рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Базис векторного пространства. Координаты вектора

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Базис векторного пространства. Координаты вектора

Базис векторного пространства. Координаты вектора - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть L – Линейное Пространство Над Полем ...

Пусть L – линейное пространство над полем Р.

Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядоченная максимальная линейно независимая системе его векторов.

Базису можно дать другое определение, эквивалентное приведённому.

Определение 19. Базисом линейного пространства L называется любая упорядоченная система а₁, а₂, … , а_n , … (*) его векторов, удовлетворяющая следующим требованиям:

1. любой вектор из L можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов из (*);

2. ни один вектор а_к из системы (*) нельзя представить в виде линейной комбинации конечного числа остальных векторов из (*).

Теорема 11. Если линейное пространство L имеет конечный базис, то все базисы этого пространства конечны и содержат одно и то же число векторов.

Доказательство. Любые два базиса эквивалентны. Так как каждый из них линейно независим, то отсюда и следует утверждение теоремы.

Определение 20.Линейное пространство называется бесконечно мерным, если в нём есть базис, содержащий бесконечное множество векторов. Если все базисы пространства содержат n векторов, то пространство называется n-мерным.

Размерность линейного пространства будем обозначать dimL.

Примеры. 1. Множество всех коллинеарных геометрических векторов есть одномерное линейное пространство. Базисом является любой ненулевой вектор.

2. Множество всех компланарных геометрических векторов есть двумерное линейное пространство. Базисом является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

3. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства есть трёхмерное линейное пространство. Базисом будет любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

4. Множество всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными) коэффициентами есть (n + 1)-мерное линейное пространство. Система 1, х, х², … , хⁿ – один из базисов в нём.

5. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами есть бесконечно мерное линейное пространство. Система 1, х, х², … , хⁿ, … – один из базисов в нём.

6. Арифметическое n-мерное пространство. Пусть А_n – множество всех возможных упорядоченных наборов а =(a₁, a₂,… , a_n ) действительных чисел. Если в = (b₁, b₂, … , b_n), то сумму наборов и умножение набора на действительное число определим следующим образом:

а + в = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, … , a_n + b_n); l×а = (la₁, la₂, … , la_n). Легко проверить, что все требования определения 13 выполняются, т.е. А_n является линейным пространством. Очевидно, система е₁ = (1, 0, … ,0), е₂ = (0, 1, … 0), … , е_n = (0, 0, … , 0) является линейно независимой. Если а =(a₁, a₂,… , a_n ) – любой набор, то а = a₁×е₁ + a₂×е₂+ … + a_n×е_n. Следовательно, система е₁, е₂, … , е_n является базисом в А_n, т.е. А_n – n-мерное линейное пространство.

7. Во множестве матриц размерности m´n базисом является система матриц Е₁₁ = , Е₁₂ =, … , Е_mn = .

Пусть L – n-мерное линейное пространство и В = {е₁, е₂, … , е_n } базис в нём. Если а – любой вектор из L, то а = a₁е₁+ a₂е₂ + … + a_nе_n.

Определение 21. Упорядоченный набор коэффициентов, с помощью которых данный вектор выражается через базисные векторы, называется координатами этого вектора в данном базисе. Обозначение а = {a₁, a₂, … , a_n}.

Если Через е = (е₁, е₂,… , е_n ) обозначить строку базисных векторов, а через х – столбец координат вектора а, т.е. х = (a₁, a₂, … , a_n)^Т, то а = е×х (22). Это матричная запись вектора в данном базисе.

Теорема 12. Каждый вектор пространства L имеет в базисе В единственный набор координат.

Доказательство. По определению базиса каждый вектор имеет хотя бы один набор координат. Предположим, что некоторый вектор аимеет в базисе В два различных набора координат, т.е. а = a₁е₁+ a₂е₂ + … + a_nе_nи а = b₁е₁ + b₂е₂+ … + b_nе_n . Будем считать, что a₁ ¹ b₁. Тогда a₁е₁+ a₂е₂ + … + a_nе_n= b₁е₁ + b₂е₂+ … + b_nе_n . Отсюда

(a₁ – b₁)е₁ = (b₂ – a₂)е₂ + … + (b_n – a_n)е_n.

е₁ = , т.е. один из базисных векторов выразился через остальные векторы базиса, что противоречит определению 19. Итак, a₁ = b₁. Аналогично получается равенство остальных соответствующих координат.

Теорема 13. Если векторы заданы координатами в одном и том же базисе, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при умножении вектора на действительное (комплексное) число на это число умножается каждая его координата.

Доказательство проведите самостоятельно.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Базис векторного пространства. Координаты вектора

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие Пермь 2011 ББК 22.14 УДК 512.6 А 655 Библиогр. назв. ISBN Учебное посо

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л

Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными. Пусть дана система

Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –

Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по

Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами. Определение 8. Суммой двух матриц одинаков

Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения. Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется

Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С

Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15). Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А

Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn (*) конечная система векто

Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е

Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются

Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерност

Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р

Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля

Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя. j : L

Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : Ln® Ln

Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е

Определение 43
а) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре

Матрица Грама в евклидовом пространстве
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
Определение 51. Базис е = (е1, е2,... , еn) про

Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны

VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с

Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов

Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn . Определение 55. Линейное преобразование

Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( j - самосопряжённое

Линейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln

Билинейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р . Определение 59. Отображение f

Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а

Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн

Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм. Теоре

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос