафедри і погодженням з проректором з науково- методичної роботи, до екзаменаційного білету може бути включена інша кількість завдань та визначений окремий порядок їх оцінювання.

7. Результати іспиту оцінюються в діапазоні від 0 до 60 балів (включно).

В разі, коли відповіді студента оцінені менше ніж в 30 балів, він отримує незадовільну оцінку за результатами іспиту та незадовільну загальну підсумкову оцінку. В цьому випадку отримані результати поточного контролю не враховуються та іспит не складається , а в відомість виставляються лише бали поточного контролю.

8. Загальна підсумкова оцінка з теорії ймовірностей складається з суми балів за результати поточного контролю знань та за виконання завдань, що виносяться на іспит (за умови, що студент набрав на іспиті не менше 30 балів і вище).

Зауваження. 10 балів виставляється за правильне розв’язання завдання, тобто розв’язок завдання не має жодної суттєвої помилки; якщо розв’язання має не суттєву помилку , то таке завдання оцінюється в 8 балів. Неправильно виконане завдання оцінюється в 0 балів.

Якщо розв’язуване завдання містить недоліки, то завдання оцінюється в 6 балів.

Суттєвою помилкою вважається така, що приводить до невірного розв’язку задачі.

Недоліком вважаються такі дії, перетворення чи записи, що не приводять до суттєвих помилок.

 

Умови переведення даних 100- бальної шкали:

 

Оцінювання в 4-х бальну та за шкалою ECTS

 

Переведення даних 100- бальної шкали оцінювання в 4-х бальну шкалу та за системою ECTS здійснюється в такому порядку:

 

Оцінка за шкалою ECTS	Оцінка за шкалою, що використовується в КНЕУ	Оцінка за національною шкалою
A	90-100	5 (відмінно)
B	80-89	4 (добре)
C	70-79	4 (добре)
D	66-69	3 (задовільно)
E	60-65
FX	21-59	2 (незадовільно) з можливістю повторного складання
F	0-20	2 (незадовільно) з обов’язковим повторним вивченням дисципліни

 

ЗРАЗКИ ЗМІСТОВИХ МОДУЛІВ ТА ІНДИВІДУАЛЬНИХ РОБІТ

(пакет к.р. №1 “Випадкові події” та к.р. №2 “Випадкові величини”) Картка №00 (до к.р. №1)  

ТИПОВЕ ЗАВДАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ №1

З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Варіант № 00

Задача 1.1.

А) До ліфту “с” поверхового бізнес-центру на першому поверсі зайшли 2 студенти-практиканти. Кожен поспішає на роботу. Записати простір елементарних подій можливих виходів із ліфту, якщо відомо, що вони працюють на різних поверхах і жоден не працює на останньому поверсі.

Б) Подія А – подання СПД декларації про доходи до ДПІ з “с” години до “с+2” години.Подія В – робочий день інспектора ДПІ закінчився о 17-00. Записати в чому полягають події :

В) “3с” осіб вирішили відкрити по депозитному рахунку в 3-х банках : “Надра”, “Промінвестбанк” “Укрексімбанк”. Вважаючи рівноможливим вибір будь – якого банку , знайти ймовірність подій: а) подія А – у банку “Надра” відкрито рахунок трьома особами; б) подія В – у кожному банку відкрили рахунок рівно «с» осіб.

Задача 1.2.

При виготовленні деталі вона послідовно проходить обробку на 4-х верстатах, причому ймовірність, що її зіпсують на кожному з верстатів відповідно дорівнює 0,1; 0,1+0,001а; 0,1+0,001b; 0,01с. Обчислити ймовірність якісного виходу принаймні однієї з двох оброблених деталей.

Задача 1.3.

Ймовірність для підприємства експорту своєї продукції до Російської Федерації 0,85+0,001а; до Польщі 0,8+0,001b; до США 0,7+0,001с. Знайти ймовірність, того що підприємство буде експортувати свою продукцію: а) тільки до Польщі; б) тільки до однієї країни; в) до трьох країн; г) принаймі до двох країн;

д) принаймі до однієї країни.

Задача 1.4.

Перший оператор обслуговує (20+а)% клієнтів банку, другий - (15+с)%, третій - (65-а-с)%. Знайти ймовірність того, що з двох клієнтів які зайшли до банку:

а) одного з них обслужить третій оператор; б) обидва будуть обслуговані одним оператором.

Задача 1.5.

На Нью-Йоркській фондовій біржі брокер повинен придбати пакети акцій різних найбільш популярних компаній. Прогнозовано, що 50 відсотків пакетів є прибутковими. Скільки потрібно придбати пакетів, щоб з ймовірністю не меншою, ніж 0,9+0,001а бути впевненим у прибутковості принаймні одного пакету акцій.

Задача 1.6.

До торгівельної фірми під реалізацію поступили касові апарати від трьох виробників у співвідношенні 1:4:5. Ймовірність того, що касові апарати від 1-го, 2-го і 3-го виробників не потребують обслуговування впродовж гарантійного строку відповідно дорівнює (98+0,001а)%, (88+0,001b)%, (92+0,01с)%.

а) знайти ймовірність того, що навмання придбаний касовий апарат не потребуватиме обслуговування впродовж гарантійного строку.

б) придбаний касовий апарат потребує обслуговування впродовж гарантійного строку.

в) від якого виробника випуск неякісного касового апарату є найімовірнішим?

Задача 1.7.

Ймовірність порушення у забезпеченні сировиною впродовж робочого дня дорівнює 0,8+0,01с. Знайти ймовірність того, що впродовж робочого тижня (5 робочих днів): а) три робочих дня не буде порушень в забезпеченні сировиною; б) порушення будуть впродовж 3 днів; в) порушення будуть менше, ніж в 3 дні; г) порушення виникне не більше, ніж в 1 день; д) не буде жодного порушення; е) порушення будуть принаймні в один день; є) порушення виникнуть не менше, як в один день, але не більше, ніж в 3 дні; ж) знайти найімовірніше число днів без порушень у постановках сировини за робочий місяць (24 робочих дні).

Задача 1.8.

Банк видав клієнтам 1000b платіжних карток. За оцінкою експертів банку, середня кількість карток, які будуть заблоковані під час користування за різними причинами дорівнює 0,02%. Знайти ймовірність того, що із 1000bплатіжних карток: а) буде заблоковано 3 картки; б) буде заблоковано не менше 3 карток; в) не буде заблоковано 1000b – 3 картки; г)не буде заблоковано принаймні 1000b – 3 картки.

Задача 1.9.

За результатами перевірок ДПІ установлено, що у середньому кожне друге мале підприємство регіону має порушення фінансової дисципліни. Знайти ймовірність того, що із 1000+а зареєстрованих малих підприємств порушення фінансової дисципліни мають: а) 480+b підприємств; б) найімовірніше число підприємств; в) не менше 480+b підприємств.

Задача 1.10.

У страховій компанії 1000bклієнтів, які застрахували своє майно.Страховийвнесок кожного клієнта складає 2000 грн. За оцінками експертів ймовірність страхового випадку р=0,005. Страхова виплата клієнту при нещасному випадку складає 200000 грн. Визначити розмір прибутку страхової компанії з ймовірністю 0,95. Яка величина найімовірнішого прибутку?

 

 

ТИПОВЕ ЗАВДАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ №2

З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Варіант № 00   1. Задано ряд розподілу випадкової величини:

ТИПОВІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ ЗА ТЕМОЮ: ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

,

1. 1. Д (Х-У)= а; Д(Х) – Д(У) - ?

2. Д(Х) + Д(У) -? , якщо Х, У – незалежні

3. Д(Х) +Д(У)+2К_ху.

 

4. А і В – незалежні

1. Р (АВ) = Р(А)·Р(В);

2. Р(АВ)=Р(А) ·Р_А(В);

3. Р(АВ)=Р(В)·Р_В(А).

 

3. Х- дискретна в.в.

1. М(Х) =М(кХ)=КМ(Х)

2. , М(кХ)=КМ(Х)

3. , М(кХ)=М(Х).

 

ТИПОВІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ ЗА ТЕМОЮ: ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ В.В.

1. Задано закон розподілу ДВВ

 

Х
Р	0,2	0,3	а	0,1

 

а) 1) а = 0,3 б) 1) 5<M(x)<7 в) 1)(x)=2,194

2) а = 0,4 2) M(x)<5 2) (x)=3

3) а = 0,5 3) M(x)=5 3) (x)<2,194

 

2.

Х	N-2	N-1	N+1	N+2
Р	0,2	0,3	0,3	0,2

1) М(х) =N ; 1) D(x) = N² +2,2;

2) M(x)<N ; 2) D(x)=2,2;

3) M(x)>N ; 3) D(x)= N² –2,2.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З РОЗДІЛУ

МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Лабораторна робота № 1

 

У ста випадково обраних пунктах обміну валюти було зафіксовано дані про

курс продажу долара. Було отримано наступну вибірку:

5.2 5.1 5.0 5.0 5.0 5.0 5.4 5.4 5.2 5.2 4.6 5.0 4.7 5.1 5.0 5.0 4.8 5.4 4.8 5.0 5.2 5.1 4.9 4.6 4.9 5.1 5.2 4.9 4.7 4.9 5.0 4.6 4.7 5.1 4.9 4.8 4.9 5.2 4.6 5.1 5.0 5.3 5.1 5.1 4.9 5.3 4.6 4.9 4.8 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.3 5.2 5.0 5.1 4.7 5.0 5.0 4.9 4.8 5.1 4.8 4.9 5.1 5.1 4.8 4.7 5.2 4.8 4.8 4.9 5.2 4.8 5.1 5.0 5.3 5.0 5.1 4.9 5.3 4.8 4.9 4.8 5.0 5.1 5.1 5.1 4.8 4.7 4.9 5.1 5.2 4.9 4.7 4.9 4.8

5.0

 

На основі приведених вибіркових даних :

1. Знайти середнє значення курсу долара , а також наступні числові характеристики вибіркової сукупності : .

 

Лабораторна робота № 2

За таблицею статистичних даних лабораторної роботи № 1 потрібно:

1. Розбиваючи на дев’ять рівних інтервалів побудувати інтервальний ряд.

2. Згідно інтервальному ряду побудувати гістограму розподілу відносних частот.

3. За критерієм Пірсона перевірити з рівнем значущості а) a = 0,01, б) a = 0,05 гіпотезу про нормальний закон розподілу у сукупності.

4. У випадку, якщо вибіркові дані відповідають нормальному закону розподілу, з надійністю а) 0,95, б) 0,99 знайти довірчий інтервал для .

 

Лабораторна робота № 3

 

В таблиці записані статистичні дані з п’ятнадцяти ділянок про урожайність зернових Y в залежності від кількості добрив X.

 

Y =уі, ц/га

X =хі, т/га

 

На основі приведених даних потрібно:

1. Виявити кореляційно - регресійну залежність урожайності від кількості добрив; обчислити числові характеристики: вибірковий кореляційний момент та коефіцієнт кореляції.

2. На координатній площині побудувати точки (х_і, у_і). Проаналізувати, чи існує лінійна залежність між випадковими величинами X та Y.

3. Знайти рівняння лінії регресії та за цим рівнянням побудувати графік прямої.

4. Скориставшись знайденим рівнянням лінії регресії знайти (спрогнозувати) якою буде урожайність, якщо кількість добрив прийме наступне значення: а) х=7,5; б) х=32.

 

ВКАЗІВКИ ПО ВИКОНАННЮ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ ПОТОЧНОГО ТА ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ З РОЗДІЛУ «МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА»

 

1. Записати емпіричну функцію розподілу для вибірки, яка представлена статистичним рядом:

хі	-2
nі

Розв’язання: Емпіричною функцією розподілу називається функція, яка має вигляд ,

де n- обсяг вибірки, n_х- число значень випадкової величини Х у вибірці, які менші за х. Тоді запишемо емпіричну функцію розподілу

 

2. Побудувати гістограму частот для інтервального статистичного ряду

 

Х	2 - 4	4 - 6	6 - 8	8 - 10	10 - 12	12 - 14
nі

Розв’язання: Знайдемо суму частот вибірки: .

Нижче, на рисунку зображена гістограма. При цьому, основа кожного прямокутника дорівнює довжині інтервалу , а висота дорівнює .

 

3. Протягом 10 днів в банку фіксували кількість підписаних договорів за один день. Отримали наступну вибірку: 15, 20, 14, 17, 15, 22, 18, 17, 20, 21. Знайти вибіркове середнє, вибіркову дисперсію та незміщену вибіркову дисперсію для кількості підписаних договорів за один день.

Розв’язання: Для знаходження вибіркового середнього скористаємось формулою (2):

Вибіркову дисперсію знайдемо за формулою (4):

=

Незміщена (виправлена) вибіркова дисперсія:

.

 

4. Із сукупності, що розподілена за нормальним законом зроблена вибірка об’єму . З надійністю знайти довірчий інтервал для математичного сподівання а, якщо дисперсія дорівнює а), б). Як зміниться довірчий інтервал, якщо об’єм вибірки збільшиться. Розв’язати задачу для випадку .

Розв’язання: За формулою (9) знайдемо t

. Тоді з таблиці 2 знайдемо число t=1,96.

З нерівності (8) отримаємо такий довірчий інтервал:

для випадку а):

для випадку б):

Отже, при збільшенні дисперсії довірчий інтервал збільшується, а отже точність оцінки зменшується.

У випадку отримаємо наступні довірчі інтервали:

а)

б)

 

5. Для даного інтервального статистичного ряду перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу при рівні значущості = 0.05.

Х	3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	4,8-5,4	5,4-6,0	6,0-6,6	6,6-7,2

Розв’язання: Перевіримо цю гіпотезу, скориставшись критерієм Пірсона. Нормальний закон розподілу залежить від двох параметрів: та . Замінимо ці параметри їх відповідними точковими оцінками . Для цього знайдемо вибіркове середнє та вибіркову дисперсію, причому за представника кожного інтервалу візьмемо його середину:

Отже .

Для нормального закону розподілу ймовірність попадання випадкової величини Х на інтервал знаходять за формулою:

,

де - функція Лапласа (див. Таблицю 2). Знайдемо значення теоретичних частот для кожного інтервалу. Покажемо як це робиться на прикладі третього інтервалу:

Потім складаємо порівняльну таблицю чисел: статистичних частот і відповідних їм значень ().

інтервали	3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	4,8-5,4	5,4-6,0	6,0-6,6	6,6-7,2
	2,48	11,23	28,46	39,60	30,92	13,45	3,25

 

За формулою (13) визначаємо міру відхилення емпіричних частот від теоретичних: .

 

Визначимо за формулою (14) число степенів свободи: k=7-2-1=4. За таблицею 3 знайдемо критичне значення критерію при рівні значущості : .

Відповідь: оскільки спостережене значення критерію менше ніж критичне, то гіпотеза про нормальний закон розподілу приймається.

6. В таблиці представлені статистичні дані про капітальні вкладення Х (в тис. грн..) і чистий дохід У (в тис. грн..). Знайти рівняння лінії регресії.

Х=хі
У=уі	3,0	3,5	4,0	4,2	4,6	5,0	5,2

 

Розв’язання: Спочатку знайдемо числові характеристики (вибіркове середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення) окремо для випадкової величини Х та У.

,

,

,

.

Тоді відповідні середньоквадратичні відхилення будуть

, .

Оскільки так як дані таблиці не повторюються, то для обчислення кореляційного моменту скористаємось формулою (15). В даному випадку будемо мати: . Тоді вибірковий коефіцієнт кореляції знайдемо за формулою (17):

.

Підставимо знайдені значення в рівняння (18) і отримаємо:

.

Отже, рівняння лінії регресії має вигляд .

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ (денна форма)

Кафедра вищої математики

Навчальний предмет теорія ймовірностей та математична статистика

Спеціальність Семестр 2

Екзаменаційний білет №

Завдання 1

а) розв’яжіть рівняння

б) Біноміальний закон розподілу. У виробництві деякої продукції третій сорт становить 25%. Знайти ймовірність того, що з семи навмання взятих виробів цієї продукції не менше ніж три будуть третього сорту.

Завдання 2

а) Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Випадкова велична Х має такий закон розподілу

хі
рі	0,16	р	0,34	0,25

Побудувати полігон розподілу, функцію розподілу та її графік. Знайти .

б) Обчислити a, M(x), D (x) , якщо

 

 

Завдання 3

а) Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини.

Ймовірність укладання угоди за результатами ділових переговорів дорівнює 0,7. Випадкова величина Х – число укладених угод після 4 ділових зустрічей. Знайти закон розподілу випадкової величини . Знайти

б) Щільність розподілу неперервної випадкової величини має вигляд

 

Знайти параметр С, та .

Завдання 4

а) Задано таблицю розподілу системи двох випадкових величин

Х У
	0,2	0,15	0,15	а
	0,21	0,05	а	0,05

 

 

Обчислити кореляційний момент системи випадкових величин .

 

 

б) Щільність розподілу функції випадкового аргументу.

Задано Знайти g (y) , якщо Y=x²

 

Завдання 5

а) Середнє квадратичне відхилення вибірки. За даними вибірки знайти вибіркову середню і середнє квадратичне відхилення.

0;1;0;2;3;1;2;1;3;0;1;2;1;3;1;2;0;1;2;3.

б) Маємо дані про розміри основних фондів на випадково вибраних підприємствах

3,8,1,35,42,03,23,31,43,72,73,92,06,15,5,25,53,93,24,84,34,12,2

Побудуйте інтервальний статистичний ряд , обчисліть та побудуйте гістограму.

Завдання 6

а) З великої кількості електричних ламп зроблена вибірка . Середній час горіння ламп із вибірки виявився рівним 10000 годин. З надійністю Знайти довірчий інтервал для середнього часу горіння електролампи а, якщо його год.

б) За двовимірним статистичним розподілом вибірки

Х У
			-
	-

 

 

Записати рівняння регресії :

 

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики протокол №___ від__________

Зав. кафедрою__________Макаренко О.І. Екзаменатор_______________

 

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ВАДИМА ГЕТЬМАНА(заочна форма)

Кафедра вищої математики

Навчальний предметтеорія ймовірностей та математична статистика

Спеціальність__________________Семестр 2

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ №_______

1. У відрі 25 троянд білого та червоного кольору. Червоних у 4 рази більше, ніж білих. Яка ймовірність того, що дві навмання взяті троянди виявляться одного кольору.

 

2. Деталі на конвеєр поступають від двох автоматів, від першого утричі більше, ніж від другого. Перший автомат дає 2% браку, другий 1%. Деталь на конвеєрі виявилась браковоною. Знайти ймовірність того, що вона виготовлена на першому автоматі.

 

3. Показниковий закон розподілу. Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х, якщо щільність розподілу ймовірностей цієї величини має вигляд

4. Випадкова величина Х має такий закон розподілу

хі
рі	0,2	0,3	0,2	а	0,1

Побудуйте полігон розподілу, функцію розподілу та її графік. Обчисліть М(Х), D(Х) та М₀.

 

5. Банк видає кредит трьом підприємствам. Ймовірність того, що перше підприємство своєчасно поверне ктредит 0,7, друге 0,6, третє 0,8. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – кількості підприємств, що своєчасно повернуть кредит. Знайти М(Х) та s(Х).

 

6. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу

 

Обчислити .

 

 

7. Задано закон розподілу системи двох незалежних випадкових величин (Х, У). Випадкова величина Х розподілена рівномірно на інтервалі (0; 5). Величина У має М(У)=3 і D(У)=2. Обчислити М(Х+У),

D(2Х-4У).

 

8. Вибірковий метод. Статистичні розподіли вибірок. За даним статистичним рядом побудувати полігон розподілу частот. Знайти моду.

хі
nі

 

9. Маємо дані про прибутки випадково вибраних підприємств

0,6 0,9 3,8 4,2 0,6 2,8 3,6 2,0 1,0 0,7 1,1 2,7 3,5 3,8 1,5 3,7 3,3 1,0 1,6 1,4

Побудуйте інтервальний статистичний ряд (k=6), обчислить та побудуйте гістограму.

 

10. За даним інтервальним рядом знайти точкові оцінки для математичного сподівання та дисперсії. Вважаючи, що вибірка проведена із нормально розподіленої сукупності з s²=16 знайти з надійністю g=0,95 інтервальну оцінку для математичного сподівання

інтервали	1-5	5-9	9-13	13-17	17-21	21-25	25-29
частоти

 

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики

протокол № 10 від 12.04.2010

 

Зав. кафедрою Макаренко О.І. Екзаменатор ______________

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ :

 

Основна:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Теорія ймовірностей та математична статистика . –2004 р.

 

2. Жлуктенко В.І.. Наконечний С.І. Теорія ймовірностей . – К.: КНЕУ ч.1 та ч.2. –2001 р.

 

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003. – 480 c.

 

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: Высш.школа , 1975. – 332 с.

 

5. Крамер М.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика . – М.: Банки и биржи., ЮНИТИ , 2001 г.

 

6. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика .- Минск.: Высшая школа , 1993.- 270 с.

 

7. Григуліч С.М., Лісовська В.П., Макаренко О.І., Пахомов І.І, Черніс Г.М., «Навчально – методичні рекомендації для самостійної підготовки практичних занять з теорії ймовірностей та математичної статистики» ч. І – Випадкові поді., К.: КНЕУ – 2008. – 108 с.

 

8. Григуліч С.М., Лісовська В.П., Макаренко О.І., Пахомов І.І, Черніс Г.М., «Навчально – методичні рекомендації для самостійної підготовки практичних занять з теорії ймовірностей та математичної статистики» ч. ІІ – Випадкові поді., К.: КНЕУ – 2009. – 149 с.

Додаткова:

8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Физматгиз, 2004.

9. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.

10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз, 1961.

11. Гурский Е.М. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, 1971.

12. Черняк О.І., Обушна О.М., Ставицький А.В. Теорія ймовірностей та математична статистика. Нав.посібник. – 2-ге вид. – К.: Знання, 2002. –199 с.

13. Жлуктенко В.І., Наконечний С.І., Савіна О. Математична статистика: Навч. посібник , -К.: КНЕУ, 2002.

14. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения ч.1,2 . – 1984, Мир.

15. І.Ю. Каніовська Теорія ймовірностей у прикладах і задачах. Київ – 2004 ІВЦ Видавництво «Політехніка» - 156 с.

16. Г.І. Кармелюк Теорія ймовірностей та математична статистика: - Навч. Посібник – К.: Центр учбової літератури 2007 – 576 с.

17. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов Математика для экономистов. Элементы теории вероятностей. – СПб: Питер, 2004 – 464 с.

18. К.Л. Чжун, Ф.Аит Сахлиа Элементарный курс теории вероятностей. – Москва. Бином. Лаборатория знаний, 2007

19. Сборник задач по высшей математике для экономистов под ред. Проф. В.И. Ермакова – М.: Инфра-М, 2007 – 575 с. – (100 лет РЭА им. Г.В. Плеханова)

20. С.В. Мочерний, Я.С. Ларіна, О.А. Устенко, С.І. Юрій Економічний енциклопедичний словник, Львів, видавництво «Світ» - 2005, Т.1 – 616 с., Т.2 – 568 с.

21. Большая экономическая энциклопедия – М.: ЭКСМО, 2007 – 816 с.