Линейные пространства. Арифметические векторы

Множество V называется линейным пространством, если

1) задано правило, по которому для каждых 2-х элементов можно построить третий элемент , называемый суммой и и обозначаемый ;

2) задано правило, которое позволяет для каждого элемента и для каждого числа построить элемент , называемый произведением х на число ;

3) правила построения суммы и произведения элемента на число удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. - коммутативный закон

2. - ассоциативный закон

3. существует 0 (нуль-вектор), такой элемент из R, что

4. для всякого существует элемент такой, что , - называют противоположенным к элементом

5.

6. и любых

7.

8. и любых .

Примеры линейных пространств.

1. Совокупность действительных (вещественных) и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения на действительные числа.

2. Множество свободных векторов в 2-х и 3-х мерном пространстве.

3. Совокупность всех непрерывных функций на интервале (a, b) с принятыми в анализе операциями сложения функций и умножения функции на число. Это пространство обозначается C(a, b).

4. Совокупность всех многочленов степени не выше n.

5. Совокупность всех решений однородной линейной системы уравнений.

6. Совокупность вещественных матриц одного порядка с введенными операциями сложения матриц и умножения матриц на число.

Линейная зависимость

Пусть вектора из линейного пространства V; - действительные числа.

Определение. Вектора называются линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю, но такие, что выполняется равенство

(*)

Если равенство (*) возможно только при , то - линейно независимы.

Например, на плоскости два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. В пространстве же линейная независимость векторов эквивалентна их компланарности.

Пример 1. Рассмотрим пространство многочленов: . Выясним, линейно зависима или линейно независима эта система векторов.

Решение. Составим равенство (*):

С₀·1+С₁·х+С₂·х²+С₃·х³=0.

Продифференцируем последовательно три раза последнее равенство, получим

Отсюда получаем, .

Следовательно, система векторов является линейно независимой.

Пример 2. Является ли линейно независимой система векторов:

.

Решение. Составим равенство (*):

;

;

.

Получим систему уравнений:

;

Таким образом, система векторов является линейно независимой.

Лемма 1. Если среди векторов имеются линейно зависимые, то и вся система линейно зависима.

Лемма 2. Вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них есть линейная комбинация других.

Лемма 3. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Определение. Конечная система векторов называется базисом линейного пространства V, если:

1) векторы линейно независимы;

2) любой вектор пространства V представляется в виде линейной комбинации векторов базиса:

.

Коэффициенты разложения определяются однозначно и называются координатами вектора в базисе .

Определение. Число векторов во всех базисах пространства V одинаково. Это число называется размерностью пространства V и обозначается .

 

Собственные числа и собственные векторы матрицы

Определение. Вектор называется собственным вектором матрицы А, если обладает следующими свойствами:

1)

2) существует такое число , что .

При этом число называется собственным числом, или собственным значением матрицы А.

Теорема. Для того, чтобы было собственным числом матрицы А необходимо и достаточно, чтобы

.

Данное уравнение называется характеристическим уравнением.

Утверждение. Собственные векторы матрицы А являются решением система уравнений

.

Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .

Решение. 1) Составим матрицу :

=.

Составим и решим характеристическое уравнение:

Итак, собственные числа матрицы А раны -1 и 7.

2) Для нахождения собственных векторов составим и решим систему уравнений для каждого собственного числа.

а) :

Таким образом, первый собственный вектор

б) :

Таким образом, второй собственный вектор