Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Теорема 39. Линейное Преобразование J Линейного П...
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е = (е1, е2,... , еn ) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования j.
Доказательство. Þ Пусть матрица А линейного преобразования j в базисее– диагональная. Тогда j(ек) = lкек для любого к = 1, 2, … , n. Но это значит, что все базисные векторы – собственные..
Ü Пусть все базисные векторы – собственные. Тогда j(ек) = lкек. Следовательно, в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и акк = lк. Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.
Следствие. Квадратная матрица n-го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис из собственных векторов.
Определение 42. Говорят, что линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат полю Р.
Теорема 40. Если линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет простой спектр, то в Lnсуществует такой базис, в котором это преобразование имеет диагональную матрицу.
Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р . Если все характеристические корни матрицы А различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна диагональной.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов