Векторное и смешанное векторно-скалярное произведения.
Векторное и смешанное векторно-скалярное произведения. - раздел Математика, Линейная алгебра Определение.Векторным Произведением Двух Геометрических В...
Определение.Векторным произведением двух геометрических векторов и в реальном пространстве называют геометрический вектор , представление которого в каноническом базисе имеет вид
При решении практических задач, представление вектора в каноническом базисе находят, формально раскрывая по первой строке определитель третьего порядка .
Отметим, что векторное произведение, в отличие от скалярного произведения, определено только в реальном пространстве и только для геометрических векторов.
Непосредственно из определения следуют алгебраические свойства векторного произведения:; ; .
Определение.Два любых вектора и линейного пространства называются коллинеарными, если они линейно зависимы.
Непосредственно из определений коллинеарности и линейной зависимости двух векторов следует, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Если оба вектора и отличны от нулевого, то один вектор может быть линейно выражен через другой по формуле , где - некоторое вещественное число.
Пример. Пусть и есть двумерные арифметические векторы. Они линейно зависимы, так как . Таким образом, векторы и являются коллинеарными. Кроме того, вектор может быть линейно выражен через вектор по формуле , так как .
Определение.Три любых вектора ,,линейного пространства называются компланарными (лежащими в одной плоскости), если они линейно зависимы.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов