Теорема (о модуле векторного произведения ). - раздел Математика, Линейная алгебра Модуль Векторного Произведения Двух Векторов ...
Модуль векторного произведения двух векторов и может вычисляться по формуле , где есть угол между векторами и . Если векторы ,не являются коллинеарными, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Доказательство.Если векторы , являются коллинеарными, то их векторное произведение равно нулевому вектору, а модуль нулевого вектора равен нулю. Так как угол между коллинеарными векторами равен 0 или , то .
Таким образом, доказываемая формула справедлива для коллинеарных векторов.
Пусть векторы ине являются коллинеарными.
Обозначим направляющие косинусы вектора как Так как, по определению, направляющие косинусы есть компоненты орта вектора , то для них справедлива формула Компоненты вектора выражаются через модуль вектора и направляющие косинусы по формулам
Аналогично, обозначим направляющие косинусы вектора как Для них также справедлива формула Кроме того, выполняются равенства для компонент вектора в виде
Косинус угла между векторами ивычисляется как скалярное произведение между их ортами по формуле
Найдем далее квадрат модуля векторного произведения:
.
Отсюда следует , что и завершает доказательство первой части теоремы.
Если векторы , не являются коллинеарными, то на них можно построить параллелограмм. Площадь любого параллелограмм вычисляется как произведение длины основания параллелограмма на его высоту. В нашем случае длина основания равна , а высота равна . Таким образом, теорема полностью доказана.
Определение.Векторно-скалярным или смешанным произведением трех упорядоченных векторов , , в реальном пространстве называют число, найденное по правилу , где для первых двух векторов составляется векторное произведение, которое затем скалярно умножается на третий вектор.
Учитывая определения векторного и скалярного произведений, значение смешанного произведения вычисляют по формуле
Если векторы , , являются компланарными, то один из векторов, может быть представлен в виде линейной комбинации двух других. В этом случае одна из строк определителя смешанного произведения будет линейной комбинацией двух других строк. Как известно, значение такого определителя равно нулю.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Теорема (о модуле векторного произведения ).
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов