рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательная плоскость и нормаль к поверхности - Конспект Лекций, раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине Высшая математика Геометрическим Образом (Графиком) Функции Двух Независимых Переменных ...

Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем на ней точку .

Определение.Касательной плоскостью к поверхности Q в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

 

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

.

 

Если уравнение поверхности Q задано неявной функцией

, то:

, .

Подставим значения частных производных в уравнение касательной:

.

 

Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке в случае неявного задания функции имеет вид

Определение. Точка, в которой или хотя бы одна из этих производных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной.

Определение.Нормалью к поверхности Q в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

Запишем уравнения нормали к поверхности в точке , пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости:

Если поверхность Q задана неявно функцией то уравнения нормали принимают вид

.

 

Пример.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Уравнение поверхности задано явной функцией. Вычислим частные производные функции в точке :

, ,

, .

 

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид

.

Найдем уравнения нормали:

Пример.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Вычислим частные производные функции в точке

, , ,

, , .

Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид

.

Находим уравнения нормали

.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по дисциплине Высшая математика

Высший государственный колледж связи.. кафедра М и Ф.. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные обозначения
Þ — знак логического следования Û — знак равносильности (эквивалентности) — знак тождественного равенства

Понятие функции нескольких переменных
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.   Пример. Площадь

Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задан

Предел функции нескольких переменных
Приведем определение предела функции двух переменных по Коши.   Определение. Число А называется пределом функции

Непрерывность функций нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела.   Определение. Функция

Частные и полные приращения функции
Пусть — функция двух независимых переменных и D— область ее определения. Выберем пр

Частные производные
Определение.Частной производной функции по переменной в точке

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
  Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке

Полный дифференциал функции нескольких переменных
  Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше,

Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных

Дифференцирование функции, заданной неявно
  Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные

Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.Пусть функция имеет непрерывные частные производные

Локальные экстремумы функции двух переменных
  Определение.Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции

Производная по направлению
Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки

Градиент функции
В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных произв

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги