рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Вид работы: Конспекты Лекций
/
Производная по направлению

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Производная по направлению

Производная по направлению - Конспект Лекций, раздел Математика, КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Рассмотрим В Области D Функцию ...

Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого , и . Ha векторе , на расстоянии от его начала, рассмотрим точку .

Длина вектора равна: .

Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. В этом случае ее полное приращение представимо в виде:

, (1)

где , и стремятся к нулю при . Разделим все члены равенства (1) на :

Очевидно, что , , .

Следовательно, равенство (1) можно переписать так:

. (2)

Определение. Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т. е. .

Таким образом, переходя к пределу в равенстве (2), получим:

Величина характеризует скорость изменения функции в точке по выбранному направлению . Если , то функция в точке по направлению возрастает, в противном случае – убывает.

Отметим, что для функции двух переменных производная по направлению будет равна

Пример. Найти производную функции в точке в направлении вектора .

Решение. Найдем направляющие косинусы вектора :

, , .

Частные производные , ,

в точке будут , , .

Следовательно, .

Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если точка .

Решение. Вектор имеет координаты: , длина вектора равна: .

Найдем направляющие косинусы вектора :

, .

Частные производные , .

в точке будут , .

Следовательно, .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ... кафедра М и Ф... КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Производная по направлению

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Þ — знак логического следования Û — знак равносильности (эквивалентности) — знак тождественного равенства

Понятие функции нескольких переменных
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров. Пример. Площадь

Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задан

Предел функции нескольких переменных
Приведем определение предела функции двух переменных по Коши. Определение. Число А называется пределом функции

Непрерывность функций нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела. Определение. Функция

Частные и полные приращения функции
Пусть — функция двух независимых переменных и D— область ее определения. Выберем пр

Частные производные
Определение.Частной производной функции по переменной в точке

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке

Полный дифференциал функции нескольких переменных
Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше,

Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных

Дифференцирование функции, заданной неявно
Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные

Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.Пусть функция имеет непрерывные частные производные

Локальные экстремумы функции двух переменных
Определение.Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции

Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем

Градиент функции
В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных произв