рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Вид работы: Конспекты Лекций
/
Дифференцирование функции, заданной неявно

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Дифференцирование функции, заданной неявно

Дифференцирование функции, заданной неявно - Конспект Лекций, раздел Математика, КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Известно, Что Функция ...

Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные и :

Например, уравнение определяет функцию , при этом DER.

Уравнение выполняется только при и задает точку . Уравнение не определяет никакой функции на R,так как оно не имеет действительных корней, а значит, нельзя рассматривать как функцию от . Итак, уравнение вида не всегда задает функцию .

Пусть уравнение определяет как некоторую функцию от . Если в это уравнение подставить вместо у функцию , то получим тождество

Придадим приращение , тогда значению аргумента будет соответствовать значение функции , но с другой стороны

Разность также равна нулю:

Как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Разделим последнее равенство на :

Откуда

Перейдя к пределу, получим формулу вычисления производной функции, заданной неявно:

Аналогично можно вычислить частные производные неявной функции переменных по всем ее аргументам.

Например, для функции справедливо:

, .

Пример.Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через .

, .

Следовательно,

Пример.Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через .

, .

Следовательно,

Пример.Найти частные производные неявной функции , заданной уравнением .

Решение. , , . Следовательно,

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ... кафедра М и Ф... КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференцирование функции, заданной неявно

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Þ — знак логического следования Û — знак равносильности (эквивалентности) — знак тождественного равенства

Понятие функции нескольких переменных
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров. Пример. Площадь

Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задан

Предел функции нескольких переменных
Приведем определение предела функции двух переменных по Коши. Определение. Число А называется пределом функции

Непрерывность функций нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела. Определение. Функция

Частные и полные приращения функции
Пусть — функция двух независимых переменных и D— область ее определения. Выберем пр

Частные производные
Определение.Частной производной функции по переменной в точке

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке

Полный дифференциал функции нескольких переменных
Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше,

Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных

Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.Пусть функция имеет непрерывные частные производные

Локальные экстремумы функции двух переменных
Определение.Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции

Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем

Производная по направлению
Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки

Градиент функции
В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных произв