рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Локальные экстремумы функции двух переменных

Локальные экстремумы функции двух переменных - Конспект Лекций, раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине Высшая математика   Определение.Точка ...

 

Определение.Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует -окрестность этой точки, такая, что для всех точек (принадлежащих -окрестности этой точки), отличных от точки , выполняется неравенство ().

 

Значение называют локальным максимумом (минимумом) функции и пишут

().

 

Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции — экстремумами функции.

 

Пример. Функция имеет локальный максимум в точке (1; 1): (1, 1) = 1.

Действительно, существует окрестность точки (1; 1), в которой выполняется условие (1; 1) > для . Графиком этой функции является поверхность — параболоид вращения, представленный на рисунке.

 

 

Отметим, что если функция имеет в точке локальный экстремум, то:

в случае локального максимума,

в случае локального минимума.

 

Из сказанного выше следует, что полное приращение функции не меняет знака в . Однако для всех точек определить знак приращения практически невозможно, поэтому надо искать другие условия, по которым можно судить о наличии и характере экстремума функции в данной точке.

 

Теорема (необходимые условия существования локального экстремума).Если в точке дифференцируемая функция имеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

и ,

или, по крайней мере, одна из них не существует.

 

Доказательство.Докажем только первое утверждение теоремы.

Рассмотрим в лишь те точки, для которых . Получим функцию одной переменной . Эта функция имеет в точке экстремум, следовательно, .

Аналогично доказывается, что .

Теорема доказана.

 

Проиллюстрируем примером второе утверждение теоремы .

Функция имеет максимум в точке О(0; 0; 0), так как для любой точки (О) выполняется условие (0; 0) > . Частные производные

,

в точке О(0; 0) не существуют для . Графиком этой функции является конус, представленный на рисунке.

Следствие. Если функция имеет в точке локальный экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.

 

Точка , в которой частные производные равны нулю,или хотя бы одна из них не существует, называется точкой возможного экстремума. Такие точки называются также стационарными или критическими.

 

Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным условием существования экстремума функции в точке .

Действительно, возьмем, например, функцию . Она задана на всей числовой плоскости R2. Точка О(0; 0) будет критической, поскольку частные производные в ней равны нулю. Так как функция равна нулю в точке О, а в любой сколь угодно малой окрестности (О) она принимает как положительные, так и отрицательные значения, то функция не имеет в точке О экстремума.

 

Теорема (достаточные условия существования локального экстремума).Пусть — стационарная точка трижды дифференцируемой в функции и пусть

.

 

Тогда стационарная точка является:

1) точкой локального максимума, если и ;

2) точкой локального минимума, если и ;

3) если , то стационарная точка не является точкой локального экстремума функции.

 

Замечание. Если , то нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке . В этом случае необходимо произвести дополнительные исследования знака функции в .

Приращения и не могут равняться нулю одновременно, поскольку в подобном случае точка совпала бы с точкой и функция не получила бы никакого приращения.

Пример.Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Вычислим частные производные первого порядка данной функции:

, .

 

Находим точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений:

(т. к. для R)

Таким образом, существует только одна стационарная точка (-1; 0), в которой функция может достигать экстремума.

 

Воспользуемся теоремой о достаточных условиях существования локального экстремума.

Для этого найдем частные производные второго порядка функции z :

, , .

Вычислим значения частных производных второго порядка для стационарной точки :

, , .

Так как (-1; 0) ,

то по теореме о достаточных условиях существования локального экстремума точка (-1; 0) является точкой локального экстремума, а т. к. А > 0, то точка (-1; 0) является точкой локального минимума, при этом

.

Пример.Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Вычислим частные производные первого порядка данной функции: , .

Для определения точек возможного экстремума решим систему уравнений:

 

Данная система имеет два решения

и

 

Следовательно, функция имеет две стационарные точки (0; 0) и (-1, 1). Вычислим частные производные второго порядка функции :

, , .

 

.

 

Вычислим для точки (0; 0). Так как (0; 0) , то в точке (0; 0) нет экстремума.

 

Вычислим для точки (-1, 1). Т. к. (-1; 1) , то точка (-1, 1) является точкой локального экстремума, а т. к. , то точка (-1, 1) является точкой локального максимума, при этом

(-1; 1)=9.

Пример.Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Вычислим частные производные первого порядка функции :

.

 

Решая систему уравнений:

находим единственную стационарную точку (0; 0) данной функции.

Найдем частные производные второго порядка функции :

, ,

Для стационарной точки (0; 0)

, ,

.

 

Следовательно, по теореме о достаточных условиях существования локального экстремума нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке (0; 0). В данном случае стационарная точка (0; 0) является точкой локального минимума, поскольку, для (0; 0)=0.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по дисциплине Высшая математика

Высший государственный колледж связи.. кафедра М и Ф.. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Локальные экстремумы функции двух переменных

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные обозначения
Þ — знак логического следования Û — знак равносильности (эквивалентности) — знак тождественного равенства

Понятие функции нескольких переменных
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.   Пример. Площадь

Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задан

Предел функции нескольких переменных
Приведем определение предела функции двух переменных по Коши.   Определение. Число А называется пределом функции

Непрерывность функций нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела.   Определение. Функция

Частные и полные приращения функции
Пусть — функция двух независимых переменных и D— область ее определения. Выберем пр

Частные производные
Определение.Частной производной функции по переменной в точке

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
  Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке

Полный дифференциал функции нескольких переменных
  Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше,

Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных

Дифференцирование функции, заданной неявно
  Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные

Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.Пусть функция имеет непрерывные частные производные

Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем

Производная по направлению
Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки

Градиент функции
В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных произв

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги