Доказательство. - раздел Математика, Линейная алгебра Докажем, Что Условие ...
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главной диагонали произведения матрицы на обратную матрицу стоят суммы произведений элементов строк матрицы на соответствующие этим элементам строк алгебраические дополнения. Эти суммы дают значения определителя, который по условию теоремы не равен нулю. Любые элементы произведения матриц , не лежащие на главной диагонали, равны нулю, так как там стоят суммы произведений элементов строк матрицы на алгебраические дополнения к элементам других строк.
Таким образом: .
Аналогично доказывается, что произведение , что означает существование обратной матрицы в виде, указанном в формулировке теоремы.
Покажем, что эта матрица единственная. Предположим, что имеется хотя бы одна матрица , также удовлетворяющая условиям . Умножая равенство слева на матрицу , получим цепочку следований:
,
что доказывает единственность обратной матрицы.
Докажем, что условие является необходимым, то есть из существования обратной матрицы должна следовать не особенность исходной матрицы . Действительно, из теоремы об определителе произведения матриц и определения обратной матрицы следует, что . Отсюда можно сделать вывод, чтои, так как иначе их произведение не могло бы равняться отличному от нуля числу 1. Теорема полностью доказана.
Отметим, что в процессе доказательства теоремы было показано, что определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, то есть вычисляется по формуле .
Квадратная матрица , обладающая свойством , называется ортогональной. Следующие основные свойства обратных матриц:
1) , 2) , 3)
доказываются обычно по методу представления в общем виде элементов матриц, стоящих слева и справа от знаков равенств.
Рассмотрим пример вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы, то есть путем составления алгебраических дополнений, для следующей матрицы третьего порядка . Ее определитель вычислим методом разложения по первой строке . Так как определитель матрицы не равен нулю, то матрица неособенная, и поэтому можно составлять обратную матрицу . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :
, , ,
, ,,
, , .
Обратной матрицей для матрицы является следующая матрица:
.
Для того чтобы проверить правильность составления обратной матрицы, следует исходную матрицу умножить на обратную ей матрицу. В результате должна получиться единичная матрица соответствующего размера.
С помощью обратной матрицы, найденной вышеуказанным способом, удобно решать невырожденные квадратные системы с небольшим числом неизвестных. При этом решение системы находится за конечное число шагов и явно выражается через коэффициенты системы и свободные члены. Правило решения такой системы формулируется в следующей теореме.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Доказательство.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов