ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО - раздел Математика, Линейная алгебра Множество ...
Множество элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, а его элементы – векторами, если выполнены следующие условия.
1. Имеется операция сложения векторов, по которой каждой упорядоченной паре векторов ставится в соответствие третий вектор, что обозначается как .
2. Имеется операция умножения числа на вектор, по которой каждой упорядоченной паре из числа и вектора ставится в соответствие вектор, что обозначается как .
3. Для любых векторов из и чисел указанные операции удовлетворяют следующим восьми аксиомам:
Сложение коммутативно, т. е. ;
Сложение ассоциативно, т. е. ;
Существует нулевой вектор такой, что для любого векторавыполняется ;
Для любого вектора существует противоположный вектортакой, что выполняется ;
Умножение вектора на число дистрибутивноотносительно сложения чисел, т. е. ;
Умножение вектора на число дистрибутивноотносительно сложения векторов, т. е.;
Умножение на число ассоциативно, т. е.;
При умножении на единицу вектор не изменяется, т. е. .
Знак равенства, используемый в представленных аксиомах и во всех последующих выражениях, означает, что слева и справа от знака стоят одни и те же векторы, представленные в различных формах записи.
Подчеркнем, что, определяя линейное пространство, мы абстрагируемся как от природы изучаемых объектов, так и конкретного вида основных операций.
Таким образом, математическая структура линейной алгебры имеет вид
,
причем элементы из множества называются векторами, элементы из множества являются числами (вещественными или комплексными), а операции сложения векторов и умножения числа на вектор должны удовлетворять восьми указанным выше аксиомам.
Если природа изучаемых объектов и правила выполнения двух основных операций указаны в явном виде, то соответствующее линейное пространство называют конкретным.
Всякая конечная упорядоченная последовательность из вещественных чисел называется вещественным арифметическим - мерным вектором и обозначается в виде . Числа называются компонентами арифметического вектора.
Сложение арифметических векторов и умножение их на число выполняется по правилам сложения соответствующих компонент и умножения каждой компоненты на число, т.е.
, .
Например, если даны четырехмерные арифметические векторы и , то их сумма равна вектору, а произведение вектора на число -2 равно вектору . Так как аксиомы линейного пространства выполняются для чисел, а операции и осуществляются в виде покомпонентного сложения и умножения чисел, то и для арифметических векторов любой размерности выполняются постулаты Таким образом, множество всех вещественных арифметических -мерных векторов с введенными выше операциями есть линейное пространство, нулевым вектором которого является вектор , а противоположным для каждого вектора является вектор . Это пространство называютвещественным - мерным арифметическим пространством и обозначают .При мы получаем вещественное одномерное арифметическое пространство ,которое совпадает со множеством вещественных чисел .
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов