рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Понятие функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных - Конспект Лекций, раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине Высшая математика При Изучении Многих Явлений Приходится Встречаться С Функциями Двух И Более Н...

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.

 

Пример. Площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны и , выражается формулой

.

Каждой паре значений и соответствует определенное значение площади . есть функция двух переменных.

 

Пример. Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны ,,, выражается формулой

.

Здесь есть функция трех переменных ,,.

 

Пример.

Здесь есть функция четырех переменных , , , .

 

Определение.Множество всех упорядоченных наборов действительных чисел называется -мерным арифметическим пространством и обозначается Rn , а его элементы – точками пространства Rn(мерными точками). Числа при этом называют координатами точки . Точку называют началом координат.

 

Пусть DÌRn — произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства.

 

Определение.Числовой функцией(или отображением) от переменных, определенной на множестве D называется закон, по которому каждой точке Î D ставится в соответствие некоторое вполне определенное действительное число .

Обозначения: :Rn®R или .

 

Множество D при этом называют областью определения, а множество

R |, D}— множеством значений функции =.

 

В частном случае при функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точек плоскости.

Частное значение функции при , обозначают , , и т.д.

Функция двух переменных и может быть задана аналитическим, табличным, графическим, программным (алгоритмом вычисления по значениям и ) и другими способами.

Функцию двух переменных можно изобразить в трехмерном пространстве при выбранной декартовой системе координат как множество точек пространства ÎR3, координаты которых удовлетворяют уравнению , которое, вообще говоря, есть уравнение некоторой поверхности в R3. Проекцией этой поверхности на плоскость является область определения D. Каждый перпендикуляр к плоскости пересекает поверхность не более чем в одной точке (в силу однозначности функции).

 

Замечание. Функцию трех и более переменных изобразить графически невозможно.

Пример. Найти область определения функции .

Решение. Аналитическое выражение имеет смысл при любых действительных значениях и . Следовательно, областью определения является вся числовая плоскость т.е. D=R2 .

Пример. Найти область определения функции .

Решение. Аналитическое выражение имеет смысл при , следовательно, областью определения этой функции являются I и III четверти плоскости , включая оси и , т.е. область, заштрихованная на рисунке.

Пример. Найти область определения функции .

Решение. Для того, чтобы имело действительное значение, необходимо, чтобы под корнем было неотрицательное число, т.е. и должны удовлетворять неравенству или .

Все точки , координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга, т.е. область, заштрихованная на рисунке.

Пример. Найти область определения, множество значений функции , построить график.

Решение. Область определения этой функции D=R2,множество значенийЕ. Графиком данной функции в пространстве R3является параболоид вращения.

Пример. Найти область определения и множество значений функции .

Решение. Данная функция определена, если или , откуда D{R3 | }, т. е. областью определения Dданной функции является множество точек открытого трёхмерного шара радиуса , а Е(.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по дисциплине Высшая математика

Высший государственный колледж связи.. кафедра М и Ф.. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Понятие функции нескольких переменных

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные обозначения
Þ — знак логического следования Û — знак равносильности (эквивалентности) — знак тождественного равенства

Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задан

Предел функции нескольких переменных
Приведем определение предела функции двух переменных по Коши.   Определение. Число А называется пределом функции

Непрерывность функций нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела.   Определение. Функция

Частные и полные приращения функции
Пусть — функция двух независимых переменных и D— область ее определения. Выберем пр

Частные производные
Определение.Частной производной функции по переменной в точке

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
  Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке

Полный дифференциал функции нескольких переменных
  Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше,

Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных

Дифференцирование функции, заданной неявно
  Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные

Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.Пусть функция имеет непрерывные частные производные

Локальные экстремумы функции двух переменных
  Определение.Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции

Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем

Производная по направлению
Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки

Градиент функции
В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных произв

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги