КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Учреждение образования

«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»

кафедра М и Ф

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

 

по дисциплине

 

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

 

Часть V

 

 

Дифференциальное исчисление функций

Нескольких переменных

Кратные интегралы

Криволинейные интегралы второго рода

 

 

Минск 2007

 

 

Составитель А.В. Петрович

 

 

Рецензент Л.А. Рябенкова

 

 

Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф

«20» марта 2007 г., протокол №8

 

Зав. кафедрой Л.Л. Гладков

 

 

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Û — знак равносильности (эквивалентности) — знак тождественного равенства Î — знак принадлежности

СОДЕРЖАНИЕ

Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных………………………….……..5

Поверхности (линии) уровня……………………………….…………...…...8

Предел функции нескольких переменных…………………………….……10

Непрерывность функций нескольких переменных…………………….….12

Дифференцирование функций нескольких переменных……………….…13

Дифференцируемость функций нескольких переменных………………...17

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости

Полный дифференциал функции нескольких переменных……..……..….21

Дифференцирование сложной функции……………………..……….….…23

Дифференцирование функции, заданной неявно……………………...…..25

Частные производные и дифференциалы высших порядков……………..27

Локальные экстремумы функции двух переменных……………………….30

Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………………..…35

Производная по направлению………………………………………………..37

Градиент функции………………………………….…………………….…...39

 

Кратные интегралы

Задачи, приводящие к двойным интегралам. Определение

двойного интеграла………………………………………………..……..…..41

Свойства двойного интеграла……………………………………………..…44

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных

декартовых координатах……………………………………..………………45

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат…..…….52

Тройной интеграл…………………………………………………….………55

 

Криволинейные интегралы второго рода

Задача о вычислении работы переменной силы.

Определение криволинейного интеграла второго рода…………….……..59

Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме….………61

Вычисление криволинейных интегралов второго рода…………….…..…62

Формула Грина……………………………………………………….………67

Условия независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования…………………...………………………….……..70

Литература……………………………………………………………..……..73

Понятие функции нескольких переменных

  Пример. Площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны и ,… .

Поверхности (линии) уровня

. В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.  

Предел функции нескольких переменных

  Определение. Число А называется пределом функции при , т.е. в точке , если для…  

Непрерывность функций нескольких переменных

  Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие… 1) определена в точке и некоторой ее окрестности;

Дифференцирование функций нескольких переменных

Частные и полные приращения функции

, которое называется частным приращением функции по переменной в точке . Аналогично, считая постоянной и придавая приращение , получаем частное приращение функции по переменной в точке :

Частные производные

  .  

Дифференцируемость функций нескольких переменных.

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости

Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке , если приращение функции представимо в виде ,  

.

 

Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.

 

Определение.Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1)

где и — некоторые постоянные, зависящие от и ; и — функции от и , стремящиеся к нулю при и , то есть , .

 

Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции в точке .

 

Определение.Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.

 

Например, функция дифференцируема на всей плоскости . Действительно, полное приращение данной функции в любой точке R² имеет вид

Положив , , , , получим представление в виде (1), так как и в фиксированной точке будут постоянными, а

, .

 

Условие дифференцируемости функции в точке можно записать в виде:

, (2)

где — расстояние между точками и :

.

При этом .

 

Очевидно, что если и , то и , и наоборот, если , то и , а следовательно, и стремятся к нулю. Тогда в равенстве (1) сумму можно переписать в виде

,

так как , и .

 

Справедливо и обратное утверждение: из представимости в форме (2) следует равенство (1), т. е. условия дифференцируемости (1) и (2) функции в точке эквивалентны.

 

В равенствах (1) и (2) слагаемое , линейное относительно и , называют главной частью приращения функции, так как оставшееся слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем , при и .

 

Установим теперь связь между дифференцируемостью и непре­рывностью функции двух переменных.

 

Теорема.Если функция дифференцируема в точке ,то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Действительно, по определению функции, дифференцируемой в точке , ее приращение представимо в виде

,

где , , и — некоторые числа, не зависящие от и .

 

Следовательно,

,

а это означает, что функция непрерывна в точке .

Теорема доказана.

 

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем , .

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда ее приращение представимо в виде (1). Положив в формуле (1) , имеем . Разделив это равенство на и перейдя к пределу при , получим

.

 

Следовательно, в точке существует частная производная .

Аналогично доказывается существование частной производной в точке

Теорема доказана.

 

 

Утверждения, обратные утверждениям данных теорем , неверны, т. е. из непрерывности функции, а также существования ее частных производных, еще не следует дифференцируемость функции.

 

Например, функция непрерывна в точке О(0; 0), но не имеет в этой точке частных производных. Действительно,

.

Функция не имеет предела при . Следовательно, (0; 0) не существует.

Аналогично доказывается, что не существует (0; 0).

 

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , на нее налагают условия более жесткие, чем существование частных производных.

 

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции).Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке , причем формулу (1) можно представить в виде:

.

Определение.Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно дифференцируемыми.

 

Например, функция дифференцируема в любой точке R² так как ее частные производные и всюду непрерывны.

 

Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным усло­вием ее дифференцируемости в этой точке.

 

Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично. Дадим, например, определение дифференцируемости функции трех переменных. Функция , определенная в , называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение представимо в виде

,

где , и — некоторые постоянные, зависящие от , и ; , и —бесконечно малые функции при , и .

Определение. Функция любого числа переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется дифференцируемой на этом множестве.

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде .  

Дифференцирование сложной функции

  Теорема. Если функция дифференцируема в точке , а функции и дифференцируемы в… , .

Дифференцирование функции, заданной неявно

Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные и : .  

Частные производные и дифференциалы высших порядков

  Частные производные по и по от частных производных первого порядка, если они… , , ,

Локальные экстремумы функции двух переменных

Определение.Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует -окрестность этой точки, такая, что для всех точек…   Значение называют локальным максимумом (минимумом) функции и пишут

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Определение.Касательной плоскостью к поверхности Q в данной точке называется…  

Производная по направлению

Длина вектора равна: . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. В этом…

Градиент функции

Этот вектор называется градиентом функции . Говорят, что в области D… Теорема. Пусть дано скалярное поле и определено в этом скалярном поле поле градиентов .