Лекции по теории функции комплексного переменного

Понятие функции комплексного переменного. Пусть нам задано некоторое множество Е, если z можно отожествлять с каждым числом множества Е, то z назқвается коплексной переменной, а множество Е ее областью определения. Мы знаем что Е лежит на плоскости в сфере Римана и ее составляет множество точек.Определение. Если каждому значению z который он принимает из множества Е по некоторому закону составляет определенное к - числовое значение тогда говорят что, на множестве Е задана функция и это соотношение обозначим: Если представить то и заданная функция на некотором множестве Е эквивалентно заданию этой функции на и . Если соотносящие значения функции обозначит через точку плоскости, то получим Е. Заданная функция на множестве Е означает установления соотношения Е и Е’ при котором каждому числу сопоставляет определенное значение из . В этом случаи говорят что множество Е отображается на Е’ при помощи функции . , . Очень часто обратные функции бывают многозначными.

Например, . Понятие области и линии Жордана.

Пусть нам задано некоторое множество Е точек на плоскости, если точка с некоторой окрестностью принадлежащей множеству Е то точка называется внутренней точкой.Множество состоящее из одних внутренних точек называется открытым множеством, множество Е называется связанным если для любые две точки этого множества можно соединить некоторой ломанной все точки которой принадлежат этому множеству Е. Определение: Областью мы называем открытые связанные множества.

Простой пример области: открытый круг. Если нам задана некоторая область тогда точка плоскости разбивает на два множества по отношению к этому множеству: 1) все точки принадлежат множеству . 2) все точки не принадлежат множеству . Точки второй группы будут двоякого типа: А) точки которые имеют в достаточно малой окрестности не содержащие точки области , такие точки называются внешними точками области Б) те точки какую окрестность бы мы не брали они содержат область , и они называются граничными точками.

Совокупность всех граничных точек называется границей и обозначается . Область со своей границей называется замкнутой областью и обозначается . Область называется ограниченной если ее можно вклеить внутрь круга.Пусть нам заданы две непрерывные функции на , тогда . Изобразим на плоскости некоторый круг . Если двум различным значениям парам t которое соответствует начальным и конечным точкам круга за исключением, соответствующие две различные точки круга , то такой круг назовем Жордановой кривой.

Если переменная t начиная с возвратная меняется до то точки описывают на плоскости круг в определенном направлении, это направление круга называется положительным направлением круга . Если начало Жордановой кривой совпадает с концом, то эта кривая называется замкнутой кривой Жордана.Любая замкнутая Жорданово кривая разбивает плоскость на две области, первая область состоит из всех внутренних точек по отношению кривой и не содержит бесконечно удаленных точек, вторая из всех внешних точек содержит бесконечно удаленные точки.

Положительное направление кривой при движении точки в этом направлении внутренность кривой оставалась слева.Область состоящая из внутренности Жордановой кривой обладает тем свойством, что к-л кривой из этой области мы не брали она будет принадлежать своей внутренности, эта область называется односвязной областью, область не обладающая этим свойством называется многосвязной. Например внутренность многогранника называется односвязной, а внешность не будет односвязной.

Берем теперь точки принадлежащие не принадлежащие . Такая область называется n+1- односвязными. Непрерывные функции комплексного переменного. Пусть мы имеем однозначную функцию в некоторой области комплексной плоскости.Пусть точка а – буде предельной точкой области . Опр. Функцию назовем стремящейся к А при , если для любого . Это можно записать в виде: Пусть теперь точка находится внутри области и выполняется соотношение То функция называется непрерывной.

Это можно выразить : . Если то функция является равномерной непрерывной. Если то функция является неравномерной непрерывной. Если две функции и непрерывны в точке (некоторая область ) тогда: То функция называется равномерной непрерывной. Пример: . Возьмем Ясно что беря достаточно малой, можно правую часть сделать меньше . - этот многочлен непрерывен во всех точках. Используя 3) можно написать . Теорема Кантора.Если функция - непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она равномерно непрерывна в ней. Для доказательства на понадобиться Лемма Гейне - Борелля.

Лемма. Если каждая точка является центром некоторого круга , то из совокупности можно выделить конечное число кругов, которые покрывают замкнутое множество. Доказательство.Пусть утверждение Леммы неверно, т.е для покрытия бесконечное множество кругов этой системы, т.к. -ограниченно, то можно вклеить во внутрь некоторого квадрата, со сторонами параллельными осям координат. (1) Все начиная с достаточно большого и части -это противоречие.

Лемма доказана. Доказательство(теоремы). Т.к. функция непрерывна в , то для каждой точки существует некоторый круг с центром в этой точке и радиуса какие бы точки не брали, выполняется неравенство: В качестве совокупности кругов покрывающих берем круги отличенные от кругов тем, что ее радиус меньше в два раза, т.е . Наименьший из этих кругов обозначается через покажем что - есть та которая участвует в определении равномерной непрерывности.Действительно, возьмем производные точки . Пусть , с радиусом , , Теорема Кантора доказана.

Пример. , . 1) 2) Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейштраса.Понятие равномерной сходимости функционального ряда. Пусть (1) Ряд каждый член которого является однозначной в области и путь для любого ряд (1) сходится. Следовательно сумма однозначна в . Кроме этого, если в для каждые непрерывны на , то будет ли непрерывной Например: (2) Для . Определение. то ряд (1) равномерно сходится к сумме.

Пример-2. (1) равномерно сходиться к и непрерывны в точке то непрерывны в точке . - фиксированная точка, где - добавок. (3) Условия: . - сумма первых членов ряда, она непрерывна в точке . Следствие: если ряд (1) равномерно сходится в области и каждый член непрерывен в этой области то сумма непрерывна в этой области.Пример3. признак равномерной сходимости функционального ряда (Признак Вейштраса). Если каждый член (1) то (1) абсолютно и равномерно сходится на множестве Е. Доказательство абсолютной сходимости. . Доказательство равномерной сходимости. . Степенные ряды. Теорема Абеля. Формула Коши – Адамара.

Области сходимости степенного ряда. Ряд вида: (1) Где - комплексные числа, - комплексная переменная. Степенной ряд (общий вид): . Определение. Областью сходимости степенного ряда совокупность всех точек z к которых (1) сходится.В области сходимости любого степенного ряда принадлежит z=0. (2) Область сходится только к нулю. . Первая теорема Абеля. 1) Пусть (1) сходится к точке следовательно согласно необходимому условию сходимости ряда . сходятся к нулю. . (4) очевидно (5) . (6) . не стремиться к нулю при . Теорема.

Для каждой степени ряда (1) существует круг с центром в точке (0,0), R=R что во всех внутренних точках ряд (1) абсолютно сходится, а во внешности расходится. Верхний предел последовательности неотрицательных чисел.Пусть имеем последовательность (7) . Последовательность (7) не ограничена. В этом случаи . последовательность (7) неограниченна. . Е- совокупность всех предельных точек . Если Е состоит из конечного числа точек, то среди этих точек найдем точек лежащих правее всех. Это верхний предел . Но Е- может быть бесконечным множеством. . Формула Коши – Адамара.

Теорема (Коши - Адамара). (1) Доказательство ( ). Если , то . Пусть в точке (1) сходится. , - ограниченно т.е. существует . Доказательство ( ). Если , существует , Доказательство ( ). Каждая точка для каждой точки Например. . . Дифференцирование функции комплексного переменного.

Необходимость и достаточность условия существования производной. Понятие производной. Пусть в некоторой области задана функция для любого , функция имеет приращение: , (1) Определение. Если при отношения (1) стремиться к определенному конечному приделу, то функция называется дифференцируемой в точке z. Значит этого предел называют производной и обозначают Понятие аналитической функции.Если функция дифференцируема в некоторой точке то функцию мы назовем моногенной в этой точке.

Если функция в каждой точке некоторой области моногенна, то она называется аналитической или регулярной в этой области. Из определения аналитичности функции следует что…. Например: (1) - это функция дифференцируема в точке . . Рассмотрим 2-ой случай. . - существует. - не существует. При 1) 2) 2) если брать функцию , то ясно что эта функция не дифференцируема нигде, т.е. предел не существует . 3) - эта функция тоже нигде не дифференцируема.III. Дифференциал функции комплексного переменного. Пусть в точке моногенна т.е. следовательно приращение функции можно записать в виде: (2) - линейная часть приращения, называемая дифференциалом комплексного переменного в точке : Из (2) следует, если , то , т.е функция непрерывна.

IV. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Условия Коши – Римана (Даламбера - Эйлера). Если - однозначная функция, , то является функцией двух переменных. Функции всегда дифференцируемы, но не дифференцируема.Пусть , то Сравнивая (3) и (4), получим: (5) Необходимые условия существования производной условия Коши – Римана (Даламбера - Эйлера). Доказательство.

Пусть функции - дифференцируемы в некоторой точке и выполняется условие (5) в этой точке.Т.к. дифференцируемы то (6) (7) . Таким образом мы доказали, что условие Коши – Римана достаточно для дифференцирования функций . Пример 4. Где дифференцируема функция? Решение: - всюду в комплексной плоскости дифференцируема и производная равна самой , т.е. . Гармонические функции.

Постановка аналитичных функций по заданной гармоничной части. I.Действительная и мнимая части алалитичных функции как сопряженные гармоничные функции.Пусть однозначно и окончательно в некоторой области . В дальнейшем мы докажем, что пока она имеет в области производные всех порядков следовательно функции имеет непрерывные производные всех порядков, в том числе все непрерывные части производной второго порядка области и кроме того, эти функции удовлетворяют условию Коши – Римана, т.е (1) Если первое равенство дифференцировать по х, а второе по у, получим: Сложив их получим: . Точно также в (1) дифференцируя первое равенство по у, а второе по х получим: Аналогично . Функции - как дифференцируемые функции двух переменных имеющие частные производные 2-го порядка удовлетворяющие уравнению Лапласа: - оператор дифференцирования.

Определение.Если действительная функция от двух переменных дважды непрерывна дифференцируема в и в ней удовлетворяет уравнению Лапласа, то она называется гармоничной функцией в области . Следовательно, Действительно и при мнимой части область гармоничны в этой области, т.к. они связаны с условием Коши – Римана, они называются сопряженными гармоничными функциями.

II. Построение аналитичной функции с помощью заданной вещественной или мнимой гармоничной ее частей.Пусть в некоторой односвязной области задана гармоничная функция которая в ней является вещественной частью некоторой аналитичной функции в области . Тогда требуется восстановить функцию означает что нужно найти ко всем при мнимой части, так мы доказали что если функция аналитична в некоторой области , то функции удовлетворяют условию (1) Коши – Римана: используя эти условия мы можем найти частные производные функции : Функции дифференцируемы и их частные производные выражаются через производные второго порядка от функции : Следовательно значение интеграла , не зависит от пути соединения функции х с у. Поэтому эта функция является однозначной в области . Исследуем частные производные функции : (2) . Пример. -эта функция гармонична во всей области плоскости и удовлетворяют уравнению Лапласа: По формуле (2) Восстановим функцию: Показательные, тригонометрические и гиперболические функции и их свойства.

Формулы Эйлера.

Мы знаем что: Имеют радиусы сходимости равные бесконечности.В дальнейшем будем доказывать что любой степенной ряд внутри круга сходимости представляет собой аналитическую функцию следовательно суммы всех этих рядов аналитичны на всей комплексной плоскости. Если вместо z в этих рядах подставить x, то суммой соответственных рядов будут , и в случаи z суммы этих рядов соответственно обозначаются через . Свойства этих функций.

Покажем что как функции комплексного переменного имеют все свойства функции . Например: (4) В (4) заменим на : Функции при вещественном значении z никак не связаны, но в комплексной плоскости существует связь между ними которую обнаружил Эйлер: (6) Для доказательства заменим на : В (6) заменим на : (7) (8) Формулы (6) и (8) называются формулами Эйлера.

Теперь докажем формулы сложения и вычитания для функций : По формуле (6) Заменяя на , на и учитывая четность и нечетность функций соответственно: . Заменяя = : - основное тригонометрическое тождество. . Заменим на в I и II: В формуле сложения вместо t подставляем , получим: Т.о. функции имеют период в комплексной плоскости.Исследуем нули функции : 1) следовательно не имеет нулей. 2) По формуле (8) Аналогично 3) В комплексной плоскости . Гиперболические функции и их свойства.

Гиперболическим косинусом назовем функцию: (13) - функция четная. Гиперболическим синусом назовем функцию: (14) - функция нечетная. Основное тождество для гиперболических тригонометрических функций: Понятие интеграла от функции комплексного переменного и ее основные свойства. Понятие интеграла от комплексной функции.Определение 1. Кривая С называется гладкой, если она имеет непрерывные вращательную касательную в каждой своей точке.

Кривая С называется гладкой если она имеет уравнение и Определение 2.Кривая С называется кусочно – гладкой если она состоит из конечного числа гладких частей.Допустим что на некоторой гладкой кривой С задана функция . Эту кривую разделим при помощи точек на n частей и для каждой части определим произведение: Где . Образуем сумму: (1) Определение 3. Если (длина ) стремиться к нулю, сумма (1) стремиться к определенному конечному пределу, то мы говорим что функция интегрируема по кривой С, а значения этого предела: (2) Мы назовем интегралом кривую С по функции и обозначим: . 2) Существование интеграла.

Если функция - непрерывна на гладкой кривой С, то интеграл существует. Доказательство.Для доказательства обозначается . Соответственно . Сумму (1) можно написать следующим образом: . Так как функции - непрерывны на кривой С, то достаточное условие существования криволинейного интеграла второго рода от этих функций . Поэтому пределы: Существуют и они равны между собой . То из (3) мы получим: (4) Вычисление интеграла.

В интеграле (4) мы воспользуемся параметрическим уравнением гладкой кривой , через : (5) Определение. Если кривая С кусочно - гладкая и она состоит и последовательно проходимых частей то по определению интеграла по всей кривой мы называем суммой интегралов по всей кривой. . Нетрудно заметить что формула (5) имеет место и для кусочно гладкой кривой.Свойство интегралов. , если менять направление С, то интегральная сумма: - меняет знак. . Для постоянной . . Если кривая С такова, что точка . Эта кривая такова что . Доказательство.

Составим интегральную сумму . . Доказательство. . Функция аддитивности функции как функция области. Пусть область состоит из кусочно гладких замкнутых кривых . Тогда -называется функцией границы области. Эту функцию будем рассматривать как функцию области. Выполняется следующее утверждение.Если область мы разделяем на m взаимно непрерывающих частей при помощи конечного числа кусочно гладких кривых и части обозначаются через . Тогда - аддитивность. . Теорема (о предельном переходе под знаком интеграла). Если функция при каждом фиксированном из некоторого множества комплексной плоскости Е непрерывна на некоторой кусочно гладкой кривой С и при предельной точки на кривой С, тогда пределный переход под знаком интеграла: По условию теоремы По Теорема( о равенстве повторных интегралов). Если функция на непрерывна, где - произвольные кусочно - гладкие кривые, тогда функция Непрерывна на кривой и выполняется следующее равенство: - условие существования повторных интегралов.