Доказательство. - раздел Математика, Линейная алгебра По Определению Базиса Это Означает, Что Любая Строка Или Столбец Матрицы Могу...
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все рассуждения достаточно провести для строк, так как, транспонировав исходную матрицу, мы получим доказательство для столбцов матрицы .
Линейную независимость базисных строк будем доказывать методом от обратного.
Пусть некоторые базисные строки линейно зависимы. Тогда одна из этих строк является линейной комбинацией остальных строк. Но тогда из свойств определителей следует, что базисный минор равен нулю. Базисный минор по определению не должен быть равен нулю. Таким образом, исходное предположение ложно и базисные строки линейно независимы.
Докажем теперь, что любая строка произвольной матрицы размера является линейной комбинацией базисных строк. Для удобства в обозначениях будем считать, что базисный минор стоит на пересечении первых строк и первых столбцов. Это предположение не ограничивает общности доказательства теоремы, так как всегда можно переставить базисные строки и столбцы таким образом, чтобы базисный минор находился в левом верхнем углу матрицы . При таких перестановках может измениться знак определителя, но он не может стать равным нулю, что изменило бы ранг матрицы.
Пусть – любое число от 1 до , а – любое число от 1 до . Убедимся в том, что любой определитель порядка :
равен нулю. Если или , то указанный определитель будет равен нулю в силу того, что у него будет два одинаковых столбца или две одинаковые строки. Если оба числа и строго больше , то любой указанный определитель будет иметь порядок , и равен нулю по определению базисного минора. Таким образом, при любых значениях и наш определитель всегда нулю. Разложим этот определитель по последнему столбцу:
.
Алгебраические дополнения к элементам последнего столбца с номером ,очевидно, не зависят от элементов с номерами, содержащими . Поэтому в крайней правой части нашего разложения они обозначены буквами , не включающими индекс . Значение всегда не равно нулю, так как оно с точностью до знака совпадает со значением базисного минора. Разделив последнее равенство на число , мы получим, что
.
Эти равенства справедливы для любых чисел и , и означают, что любая строка с номером является линейной комбинацией первых базисных строк. Таким образом, теорема полностью доказана.
Из теоремы о базисном миноре вытекают два важных следствия.
1. Для любой матрицы число линейно независимых строк равно числу линейно независимых столбцов и равно рангу матрицы.
2. Определитель любого порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его строки или его столбцы линейно зависимы.
Отметим, что по закону контрпозиции равносильное свойству 2 утверждение формулируется следующим образом: определитель отличен от нуля тогда и только тогда, когда его строки или его столбцы линейно независимы.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Доказательство.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
.
является линейной комбинацией базисных строк. Для удобства в обозначениях будем считать, что базисный минор стоит на пересечении первых 
строк и первых 
– любое число от 1 до 
, а 
– любое число от 1 до 
. Убедимся в том, что любой определитель порядка 
:
или 
, то указанный определитель будет равен нулю в силу того, что у него будет два одинаковых столбца или две одинаковые строки. Если оба числа 
и 
строго больше 
, и равен нулю по определению базисного минора. Таким образом, при любых значениях 
.
,очевидно, не зависят от элементов с номерами, содержащими 
, не включающими индекс 
всегда не равно нулю, так как оно с точностью до знака совпадает со значением базисного минора. Разделив последнее равенство на число 
, мы получим, что
.
Новости и инфо для студентов