Учреждение образования
«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»
кафедра М и Ф
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Часть V
Дифференциальное исчисление функций
Нескольких переменных
Кратные интегралы
Криволинейные интегралы второго рода
Минск 2007
Составитель А.В. Петрович
Рецензент Л.А. Рябенкова
Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф
«20» марта 2007 г., протокол №8
Зав. кафедрой Л.Л. Гладков
СОДЕРЖАНИЕ
Функции нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных………………………….……..5
Поверхности (линии) уровня……………………………….…………...…...8
Предел функции нескольких переменных…………………………….……10
Непрерывность функций нескольких переменных…………………….….12
Дифференцирование функций нескольких переменных……………….…13
Дифференцируемость функций нескольких переменных………………...17
Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
Полный дифференциал функции нескольких переменных……..……..….21
Дифференцирование сложной функции……………………..……….….…23
Дифференцирование функции, заданной неявно……………………...…..25
Частные производные и дифференциалы высших порядков……………..27
Локальные экстремумы функции двух переменных……………………….30
Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………………..…35
Производная по направлению………………………………………………..37
Градиент функции………………………………….…………………….…...39
Кратные интегралы
Задачи, приводящие к двойным интегралам. Определение
двойного интеграла………………………………………………..……..…..41
Свойства двойного интеграла……………………………………………..…44
Вычисление двойного интеграла в прямоугольных
декартовых координатах……………………………………..………………45
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат…..…….52
Тройной интеграл…………………………………………………….………55
Криволинейные интегралы второго рода
Задача о вычислении работы переменной силы.
Определение криволинейного интеграла второго рода…………….……..59
Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме….………61
Вычисление криволинейных интегралов второго рода…………….…..…62
Формула Грина……………………………………………………….………67
Условия независимости криволинейного интеграла
от пути интегрирования…………………...………………………….……..70
Литература……………………………………………………………..……..73
Дифференцирование функций нескольких переменных
Дифференцируемость функций нескольких переменных.
.
Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.
Определение.Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
, (1)
где и — некоторые постоянные, зависящие от и ; и — функции от и , стремящиеся к нулю при и , то есть , .
Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции в точке .
Определение.Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.
Например, функция дифференцируема на всей плоскости . Действительно, полное приращение данной функции в любой точке R2 имеет вид
Положив , , , , получим представление в виде (1), так как и в фиксированной точке будут постоянными, а
, .
Условие дифференцируемости функции в точке можно записать в виде:
, (2)
где — расстояние между точками и :
.
При этом .
Очевидно, что если и , то и , и наоборот, если , то и , а следовательно, и стремятся к нулю. Тогда в равенстве (1) сумму можно переписать в виде
,
так как , и .
Справедливо и обратное утверждение: из представимости в форме (2) следует равенство (1), т. е. условия дифференцируемости (1) и (2) функции в точке эквивалентны.
В равенствах (1) и (2) слагаемое , линейное относительно и , называют главной частью приращения функции, так как оставшееся слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем , при и .
Установим теперь связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции двух переменных.
Теорема.Если функция дифференцируема в точке ,то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Действительно, по определению функции, дифференцируемой в точке , ее приращение представимо в виде
,
где , , и — некоторые числа, не зависящие от и .
Следовательно,
,
а это означает, что функция непрерывна в точке .
Теорема доказана.
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем , .
Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда ее приращение представимо в виде (1). Положив в формуле (1) , имеем . Разделив это равенство на и перейдя к пределу при , получим
.
Следовательно, в точке существует частная производная .
Аналогично доказывается существование частной производной в точке
Теорема доказана.
Утверждения, обратные утверждениям данных теорем , неверны, т. е. из непрерывности функции, а также существования ее частных производных, еще не следует дифференцируемость функции.
Например, функция непрерывна в точке О(0; 0), но не имеет в этой точке частных производных. Действительно,
.
Функция не имеет предела при . Следовательно, (0; 0) не существует.
Аналогично доказывается, что не существует (0; 0).
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , на нее налагают условия более жесткие, чем существование частных производных.
Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции).Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке , причем формулу (1) можно представить в виде:
.
Определение.Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно дифференцируемыми.
Например, функция дифференцируема в любой точке R2 так как ее частные производные и всюду непрерывны.
Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично. Дадим, например, определение дифференцируемости функции трех переменных. Функция , определенная в , называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение представимо в виде
,
где , и — некоторые постоянные, зависящие от , и ; , и —бесконечно малые функции при , и .
Определение. Функция любого числа переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется дифференцируемой на этом множестве.