Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу).
Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу). - раздел Математика, Линейная алгебра Определитель Порядка ...
Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения.
Например, формула разложения определителя по той строке в соответствии с основной теоремой имеет вид:
Этой теоремой широко пользуются при вычислении определителей, стараясь выбирать те строки или столбцы, которые содержат больше нулей.
Перечислим основные свойства определителей.
Свойство 1.Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, то есть .
Это свойство непосредственно следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу.
Свойство 2.Знак определителя изменяется на противоположный при перестановке двух произвольных строк (столбцов) местами.
Свойство 3.Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые:
.
Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит суммы элементов.
Свойство 4.Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя умножить на постоянный множитель, то исходный определитель умножится на этот множитель. Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит постоянный множитель.
Свойства 3 и 4 могут применяться многократно и составляют, так называемые, линейные свойства определителей.
Свойство 5.Если определитель содержит хотя бы одну строку (столбец), состоящий из нулевых элементов, то он равен нулю.
Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит только нулевые элементы.
Свойство 6.Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
Действительно, если переставить в матрице с определителем две равные строки, то эта матрица не изменится и будет иметь тот же определитель . С другой стороны, по свойству 2, знак определителя изменяется на противоположный при перестановке любых двух строк матрицы. Отсюда значение определителя равно . Таким образом получается, что , что и требовалось доказать.
Свойство 7.Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию некоторых других строк (столбцов), то величина определителя не изменится.
Это свойство следует из линейных свойств определителя и свойства 6.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Напишем формулу разложения определителя по первой строке
.
Вид этой формулы не за
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов