Частные производные

Определение.Частной производной функции по переменной в точке называется предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента , когда последнее произвольным образом стремится к нулю, т.е.

.

Используются также и другие обозначения частных производных: , , .

Аналогично определяют и частную производную функции в точке по переменной :

.

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных.

Пример.Найти частные производные функции .

Решение.Частную производную функции вычисляем как производную данной функции по переменной , считая постоянной:

. Аналогично .

Пример.Найти частные производные функции .

Решение.Частную производную функции вычисляем как производную данной функции по переменной , считая и постоянными:

.

Аналогично и .

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.Пусть графиком функции является некоторая поверхность Q. Возьмем точку Î D. На этой поверхности ей соответствует точка . Пересечем график данной функции плоскостью . В сечении получим кривую ( на рисунке это кривая ), которую можно рассматривать как график функции одной переменной в плоскости .

Тогда, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной, значение частной производной функции в точке равно тангенсу угла α, образованного положительным направлением оси Ох и касательной, проведенной в точке к линии пересечения поверхности и плоскости .

Аналогично трактуется и геометрический смысл частной производной функции по .

Механический смысл частных производных функции двух переменных.Частные производные и характеризуют скорость изменения функции в данной точке , причем частная производная задает скорость изменения функции в направлении прямой , частная производная ― в направлении прямой .