Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса). - раздел Математика, Линейная алгебра 1. Координаты Произвольного Вектора В Ортонормированном Базисе Равны Скаля...
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух любых векторов вычисляется в ортонормированном базисе как сумма произведений соответствующих координат в данном базисе.
Доказательство.Пусть есть некоторое разложение произвольного вектора в ортонормированном базисе . Последовательно и скалярно умножая обе части этого равенства на векторы базиса, получим
для всех ,
что и требовалось доказать в первой части теоремы.
Пусть далее , есть некоторое разложение произвольных векторов в ортонормированном базисе . Составим скалярное произведение векторов , и в силу аксиоматических свойств любых скалярных произведений и свойств ортонормированного базиса получим:
,
что и требовалось доказать.
Определение.Два любых вектора , линейного пространства имеют одинаковое (одно и то же) направление, если для них выполняется условие .
Определение.Арифметические векторы в задачах с геометрической терминологией называют точками с компонентами .
В частности, арифметические векторы из или из также называются точками и изображаются в декартовой прямоугольной системе координат в виде точек или . При этом все координаты измеряются в одинаковом масштабе, причем первую координату называют абсциссой, вторую – ординатой, а третью – аппликатой.Точку или будем называть началом координат на плоскости или в пространстве.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Новости и инфо для студентов