Исследование и решение однородных систем уравнений.
Исследование и решение однородных систем уравнений. - раздел Математика, Линейная алгебра Однородная Система ...
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое (тривиальное) решение . В этом случае и в преобразованной матрице коэффициентов, и в преобразованной расширенной матрице всегда одинаковое число строк. Таким образом, всегда и всегда выполняется теорема Кронекера – Капелли.
Если дополнительно ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных системы , то, учитывая выполнение всех условий следствия 1 из теоремы Кронекера – Капелли, тривиальное решение системы является единственным решением системы.
Если система линейных уравнений однородна и , то ее множество решений бесконечно и зависит от произвольных постоянных . Среди бесконечного множества решений однородной системы всегда можно выделить ровно линейно независимых решений размерности .
Прежде чем построить эти решения приведем необходимые определения и теоремы, справедливые для любых линейных пространств.
Определение.Будем говорить, что линейное пространство имеет размерность и обозначать или , если в этом линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из вектора линейно зависима.
Другими словами, линейное пространство имеет размерность , если наибольшее число линейно независимых векторов в этом пространстве равно.
Размерность пространства, состоящего из единственного нулевого элемента, считается равной нулю. Может случиться, что для любого сколь угодно большого числа в некотором линейном пространстве имеются линейно независимых векторов. Такие пространства называют бесконечномерными линейными пространствами.Например, таким пространством будет линейное пространство, состоящее из полиномов любой степени, которое имеет базис . Теория конечномерных линейных пространств выделяется из общей теории путем постулирования дополнительной аксиомы размерности.
Например,для двумерного пространства выделяющей аксиомой будет следующая:«Любая тройка векторов в линейном пространстве линейно зависима, но в пространстве существуют два линейно независимых вектора.
Размерность любого конечномерного пространства равна числу векторов базиса этого пространства, что устанавливается следующей теоремой.
Теорема (о размерности пространства и его базисе).Для того чтобы линейное пространство имело размерность , необходимо и достаточно, чтобы любая линейно независимая система из векторов являлась базисом этого пространства.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
Доказательство.
Необходимость.Пусть есть конечномерное пространство размерности
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов