Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными

(1)

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы уравнений (1):

Матрица называется расширенной матрицей.

Вектор называется вектором неизвестных, вектор называется вектором свободных членов.

Матричная запись системы (1) имеет вид:

Если вектор b=0, то система называется однородной, если b≠0 (хотя бы один из элементов отличен от нуля), то система называется неоднородной.

Решением системы (1) называется такой вектор X=, что при подстановке чисел в систему (1) получаются верные равенства (тождества).

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают. Заметим, что операции над системой уравнений сводятся к элементарным преобразованиям над расширенной матрицей

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему .

Заметим, что однородная система всегда совместна, поскольку нуль-вектор Х=ее решение.

Для решения однородной системы уравнений применяется метод Гаусса. Метод Гаусса для решения систем уравнений состоит из прямого и обратного хода. Прямым ходом заданную систему приводят к эквивалентной ступенчатой системе.

Проиллюстрируем алгоритм метода на примере:

Прямой ход метода Гаусса. Приведем матрицы системы к ступенчатому виду:

.

Матрица приведена к ступенчатому виду, ее ранг равен 3.

Выпишем соответствующую систему уравнений:

Переменные , не связанные с угловыми элементами, называются свободными, переменные - зависимые переменные (несвободные, базисные). Зависимыми переменными всегда объявляются переменные, коэффициентами которых являются угловые элементы. Заметим, что при другом способе приведения матрицы к ступенчатому виду свободными переменными могут оказаться переменные с другими индексами. Однако число свободных переменных всегда равно n-r (r – ранг матрицы).

Обратный ход метода Гаусса заключается в том, что зависимые переменные выражаются через свободные из ступенчатой системы, начиная с последнего уравнения и «поднимаясь» вверх к первому. В результате получим

Полученное выражение называют общим решением системы в координатной форме.

Полученные выражения дают описание всего множества решений однородной системы. Давая свободным переменным произвольные значения, и вычисляя значения зависимых переменных, получаем некоторое частное решение системы.

Запишем общее решение в векторной форме. Придадим свободным переменным значения , получим и ; затем , получим и . Векторы линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений (ФСР).

Общее решение системы, записанное в векторной форме, имеет вид:

 

Неоднородные системы

Пусть задана неоднородная система уравнений

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности неоднородной системы). Система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы А равен рангу расширенной матрицы : .

 

Методы решения систем линейных уравнений

1. Метод Гаусса

Рассмотрим на примере системы

Прямой ход метода Гаусса. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Здесь , система совместна.

Запишем эквивалентную ступенчатую систему:

Переменные являются зависимыми, а - свободной переменной.

Обратный ход метода Гаусса. Выразим зависимые переменные через свободные, получим:

.

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса

.

Составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:

Запишем эквивалентную ступенчатую систему:

Таким образом, решением данной системы уравнений является вектор .

2. Метод решения системы уравнений с помощью обратной матрицы.

Найдем решение системы уравнений из примера 2 с помощью обратной матрицы. Прежде всего, определим обратную матрицу А^-1 с помощью алгебраических дополнений.

det A=

Для каждого элемента определим алгебраические дополнения:

, , , , ,, , , .

Тогда, А^-1 =.

Решение системы уравнений имеет вид:

Х=.

Таким образом, решением данной системы уравнений является вектор .

3. Метод Крамера решения системы уравнений.

Рассмотрим неоднородную систему уравнений с невырожденной матрицей А (det A≠0):

Теорема Крамера. Система , где det A≠0, имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам:

,

где Δ= det A, - получается из определителя Δ заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

Пример. Найти решение системы уравнений методом Крамера

.

Решение.

Итак,