рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные и дифференциалы высших порядков - Конспект Лекций, раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине Высшая математика Частные Производные Высших Порядков.Пусть Функция ...

Частные производные высших порядков.Пусть функция имеет непрерывные частные производные и в точке D(). Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных и . Будем называть и частными производными первого порядка.

 

Частные производные по и по от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции в точке и обозначаются

, , ,

(если дифференцируется последовательно два раза по );

 

, , ,

(если дифференцируется сначала по , а затем по );

 

, , ,

(если дифференцируется сначала по , а затем по );

 

, , ,

(если дифференцируется последовательно два раза по ).

 

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . В результате получим восемь частных производных третьего порядка:

, , , , , , , .

 

Аналогично, частная производная от производной -го порядка называется частной производной -го порядка и обозначается

, , и т. д.

Частные производные высших порядков функции , взятые по различным переменным, например, , , , и т.д., называются смешанными производными.

 

Среди частных производных второго порядка функции имеются две смешанные производные и .

 

Возникает вопрос: зависит ли результат дифференцирования функций нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным.

 

Справедлива следующая

Теорема.Если функция и ее частные производные , , и определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то .

Замечание. Данная теорема, а также все приведенные выше рассуждения имеют место и для функции любого числа переменных.

 

 

Пример.Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение. Функция определена и непрерывна на R2 . Найдем частные производные первого порядка

, .

 

Они определены и непрерывны на R2. Найдем частные производные второго порядка

, ,

.


Дифференциалы высших порядков.Пусть — функция двух независимых переменных и , дифференцируемая в области D(). Придавая и приращения , , в любой точке Dможно найти полный дифференциал

,

который называют дифференциалом первого порядка функции .

 

Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке D, если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается

.

Найдем аналитическое выражение для , считая и по­стоянными:

.

 

Поступая аналогично, получаем аналитическое выражение для дифференциала третьего порядка :

.

Замечание. Приведенные выше формулы дифференциалов не обладают свойствами инвариантности для сложных функций.

Пример.Найти и , если .

Решение. Используем формулу для вычисления полного дифференциала .

, .

 

Для определения вычислим предварительно частные производные второго порядка:

, ,

.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по дисциплине Высшая математика

Высший государственный колледж связи.. кафедра М и Ф.. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Частные производные и дифференциалы высших порядков

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные обозначения
Þ — знак логического следования Û — знак равносильности (эквивалентности) — знак тождественного равенства

Понятие функции нескольких переменных
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.   Пример. Площадь

Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задан

Предел функции нескольких переменных
Приведем определение предела функции двух переменных по Коши.   Определение. Число А называется пределом функции

Непрерывность функций нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела.   Определение. Функция

Частные и полные приращения функции
Пусть — функция двух независимых переменных и D— область ее определения. Выберем пр

Частные производные
Определение.Частной производной функции по переменной в точке

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
  Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке

Полный дифференциал функции нескольких переменных
  Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше,

Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных

Дифференцирование функции, заданной неявно
  Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные

Локальные экстремумы функции двух переменных
  Определение.Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции

Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем

Производная по направлению
Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки

Градиент функции
В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных произв

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги