Таким образом, смешанное произведение трех компланарных (лежащих в одной плоскости) векторов равно нулю.
Таким образом, смешанное произведение трех компланарных (лежащих в одной плоскости) векторов равно нулю. - раздел Математика, Линейная алгебра Рассмотрим Далее Скалярное Произведение Вектора ...
Рассмотрим далее скалярное произведение вектора на вектор . По определению смешанного произведения, мы получим определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю. Это означает, что векторное произведение ортогонально (перпендикулярно) одному из перемножаемых векторов. Аналогично, показывается, что векторное произведение перпендикулярно и второму из перемножаемых векторов. Таким образом, можно утверждать, что векторное произведение всегда дает вектор, который перпендикулярен обоим векторам-сомножителям.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов, не меняет его величины, т.е.
,
что проверяется непосредственно по определяющей формуле.
Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах , , и перепишем векторно-скалярное произведение в виде , где есть угол между векторами и . Ранее было показано, что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и. Величина по определению равна проекции вектора на вектор , а модуль этой величины равен длине высоты параллелепипеда. Отсюда, окончательно, получаем, что модуль смешанного произведения равен объему исходного параллелепипеда.
Определение.Упорядоченная тройка некомпланарных геометрических векторов , , называется правой, если величина смешанного произведения строго положительна. Если же величина смешанного произведения строго отрицательна, то указанная тройка векторов называется левой.
Вычислим смешанное произведение для векторов канонического базиса ,,. По определяющей формуле
.
Таким образом, векторы канонического базиса образуют правую тройку, а, соответствующую этим векторам систему координат , называют правой прямоугольной системой координат. На рисунках ось обычно направляют вверх, а оси и располагают таким образом, чтобы наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного тремя осями, кратчайшие повороты от оси к оси и от оси к оси казались происходящими против часовой стрелки.
Покажем, что векторы образуют правую тройку, если векторы являются неколлинеарными. Их смешанное произведение равно скалярному произведению вектора на себя. Так как векторы являются неколлинеарными, то из доказанного выше следствия следует, что вектор отличен от нулевого вектора. Отсюда и аксиом скалярного произведения следует, что , так что векторы образуют правую тройку.
Таким образом, показано, что векторное произведение удовлетворяет следующим трем условиям:
1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах , и может вычисляться по формуле ;
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов